2005年广东省梅州市中考数学试卷

2005年广东省梅州市中考数学试卷一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2005•梅州）计算：（a﹣b）﹣（a+b）=_________．2．（3分）（2005•梅州）计算：（a2b）2÷a4=_________．3．（3分）（2005•梅州）函数中x的取值范围是_________．4．（3分）（2005•梅州）北京与巴黎两地的时差是﹣7（带正号的数表示同一时间比北京早的时间数），如果现在北京时间是7：00，那么巴黎的时间是_________．5．（3分）（2005•梅州）求值：sin230°+cos230°=_________．6．（3分）（2005•梅州）根据图中的抛物线，当_________时，y随x的增大而增大，当_________时，y随x的增大而减小，当_________时，y有最大值．7．（3分）（2005•梅州）如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC+∠DOB=_________度．8．（3分）（2005•梅州）已知一个三角形的三边长分别是6cm，8cm，10cm，则这个三角形的外接圆面积等于_________cm2．9．（3分）（2005•梅州）如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α=_________度．10．（3分）（2005•梅州）如图是我市城乡居民储蓄存款余额的统计图，请你根据该图写出两条正确的信息：a_________；b_________．二、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）（2005•梅州）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离12．（3分）（2005•梅州）方程x2﹣5x﹣1=0（）A．有两个相等实根B．有两个不等实根C．没有实根D．无法确定13．（3分）（2005•梅州）一组对边平行，并且对角线互相垂直且相等的四边形是（）A．菱形或矩形B．正方形或等腰梯形C．矩形或等腰梯形D．菱形或直角梯形14．（3分）（2005•梅州）设a是实数，则|a|﹣a的值（）A．可以是负数B．不可能是负数C．必是正数D．可以是正数也可以是负数15．（3分）（2005•梅州）由梅州到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：梅州﹣﹣兴宁﹣﹣华城﹣﹣河源﹣﹣惠州﹣﹣东莞﹣﹣广州，那么要为这次列车制作的火车票有（）A．6种B．12种C．21种D．42种三、解答题（共10小题，满分75分）16．（6分）（2005•梅州）计算：（﹣2）2﹣（）﹣1×+（1﹣）0．17．（6分）（2005•梅州）在“创优”活动中，我市某校开展收集废电池的活动，该校初二（1）班为了估计四月份收集电池的个数，随机抽取了该月某7天收集废旧电池的个数，数据如下：（单位：个）：48，51，53，47，49，50，52．求这七天该班收集废旧电池个数的平均数，并估计四月份（30天计）该班收集废旧电池的个数．18．（6分）（2005•梅州）解方程：19．（6分）（2005•梅州）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形是等腰三角形．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）20．（7分）（2005•梅州）如图，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点．（1）如果_________，则△DEC≌△BFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论．21．（7分）（2005•梅州）为节约用水，某学生于本学期初制定了详细的用水计划，如果实际比计划每天多用2t水，那么本学期的用水量将会超过2530t；如果实际每天比计划节约2t水，那么本学期用水量将不会超过2200t，若本学期在校时间按110天计算，那么学校每天用水量将控制在什么范围内？22．（8分）（2005•梅州）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5．P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC=x，点P到AB的距离为y．（1）求y与x的函数关系式；（2）试讨论以P为圆心，半径长为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．23．（8分）（2005•梅州）东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：卖出价格x（元/件）50515253…销售量p（件）500490480470…（1）以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，把表中的数据，在图中的直角坐标系中描出相应的点，观察连接各点所得的图形，判断p与x的函数关系式；（2）如果这种运动服的买入价为每件40元，试求销售利润y（元）与卖出价格x（元/件）的函数关系式（销售利润=销售收入﹣买入支出）；（3）在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？24．（10分）（2005•梅州）如图，已知C、D是双曲线y=在第一象限分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点．设C（x1，y1）、D（x2，y2），连接OC、OD（O是坐标有点），若∠BOC=∠AOD=α，且tanα=，OC=．（1）求C、D的坐标和m的值；（2）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明，若不存在，说明理由．25．（11分）（2005•梅州）已知，如图（甲），正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不运动到M和C，以AB为直径做⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．（1）求四边形CDFP的周长；（2）试探索P在线段MC上运动时，求AF•BP的值；（3）延长DC、FP相交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（如图乙），是否存在点P，使△EFO∽△EHG？如果存在，试求此时的BP的长；如果不存在，请说明理由．

2005年广东省梅州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2005•梅州）计算：（a﹣b）﹣（a+b）=﹣2b．考点：整式的加减．分析：本题考查整式的加法运算，要先去括号，然后合并同类项．解答：解：（a﹣b）﹣（a+b）=a﹣b﹣a+b=﹣2b．点评：整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项．2．（3分）（2005•梅州）计算：（a2b）2÷a4=b2．考点：整式的除法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据积的乘方，单项式除单项式的运算法则计算即可．解答：解：（a2b）2÷a4=a4b2÷a4=b2．故填b2．点评：本题主要考查积的乘方的性质和单项式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（3分）（2005•梅州）函数中x的取值范围是x＞2．考点：函数自变量的取值范围．专题：计算题；压轴题．分析：由于是二次根式，同时也在分母的位置，由此即可确定x的取值范围．解答：解：∵是二次根式，同时也是分母，∴x﹣2＞0，∴x＞2．故答案为：x＞2．点评：本题主要考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．4．（3分）（2005•梅州）北京与巴黎两地的时差是﹣7（带正号的数表示同一时间比北京早的时间数），如果现在北京时间是7：00，那么巴黎的时间是0：00．考点：有理数的减法．专题：应用题．分析：认真阅读列出正确的算式，用北京时间加时差，列式计算．解答：解：依题意得：7﹣7=0，所以那么巴黎的时间是0：00．点评：有理数运算的实际应用题是中考的常见题，其解答关键是依据题意正确地列出算式．5．（3分）（2005•梅州）求值：sin230°+cos230°=1．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值计算．解答：解：原式=（）2+（）2=+=1．点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．6．（3分）（2005•梅州）根据图中的抛物线，当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，当x=2时，y有最大值．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称性解题．解答：解：由图可知对称轴为x=（﹣2+6）÷2=2，∴当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减；当x=2时，y有最大值．点评：主要考查了二次函数的单调性与对称性．7．（3分）（2005•梅州）如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC+∠DOB=180度．考点：角的计算．专题：计算题．分析：本题考查了角度的计算问题，因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．解答：解：设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°﹣a，所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°﹣a=180°．故答案为180°．点评：在本题中要注意∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．8．（3分）（2005•梅州）已知一个三角形的三边长分别是6cm，8cm，10cm，则这个三角形的外接圆面积等于25πcm2．考点：三角形的外接圆与外心；勾股定理的逆定理．分析：根据勾股定理的逆定理发现它是直角三角形，则其外接圆的半径是斜边的一半，从而求出半径，再根据圆面积公式得圆面积是25π．解答：解：∵三角形的三边长分别是6cm，8cm，10cm，∴它是直角三角形，∴外接圆的半径是斜边的一半为5，∴三角形的外接圆面积是25π．点评：此题综合运用了勾股定理的逆定理、直角三角形的外心在它的斜边中点的性质．9．（3分）（2005•梅州）如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α=135度．考点：圆心角、弧、弦的关系．专题：压轴题．分析：完整圆的周角是360°，根据比例解出．解答：解：∵∠α+∠β=360°，且∠α：∠β=0.6，∴∠β=360°÷1.6=225°，∠α=360°﹣225°=135°．故本题答案为：135°．点评：掌握圆周角的度数的，与比例知识结合，也可列方程解决．10．（3分）（2005•梅州）如图是我市城乡居民储蓄存款余额的统计图，请你根据该图写出两条正确的信息：a从1978年起城乡居民储蓄存款不断增长；b2000年到2003年城乡居民储蓄存款的增长速度较快．考点：折线统计图．专题：压轴题；图表型．分析：折线图通过图象的上升与下降表示数据的增减，通过折线的陡峭程度来表示数据变化的快慢，故分析折线图即可求出答案．解答：解：从1978年起城乡居民储蓄存款不断增长；2000年到2003年城乡居民储蓄存款的增长速度较快．点评：本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况．二、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）（2005•梅州）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系．专题：探究型．分析：本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．解答：解：根据题意，得R+r=5+3=8，R﹣r=5﹣3=2，圆心距=7，∵2＜7＜8，∴两圆相交．故选B．点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．12．（3分）（2005•梅州）方程x2﹣5x﹣1=0（）A．有两个相等实根B．有两个不等实根C．没有实根D．无法确定考点：根的判别式．分析：根据一元二次方程的根的判别式与0的关系，来确定根的情况．解答：解：∵△=b2﹣4ac=25+4=29＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选B点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．13．（3分）（2005•梅州）一组对边平行，并且对角线互相垂直且相等的四边形是（）A．菱形或矩形B．正方形或等腰梯形C．矩形或等腰梯形D．菱形或直角梯形考点：正方形的判定；等腰梯形的判定．分析：此题主要根据菱形，矩形，正方形等的判定，进行逐个判断．解答：解：根据菱形、矩形、正方形等的判定可知：正方形或等腰梯形的一组对边平行，对角线相等且可以互相垂直．故选B．点评：此题主要考查了学生对判定的掌握情况，学生对这些概念类的知识一定要牢固掌握．这是数学中的基础．14．（3分）（2005•梅州）设a是实数，则|a|﹣a的值（）A．可以是负数B．不可能是负数C．必是正数D．可以是正数也可以是负数考点：绝对值；有理数的减法．专题：压轴题．分析：因为a是实数，所以应根据a≥0或a＜0两种情况去掉绝对值符号，再进行计算．解答：解：（1）a≥0时，|a|﹣a=a﹣a=0；（2）a＜0时，|a|﹣a=﹣a﹣a=﹣2a＞0．故选B．点评：a是实数时，正数、0、负数三种情况都要考虑到，用到了分类讨论的方法．15．（3分）（2005•梅州）由梅州到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：梅州﹣﹣兴宁﹣﹣华城﹣﹣河源﹣﹣惠州﹣﹣东莞﹣﹣广州，那么要为这次列车制作的火车票有（）A．6种B．12种C．21种D．42种考点：列代数式．专题：应用题；压轴题．分析：每两站点都要设火车票，即计算从这七个站点中任取两个可以有多少种取法即可．解答：解：每两站点都要设火车票，所以我们可以发现从梅州出发到那六个地方就要设12种，依此类推，兴宁10种，华城8种，河源6种，后而分别是4种，2种，所以要为这次列车制作的火车票有12+10+8+6+4+2=42种．故选D．点评：这道题学生关键是要联系生活实际，学以致用，学为生活服务．三、解答题（共10小题，满分75分）16．（6分）（2005•梅州）计算：（﹣2）2﹣（）﹣1×+（1﹣）0．考点：实数的运算；有理数的乘方；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．分析：按照实数的运算法则依次计算．考查知识点：二次根式的化简、负指数幂、零指数幂．解答：解：原式=4﹣+1=3．点评：传统的小杂烩计算题．涉及知识：二次根式的化简；负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．17．（6分）（2005•梅州）在“创优”活动中，我市某校开展收集废电池的活动，该校初二（1）班为了估计四月份收集电池的个数，随机抽取了该月某7天收集废旧电池的个数，数据如下：（单位：个）：48，51，53，47，49，50，52．求这七天该班收集废旧电池个数的平均数，并估计四月份（30天计）该班收集废旧电池的个数．考点：算术平均数；用样本估计总体．专题：计算题．分析：要运用求平均数公式：即可求出，然后乘以一月的天数30即为四月份收集的旧电池的个数．解答：解：这7天收集电池的平均数为：（个）∴估计四月份（30天计）该班收集废旧电池的个数=50×30=1500（个）答：这七天收集的废旧电池平均数为50个，四月份该班收集的废电池约1500个．点评：本题考查了平均数的概念和用样本估计总体的应用18．（6分）（2005•梅州）解方程：考点：解分式方程．专题：计算题．分析：本题的最简公分母是x（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．解答：解：方程两边都乘x（x+1），得x2+x2+x=2（x+1）2，解得：x=﹣，检验：当x=﹣时，x（x+1）≠0，∴x=﹣是原方程的解．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．（3）分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．19．（6分）（2005•梅州）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形是等腰三角形．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）考点：作图—复杂作图．专题：作图题．分析：第一种方法：利用30度的角所对的直角边是斜边的一半可作作AB边上的中线；第二种方法：∠CAB=30°，∠B=60°∴作∠CBA的平分线；第三种方法：在CA上取一点D，使CD=CB．解答：解：作法一：作AB边上的中线；作法二：作∠CBA的平分线；作法三：在CA上取一点D，使CD=CB．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质．另本题1、可以作BC边的垂直平分线，交AB于点D，则线段CD将△ABC分成两个等腰三角形2、可以先找到AB边的中点D，则线段CD将△ABC分成两个等腰三角形3、可以以B为圆心，BC长为半径，交BA于点BA与点D，则△BCD就是等腰三角形20．（7分）（2005•梅州）如图，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点．（1）如果AE=CF，则△DEC≌△BFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论．考点：全等三角形的判定；矩形的性质．专题：证明题；开放型．分析：（1）已知了一边AD=BC，和一角（AD∥BC，∠DAC=∠BCA）相等．根据全等三角形的判定AAS、SAS、ASA等，只要符合这些条件的都可以．（2）按照（1）中的条件根据全等三角形的判定进行证明即可．解答：（1）解：AE=CF（OE=OF；DE⊥AC；BF⊥AC；DE∥BF等等）（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∠DCE=∠BAF．又∵AE=CF，∴AC﹣AE=AC﹣CF．∴AF=CE．∴△DEC≌△BAF．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．21．（7分）（2005•梅州）为节约用水，某学生于本学期初制定了详细的用水计划，如果实际比计划每天多用2t水，那么本学期的用水量将会超过2530t；如果实际每天比计划节约2t水，那么本学期用水量将不会超过2200t，若本学期在校时间按110天计算，那么学校每天用水量将控制在什么范围内？考点：一元一次不等式组的应用．专题：应用题．分析：关系式为：①110×（计划+2）＞2530；②110×（计划﹣2）＜2200，根据不等式列不等式组，解不等式组即可求解．解答：解：设学校计划每天用水x吨，依题意可得解不等式①得x+2＞23，即x＞21，解不等式②得x﹣2≤20，即x≤22，∴不等式组的解集21＜x≤22，答：学校的每天用水吨数应控制在21～22吨．点评：解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组．准确的解不等式组是需要掌握的基本能力．22．（8分）（2005•梅州）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5．P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC=x，点P到AB的距离为y．（1）求y与x的函数关系式；（2）试讨论以P为圆心，半径长为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；根据实际问题列一次函数关系式．专题：动点型．分析：（1）根据大直角三角形的面积=两个三角形的面积和进行推导；（2）根据不同的位置关系应满足的数量关系进行分析讨论．解答：解：（1）根据勾股定理得BC=3．用面积关系S△ABC=S△PBC+S△APB，即x+y=6，y=（0＜x＜4）．（2）当x=y，则x=﹣x+，解得：x=．∴当0＜x＜时，圆P与AB所在直线相交；当x=时，圆P与AB所在直线相切；当＜x＜4时，圆P与AB所在直线相离．点评：能够根据不同的方法表示同一个图形的面积建立函数关系式；根据不同的位置关系应满足的数量关系列不等式求解．23．（8分）（2005•梅州）东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：卖出价格x（元/件）50515253…销售量p（件）500490480470…（1）以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，把表中的数据，在图中的直角坐标系中描出相应的点，观察连接各点所得的图形，判断p与x的函数关系式；（2）如果这种运动服的买入价为每件40元，试求销售利润y（元）与卖出价格x（元/件）的函数关系式（销售利润=销售收入﹣买入支出）；（3）在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？考点：二次函数的应用．专题：压轴题；图表型．分析：（1）易知是一次函数关系，由其中两点可求关系式；（2）根据利润的计算方法求关系式；（3）运用函数的性质求最值．解答：解：（1）p与x成一次函数关系．设函数关系式为p=kx+b，则解得：k=﹣10，b=1000，∴p=﹣10x+1000经检验可知：当x=52，p=480，当x=53，p=470时也适合这一关系式∴所求的函数关系为p=﹣10x+1000；（2）依题意得：y=px﹣40p=（﹣10x+1000）x﹣40（﹣10x+1000）∴y=﹣10x2+1400x﹣40000；（3）由y=﹣10x2+1400x﹣40000可知，当x=﹣=70时，y有最大值∴卖出价格为70元时，能获得最大利润．点评：（1）判断关系式后不要忘了验证；（2）求最值问题需先求函数表达式，再根据函数性质求解．24．（10分）（2005•梅州）如图，已知C、D是双曲线y=在第一象限分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点．设C（x1，y1）、D（x2，y2），连接OC、OD（O是坐标有点），若∠BOC=∠AOD=α，且tanα=，OC=．（1）求C、D的坐标和m的值；（2）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明，若不存在，说明理由．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题；开放型．分析：（1）过点C作CG⊥x轴于G，在直角△OCG中，已知tanα=，OC=，就可以求出CG，OQ的长，就得到C点的坐标．根据待定系数法得到反比例函数的解析式．过D作DH⊥x轴于H，则DH=y2，OH=x2，在Rt△ODH中，tanα=，∴，即y2=3x2，由x2y2=3解得DH的长，进而求出OH，得到D点的坐标．（2）双曲线上存在点P，使得S△POC=S△POD，这个点就是∠COD的平分线与双曲线的交点，易证△POC≌△POD，则S△POC=S△POD解答：解：（1）过点C作CG⊥x轴于G，则CG=y1，OG=x1，在Rt△OCG中，∠GCO=∠BOC=α，∵tanα=，∴，即y1=3x1，又∵OC=，∴x12+y12=10，即x12+（3x1）2=10，解得：x1=1或x1=﹣1（不合题意舍去）∴x1=1，y1=3，∴点C的坐标为C（1，3）．又点C在双曲线上，可得：m=3，过D作DH⊥x轴于H，则DH=y2，OH=x2在Rt△ODH中，tanα=，∴，即x2=3y2，又∵x2y2=3，∴y2=1或y2=﹣1（不合舍去），∴x2=