高三数学一轮复习-空间向量与立体几何训练Ⅲ卷（人教版）

一轮复习必刷空间向量与立体几何专题训练ni卷

高三一轮复习

注意事项：

i.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1.在如图所示的几何体中，平面PDC,△PDC是等腰直角三角形，四边形ABCD

为平行四边形，且PD=OC=AD=2,则点C到平面的距离为（）.

(J

2底

A.1B.V2C.6

2.正三棱柱ABC-A4G中，=为BC的中点，M为棱4G上的动点,

MNMO

N为棱期上的动点，且嬴=加，则线段"N长度的取值范围为（）

B.忤手

D.[6,司

3.已知向量。=（-1,2,1）,6=（1,1,-1）,则以下说法不正确的是（）

A.a.LbB.|«|>|^|C.cos（a+b,a）=D.|a+/?|=|a-Z?|

4.已知A（l,-2,1）,B（l,-5,4）,C（2,3,4）,则AC在AB上的投影向量为（）

A.（O,-l,l）B.（O,l,-l）C.（0,72,-72）D.（0,-"亚）

5.己知两向量1=（2,0,3），1=（-3,0,2），则以向量［，［为方向向量的直线4，4的

夹角为（）

A.90°B.45°C.60°D.30°

6.已知平面。内两向量@=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面a

..

..

..

..

..

的法向重，则m,n的值分别为（）OO

A.-1,2B.1,-2..

..

C.1,2D.-1,-2..

..

..

7.己知点4（一2,3,0）,3（1,3,2）,AD=3AB，则点。的坐标为（）..

翔

郑

A.（-11,3,-6）B.（9,0,6）C.（7,3,6）D.（-1,15,6）..

..

..

..

8.如图所示的多面体，底面ABCD为长方形，DF2平面ABCD,DF//CQ〃BE,AB=4,..

..

..

..

BC=2,CQ=3,BE=l,则3尸与平面AEC7所成角正弦值为（）..

OO

.※.

.※.

.鼠.

.※.

.※.

.题.

※

※

1

出

.※.

.※.

.会.

A/TTD.叵.※.

2211.※.

区

※

O※O

二、多选题.堞.

.※.

※

9.如图，长方体ABC。一AAGA中，AB=BC=2,A4,=布，点尸是底面所..

.W.

.※.

※

塌

在平面内的动点，点R是线段A2的中点，点Q是直线4月上的动点，下列结论正确的期

邮

※

.

.※.

有（）..

.氐.

..

.※.

.※.

..

鹏.

..

.派.

O※O

..

..

..

..

..

..

氐

宅

..

A.的面积的最小值是2班..

..

..

..

B.四面体A-PQG的体积为定值..

..

..

..

C.若2P与C|A所成角为则动点尸的轨迹是抛物线OO

6

..

D.若点尸在直线BD上，则PR与平面GB。所成角的最大值为gTT..

..

试卷第2页，共4页

UUH

10.已知色,%分别为平面a，夕的法向量(a,4不重合)，V为直线/的方向向量，

那么下列选项中，正确的是()

A.v_L“o〃/aB.njln10aHl3

C.u_L40/_LaD.±«2<^>6Z±/?

11.已知正方体ABC。-A与GA，棱长为1,£1分别为棱A氏CG的中点，贝！J()

A.直线AR与直线E尸共面B.A.E1AF

c.直线与直线3月的所成角为60°D.三棱锥G-AD尸的体积为，

三、填空题

12.已知正四面体ABCD的棱长为6,P是四面体ABCD外接球的球面上任意一点，则

PAPB的取值范围为.

13.在下列命题中：

①若向量共线，则向量与所在的直线平行；

②若向量a,6所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；

③若三个向量a,b,c两两共面，则向量a,6,c不一定共面；

④已知空间的三个向量a,4c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数％Xz使得

p-xa+yb+zc.

其中正确命题的是.

ULIUUUU1LLL1U

14.已知O为坐标原点,向量04=(1,2,3),OB=(2,1,2),O尸=(1,1,2),点Q在直线

OP上运动，则QA-QB最小值为.

四、解答题

15.在四棱柱ABCD-A'B'C-'中，底面为矩形，化简下列各式.

D'::

OO

..

..

..

..

..

三

郑

..

..

..

（1）AB+BB-DA+DD-BC-..

..

..

..

⑵AC,-AC+AD-AA-..

..

OO

16.如图，已知空间四边形ABC。，连接AC,BD,E,F,G分别是2C,CD,DB

.※.

.※.

的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.

.鼠.

.※.

.※.

.题.

※

※

1

出

.※.

.※.

.会.

.※.

.※.

区

※

O※O

.堞.

.※.

(1)AB+BC-DC;.※.

.W.

(2)AB-DG-CE..※.

※

塌

期

17.如图，E,尸分别是长方体的棱AB,C。的中点、化简下列表达式,邮

※

..

.※.

.氐.

..

.※.

.※.

..

鹏.

..

.派.

O※O

..

..

..

..

..

..

氐

宅

..

..

（3）AB-AD+B'D'^（4）AB+CF...

..

..

..

..

..

..

OO

..

..

..

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】建立空间直角坐标系，求得平面朋8的一个法向量，根据空间距离的向量求法,

解得答案.

【详解】如图，以。为原点，OCQEZM分别为x,yz轴建立空间直角坐标系

则4（0,0,2）,尸（0,2,0）,C（2,0,0）,B（2,0,2）,

AB=（2,0,0）,PA=（0,-2,2）,CB=（0,0,2）.

设平面PAB的一个法向量为。=（尤,y,z）,

n-AB=012x=0

则由n-PA=0^[-2〉+2z=0令y=l,得z=l,故〃=（o,l,l）,

\n'CB\2r-

则点C到平面PAB的距离为d==与=也,

|»|四

故选：B.

2.B

【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN的表达

式，利用函数求最值即可.

【详解】因为正三棱柱ABC-44C中，。为BC的中点，取用G中点。，连接。0,

如图，以。为原点，OCOA。。为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

答案第1页，共11页

//

则C（O,O,O）,A（O,后0），411,0,⑹,C（1,O,⑹,

因为M是棱耳£上一动点，设Af（0,0,若），且

所以OM.OA=（a,0,』＞（0,若,0）=0,则CM1.OM,

MNMO

因为ONLA”,且——二——所以在直角三角形OMA中可得：OMN-AMO

MOMA

仁7,于是令f=J/+6je［疝口,

所以==又符合函数y=f-E为增增符合，所以在

J/+6，rL」t

fe［而V7］上为增函数,

所以当:"时，［-力=号卡=与,即线段MN长度的最小值为手，

当f=g时，=币二=巨,即线段MN长度的最大值为生且，

I3a677

故选：B.

【点睛】关键点睛：1.找到400,再利用函数单调性求出最值.

2.建系，设出动点M（”,0,若），利用空间向量法求出ON,AM,再结合线线关系求线段

MN的表达式，利用函数求最值即可.

3.C

【分析】可根据已知的。和6的坐标，通过计算向量数量积、向量的模，即可做出判断.

【详解】因为向量d=（T2,l）,&=（1,1,-1）,所以。0=-lxl+2xl+lx（-l）=O,故aLb,

答案第2页，共11页

所以选项A正确；|a|=7(-D2+22+l2=76,W=#+F+(-Ip=瓜所以同>忖，故选

.7.(a+b\a6{6<3

项B正确；。+6=(0,3,0),所以c°s〈a+b，a〉=］^=晨后=故选项C错误；

<7-/?=(-2,1,2),所以卜+闿=3,|a-Z?|=3,故,+.=,一〃，所以选项D正确.

故选：C.

4.B

【分析】直接根据空间向量的投影计算公式求出AC在AB上的投影，进行计算AC在A3上

的投影向量.

【详解】因为AC=(1,5,3),AB=(0,-3,3),所以ACAB=0+5x(—3)+3x3=—6.

I.1r-AC-AB—6FT

因为网=30,所以网=*=-0

1

故A。在AB上的投影向量为牛48=-£45=(0』,-1)

3v23

故选：B

5.A

【分析】利用空间向量的坐标运算和空间向量的夹角余弦的坐标表示，即可求出直线4,4

的夹角.

【详解】解：由题可知,

匕=(2,0,3)，v2=(-3,0,2).

-»->

匕“22x(-3)+0+3x2

.3混=0

.,•以向量［，［为方向向量的直线4，4的夹角为90。.

故选：A.

6.A

【分析】求出向量c的坐标后，利用向量c是平面。的法向量，得cJL〃,c_Lb,利用坐标运

算列出方程组，求解即可.

【详解】c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-ri)+(4,-4,1)

答案第3页，共11页

=（"+4,勿+2刀一4,加一7?+1）,

\c-a=O3m+〃+1=0

由c为平面a的法向量，得7八,即

=0m+5儿一9=0'

故选：A.

7.C

【分析】设D（x,y,z）,根据AO=3A8得到方程组，求出x=7,y=3,z=6,得到答案.

【详解】设。（x,y,z）,则AD=（x+2,y-3,z）,AB=（3,0,2）,

因为AO=3A8，故（x+2,y-3,z）=3（3,0,2）,

即x+2=9,y-3=0,z=6,

解得x=7,y=3,z=6,故点D的坐标为（7,3,6）.

故选：C

8.B

【分析】适当建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面AEC/的法向量"，并利用

AFln，求出点尸坐标，最后利用线面角公式求出答案.

【详解】因为DR工平面ABCD,AD,CDu平面ABCD,

所以DELAD,DELCD,又ABC。为长方形，所以ADLDC,

所以DADC。尸两两垂直，

以。为原点，分别以DADC。产所在直线为x轴，＞轴，z轴建

立空间直角坐标系D-xyz,

因为AB=4,BC=2,CG=3,8E=1,

答案第4页，共11页

则。（O,O,O）,3（2,4,O）,A（2,O,O）,C（O,4,O）,E（2,4』）C（O,4,3）,.•.招=（-2,4,3）,

AE=（0,4,1）,设平面AECtF的一个法向量为A=（x,y,z）,

n-AE=0/月/4y+z=0

n-ACt=0j-2x+4y+3z=0

设厂(0,0,z0),则4F=(—2,0,z°),又故AF-a=—2+z0=0,z0=2.

故—0,0,2),跖=(-2,T,2).设防与平面AEC尸所成角为凡于是，

.八BF-n\1V22

siny=-----

BF

故选：B.

9.ABD

【分析】对于A选项.可根据图中几何特征进行判断；对于B可根据等体积法进行判断；对

于CD选项，建立如图建立以A为坐标原点，AB所在直线为无轴，4。所在直线为y轴，

为z轴的空间直角坐标系，找到各点通过向量进行计算.

【详解】对于A.由图可知点。与与重合时，点0到线段的距离最短，此时△Q8。的面

积的最小，S^QBD=^XV6X2A/2=2A/3,故A正确；

对于B.四面体R-PQC的体积等价于四面体尸-QQG的体积，其中点尸到平面RQG距

离为定值后，而，RQG的面积也是定值2,%=J_x2x#=2且

r-qvy33

故B正确；

对于C.如图建立以A为坐标原点，AB所在直线为彳轴，所在直线为y轴，&A为z轴的

空间直角坐标系.

答案第5页，共11页

尸(x,y,O),(0,2,76),D、P=(x,y-2,-扃

A(0,0,0),GQ,2,屈),AC、=Q,2#)

7i|2x+2y-4-6|^/3

COS—=/」---=——

6^x2+(y-2)2+6xV142

整理可得：13x2+13y2+80x-4y-16AT+10=0,显然动点尸的轨迹不是抛物线

故C错误.

对于D.P(x,2-x,0),7?(1,0,4)，RP=(尤-1,2-尤,-半)，其中xe[0,2]

G(2,2,®8(2,0,0),£>(0,2,0),3G=(0,2,厢，Dq=(2,0,76)

・BC]=2y+y/6z=0

设平面C]BD的法向量为〃=(%,y,z),则<

n.g=2x+#z=0

令z=，贝!jx=3,y=3,所以〃=(3,3,—A/^)

PR与平面C{BD所成角的正弦为:

.\n-RP\|3x-3+6-3x+3|6

sina=-i—n---r=-------/=-------j

耶q@X/_2X+1+X2-4x+4+；kx-jJ+2

当彳二。时，sina取最大值，此时PR与平面C，。所成角的最大，sine=#

yr

故PR与平面GBD所成角的最大值为g，D正确.

故选:ABD

【点睛】方法点睛:

空间直角坐标系中未知点的设立方式(以本题D选项中尸点为例):

答案第6页，共11页

①首先假设未知点坐标为尸（龙,XZ）

②确定未知点所在直线,根据向量共线条件列式BP=ABD

③找出直线的方向向量,将未知点的坐标值全部用4表示出来即可.

10.BD

【分析】根据向量关系,结合空间位置关系判断即可.

【详解】解：对于A,C选项，v_l_4o〃/tz或/ua,故A错误，C错误;

对于B选项，a,夕不重合，且耳//“2,故故B正确;

对于D选项，±n2<=><2±,故正确.

故选：BD

11.BD

【分析】如图，以。为原点，以D4,oc,r>2所在直线分别为x,y,z建立空间直角坐标系,

对于A,利用面面平行性质结合平行公理分析判断，对于B,通过计算AESb进行判断，

对于C,利用向量的夹角公式求解，对于D,利用％,置8=匕与8求解.

【详解】如图，以。为原点，以所在直线分别为x,y,z建立空间直角坐标系,

则

£＞（0,0,0）,A（i,0,0）,B（1,1,O）,C（O,1,O）,A（O,o,I）,A（1,0,1）,4（I,i,I）,G（o,i,i）,

因为平面ABBX\//平面DCCR,平面AEFDt0平

面A网A】=AE,平面DCCR平面A网A=D.F,

答案第7页，共11页

所以AE〃口F,

因为AE〃GA，所以GOI〃RF,矛盾，所以直线AQ与直线所不共面，所以A错误;

对于B,因为AE=[o,g,-l],AF=[-l』,£|,

所以AES尸=0+：-；=0,所以AELAP,所以4E_LA产，所以B正确，

对于C,设直线AE与直线所的所成角为凡因为AE=（O,；,-尸=11,0,；

\E-BF

所以cos0=|cos（4及2P）|=