第03讲 等腰三角形的性质与判定综合（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）

第03讲等腰三角形的性质与判定综合1.了解等腰三角形的概念.2.探索并证明等腰三角形的性质定理.3.探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等.4.结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。知识点1等腰三角形的概念与性质等腰三角形概念有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．2.等腰三角形的性质如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．知识点2等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．【题型1：等腰三角形的性质】【典例1】（东莞市）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【变式1-1】（陆川县期末）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，则该三角形的周长是（）A．18cm B．19cm C．23cm D．19cm或23cm【变式1-2】（2023•花溪区模拟）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝3，则CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．3【变式1-3】（2023•红塔区模拟）已知等腰三角形的周长为20，一边长为4，则这个等腰三角形的底边长为（）A．4 B．8 C．12 D．4或12【典例2】（崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC＝76°，则∠ABC＝（）A．70° B．71° C．74° D．76°【变式2-1】（祥云县期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．13【变式2-2】（浉河区期末）如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，连接BD，则△BDC的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．13【典例3】（河西区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．【变式3-1】（2023•思明区校级二模）如图，AB∥CD，DE＝EC，∠B＝35°，则∠BED＝（）A．70° B．110° C．130° D．140°【变式3-2】（2023•城关区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC＝（）A．36° B．54° C．72° D．108°【变式3-3】（2023春•舞钢市期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝BD＝CD，则∠BAC的度数是（）A．90° B．80° C．70° D．60°【典例4】（2022秋•长沙期中）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海岛B到灯塔C的距离；（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？【变式4】（2022秋•南岗区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求从海岛B到灯塔C的距离．【题型2：等腰三角形的判定】【典例5】（河北模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式5-1】（2023春•茂名期中）如图，BM是△ABC的角平分线，AB＝AC，∠A＝36°，则图中有（）等腰三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．无法确定【变式5-2】（2022秋•张北县月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于点F，交AC于点E，则图中等腰三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-3】（2022秋•千山区期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【典例6】（蒙阴县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【变式6-1】（2023春•碑林区校级期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点M、点N是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数是（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【变式6-2】（2022秋•鼓楼区期末）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【题型3：等腰三角形的判定与性质】【典例7】（苍溪县期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由．（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长．【变式7-1】（2023•莲都区一模）如图，△ABC中，CD是角平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE＝CE；（2）若∠AED＝64°，求∠DCB的度数．【变式7-2】（2023•瓯海区模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，BE平分∠DEC．（1）求证：BC＝CE．（2）若CE＝AB，EA＝EB，求∠C的度数．【变式7-3】（2022春•雁塔区校级期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若AB＝5，BC＝6，求DE的长．1．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（）A．70° B．100° C．110° D．140°2．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．32° B．58° C．74° D．75°3．（2023•河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（）A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150°4．（2023•河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23° B．25° C．27° D．30°6．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39° B．40° C．49° D．51°7．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．8．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．1．（2023•武威一模）一个等腰三角形的顶角是50°，则它的底角的大小是（）A．50° B．65° C．100° D．130°2．（2023春•广西期末）等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于（）A．22 B．29 C．37 D．29或373．（2022秋•防城港期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，下列结论不一定正确的是（）A．AD⊥BC B．∠B＝∠C C．AD平分∠BAC D．AB＝BC4．（2023•碑林区一模）已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或80°或65°5．（2022秋•天元区校级期末）等腰三角形的周长为20cm，其中一边长为5cm，则其腰长为（）A．5cm B．5cm或7.5cm C．7.5cm D．以上都不对6．（2023•蚌埠模拟）在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有几个（）A．8 B．9 C．10 D．117．（2022秋•巴州区期末）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．（2023•西湖区校级二模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是△ABC的平分线，DE∥BC，则∠BDE的度数为（）A．20° B．35° C．40° D．70°9．（2022秋•辉县市校级期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点．D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；④△ADE的周长＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤10．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为55度．11．（2023•新疆）如图，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝°．12．（2023•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为4．13．（2023•沙依巴克区模拟）已知：一等腰三角形的两边长x、y满足方程组，则此等腰三角形的周长为．14．（2022秋•岳阳期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度数．15．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠A