四川省成都2024届高三年级下册高考模拟（二）数学（理科）试题（含答案解析）

四川省成都外国语学校2024届高三下学期高考模拟（二）数

学（理科）试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4二{-2,-1,0,1,2}"={小2-4<0},则()

A.{-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1}D.{-2,-1,0,1,2}

2.已知复数z满足z（2+i）=3-i,其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）

A.V2B.-1C.1D."

3.已知平面向量G=。,机），=（-2,4）,S.a//b>则加=（）

A.2B.gC.—D.—2

22

不_1,尤"，

4.已知函数2.若/'（〃z）=3,则加的值为（）

x2,x>0,

A.V3B.2C.9D.2或9

5.如下图，在边长为。的正方形内有不规则图形O.向正方形内随机撒豆子，若撒在图

形。内和正方形内的豆子数分别为加，n,则图形O面积的估计值为（）

6.已知抛物线r=2PMp>0）上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和28，则

P=()

A.2B.2或4C.1或2D.1

7.设命题pH”?eR,使/■（工）=（爪一l）x'/T»>+3是基函数，且在（0,+司上单调递减；命

题4：曾«2,+8）,2*>/,则下列命题为真的是（）

A.pB.（rp）八qC.PMD.（r"）vq

8.已知数列｛%｝满足2a,+「2=%且％=3,则出023=（）

试卷第1页，共6页

4

A.3B.C.-2D.

23

9.设函数八%)为偶函数，且当xNO时，/(、)="-cos%,则不等式/(2x—1)—/(x—2)>0

的解集为()

A.(-1,1)B.(―%―3)

C.(-3,+oo)D.(l,+oo)u(-oo,-l)

10.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的J，纵坐

<26；4

标不变，得到函数g(x)的图象.若g(x)在(0,小上有且仅有3个极值点，则。的取值范

围为()

(5111<5J(111<11:

A-["JB.匕臼cA.D.匕，7_

22

11.设片，鸟是双曲线C：十方=1(。>0,6>0)的左、右焦点，以线段月鸟为直径

的圆与直线云-即=0在第一象限交于点A,若tan//居。=2,则双曲线C的离心率为

12.如图，已知在长方体中，/5=3,/。=4,/4=5,点£为棱cq上

的一个动点，平面5E2与棱44交于尸，则下列说法正确的是()

试卷第2页，共6页

(1)三棱锥B「BED,的体积为20

3

(2)直线耳£与平面B3QQ所成角正弦值的最大值为，

(3)存在唯一的点E,使得平面8瓦%且C£=5

(4)存在唯一的点E,使截面四边形BE，厂的周长取得最小值2万

A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)

二、填空题

13.cos15°cos75°=・

14.若的展开式中二项式系数之和为32,则展开式中的含x?的项的系数

为.

15.若函数尤+1存在极值点，则实数。的取值范围为.

16.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名

字定义的函数〃x)=[x]称为高斯函数，其中国表示不超过X的最大整数，如

[2.3]=2,[-1.9]=-2,已知数列｛4｝满足q=1,出=5,an+2+4an=5an+l,若

foino]

b“=[log],S„为数列——的前n项和，则[S]=_________.

A+14+iJ2025

三、解答题

17.《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了

解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千

人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.

试卷第3页，共6页

北方南方

897378

2108*6

(1)若将被污损的数字视为0〜9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观

众平均人数的概率；

(2)该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗

词的平均时间了(单位：小时)与年龄x(单位：岁)，并制作了对照表(如下表所示);

年龄X20304050

每周学习诗词的平均时间y33.53.54

由表中数据分析，尤与了呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的

观众每周学习诗词的平均时间.

附：回归方程，=以+乐中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

nn__

一可(%一为£%%一〃孙

b=々匕-----------=月--------,a=)=

•吃一寸耳片一凉

n=iM

18.在①2csinBcos/=6(sin/cos8+cos/sinB)；

_,,bsinB+csinC-asmA2.,,,_

②sir8+sin2c+cos2/-l=sin(4+B)sin(/+C)；③-------------：--------=7sin4；这二

csinSV3

个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.

在。8c中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

⑴求A；

(2)若“8C的面积为166，。为/C的中点，求AD的最小值.

19.已知球内接正四棱锥尸-/BCD的高为3,/C,8C相交于。，球的表面积为掾，

若E为PC中点.

⑴求证：OE〃平面P4D；

(2)求二面角BE-C的余弦值.

试卷第4页，共6页

20.已知椭圆C：，■+(=l(a>6>0)的离心率为孝，且过点

(1)求C的方程：

(2)点M,N在C上，且4Ml/N,ADLMN,。为垂足.证明：存在定点0,使

得|。。|为定值.

21.已知函数/口)=X(0¥+11»-2)£々)=》11®-》-。，

⑴若〃尤)与g(x)有相同的单调区间，求实数a的值；

⑵若方程/(x)=3g(x)+x+3a-l有两个不同的实根,证明：>ea.

x=2+3cosa

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为.(。为参数)，直

y=73sina

线/的参数方程为卜=2+病G为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴,

[y=t

取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为02cos20=2.

⑴求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

⑵己知点尸的极坐标为(2,2兀)，直线/与曲线£相交于£,F两点,直线/与曲线相

交于4,3两点，且向+/同=川£司，求实数机的值.

23.已知函数/'(x)=|x+2]-a|x-l|,aeR.

⑴当。=2时，求不等式/(x)V0的解集；

试卷第5页，共6页

⑵当〃=-!时，函数/(x)的最小值为加，若。，b,。均为正数，且/+〃+4。2=m，

求a+b+2c的最大值.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】求出集合5,利用交集的定义可求得集合

【详解】因为八{小2_4<0}={%|—2<1<2},/={-2,-1,0,1,2},

所以4nB={—1,0,1}.

故选：A

2.B

【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得z=l-i,结合复数的概念，即可求解.

【详解】由复数z(2+i)=3-i,可得2=汜=仁当*=一=1-i,

'72+1(2+1乂2-1)5

所以复数z的虚部是-1.

故选：B.

3.D

【分析】利用平面向量平行的坐标运算公式即可.

【详解】因为2=(1,冽)，万=(-2,4),且之〃3，所以1义4一(—2)x加=0,

解得m=-2,所以D正确.

故选：D.

4.C

C「1

2加一1=37□

【分析】由题可得n或加一=3,即求.

［加40［优>o

2%-l,x<0

【详解】・・,函数/(%)=1,/(加)=3,

x^,x>0

c［1

2"_1=37□

.・・或冽=3,

加"°加>0

解得m=9.

故选：C.

5.C

【分析】根据落到不规则图形。和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的

比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值.

答案第1页，共18页

【详解】解：•••由题意知在正方形中随机投掷"个点，则〃个点中有根个点落入。中,

.••不规则图形。的面积：正方形的面积=机：〃，

•••不规则图形O的面积=-X正方形的面积

n

mma2

——xu2=------.

nn

故选：c.

6.B

\yM\=2s[2

【解析】由题意，得到p,结合抛物线方程，即可求出结果.

XM+—=3

【详解】因为抛物线/=2/5>0)上一点”到其准线及对称轴的距离分别为3和2a，

=2

\yM\=2y/2Kl^2(

所以即p,代入抛物线方程可得8=2。3-4

x-+2=3%=3-4I2

整理得p?-6p+8=0,解得0=2或p=4.

故选：B.

7.A

【分析】根据特称命题与全称命题判断命题P，4的真假，从而可得“或”、“且"、“非”命题的

真假得结论.

【详解】对于命题P,当加=2时，函数〃x)=x\是幕函数，且在(0,+为上单调递减，

故命题。为真命题；

对于命题0,当x=3时，23<32,不满足祗€(2,+8),2工>/,故命题9为假命题.

所以5人(「《)”为真命题，”(/)人q”为假命题，“PM”为假命题，”(rp)vg”为假命题.

故选：A.

8.B

【分析】由已知可得数列递推式。用=/一,求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求

得答案.

【详解】由题意数列｛%｝满足2。角-2=%-。用，则。用=占，

答案第2页，共18页

221242

故由%=3,得%=。=一3=万！=54=1厂尸5=二3,

z—z—

23

由此可知数列｛〃〃｝的周期为4,

,,1

故。2023=^4x505+3=“3=万，

故选：B

9.D

【解析】利用导数判断函数在［0,+。）的单调性，然后根据奇偶性判断/（刈在（-甩0］的单调

性，再利用单调性与奇偶性结合求解不等式.

【详解】当时，f｛x）=ex-cosx,所以/'（x）=e*+sinx,因为所以即

r（x）>l+sinx>0,所以函数〃x）在［0,+e）上单调递增，又因为函数/*）为R上的偶函数，

所以函数/⑴在（-8,0］上单调递减，在［0,+司上单调递增，则不等式〃2xT）-/。-2）>0,

等价于所以x<T或x>l.

故选：D.

【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其

单调性脱去函数的符号“/"，转化为解不等式（组）的问题，若为偶函数，则

f（-x）=/（x）=/（|x|）.

10.C

【分析】先根据题意得出函数ga）=sin［25-5，当o<x<g时，一｝<2妙-2〈竺-5,

要使g（x）在（0方）上有且仅有3个极值点，需满足手〈等-1wg,解不等式即可.

【详解】由题可知，g（x）=sinf2®x-^,当0<X<g时，-y<2®x-y.

I36636

\兀）L-口/T7士。人+TZ/+上比：［、［5兀2①兀兀7兀QJ/日4/11

因为g（x）在上有且仅有3个极值点，所以万〈口—一万，解得4<。4彳，

所以。的取值范围为：（4,?.

故选：C.

11.A

【分析】首先推得与为等腰三角形，再由三角形的内角和定理和三角函数的诱导公式

答案第3页，共18页

和二倍角的正切公式，结合渐近线的斜率和离心率公式，计算可得所求值.

【详解】由题意可得|4。1=1l=C,

即有△ZO耳为等腰三角形，

设ZOAF2=ZAF2O=a,

则ZAOF2=7v-2a,

f/八、入2tana2x24

所以tan/ZOg=tan(〃-2a)=-tan2a=——-----=———=-

tana-\2-13

即为2=9

a3

故选：A

【点睛】关键点点睛：由题意得出居为等腰三角形，在三角形中利用三角函数，建立

关于6的方程，是求出离心率的关键，属于中档题.

12.D

【分析】对（1）,根据三棱锥等体积转换可得/ig=%的a求解判断；对（2）,点E到平

面B3QD的距离等于点。到平面33QD的距离，当乌后最小时即当点E与点G重合时，此

时直线4E与平面33QQ所成角正弦值的最大，求解判断；对（3）,若（3）正确，可知点E

与点G重合，已找出矛盾；对（4）,四边形8即尸为平行四边形，周长取得最小值即3E+EQ

最小时，将平面BCG4与将平面。eq。放在同一平面内，求得结果.

17

【详解】对于（1）,如图过点C作2。垂线，垂足为易知=

在长方体中，23］，平面48C。，CA/u平面/BCD,所以881_LCM,又CMLBD,

BDcBB、=B,BDBqu平面2。〃百，所以平面8。2月，

答案第4页，共18页

CC[/IBB,,CC,<Z平面BDDE,BBtc平面BDD、B、,

所以CC"/平面

所以点E到平面平面BDR与的距离等于点C到平面2。口4的距离，即为|阿|,

三棱锥B}-BED,的体积为VBI_BEDI=/一四4=§S.BB\D''=§x5x5X5x—=10,

故（1）错误；

对于（2）,••・。。1//平面3片。。，所以点E到平面3BQQ的距离等于点C到平面B3QQ的

12

距离，距离为|MC|=不，

所以当月后最小时即当点E与点G重合时，

12

此时直线与£与平面ABQQ所成角的正弦值最大，最大值为豆_。，故（2）正确；

T-5

对于（3）,若CE=5,可知点E与点G重合，又因为。C〃D£,易知耳。与DC不垂直,

故片。与，G不垂直，"D与平面不垂直，故（3）错误；

对于（4）,四边形8助尸的周长=2（8E+£Dj,周长取得最小值即（3£+£〃）最小，

将平面BCC.B,与将平面DCCR放在同一平面内，可知（BE+ED）最小值为月斤=用,

所以截面四边形尸的周长取得最小值2万，故（4）正确.

综上，说法正确的有（2）（4）.

故选：D.

【点睛】思路点睛：对（1）利用三棱锥等体积转换求解判断，对（2）根据CCJ/平面3BQQ,

所以点E到平面班的距离等于点C到平面8BQQ的距离，当耳£最小时，直线4E与平

答案第5页，共18页

面班QQ所成角正弦值的最大，判断求解，对(3)利用反证法判断，对(4)四边形AEDL

的周长最小即BE+E，最小时，将平面8CG4与将平面DCG2放在同一平面内，求解即可.

13.-/0.25

4

【分析】利用诱导公式和倍角公式求解.

【详解】cos15°cos75°=cos15°cos(90°-15°)=cos15°sin15°=—sin30°=—.

v'24

故答案为：—

4

14.270

【分析】根据展开式的二项式系数之和为2"=32,求得〃=5,然后利用通项公式求解.

【详解】由[展开式的二项式系数之和为丁=32,解得〃=5,

所以]3x-£j5展开式的通项公式为4M=C；.(3x)J=(-l)r-35-r-C；,x5^r,

3

令5—r=2,解得r=2,

2

所以含V项的系数为3?xC；=270.

故答案为：270.

15.(-oo,-l)u(l,+oo)

【分析】求导，根据题意知方程/'(x)=0有两个不等的实根，可得出A>0,从而得解.

【详解】因为=-ad+x+l,可得/''(x)=x2-2ax+l,

因为函数〃x)存在极值点，所以/'(x)=0有两不等实根，

贝！14=4/-4>0,解得。<-1或。>1,

所以。的取值范围是(f,T)u(l,+8).

故答案为：(-»,-l)u(l,+00).

16.2025

【分析】由4+2+4%=54+1变形为。"+2-。"+]=4(a„+1-«„),得到数列｛。用-q,｝是等比数列，

从而得到。用-。“=4",再利用累加法得到。用，从而，=[log?%]=2”，再利用裂项相消法

答案第6页，共18页

求解.

【详解】解：由％+2+4%=50“+1得。"+2-。“+1=4（°“+1-。”），又出一%=5-1=4,

所以数列｛%“-%｝是以4为首项和公比的等比数列,故a„+l-an=4",

4〃+i—1

由累力口法得4+1=(。〃+1_〃〃)+(%—an-\)-1-----F(〃2_4)+4=4〃+4〃TH-----1-4+1=——-——

r4"+i_1

所以“二［10g2%+l］=10g21—，

4〃+i_i

+1,,+1

10g2^^=log2(4"-1)-log23<log24-l=2帆1，

4W+1-1(4一1)4〃

J—24"=4,

Xlog2--一>log2--二唾2bn=2n，

人810881088108“皿A1)

令=------g=-----=——7--------=2027-----------,

“也+ib„-bn+l2n•(2n+2)?bn+X)

代入”=2025得［邑。25］=2027x(1-，］=2025.

kZU2o)

故答案为：2025

3

17.(l)y

⑵j=0.03x+2.45;4.25小时

【分析】（1）求出两组数据的平均数，推出x的范围，然后求解概率.

（2）求出样本中心坐标，求出回归直线的斜率以及截距，然后求解即可.

【详解】(1)设污损的数字为x,由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得

78+79+82+81+8073+77+78+86+80+x

--------------------------->-------------------------------

55

=>x<6,Bpx=0,1,2,3,4,5

「63

:.P=­=~；

105

(2)元=；(20+30+40+50)=35,歹=；(3+3.5+3.5+4)=3.5,

4xy=490,

答案第7页，共18页

44

又£x》=20x3+30x3.5+40x3.5+50x4=505,^x,2=202+302+402+502=5400,

i=li=l

505-4903

/.b=7-0.03,

5400-4x352

6=3.5—0.03x35=2.45,

y=0.03x+2.45,

1.％=60时,y=4.25.

答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时.

18.(1)条件选择见解析，4=?

(2)4亚

【分析】(1)选①：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦化简求解；选②：利用平方关系

结合正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；选③：利用正弦定理角化边得cos/=*sin/

即可求解；

(2)由面积得6c=64,结合余弦定理和基本不等式求最值.

【详解】(1)若选择①：2csinBcos/=6(sin/cosB+cos/sin5),

由正弦定理可得2sinCsin3cos/=sinBsin(/+B)=sinBsinC,

因C£(0,兀)，台£(0,兀),故sinCwO,sinB^O,

1Jr

则有cos4=j,因4E(0,兀)，故4=4.

若选择②：sin25+sin2C+cos2A-l=sin(A+B)sin(A+C),

则sin2B+sin2C-sin2A=sin(4+3)sin(Z+C)=sinCsinZ,

由正弦定理可得从+°2一/=儿，

b2+c2-a11

故cosA=

2bc2

因4w(0,7i)，故Z=g

bsinB+csinC-asxxxA2

若选择③sinA•

csinB

b1+c2-a21

由正弦定理可得,sin/,

2bc

cosN=qsin/,即tan/二行，

再由余弦定理得,

答案第8页，共18页

jr

:AE(0,71),A=—.

(2)S=—cbsmA=16A/3,be=64,

△•/AiBOLC2—-3/

在三角形5CD中,BD2=BA2+AD2-2BA-AD•cosA

=c2+-———cb>2.c2--———cb=^—cb=32,

42\422

当且仅当c=-=4V2时取等号，

2

二3。的最小值为4a-

19.(1)证明见解析；

力2回

o-------

33

【分析】(1)由题意可得。£/"尸，利用线面平行的判断定理可得结论；

(2)结合题中的几何关系建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角/-3E-C的

余弦值为一拽1.

33

【详解】(1)证明：由分别是C4cp的中点，得OE//AP,

又OEa平面PAD,APu平面PAD,所以OEH平面PAD.

(2)由球的表面积公式5=4成2,得球的半径火=一13，

设球心为。1,在正四棱锥尸-/BCD中，高为尸O,则必在尸。上，

连/Q,则OQ==5,/q=一13，

则在RtzXq。/,则。。：+。f=0/2,即。/=2,

在正四棱锥尸-/BCD中，尸。［平面48co于。，且NC/AD于。，

设04。民OP为x，-z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系。-乎系，

答案第9页，共18页

得尸（0,0,3）,/（2,0,0）,8（0,2,0）,。（一2,0,0）,。（0,-2,0）,尸。中点£上1,0,1

所以方=（-2,2,0）,第=卜1,-2,iJfiC=^2-2,0）,

设所=（a,6,c）,河=（尤）,z）分别是平面4BE和平面CBE的法向量，

fh'AB=一2。+26=0n^BC=-2x-2y=0

则一一►3和＜_——3

m'BE=—Q—26H■—c=0n•BE=-x-2y+—z=0

2

令Q=1,X=—3,可得6=1,c=2,y=3,2=2,

丽•为42、d

可得比=（1,1,2）,力=（-3,3,2）,则cos〈丽，万〉=丽=7r^=干，

由图可知，二面角/-BE-C的大小为钝角，

所以二面角/-5E-C的余弦值为一名昼.

33

20.（1）[+4=1;（2）详见解析.

【分析】（1）由题意得到关于6,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.

（2）方法一：设出点M,N的坐标，在斜率存在时设方程为1=h+加，联立直线方程与椭

圆方程，根据已知条件，己得到外人的关系，进而得直线血W恒过定点，在直线斜率不存在

时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点。的位置.

答案第10页，共18页

C_V2

a2

41

【详解】（1）由题意可得：/+庐=1，解得：。2=6万=°2=3,

a2=b1+c2

故椭圆方程为：？+一=L

63

（2）［方法一］:通性通法

设点,

若直线九W斜率存在时，设直线的方程为：y=kx+m,

代入椭圆方程消去了并整理得：（1+2/）/+4Mx+2加2-6=0,

4km2m2-6

口J再+%2=一x.x=------

1+2左2121+2—2

因为/M_L4N,所以而.酢=0，BP(x1-2)(x2-2)+(y1-l)(y2-l)=0,

根据必=g+应％=丘2+爪,代入整理可得:

1

(k+1)尤］%+(km-k_2)(xi+x2)+(m-iy+4=0,

所以（〃+1）春+（而-"2）［-段"+（加-1)2+4=0,

整理化简得（2无+3加+1）（2左+加-1）=0,

因为4（2,1）不在直线九W上，所以2左+加-1w0,

故2上+3〃z+l=0,k#1,于是AGV的方程为y=左卜—§)—3(左二1),

所以直线过定点直线过定点尸

当直线的斜率不存在时，可得N（X］,,

由AM-AN=0得:(占-2)(尤］一2)+(%T(-pi-1)=0,

22

得（再一2『+1—d=0,结合着+会=1可得：3x；一阴+4=0,

解得：匹=；或毛=2（舍）.

此时直线过点P

令。为/尸的中点，即。

答案第11页，共18页

若。与尸不重合，则由题设知4尸是Rt/MDP的斜边，故口0|=gMp|=m1,

若D与尸重合，则|。。|=3/以，故存在点。(，，口，使得为定值.

［方法二］【最优解】：平移坐标系

将原坐标系平移，原来的。点平移至点/处，则在新的坐标系下椭圆的方程为

(£±2)l+(Z±l)i=1,设直线儿W的方程为s+〃y=4.将直线九W方程与椭圆方程联立得

63

x2+4x+2y2+4y=0,BPx2+(mx+ny)x+2y2+(mx+ny)y-0,化简得

（n+2）y2+（jn+n）xy+（1+m）x2=0,即（〃+2）—I+（m+n）+（1+⑼=0.

x

m+

设M（%i，%）,N（%2，%），因为ZM_LNN贝！］左期-kAN=—•—=^=-\,即加=一〃一3

再%2〃+2

代入直线MN方程中得〃(y-x)-3x-4=0.则在新坐标系下直线九W过定点则

2

在原坐标系下直线肱V过定点尸3，-3

4

又D在以/P为直径的圆上./P的中点即为圆心0.经检验，直线MV垂

3?3

直于x轴时也成立.

4]_，使得|。。|=：仍=与.

故存在。

3J3

［方法三］:建立曲线系

A点处的切线方程为*+?=1,即x+尸3=0.设直线MA的方程为klX-y-2kl+l=0,

63

直线MB的方程为鱼x-y-2左2+1=0,直线儿W的方程为丘一y+"z=O.由题意得左泡=T.

则过n,M,N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线朋4八必可表示为

器+方―11+4（左］X—y—2尢+1）（左2%->一2k2+J=C（其中;l为系数）.

用直线儿W及点/处的切线可表示为〃(依-y+%>(x+y-3)=0(其中〃为系数).

即|——F—1）+2（左x—y—2k、+1）（k2x—y—2^+J=jn{kx—y~\~y—3.

对比刈项、x项及y项系数得

答案第12页，共18页

4（4+左2）=〃（1-1）,①

＜4（4+左1+左2）="（加一3左），②

2/（左1+左2-1）=〃（加+3）.③

21

将①代入②③，消去九〃并化简得3冽+2左+1=0,即加=——左一.

33

故直线九W的方程为y=直线儿W过定点尸（I•，一'.又AD,初V,O在以4P

为直径的圆上./P中点即为圆心。.

经检验，直线九W垂直于x轴时也成立.故存在。使得|。。|=；|/尸|=半.

［方法四］:

设Af(无，1%),"(%,%).

若直线MN的斜率不存在，则

因为/Af_L/N,则而.丽=0,即（再一2）2+1-，=0.

丫2v22

由4+4=1,解得再=：或玉=2（舍）.

633

2

所以直线儿W的方程为％=

若直线的斜率存在，设直线的方程为＞=京+加，则

22

x+2(kx+m)—6=(1+2k2—%j)(x-x2)=0.

2(2左+m-Y)(2k+m+l)

令x=2,贝［j(再-2)(9-2)=

1+2左2

又(宁］+2/-6=令y=l,则

(2左+加一1)(—2k+m—1)

(%T)(%T)=

1+2左2

因为所以屈•存=5-2*2-2)+包_1庇T)=(2H)(2：+3"7+<=0,

即加=-2k+1或〃？=­k——.

当机=-24+1时，直线九W的方程为了=日-2左+l=/x-2）+l.所以直线MN恒过42,1）,

不合题意;

2121（211

当加=一*左一2■时，直线九加的方程为＞=履一左一=左卜一一所以直线儿W恒过

3333k3J3

答案第13页，共18页

综上，直线儿w恒过尸，，-£|,所以|/口=殍.

又因为即所以点。在以线段AP为直径的圆上运动.

取线段/尸的中点为0,贝11|=J/尸|=与.

所以存在定点0,使得为定值.

【整体点评】（2）方法一：设出直线血W方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直

线过定点尸，再根据平面几何知识可知定点。即为/尸的中点，该法也是本题的通性通法；

方法二：通过坐标系平移，将原来的。点平移至点/处，设直线血W的方程为如+孙=4,

再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出见”的关系，从而可知直线过定点尸，

从而可知定点。即为AP的中点，该法是本题的最优解；

方法三：设直线九W:y=h+，"，再利用过点的曲线系，根据比较对应项系数可求出

见左的关系，从而求出直线过定点P,故可知定点。即为/尸的中点；

方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解

（国-2乂9-2）以及（必的计算.

21.⑴g

（2）证明见解析

【分析】（1）先分析g（H的单调性，从而结合〃x）的导数得到。，再进行检验即可得解；

（2）将问题转化为"2_2xlnx+l=0有两个不同的实根三双，构造函数Mx）=ar-21nx+：,

利用导数求得。的取值范围，再利用零点的定义消去。转化得由（国%）-土土三=工土上In-,

XxX2x2-再x1

从而构造函数。（。=1!1人芸，利用导数证得再3>e,从而得证.

【详解】⑴函数"X）与g（x）的定义域均为（0,+的，

由g（x）=xlwc-x-a得g'（无）=Inr,

当0<x<l时,g'（x）<O,g（x）单调递减；

当x>l时，g[x）>O,g（x）单调递增,

答案第14页，共18页

由/(x)=x+Inv-2)得由(x)=2ax+lnx-l,

因为〃X)与g(x)有相同的单调区间,

所以/'(1)=2°_1=0,解得4=；,

当汨时,

/(x)=#+xlnx-2x,f(x)=x+Inx-1,

因为/'(%)在区间(0,+。)上单调递增,且广⑴=0,

所以当0。<1时,/'(x)<0J(x)单调递减；

当x>l时，/'(x)>0,/(x)单调递增，

此时/(X)与g(x)有相同的单调区间，符合题意，

故〃=2.

2

(2)方程/(x)=3g(x)+x+3a-1有两个不同的实根项,超，

等价于ax?—2xlnx+l=0有两个不同的实根再/2，

等价于ax=21nx-工有两个不同的实根再,马，

x

令人(、)="一21助+,/>0,则="二二=""/I,

XXXX

当aWO时，〃(x)<0，Mx)单调递减，不符合题意，舍去；

当。>0时，方程〃'(x)=0必有一正根与,使得属-2%-1=0,即叽=2+工，

xo

且当O〈xv%0时,单调递减；当%>/0时,单调递增,

1ax12

若方程ax=21nx—有两个不同的实根，人(%)=o-21nx0+—=2+-----21nx0<0,

令9(x)=l+』-lnx,则9(x)单调递减，

因为°(e)=」〉0,所以％>e,0<,<,，

e%e

2

由M12f1I[2e+l

所以Q=一■+—=一+1|T＜一，

X。%(%

因为再,马是方程分=2hu-L的两个不同的实根，

x

〜1〜1

所以。再=21叫,ax2=21nx2,

答案第15页，共18页

两式相加，得。(Xi+X2)=21n(X]X2)-匕士迨,即a=21n（xR__L

玉+x2x1x2

两式相减，得Gf)=2喧+二,即八岁;+J_

x2-xxXxX2

所以21n（玉龙2）1nx,1,整理得ln（xi尤2）_、+♦=芯+-.生,

--------------=-------1----XXX2x2-X.X]

再+x2x1x2x2-再x1x2

不妨设0＜再＜%2