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文档简介
第九章统计与统计案例章节检测(提高卷)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(2021•福清龙西中学高二期中)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:
广告费用x(万元)4235
销售额y(万元)49263954
根据上表可得回归方程?=笈+&中的3为9.4,据此模型预测广告费用为6万元时销售额为
()
A.63.6万元B.72万元C.67.7万元D.65.5万元
【答案】D
【详解】
-4+2+3+549+26+39+54
解:x=---------------=3.5,y=----------------------=42,
44
因为回归方程过样本中心点,则有42=9.4x3.5+6,解得4=9.1,
所以回归方程为£=9.4X+9.1,
当x=6时,9=9.4x6+9.1=65.5,
所以广告费用为6万元时销售额为65.5万元.
故选:D.
2.(2021•贵州省思南中学高二期中(文))研究两个变量了,'的相关关系,得到了7个
数据,作出其散点图如图所示,对这两个变量进行线性相关分析,方案一:根据图中所有数
据,得到线性回归方程y=4》+%,相关系数为仆方案二:剔除点3对应的数据,根据剩
下数据得到线性回归直线方程:y=b2x+a2,相关系数为4,则()
A.4<0也<°,-1<4<4<0
B.4>0也>°,-1<弓<(<0
c.4>o也>0,0<G</<1
D.4>0也>0,0<4<4<1
【答案】D
【详解】
解:根据相关变量x,y的散点图知,变量x、y具有正线性相关关系,且点3是离群值.
方案一中,没剔除离群值,线性相关性弱些,成正相关,故4>0;
方案二中,剔除离群值,线性相关性强些,也是正相关.
相关系数。"<2<1.
故选:D.
3.(2020•玉林市育才中学高二月考)将参加数学竞赛的10000名学生编号如下:0001,
0002,0003,10000,打算从中抽取一个容量为那50的样本,按系统抽样的方法分成
50个部分,如果第一部分编号为0001,0002,0003,•••,0020,第一部分随机抽取一个号
码为0015,则抽取的第40个号码为().
A.8015B.0815C.0795D.7815
【答案】D
【详解】
因为总体的个数为10000,样本容量为50,所以分组间隔笈="黑=200,
因为第一部分随机抽取一个号码为0015,所以抽取的第40个号码为15+200x39=7815.
故选:D.
4.(2021•黑龙江齐齐哈尔市•高三其他模拟(理))已知如表所示数据的回归直线方程
为3=5x+6,则实数加的值为()
X2456
y14m3237
A.25B.26C.27D.28
【答案】B
【详解】
根据表格数值可得:尤—==[7,y—=三83—+TH,代入£=5x+6得:8^3+—tn=5x147+6,解得:租=26
4444
故选:B
5.(2021•吉林长春十一高高二期中(理))已知变量〉关于变量》的回归方程为
y=61nx+0.24,其一组数据如下表所示:
Xee3e4e6e7
y12345
若则y的值大约为()
A.4.94B.5.74C.6.81D.8.04
【答案】C
【详解】
,Airi.〜-1+3+4+6+7
由y=61nx+0.24,令t=lnx,贝1Jy=次+0.24,由题忌,t=-------------------=4.2,
—1+2+3+4+52323
y=;=3,所以3=6x4.2+0.24,解得6=||,所以y=||lnx+0.24,所以
x=e10,解得yas6.81.
故选:C
6.(2021•山西高三三模(理))某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动,活动为期两周,
活动的前五天数据如下表:
第X天12345
使用人数(V)151734578421333
由表中数据可得y关于x的回归方程为9=55/+加,则据此回归模型相应于点(2,173)
的残差为()
A.—5B.―6C.3D.2
【答案】B
【详解】
令方=%2,贝ljy=55%+加,
t—x21491625
使用人数(y)151734578421333
-1+4+9+16+25--15+173+457+842+1333
t=---------------------=11,y=-----------------------------------=564,
55
所以564=55xll+m,m=—41,
所以y=55f-41,
当x=2时,y=55x22—41=179,
所以残差为173—179=-6.
故选:B
7.(2020•安庆市白泽湖中学高二月考)某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分
布情况,从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩,发现都在[80,150]内
现将这100名学生的成绩按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),
[140,150]分组后,得到的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是()
A.频率分布直方图中a的值为0.040
B.样本数据低于130分的频率为0.3
C.总体的中位数(保留1位小数)估计为123.3分
D.总体分布在[90,100)的频数一定与总体分布在[100,1⑼的频数相等
【答案】C
【详解】
由频率分布直方图得:
(0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005)x10=1,
解得a=0.030,故A错误;
样本数据低于130分的频率为:1-(0.025+0.005)x10=0.7,故8错误;
[80,120)的频率为:(0.005+0.010+0.010+0.015)x10=0.4,
[120,130)的频率为:0.030x10=0.3,
05-04
,总体的中位数(保留1位小数)估计为:120+—^2xl0。123.3分,故C正确;
样本分布在[90,100)的频数一定与样本分布在[100,110)的频数相等,
总体分布在[90,100)的频数不一定与总体分布在[100,110)的频数相等,故〃错误.
故选:C.
8.(2021•宁夏长庆高级中学高二期末(理))下列四个命题:①在回归模型中,预报变
量y的值不能由解释变量X唯一确定;②若变量尤,y满足关系>=-0-1X+1,且变量y与Z正
相关,则X与Z也正相关;③在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟
合的精度越高;④以模型了=。*去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=lny,将其
变换后得到线性方程z=0.3x+4,则c=k=0.3.
其中真命题的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【详解】
下列四个命题:
①在回归模型中,预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定;根据回归模型中的变量关系,
正确.
②若变量x,y满足关系>尤+1,且变量y与z正相关,则x与z也正相关;应该是负
相关.故错误.
③在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高;即越接近于
回归直线的距离越小,故正确.
④以模型>=,0"去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=lny,将其变换后得到线性
方程z=0.3x+4,则c=e",k—0.3.故正确.
故选:C.
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有
多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
9.(2021•湖南高一期中)已知某样本的容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收
集这些数据时,其中的两个数据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为
90•在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为无,方差为S2,则()
A.元=70B.x>70C.s2<75D.>75
【答案】AC
【详解】
设除记错以外的数据为和%,%,
_50x70-60-90+80+70”
x=---------------------=70,
50
因为(占一70)2+(%一70)2++(尤48一70)2+(6。一70)2+(90—70)2二飞
50—
2
所以(西—70)2+(々—70)2+,.+(%48-70)=3250
(%,-70)2+-70)2++(%—70)2+(80-70)2+(70-70)2
所以/
50
3250+100―
---------=67
50
所以/<75.
故选:AC.
10.(2021•重庆高二期末)下列命题正确的是(
A.圆的面积y与半径》正相关
B.对于回归模型y=qe/,我们通过对方程两边同时取对数(即Iny=c^+lnq)将其转化为
直线模型再进行回归分析,故由此得到的回归曲线5=**也必经过样本点的中心(%,歹))
C.相关指数炉用于刻画回归模型的拟合效果,炉越大的模型拟合效果越好
D.残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄说明模型的回归效果越好
【答案】CD
【详解】
A选项,y与尤是函数关系,是确定性关系,“正相关”是非确定性关系;所以A不正确.
B选项,令z=lny,c3=Inq,则z=c?x+C3,由最小二乘法得到的回归直线z=务%+。
则回归直线z=c2x+a过点伍耳,即2=柒+a
即刊=e研+备=酒,故y=诬冲过点(X,/),
而7=一=一、lny,=ln痂『V,/=而^一工4歹;所以B不正确.
几z=l〃Z=1
C选项.根据当相关指数尺2越接近1,回归模型的拟合效果越好,选项C正确.
D选项.由残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄说明模型的回归效果越好.选项D正确.
故选:CD
11.(2021•湖北高三二模)在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时,若两个变量不
呈线性相关关系,可以建立含两个待定参数的非线性模型,并引入中间变量将其转化为线性
关系,再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点
图建立的非线性模型,且散点图的样本点均位于第一象限,则其中可以根据上述方法进行回
归分析的模型有()
2x+C.
A.y=cxx+c2xB.y=x+.
x+C2
C.y=cx+ln(x+c2)D.j=cxe
【答案】ABC
【详解】
2
对于选项A:y=qx+c2x=>—=cxx+c2,令〃=?贝=
XX
对于选项B:
y=x+q=]+<7]-2ny_]=C]_q=1=x+G=!彳+Q
x+c2x+c2x+c2y-1q-c2cx-c2cx-c2
~^—^u=——.x+-^-
令〃=
y-\cx-c2cx-c2
对于选项C:y=q+ln(x+C2)=>y-q=ln(x+C2)=x+c2
即e»=e°1<x+c2)令“="则a=e"-(x+c2)=-x+c2;
对于选项D:y=je"仁=>Iny=InG+尤+,2令a=Iny贝l]〃=x+InG+,2
此时斜率为1,与最小二乘法不符.
故选:ABC
12.(2021•河北高三其他模拟)某网络销售平台,实施对口扶贫,销售某县扶贫农产品.
根据2020年全年该县扶贫农产品的销售额(单位:万元)和扶贫农产品销售额占总销售额的
百分比,绘制了如图的双层饼图.根据双层饼图(季度和月份后面标注的是销售额或销售额占
总销售额的百分比),下列说法正确的是()
A.2020年的总销售额为1000万元B.2月份的销售额为8万元
C.4季度销售额为280万元D.12个月的销售额的中位数为90万元
【答案】AC
【详解】
对A:根据双层饼图得3季度的销售额和为300万元,3季度的销售额占总销售额的百分比
之和为30%,所以2020年的总销售额为黑=1000(万元),故A正确;
对B:2月份销售额为lOOOx[同xlOO%—5%-6%J=50(万元),故B错误;
对C:4季度销售额为1000x28%=280(万元),故C正确;
对D:根据双层饼图得12个月的销售额从小到大(单位:万元):50,50,60,
60,60,80,90,100,100,110,120,120,所以12个月的销售额的中位数为:1x(80+90)=85
(万元),故D错误.
故选:AC.
三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分,其中第16题第一空2分,
第二空3分。)
13.(2021•广东高二期末)某田径队6位运动员的体测成绩如下:甲78,乙86,丙64,
丁77,戊83,己93.现从中挑选3位运动员参加集体赛,挑选条件为:
①丁一定要参加;
②3人的体测成绩总分要超过240(不含240);
③3人的体测成绩方差要小.
那么参加集体赛3人名单应为.
【答案】乙、丁、戊.
【详解】
因为丁77一定要参加,又3人的体测成绩总分要超过240分,
所以另外两人的成绩之和要超过163,有3种情况,因为3人的体测成绩方差要小,
所以分数较集中,故另外两人选择戊83,乙86.
所以参加集体赛3人名单应为乙、丁、戊.
故答案为:乙、丁、戊.
14.(2021•福建漳州三中高三三模)根据下面的数据:
X1234
y32487288
求得丫关于N的回归直线方程为y=19.2x+12,则这组数据相对于所求的回归直线方程的4
个残差的方差为.(注:残差是指实际观察值与估计值之间的差.)
【答案】3.2
【详解】
把产1,2,3,4依次代入回归直线方程为y=19.2x+12,所得估计值依次为:%=31.2,
y2=50.4,y3=69.6,y4=88.8,
对应的残差依次为:0.8,-2.4,2.4,-0.8,它们的平均数为0,
1
所以4个残差的方差为s=西+(-24)2+242+(-0.8)2=3.2.
4
故答案为:3.2
15.(2021•河南(文))A种棉花以绒长、品质好、产量高著称于世.我国2020至2021
年度A种棉花产量为520万吨,占国内产量比重约87%,占国内消费比重约67%.已知某地
区所产A种棉花的产量》与光照时长x之间的关系如表.若根据表中的数据用最小二乘法求
得y关于X的回归直线方程为S=5.5x+7.5,则下列说法中正确的有.(把正确答
案的编号全部填上)
光照时长X(单位:小
12345
时)
产量y(单位:万吨)1219m3136
①该回归直线过点(3,24);②A种棉花的产量与光照时长成正相关;
③机的值是22;④当光照时长为11小时时,A种棉花的产量一定为68万吨.
【答案】①②③
【详解】
由线性回归方程£=5.5X+7.5,可知A种棉花的产量与光照时长成正相关,故②正确;
_1+2+3+4+512+19+根+31+3698+m
x=------------------=3,y=,代入U+7.5,得
555
气一=5.5x3+75,贝1]加=22,故③正确;
QQ97
歹=^^=24,则回归直线过点(3,24)故①正确;
当X=H时,9=5.5x11+7.5=68,则当光照时长为11小时时,A种棉花的产量约为68万吨,
④错误.
故选:①②③
16.(2019•北京大兴•高考模拟(理))在某些竞赛活动中,选手的最终成绩是将前面所
有轮次比赛成绩求算术平均获得的.同学们知道这样一个事实:在所有轮次的成绩中,如果
由高到低依次去掉一些高分,那么平均分降低;反之,如果由低到高依次去掉一些低分,那
么平均分提高.这两个事实可以用数学语言描述为:若有限数列卬,出,…,4满足
<a2<•.•<«„,且%,出,不全相等,则(1);(2)
【答案】q+a2+-+a,,>q+a--+a,,,(iw〃””)
nm
q+%+…+q,<%用+限+…+%(iw加<〃)(答案形式不唯一)
nn—m
【详解】
根据平均数的公式可以知道,一组数据若是按照从小到大的顺序排列起来,可以求出这
组数
据的平均数,如果把这组数据中的一部分较大的数据去掉,则这组数据的平均数减小,
若把这写数据中的较小的一些数据去掉,则这组数据的平均数增大,
故答案为(1).一生+…+“”>“尸外+…+q“(iwm<”)(2).
nm
4+%+…+4/源+联+…+二⑦.〃)
nn—m
四、解答题(本题共6小题,共70分,其中第16题10分,其它每题12分,解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.(2021•皮山县高级中学高二期中(文))一个车间为了规定工时定额,需要确定加工
零件所花费的时间,为此进行了4次试验,收集的数据如下:
零件个数X/个1234
加工时间7/小
2358
时
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出零件个数x与加工时间y的线性回归方程;
(3)现需生产20件此零件,预测需用多长时间.
元)(%-》)-阿
b=^---i-=l---------
附参考公式:SUH
Z=1
d=y-bx
y=bx+a
【答案】(1)见解析;(2)y=2x-0.5;(3)估计39.5小时.
【详解】
解:(1)由已知,对应的点的坐标为(1,2),(2,3),(3,5),(4,8),
描点作图如下:
(2)元=1+2;+4=2.5,y=2+3+5+8-
---------=4.5,
4
4
i=l__________Ix2+2x3+3x5+4x8-4x2.5x4.5
b-4=2,
_府212+22+32+42-4X2.52
i=l
a=y-bx=4.5-2x2.5=-0.5,
二回归直线方程为:y=2x-0.5;
(3)当x=20时,y=2x20—0.5=39.5(小时).
故需生产20件此零件,预测需用39.5小时.
18.(2021•黑龙江双鸭山市•双鸭山一中高二开学考试)为打造精品赛事,某市举办“南
粤古驿道定向大赛”,该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展本次大赛分少年
组、成年组、专业组三个小组,现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的
速度,得到如下统计表和频率分布直方图:
组数速度(千米/小时)参赛人数(单位:人)
少年组[6,8)300
成年组[8,10)600
专业组[10,12]b
(1)求a,6的值;
(2)估计本次大赛所有选手的平均速度(同一组数据用该组数据的中间值作代表,最终计算
结果精确到0.01).
【答案】(1)。=0.21=300;(2)9.05.
【详解】
(1)由频率分布直方图得:
0.1+0.15+a+0.3+0.15+0.1=l,解得a=0.2.
少年组人数为300人,
频率《=0.1+0.15=0.25,总人数”=1^=1200人,
.”=1200—300—600=300,
a—0.2,b=300.
(2)平均速度为:
v=6.5x0.1+7.5x0.15+8.5x0.2+9.5x0.3+10.5x0.15+11.5x0.1=9.05
二•估计本次大赛的平均速度为9.05千米/小时.
19.(2021•吉林延边朝鲜族自治州•延边二中高二期末(理))2020年,全球爆发了新
冠肺炎疫情,为了预防疫情蔓延,某校推迟2020年的春季线下开学,并采取了“停课不停
学”的线上授课措施.为了解学生对线上课程的满意程度,随机抽取了该校的100名学生(男
生与女生的人数之比为1:1)对线上课程进行评价打分,若评分不低于80分视为满意.其得
分情况的频率分布直方图如图所示,若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率
为0.85.
频率
(1)求“、6的值,并估计100名学生对线上课程评分的中位数;
(2)结合频率分布直方图,请完成以下2x2列联表,并回答能否有99%的把握认为对“线
(2
PK>k0)0.250.150.100.050.0250.010.0050.001
k。1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
【答案】(1)a=0.01,6=0.04;中位数为81.25;(2)列联表见解析,有.
【详解】
(1)由已知得(0.015+6+0.03)x10=0.85,解得b=0.04,
又(0.005+a)x10=1-0.85,解得a=0.01,
评分为[50,80)的频率为0.005x10+0.015x10+0.03x10=0.455<0.5,
[80,90)间的拍率为0.04x10=0.4,
所以中位数在[80,90)之间,设为x,
则(x-80)x0.04=0.5-0.455=0.005,
解得x=81.25,
所以评分的中位数为81.25;
(2)由题意可得,2x2列联表如下表:
满意不满意合计
男生203050
女生351550
合计5545100
因此-35X30);®=9.091>6.635,
55x45x50x5011
能有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”.
20.(2021•吉林长春市实验中学高二期末(理))某企业为确定下一年投入某种产品的研
发费用,需了解年研发费用力(单位:千万元)对年销售量》(单位:千万件)的影响,统
计了近10年投入的年研发费用占与年销售量为(i=12…,10)的数据,得到散点图如图所
示:
年销售量y/千万件
d
8-*•
6-*•
4-.•
2:
O24681012141618202224262830
年研发费用x/千万元
(1)利用散点图判断,y="+"和y=c•/(其中c,d为大于0的常数)哪一个更适合作
为年研发费用X和年销售量y的回归方程类型(只要给出判断即可,不必说明理由).
(2)对数据作出如下处理:令%=lnx,,匕=lny,得到相关统计量的值如下表:
10101010
Z%匕
4=1Z=1Z=1i=l
30.5151546.5
根据(i)的判断结果及表中数据,求y关于z的回归方程;
(3)已知企业年利润Z(单位:千万元)与X,y的关系为Z=">一无(其中e=2.71828---
根据(2)的结果,要使得该企业下一年的年利润最大,预计下一年应投入多少研发费用?
附:对于一组数据(%,匕),(M2,V2),•••,其回归直线v=a+例的斜率和截距的最
小二乘估计分别为夕=-......-,a=v-pu.
i=\
【答案】(1)选择回归类型y=。/;(2)y=e.J;(3)2.7亿元.
【详解】
(1)由散点图知,选择回归类型y更适合.
(2)对y=c・尤”两边取对数,得Iny=lnc+dlnx,即v=lnc+d".
由表中数据得:"=工=1.5,
10__
Z4%-lOu'V
—_________________30.5-10x1.5x1.51
46.5-10x1.5x1.53
1=1
lnc=v-du=1.5——xl.5=1,
3
:.c=e,
i
年研发费用X与年销售量V的回归方程为y=e.户.
(3)由(2)知,z(%)=27x'-%,
2
,,=9%§,
2
令=9%3=0,得x=27,
且当%武0,27)时,/(x)>0,z⑺单调递增;
当无£(27,+oo)时,?(x)<0,z(x)单调递减.
1
所以当x=27千万元时,年利润z取得最大值,且最大值为z(27)=27x27§_27=54
所以要使年利润取最大值,预计下一年度投入2.7亿元.
21.(2021•定远县育才学校高二期中(文))某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传
费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量丁(单位:吨)的影响,对近8年的年宣传费
X:和年销售量K1=1,2,3,..,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
_18
表中:“=",w=
31=1
(1)根据散点图判断,>=。+"与丁=。+"&,哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费
x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立〉关于'的回归方程;
(3)根据(2)中的回归方程,求当年宣传费x=36千元时,年销售预报值是多少?
附:对于一组数据(4,w),(M2,V2),•••,其回归线v=a+/"的斜率和截距的最小
8
二乘估计分别为:£=-.....——,a=v-^i.
(%-方『
27=1
【答案】(1)由散点图可判断、=。+44适宜作为年销售量y关于年宣传费工的回归方程
类型;(2)y=68暇+100.6;(3)508.6吨.
【详解】
(1)由散点图可以判断:y=c+d&适宜作为年销售量)关于年宣传费》的回归方程类型;
(2)令.=石,先建立y关于卬的线性回归方程,
2=y-dw=563-68x6.8=100.6,
所以y关于W的线性回归方程为y=68w+100.6,
所以y关于X的回归方程为y=68«+100.6;
(3)由(2)知:当x=36时,年销售量y的预报值
y=68屈+100.6=508.6
故年宣传费x=
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