2022年高考数学一轮复习-统计与统计案例 章节检测（提高卷）教师讲解版（新高考专版）

第九章统计与统计案例章节检测（提高卷）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.（2021•福清龙西中学高二期中）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:

广告费用x（万元）4235

销售额y（万元）49263954

根据上表可得回归方程?=笈+&中的3为9.4,据此模型预测广告费用为6万元时销售额为

（）

A.63.6万元B.72万元C.67.7万元D.65.5万元

【答案】D

【详解】

-4+2+3+549+26+39+54

解:x=---------------=3.5,y=----------------------=42,

44

因为回归方程过样本中心点,则有42=9.4x3.5+6,解得4=9.1,

所以回归方程为£=9.4X+9.1,

当x=6时，9=9.4x6+9.1=65.5,

所以广告费用为6万元时销售额为65.5万元.

故选：D.

2.（2021•贵州省思南中学高二期中（文））研究两个变量了，'的相关关系，得到了7个

数据，作出其散点图如图所示，对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数

据，得到线性回归方程y=4》+%,相关系数为仆方案二：剔除点3对应的数据，根据剩

下数据得到线性回归直线方程：y=b2x+a2,相关系数为4，则（）

A.4<0也<°,-1<4<4<0

B.4>0也>°,-1<弓<(<0

c.4>o也>0,0<G</<1

D.4>0也>0,0<4<4<1

【答案】D

【详解】

解：根据相关变量x,y的散点图知，变量x、y具有正线性相关关系，且点3是离群值.

方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些，成正相关，故4>0；

方案二中，剔除离群值，线性相关性强些，也是正相关.

相关系数。"<2<1.

故选：D.

3.（2020•玉林市育才中学高二月考）将参加数学竞赛的10000名学生编号如下：0001,

0002,0003,10000,打算从中抽取一个容量为那50的样本，按系统抽样的方法分成

50个部分，如果第一部分编号为0001,0002,0003,•••,0020,第一部分随机抽取一个号

码为0015,则抽取的第40个号码为（）.

A.8015B.0815C.0795D.7815

【答案】D

【详解】

因为总体的个数为10000,样本容量为50,所以分组间隔笈="黑=200,

因为第一部分随机抽取一个号码为0015,所以抽取的第40个号码为15+200x39=7815.

故选：D.

4.（2021•黑龙江齐齐哈尔市•高三其他模拟（理））已知如表所示数据的回归直线方程

为3=5x+6,则实数加的值为（）

X2456

y14m3237

A.25B.26C.27D.28

【答案】B

【详解】

根据表格数值可得：尤—==[7,y—=三83—+TH，代入£=5x+6得：8^3+—tn=5x147+6,解得：租=26

4444

故选：B

5.（2021•吉林长春十一高高二期中（理））已知变量〉关于变量》的回归方程为

y=61nx+0.24，其一组数据如下表所示：

Xee3e4e6e7

y12345

若则y的值大约为（）

A.4.94B.5.74C.6.81D.8.04

【答案】C

【详解】

,Airi.〜-1+3+4+6+7

由y=61nx+0.24，令t=lnx,贝1Jy=次+0.24，由题忌，t=-------------------=4.2,

—1+2+3+4+52323

y=；=3,所以3=6x4.2+0.24,解得6=||,所以y=||lnx+0.24,所以

x=e10,解得yas6.81.

故选：C

6.（2021•山西高三三模（理））某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周,

活动的前五天数据如下表：

第X天12345

使用人数（V）151734578421333

由表中数据可得y关于x的回归方程为9=55/+加，则据此回归模型相应于点（2,173）

的残差为（）

A.—5B.―6C.3D.2

【答案】B

【详解】

令方=%2,贝ljy=55%+加，

t—x21491625

使用人数（y）151734578421333

-1+4+9+16+25--15+173+457+842+1333

t=---------------------=11,y=-----------------------------------=564,

55

所以564=55xll+m,m=—41,

所以y=55f-41，

当x=2时，y=55x22—41=179，

所以残差为173—179=-6.

故选：B

7.（2020•安庆市白泽湖中学高二月考）某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分

布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在［80,150］内

现将这100名学生的成绩按照［80,90）,［90,100）,［100,110）,［110,120）,［120,130）,［130,140）,

［140,150］分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）

A.频率分布直方图中a的值为0.040

B.样本数据低于130分的频率为0.3

C.总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分

D.总体分布在［90,100）的频数一定与总体分布在［100,1⑼的频数相等

【答案】C

【详解】

由频率分布直方图得：

（0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）x10=1,

解得a=0.030,故A错误；

样本数据低于130分的频率为：1-（0.025+0.005）x10=0.7,故8错误；

［80,120）的频率为：（0.005+0.010+0.010+0.015）x10=0.4,

［120,130）的频率为：0.030x10=0.3,

05-04

，总体的中位数（保留1位小数）估计为：120+—^2xl0。123.3分，故C正确；

样本分布在［90,100）的频数一定与样本分布在［100,110）的频数相等，

总体分布在［90,100）的频数不一定与总体分布在［100,110）的频数相等，故〃错误.

故选：C.

8.（2021•宁夏长庆高级中学高二期末（理））下列四个命题：①在回归模型中，预报变

量y的值不能由解释变量X唯一确定；②若变量尤,y满足关系＞=-0-1X+1,且变量y与Z正

相关，则X与Z也正相关；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟

合的精度越高；④以模型了=。*去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,将其

变换后得到线性方程z=0.3x+4,则c=k=0.3.

其中真命题的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】

下列四个命题：

①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定;根据回归模型中的变量关系，

正确.

②若变量x，y满足关系>尤+1,且变量y与z正相关，则x与z也正相关；应该是负

相关.故错误.

③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；即越接近于

回归直线的距离越小，故正确.

④以模型>=,0"去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,将其变换后得到线性

方程z=0.3x+4,则c=e",k—0.3.故正确.

故选：C.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.）

9.（2021•湖南高一期中）已知某样本的容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收

集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60,另一个错将70记录为

90•在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为无，方差为S2,则（）

A.元=70B.x>70C.s2<75D.>75

【答案】AC

【详解】

设除记错以外的数据为和%,%，

_50x70-60-90+80+70”

x=---------------------=70,

50

因为（占一70）2+（%一70）2++（尤48一70）2+（6。一70）2+（90—70）2二飞

50—

2

所以（西—70）2+（々—70）2+,.+（%48-70）=3250

（%,-70）2+-70）2++（%—70）2+（80-70）2+（70-70）2

所以/

50

3250+100―

---------=67

50

所以/<75.

故选：AC.

10.（2021•重庆高二期末）下列命题正确的是（

A.圆的面积y与半径》正相关

B.对于回归模型y=qe/,我们通过对方程两边同时取对数（即Iny=c^+lnq）将其转化为

直线模型再进行回归分析，故由此得到的回归曲线5=**也必经过样本点的中心（%,歹））

C.相关指数炉用于刻画回归模型的拟合效果，炉越大的模型拟合效果越好

D.残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄说明模型的回归效果越好

【答案】CD

【详解】

A选项，y与尤是函数关系，是确定性关系，“正相关”是非确定性关系；所以A不正确.

B选项，令z=lny,c3=Inq,则z=c？x+C3，由最小二乘法得到的回归直线z=务%+。

则回归直线z=c2x+a过点伍耳,即2=柒+a

即刊=e研+备=酒，故y=诬冲过点（X,/）,

而7=一=一、lny,=ln痂『V，/=而^一工4歹；所以B不正确.

几z=l〃Z=1

C选项.根据当相关指数尺2越接近1,回归模型的拟合效果越好，选项C正确.

D选项.由残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄说明模型的回归效果越好.选项D正确.

故选：CD

11.（2021•湖北高三二模）在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不

呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性

关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点

图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回

归分析的模型有（）

2x+C.

A.y=cxx+c2xB.y=x+.

x+C2

C.y=cx+ln（x+c2）D.j=cxe

【答案】ABC

【详解】

2

对于选项A：y=qx+c2x=>—=cxx+c2,令〃=?贝=

XX

对于选项B：

y=x+q=]+<7]-2ny_]=C]_q=1=x+G=!彳+Q

x+c2x+c2x+c2y-1q-c2cx-c2cx-c2

~^—^u=——.x+-^-

令〃=

y-\cx-c2cx-c2

对于选项C：y=q+ln(x+C2)=>y-q=ln(x+C2)=x+c2

即e»=e°1<x+c2)令“="则a=e"-(x+c2)=-x+c2；

对于选项D：y=je"仁=>Iny=InG+尤+，2令a=Iny贝l]〃=x+InG+，2

此时斜率为1,与最小二乘法不符.

故选：ABC

12.（2021•河北高三其他模拟）某网络销售平台，实施对口扶贫，销售某县扶贫农产品.

根据2020年全年该县扶贫农产品的销售额（单位：万元）和扶贫农产品销售额占总销售额的

百分比，绘制了如图的双层饼图.根据双层饼图（季度和月份后面标注的是销售额或销售额占

总销售额的百分比），下列说法正确的是（）

A.2020年的总销售额为1000万元B.2月份的销售额为8万元

C.4季度销售额为280万元D.12个月的销售额的中位数为90万元

【答案】AC

【详解】

对A：根据双层饼图得3季度的销售额和为300万元，3季度的销售额占总销售额的百分比

之和为30%,所以2020年的总销售额为黑=1000（万元）,故A正确;

对B：2月份销售额为lOOOx［同xlOO%—5%-6%J=50（万元）,故B错误;

对C：4季度销售额为1000x28%=280（万元）,故C正确；

对D：根据双层饼图得12个月的销售额从小到大（单位：万元）：50,50,60,

60,60,80,90,100,100,110,120,120,所以12个月的销售额的中位数为：1x（80+90）=85

（万元），故D错误.

故选：AC.

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分,

第二空3分。）

13.（2021•广东高二期末）某田径队6位运动员的体测成绩如下：甲78,乙86,丙64,

丁77,戊83,己93.现从中挑选3位运动员参加集体赛，挑选条件为：

①丁一定要参加；

②3人的体测成绩总分要超过240（不含240）；

③3人的体测成绩方差要小.

那么参加集体赛3人名单应为.

【答案】乙、丁、戊.

【详解】

因为丁77一定要参加，又3人的体测成绩总分要超过240分，

所以另外两人的成绩之和要超过163,有3种情况，因为3人的体测成绩方差要小,

所以分数较集中，故另外两人选择戊83,乙86.

所以参加集体赛3人名单应为乙、丁、戊.

故答案为：乙、丁、戊.

14.（2021•福建漳州三中高三三模）根据下面的数据：

X1234

y32487288

求得丫关于N的回归直线方程为y=19.2x+12，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4

个残差的方差为.（注：残差是指实际观察值与估计值之间的差.）

【答案】3.2

【详解】

把产1,2,3,4依次代入回归直线方程为y=19.2x+12,所得估计值依次为：%=31.2,

y2=50.4,y3=69.6,y4=88.8,

对应的残差依次为：0.8,-2.4,2.4,-0.8,它们的平均数为0,

1

所以4个残差的方差为s=西+（-24）2+242+（-0.8）2=3.2.

4

故答案为：3.2

15.（2021•河南（文））A种棉花以绒长、品质好、产量高著称于世.我国2020至2021

年度A种棉花产量为520万吨，占国内产量比重约87%,占国内消费比重约67%.已知某地

区所产A种棉花的产量》与光照时长x之间的关系如表.若根据表中的数据用最小二乘法求

得y关于X的回归直线方程为S=5.5x+7.5,则下列说法中正确的有.（把正确答

案的编号全部填上）

光照时长X（单位：小

12345

时）

产量y（单位：万吨）1219m3136

①该回归直线过点（3,24）；②A种棉花的产量与光照时长成正相关;

③机的值是22；④当光照时长为11小时时，A种棉花的产量一定为68万吨.

【答案】①②③

【详解】

由线性回归方程£=5.5X+7.5,可知A种棉花的产量与光照时长成正相关，故②正确;

_1+2+3+4+512+19+根+31+3698+m

x=------------------=3,y=,代入U+7.5,得

555

气一=5.5x3+75,贝1］加=22,故③正确;

QQ97

歹=^^=24,则回归直线过点（3,24）故①正确;

当X=H时，9=5.5x11+7.5=68,则当光照时长为11小时时，A种棉花的产量约为68万吨,

④错误.

故选：①②③

16.（2019•北京大兴•高考模拟（理））在某些竞赛活动中，选手的最终成绩是将前面所

有轮次比赛成绩求算术平均获得的.同学们知道这样一个事实：在所有轮次的成绩中，如果

由高到低依次去掉一些高分，那么平均分降低；反之，如果由低到高依次去掉一些低分，那

么平均分提高.这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列卬，出，…，4满足

<a2<•.•<«„,且％,出，不全相等，则（1）;（2）

【答案】q+a2+-+a，，>q+a--+a，，，（iw〃””）

nm

q+%+…+q,<%用+限+…+%（iw加<〃）（答案形式不唯一）

nn—m

【详解】

根据平均数的公式可以知道，一组数据若是按照从小到大的顺序排列起来，可以求出这

组数

据的平均数，如果把这组数据中的一部分较大的数据去掉，则这组数据的平均数减小，

若把这写数据中的较小的一些数据去掉，则这组数据的平均数增大，

故答案为（1）.一生+…+“”>“尸外+…+q“（iwm<”）（2）.

nm

4+%+…+4/源+联+…+二⑦.〃）

nn—m

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.（2021•皮山县高级中学高二期中（文））一个车间为了规定工时定额，需要确定加工

零件所花费的时间，为此进行了4次试验，收集的数据如下：

零件个数X/个1234

加工时间7/小

2358

时

(1)请画出上表数据的散点图;

(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出零件个数x与加工时间y的线性回归方程;

(3)现需生产20件此零件，预测需用多长时间.

元）（%-》）-阿

b=^---i-=l---------

附参考公式：SUH

Z=1

d=y-bx

y=bx+a

【答案】(1)见解析；(2)y=2x-0.5；(3)估计39.5小时.

【详解】

解：(1)由已知，对应的点的坐标为(1,2),(2,3),(3,5),(4,8),

描点作图如下:

（2）元=1+2；+4=2.5,y=2+3+5+8-

---------=4.5,

4

4

i=l__________Ix2+2x3+3x5+4x8-4x2.5x4.5

b-4=2,

_府212+22+32+42-4X2.52

i=l

a=y-bx=4.5-2x2.5=-0.5，

二回归直线方程为：y=2x-0.5；

（3）当x=20时，y=2x20—0.5=39.5（小时）.

故需生产20件此零件，预测需用39.5小时.

18.(2021•黑龙江双鸭山市•双鸭山一中高二开学考试)为打造精品赛事，某市举办“南

粤古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展本次大赛分少年

组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的

速度，得到如下统计表和频率分布直方图：

组数速度(千米/小时)参赛人数(单位：人)

少年组[6,8)300

成年组[8,10)600

专业组[10,12]b

(1)求a,6的值；

(2)估计本次大赛所有选手的平均速度(同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算

结果精确到0.01).

【答案】(1)。=0.21=300；(2)9.05.

【详解】

(1)由频率分布直方图得：

0.1+0.15+a+0.3+0.15+0.1=l,解得a=0.2.

少年组人数为300人，

频率《=0.1+0.15=0.25,总人数”=1^=1200人，

.”=1200—300—600=300,

a—0.2,b=300.

(2)平均速度为：

v=6.5x0.1+7.5x0.15+8.5x0.2+9.5x0.3+10.5x0.15+11.5x0.1=9.05

二•估计本次大赛的平均速度为9.05千米/小时.

19.(2021•吉林延边朝鲜族自治州•延边二中高二期末(理))2020年，全球爆发了新

冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟2020年的春季线下开学，并采取了“停课不停

学”的线上授课措施.为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生(男

生与女生的人数之比为1:1)对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意.其得

分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率

为0.85.

频率

(1)求“、6的值，并估计100名学生对线上课程评分的中位数；

(2)结合频率分布直方图，请完成以下2x2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线

(2

PK>k0)0.250.150.100.050.0250.010.0050.001

k。1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)a=0.01,6=0.04；中位数为81.25；(2)列联表见解析，有.

【详解】

(1)由已知得(0.015+6+0.03)x10=0.85,解得b=0.04,

又(0.005+a)x10=1-0.85,解得a=0.01,

评分为［50,80）的频率为0.005x10+0.015x10+0.03x10=0.455<0.5,

［80,90）间的拍率为0.04x10=0.4,

所以中位数在［80,90）之间，设为x,

则（x-80）x0.04=0.5-0.455=0.005,

解得x=81.25,

所以评分的中位数为81.25；

（2）由题意可得，2x2列联表如下表:

满意不满意合计

男生203050

女生351550

合计5545100

因此-35X30）；®=9.091>6.635,

55x45x50x5011

能有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”.

20.（2021•吉林长春市实验中学高二期末（理））某企业为确定下一年投入某种产品的研

发费用，需了解年研发费用力（单位：千万元）对年销售量》（单位：千万件）的影响，统

计了近10年投入的年研发费用占与年销售量为（i=12…,10）的数据，得到散点图如图所

示：

年销售量y/千万件

d

8-*•

6-*•

4-.•

2：

O24681012141618202224262830

年研发费用x/千万元

（1）利用散点图判断，y="+"和y=c•/（其中c,d为大于0的常数）哪一个更适合作

为年研发费用X和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）.

（2）对数据作出如下处理：令%=lnx,,匕=lny,得到相关统计量的值如下表：

10101010

Z%匕

4=1Z=1Z=1i=l

30.5151546.5

根据（i）的判断结果及表中数据，求y关于z的回归方程;

（3）已知企业年利润Z（单位：千万元）与X,y的关系为Z="＞一无（其中e=2.71828---

根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？

附：对于一组数据（%,匕），（M2,V2）,•••,其回归直线v=a+例的斜率和截距的最

小二乘估计分别为夕=-......-,a=v-pu.

i=\

【答案】（1）选择回归类型y=。/；（2）y=e.J；（3）2.7亿元.

【详解】

（1）由散点图知，选择回归类型y更适合.

（2）对y=c・尤”两边取对数，得Iny=lnc+dlnx,即v=lnc+d".

由表中数据得："=工=1.5,

10__

Z4%-lOu'V

—_________________30.5-10x1.5x1.51

46.5-10x1.5x1.53

1=1

lnc=v-du=1.5——xl.5=1,

3

：.c=e,

i

年研发费用X与年销售量V的回归方程为y=e.户.

(3)由(2)知，z(%)=27x'-%，

2

,,=9%§，

2

令=9%3=0,得x=27,

且当％武0,27）时，/（x）＞0,z⑺单调递增;

当无£（27,+oo）时,?（x）＜0,z（x）单调递减.

1

所以当x=27千万元时，年利润z取得最大值，且最大值为z（27）=27x27§_27=54

所以要使年利润取最大值，预计下一年度投入2.7亿元.

21.（2021•定远县育才学校高二期中（文））某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传

费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量丁（单位：吨）的影响，对近8年的年宣传费

X：和年销售量K1=1,2,3,..,8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

_18

表中：“="，w=

31=1

（1）根据散点图判断，＞=。+"与丁=。+"&,哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费

x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立〉关于'的回归方程；

（3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费x=36千元时，年销售预报值是多少？

附：对于一组数据（4,w）,（M2,V2）,•••,其回归线v=a+/"的斜率和截距的最小

8

二乘估计分别为：£=-.....——,a=v-^i.

（%-方『

27=1

【答案】（1）由散点图可判断、=。+44适宜作为年销售量y关于年宣传费工的回归方程

类型；（2）y=68暇+100.6；（3）508.6吨.

【详解】

（1）由散点图可以判断：y=c+d&适宜作为年销售量）关于年宣传费》的回归方程类型;

（2）令.=石，先建立y关于卬的线性回归方程,

2=y-dw=563-68x6.8=100.6，

所以y关于W的线性回归方程为y=68w+100.6，

所以y关于X的回归方程为y=68«+100.6;

（3）由（2）知：当x=36时，年销售量y的预报值

y=68屈+100.6=508.6

故年宣传费x=