浙江省2023-2024学年高一年级下册3月四校联考数学试题

2023学年第二学期高一年级四校联考

数学学科试题卷

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合2=4},/U8={1,2,3,4,6},ZcB={2,4},则§=（）

A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{2,4,6}D.{1,4,6）

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的交集和并集概念及运算即可求解.

【详解】因为4={1,2,3,4},NU3={1,2,3,4,6},

所以6eB,5c{1,2,3,4,6）.

又因为/={1,2,3,4},,Zc8={2,4},

所以2eB,4GB,leB,3史B.

故5={2,4,6}

故选：C.

2.设3=（西,％）,3=（%2/2），贝=资"是“Z//B”的（）

A,充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案.

【详解】若?■=£,则西了2=》2弘，即苞了2-》2%=0,故£//3，充分性成立，

不妨设Z=(0,1)5=(0,2),此时£/厉，但不满足£=故必要性不成立,

所以“丛=匹”是“£/店”的充分非必要条件.

%)x2

故选：A

3.已知向量2=(3,4),B=(—2,m)，?=(2,-1),若(不一很)_1_1,则加=()

,13

A.-6B.-2C.6D.——

2

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量垂直的坐标表示可求解.

【详解】根据题意，a-b=(5,A-m),

又(方一所以(M-B)e=o,

即5x2+(4—7")x(—1)=0,解得加=—6.

故选：A

4.在四边形48CD中，。为任意一点，若况—方+双—历=。，贝I()

A,四边形45CD是矩形B.四边形4SCD是菱形

C.四边形是正方形D.四边形4BCD是平行四边形

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的减法可得获=诙，进而分析求解即可.

____»____.____.____._LLULLlllllI_____k

【详解】因为。/―05+0C—。。=0，则胡+。。=0，即

可知/民CD两边平行且相等，所以四边形/8CA是平行四边形，

但没有足够条件判断/BCD是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确.

故选：D.

5.在“BC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()

A.a-4>b=5>c=6B.a=V3>b=2,A=45°

C.a=10,/=45°，8=70°D.a=3,b=2,A=60°

【答案】B

【解析】

【分析】由余弦定理可判定选项A,利用正弦定理和大边对大角可判断选项B,C,D.

【详解】对于A,已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边，

任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误；

对于B,根据正弦定理竺得，sin8=器堇-=迈，

sinAsinBJ33

又b>。，；.B>4=45°，B有两解，故B符合题意;

对于C,由正弦定理：，一=-^得：Z)=10sin70=10V2sin700,

sin/sm5sin45°

C只有一解，故C不符合题意.

对于D,根据正弦定理=得，sin5=2sin60。=心,

smZsin533

又b<a,B<A=60°，D只有一解，故D不符合题意.

故选：B

6.已知六边形为正六边形，且元=值,前=3，以下不正确的是（)

—■11-

B.BC=-a+-b

33

—■22-—■24-

C.AF=——a+~bD.BE=——a+-b

3333

【答案】C

【解析】

___»1___»2___»1___»2

【分析】根据正六边形的特征求出版=-a,AM=-a,BM=-~b,MD=-b，再由向量加法的三角形法

3333

则以及向量的减法即可求解.

【详解】如图，设ZCnAD=M

因为六边形ABCDEF为正六边形,

所以NA8C=N8CD=120°，且AABC^ADCB.

又一5C是等腰三角形，所以NA4C=N5C4=30°，

从而可有ZACD=ZDBA=90°，

则CM=BM=AMsin30°=-AM,

2

___>i___»o___►i___»2

所以标=—Z，而=—Z,同理有丽7=—反访=—B.

3333

所以读=切=忘—而=—+，所以选项A不符合题意；

33

BC=BM+MC=-b+-a,所以选项B不符合题意；

33

__»__»___»___»12

AF=CD=CM+MD=——a+-b,所以选项C符合题意；

33

—■——■2-4-

BE=2AF=——a+-b,所以选项D不符合题意.

33

故选：C

7.鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝

炼丹鼎坠积水成湖.白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬.有时风激鼎湖浪，散作晴天

雨点来”.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方

案.如图，在山脚/测得山顶P得仰角为45。，沿倾斜角为15。的斜坡向上走了90米到达2点（/,B,P,

。在同一个平面内），在3处测得山顶P得仰角为60°,则鼎湖峰的山高尸。为（）米

A.45^V6-V2jB.45（V6+V2）

C.90（V3-l）D.90（V3+l）

【答案】B

【解析】

【分析】在P中，利用正弦定理求/尸，进而在RtAP/。中求山的高度.

【详解】在A/B0中，则

N8P2=45°—30°=15°,NNBP=180°—NB/尸—ZAP8=180°—（45°—15°）—15°=135°,

APAB

因为

sinZABPsinNAPB

且sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°=

~4

9Q1—

ABsinZABP90sinl35°”X180^

IJJI4P_________—______—____2乙=______

sinZAPBsinl5°5/6-A/2a-也'

4

在Ri^PAQ中，则PQ=APsin45°=J|°^-x与=45+逝）-

故选：B.

8.已知点尸是所在平面内的动点，且满足。0=。4+2(%>0),射线/尸与边交

2兀—►—►

于点。，若/氏4。=不，|40|=1,贝!)[8C|的最小值为()

A.73B.2D.4也

【答案】C

【解析】

【分析】由已知得4?=2，所以点尸在NR4C的平分线上，即为/氏4c的角平分线,

V3可知BC=—（—l—+1

利用正弦定理得四二二,结合三角函数的性质可求最

CD=-^~2Isin5sinC

sin5sinC

小值.

ABAC

【详解】表示与方共线的单位向量，表示与AC共线的单位向量,

R710

UULUUUUL

ABAC

+第的分向与/BN。的平分线一致,

(UUTUUW\(uuruur)

uuruur4BACuuruuruurABAC

QOP-OA+2【网,uur.+.kuuWi|j:.OP-OA=AP=A

所以点P在ZBAC的平分线上,即幺。为/氏4c的角平分线,

一V3

在△/BD中，ABAD^-,|ZD1=1,利用正弦定理知：nc4D.nV

3BD=-------xsin—

sinB3sin5

同理'在中，cD=&xsinX='

sinC3sinC

77

,其中5+0=2

BC=BD+CD=3

sinBsinCsinBsinC

—^—=2^3

分析可知当工时，取得最小值，即=《-

B=C=5C8cmmx2x.71

6sin—

6

故选：c

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.在下列各组向量中，可以作为基底的是()

—»--►

e

A.x=(-1,2),e2=(5,7)B.=(4,-5),e2=

e—D.1=(-1,2),^=(2,1)

C.x(2,3),e2=(0,0)

【答案】AD

【解析】

【分析】根据平面向量基底的意义，利用共线向量的坐标表示判断作答.

【详解】由于—1x7—2x5W0,所以[=(—1,2),]=(5,7)不共线，可以作为基底，A正确;

由于4x；—(—5)x［—g］=0,所以1=(4,—5),尉=1一5；］共线，不可以作为基底，B错误;

由于零向量与任意非零向量都共线，所以［=(2,3),£=(0,0)共线，不可以作为基底，C错误;

—1x1—2x2/0,所以［=(—1,2),£=(2,1)不共线，可以作为基底，D正确.

故选：AD

10.函数/(%)=2百sin①XCOSGX+2cos2①(0<<1)的图象如图所示，贝I()

A.AX)的最小正周期为2兀

B.y=/(2x+/)是奇函数

TTTT

C.歹=/(x+L)cosx的图象关于直线％=，对称

612

D.若y=/«x)(/>0)在[0,可上有且仅有两个零点，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数"X),结合给定图象求出口，再逐项判断即可.

【详解】依题意，/(x)=V3sin2a)x+cos2cox=2sin(2^x+—),

6

jrjrjrjr]

由f(一)=2,得2G--1—=24兀H—,keZ,解得@=3左H—,keZ,而0<G<1,

33622

171

解得G=—,/(x)=2sin(x+—),/(x)的最小正周期为2兀，A正确；

26

TTTTTT

y=f(lx+—)=2sin(2x+—+—)=2cos2x是偶函数，B错误；

336

y=/(x+—)cosx=2sin(x+—)cosx,令g(x)=2sin(x+巴)cosx,

633

71.7171717t.71

贝!Jg(--x)=2sin(---x)cos(---x)=2cosxcos[---(x+—)]=2sin(x+—)cosx=g(x),

626233

TTTT

y=/(x+—)cosx的图象关于直线x=一对称，C正确；

f(Zx)—2sin(/x4—),/>0,当x£[0,兀]时，tx-\—w[一,tit4—],

6666

依题意，27l<Z7l+—<371,解得，£¥)，D正确.

666

故选：ACD

II.在中，AB=AC=5,BC=6,。为AZ8C内的一点，^.AO=MB+/JAC,则下列说法正确

的是()

A.若。为AZ8C的重心，则4m

25

B.若。为的外心，则X+"=—

32

3

C.若O为AZ8C的内心，则4+4=§

7

D.若。为“BC的垂心，则X+〃=—

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A,由重心可知力+砺+。心=0,根据羽=砺—37，AC=OC-OA>整理可得

AO=~~—OB+—^—OC,即可判断；对B,由等腰三角形的性质可得彳=〃，由外心可知

c_________numuum

AO^A2AB+A2AC+2A2AB-AC^结合余弦定理可得482C，进而判断；对C,由内心可知

BCOA+ACOB+ABOC=0>结合幺°=:;~----OB+-~名一OC,即可求解判断；对D,由垂

线可知O3：C,则彳。元=川砺—叫•充+%/2,整理可得(1—2)1。*=2/2,而

同=e+的，代入求解，即可判断.

【详解】对于A选项，重心为中线交点，则方+砺+反=0，即近=砺+灭"

因为4=2益+=2(砺_厉)+〃瓯_刀)，

则AO=-----------OB+—比—OC,

1—Z—//1—Z—//

X1〃1

所以------------1-------------]

1-2-//，1-2-//

c2J

所以％+4二§,故A正确；

对于B选项，外心为垂直平分线交点，即。的外接圆圆心,

因为43=/。=5,设。为边5c的中点，

所以砺=1■(方+4),AOHAD,

所以4=〃,

因为历=7万+〃％，所以而2=万万2+42X2+23在.就,

天,AB2+AC2-BC225+25-367

在AZ8C中，cosA=----------------------=---------------=—

2AB-AC2x5x525

则sinA=Vl-cos2A=-

25

—=2R=2

sinZ

(、2

67?5

所以=2523+2522+222-5x5x—,易知;l〉0,所以;1=一,

c24

2x—2564

25J

25

所以2+〃=五，故B正确;

对于C选项，内心为角平分线交点，

♦.•西、江分别为方、就方向上的单位向量,

cb

,AB!AC

平分NA4C,

b

be

..为=2（理+江）,令；1=

cba+b+c

-A0=—^—ABAC,

——+----）

a+b+ccb

化简得(a+b+c)刀+力在+c近=0

aOA+bOB+cOC^

则8c京+ZC•砺+=

即6刀+5加+5反=0，所以而=|■砺+1■反，

66

,,,25a55

由A选项，贝！J=-,-----=：,则4=〃=一,

1-2-/zo1-Z-//616

所以2+〃=（，故c错误；

对于D选项，垂心为高线交点，设垂足为边/C上点E,则3,E,。共线,

根据等腰三角形的性质，已知而=4通+〃次，2=〃，

所以4.ZC=；l（方+/卜/=；1（砺—厉）/+/1%2,

因为OBL/C，则万.元=—%万.充+%充2,即（1—2）而.％=2^^,

因为N0=N豆+豆0，所以（1—冷（衣+豆可•正=%充2,

/、--►--►----2

即（1-X）/E2C=；UC，

=-AB-AC-smA=-AC-BE,所以B£=%,

因为S“BC

225

7

所以AE=NAB2-BE2

5

77

所以（1—4）义^义5=2*52,解得2=正

7.

所以％+〃=而"，故D正确.

故选：ACD

【点睛】知识点点睛：AZ8C的“四心”，可知:

（1）重心。为中线交点，则方+砺+反=0；

（2）内心。为角平分线交点，内切圆圆心，则+・赤+心=0；

（3）外心O为垂直平分线交点，外接圆圆心，贝小刀|=|砺|=|瓦卜

（4）垂心。为高线交点，则方•反三砺-丞三。口方=0.

第II卷

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量°与b的夹角为30°，1°|=，g1=1,则|口+们=-

【答案】V7

【解析】

【分析】根据归+0=标时求得结果.

【详解】：=6xlxcos30°=3,

2

•••卜+0=‘R+盯=涓1+土］+击=不.

故答案为：、斤.

/7

13.在AZ8C中，内角N,B,C所对的边分别为a,b,c.已知/b,c=2,sin/=-

2

C

cos2T4-COS2B=V3sinCOSA-----sin25，则AABC的面积是.

2

V3+3

【答案】

3

【解析】

【分析】由已知利用三角函数恒等变形化简，得sin（2Z-巴）=sin（28-与，可得/+8=,从而可得

66

TTTT

C=—,又/=:，正弦定理可求。，再由三角形面积公式得解.

34

l+cos2Z1+cos25百.,V3.,

【详解】由题意得,--------------------------——sin2?!sin2Bn,>

2222

即——sin2A——cos2A=——sin25——cos2B

2222

sin(2^-—)=sin(25-—),由标6得，AwB,又/+5c(0,兀)，

66

得2Z—代+28—巴=兀，即/+8=如，所以C=4；

6633

Ba_c276

由。=2,sinA=----

2sinZsinC寸"3

jrc°sA=①

由"C,得/<C,从而

2

.nn7i.n

=sin—cos一"Fcos—sm—=

3434-4-

所以AABC的面积为S=-acsmB=±8.

23

故答案为：@±2

3

flTT\TT

14.已知函数/(x)=〃?sin[5X—zJ-sinx+2在-,2?r上有两个不同的零点，则满足条件的所有加的

值组成的集合是

【答案】(-272,-3}

【解析】

【分析】将原函数转化为同角三角函数/(x)=msin|；x—：)+2sin21gx—：)+1,再利用对勾函数的

性质数形结合，分类讨论处理即可.

•\1兀）\兀）。•[1|-2|1兀）[

【详解】解:/（X）—msin—xcosx----+2—//zsin—x—+2sin-x------+1,

（24）\2）\24）\24）

l

贝|J加sin（—x-C1+2sin2（―x—巴]+1=2t+m/+i

[24[24

则/(x)=0<=>2/2+mt+l=0(*)

当/=0时，显然/(x)=o无解；当1»/>0时(*)可化为—加=2/+：.

利用对勾函数的性质与图象可知(如下图所示)：-加e[2j5,+8)

①当一加=2&时，即sin［；x—：］=/=(■，止匕时x=兀或x=2兀，符合题意；

13兀5兀

②当—加=3时，即，=1或%=—,止匕时x=——或％二——，符合题意；

226

1711兀C可得/一巳［0,胃,

③当一冽〉3时，即/＜一，由，=sin—X---<—.X€［产

2242

易知当/二"〈一时，只有一■个解与满足，不符合题意；

2

④当―加€(2万,3)时，/£匕,1)即sin［gx_巳卜

方程—加=2/+1有两根，不妨记为4/2，其中。=sin［wx—，只有一个根，

L\'I/、^7\7

t2=sinfe-^-,1有两个根，故方程有3个解，也不符合题意.

(24；2J

...满足条件的所有m的值组成的集合是：卜2血,-3}.

故答案为：卜2j^,-3)

四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在平面直角坐标系中，已知点4(-1,-2),8(3,1),C(-4,-3).

(1)求向量方在前的投影向量的坐标;

(2)求AZ8C的面积.

【答案】(1)

(2)—.

2

【解析】

【分析】(1)由投影向量的定义求解即可；

(2)由数量积的定义和模长公式求出cos/B/C,再由同角三角函数的基本公式求出sinN氏4C,最后由

三角形的面积公式求解即可.

【小问1详解】

因为刀=(4,3)，AC=(-3,-1)，

_.AB-AC4x(-3)+3x(-1)—_3—_(93

ACAC==,

所以益在NC上的投影向量为：|—12-=(_3)2+(_1)2—~2(22

【小问2详解】

■.­|2g|=A/42+32=5,|^c|=7(-3)2+(-1)2=V10,

A8-l4C=4x(-3)+3x(-l)=-15，

/…ABAC-153而

••cosABAC—।(.=----/^―-----,

网..q5xVi(jio

兀)，.•.sin/8ZC=巫，

10

=g|方H*|.sinN8NC=gx5x而x雪

16.已知函数/(X)=(10g2X『一log?、-2.

(1)若/(x)<0,求x的取值范围；

(2)当;<x<8时，求函数/(x)的值域.

【答案】(1)(1,4j

9,

(2)--,4

_4_

【解析】

【分析】(1)设，=10g2X，将不等式转化为二次不等式，解不等式，结合对数函数的单调性及对数函数的

定义域解不等式即可；

(2)设/=10g2X,可得/e[-2,3],该函数可转化为关于/的二次函数，根据二次函数的性质求值域.

【小问1详解】

设/=log2X,x>0,reR,

2

所以f(x)=(log2x)-log2x-2<0,即/一/一2<0，

解得—1</<2,

所以一l<log2X<2,解得g<x<4,

即x£,4j；

【小问2详解】

由（1）得，当^4x48,tG[—2,3],

所以函数可转化为丁=/7—2,/«—2,3],

19

当，二—时，y取最小值为一—,

24

当，=—2或，=3时，V取最大值为4，

即当x=0时，/（X）取最小值为/（、历）=一（，

当x=；或x=8时，/（X）取最大值为/[；]=/（8）=4,

9

即函数“X）的值域为-『4

17.如图，在AZ8C中，。是3c中点，£在边上，且BE=2EA，4D与CE交于点、0.

（1）用益，/表示N5；

—.2—►—

(2)过点。作直线交线段45于点G,交线段4C于点且4G=§48,AH=tAC，求，的值;

AR

(3)若9.就=6万.的，求下的值.

AO

【答案】(1)AO=-AB+-AC

44

、2

(2)t——

5

(3)——=J3.

AC

【解析】

【分析】（1）由E,O,C三点共线，得益=〃/+（1—〃）%，又而=4而，从两个角度用与，AC

表示NO，从而得儿〃的值得解；

（2）因为〃，O,G三点共线，所以芯=加就+（1-加）N万，转化为用赤，*表示与，可得加/的

值；

（3）用益，就表示瓦，豆4，从而进行数量积运算.

【小问1详解】

因为4,0,。三点共线，所以质=彳而，（2eR）,且E,O,C三点共线，

所以存在实数〃，使历=〃衣+（1—〃）%，其中。是BC中点，且BE=2E4,

1="方+卜前

所以＜AO=AAD=A「\-AB+-2AC

~A0=/dAE+{\-/d)AC=二方+（1—〃）就

1%〃

—A=­

即1

m=（l-"）

13

解得X=一,"二:，

24

所以前=4方+!/.

44

【小问2详解】

因为〃，O,G三点共线，所以存在实数加，使万5=加就+(1—⑼屈，

—.2—■—.—.2Z77--*--*

其中ZG=§45,AH=tAC^所以力。==—AB+(l-m)tAC,

2m1[3

m=—

3-48

根据平面向量基本定理可得：\\即nnj2，

（1-加）匕t=-

l5

所以/=一.

5

【小问3详解】

万.4=6血友=6、方+；/；（次+可

3/1—，2--22—►—

=^\--AB+AC+-AB^AC\,

----21-2A.BI-

整理可得：AC=—AB,所以一=V3.

3AC

18.已知AZ8C内角A,B,C的对边分别是。，b,c,acos(5-C)+acosA=2A/3CsinBcosA.

A

B

(1)求A的大小；

(2)若5C=2,将射线A4和射线C4分别绕点3,。顺时针旋转15。，30°,旋转后相交于点。(如图

所示)，且NZMC=30。，求4D.

【答案】⑴A=60°

⑵—.

3

【解析】

【分析】(1)利用两角和(差)的余弦公式展开得到asin5sinC二J}csin5cos/，再利用正弦定理将边

化角，即可求出tanZ,从而得解；

(2)在中，由正弦定理求出4C,再在中，由正弦定理求出C。，最后在中利用余

弦定理计算可得.

【小问1详解】

,•*cosA=-cos(5+C),acos(B—。)+acosA=2A/3CsinBcosA,

/.acos(5-C)-acos(5+C)=2也csinBcosA,

/.acosBcosC+asin5sinC-acosB