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文档简介
机密★启用前(新教材卷)
华大新高考联盟2024届高三4月教学质量测评
数学
命题:
本试题卷共4页。满分150分,考试用时120分钟。
祝考试顺利
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置,认真核
对与准考证号条形码上的信息是否一致,并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。
2.选择题的作答:选出答案后,用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。
3.非选择题的作答:用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答
在试题卷上或答题卷指定区域外无效。
4.考试结束,监考人员将答题卷收回,考生自己保管好试题卷,评讲时带来。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。
1.若集合A={xRf—16xW04B={x|y=ln(5x-2)},则AIB=
516
A.<XQ<X<—>B.<尤—<x<—>
223
216
C.sx0<x<—>D.《龙—<x<——>
553
2
2.已知z=(2a-l)+(a+l)z'(ae,则"忖=0''是"的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.如图所示,己知一质点在外力的作用下,从原点O出发,每次向左移动的概率为三,向右移动的概率为
3
若该质点每次移动一个单位长度,记经过5次移动后,该质点位于X的位置,则尸(X>0)=
-4^3-2HO123456^
5052217
B.------C.D.
243243981
4.青少年视力问题是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法
记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV,已知小明和小李视力的五分
记录法的数据分别为4.5和4.9,记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为匕,匕,则e
A.(1.5,2)B.(2,2.5)c.(2.5,3)D.(3,3.5)
1+tan190°2cos70°
5.-------------------------------=
1-tan370°sin40°
A.tan20°B.tan70°C.-tan10°D.-tan40°
6.已知正方体ABC。—A4CR中,点E是线段64上靠近用的三等分点,点尸是线段RG上靠近R
的三等分点,则平面AEF截正方体ABC。-44CR形成的截面图形为
A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形
3«i509
7.已知数列{4}的前n项和为5“,斗=1,S?=3,且彳4+1是2a“,4+2的等差中项,则使得£—>--
2i=ici-12o
成立的最小的n的值为
A.8B.9C.10D.11
8.若关于x的不等式a(lnx+lna)W2e2X在(0,内)上恒成立,则实数。的取值范围为
A.(0,e]B.(0,2e]C.D.(0,e2]
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.若函数/(力=卜2_(加—2卜+1]在一;,;上单调,则实数机的值可以为
2
A.-1B.C.D.3
22
10.已知函数〃%)=sin(ar+0)(t9>O),则
jrjTC
A.若。=3,(p=~,则将函数/(%)的图象向右平移二个单位后关于y轴对称
318
,一一、
若函数/⑴在序;二171
B."上有最小值,无最大值,且//=/则。=5
3JW
(5/r、
C.若直线无=?为函数/(%)图象的一条对称轴,,0为函数/(五)图象的一个对称中心,且/(%)
7
,TC18
在丁,L上单调递减,则。的最大值为:
146J17
若/(x)=g在XG兀3%“16、
D.上至少有2个解,至多有3个解,则064人
7
II.已知抛物线C:=2px(/?>0)的焦点为尸,点跖N在抛物线C上,则
\MF\33
A.若M,N,尸三点共线,且^一=-,则直线MN的倾斜角的余弦值为土一
\NF\47
V22
B.若M,N,尸三点共线,且直线的倾斜角为45。,则△OMN的面积为
C.若点A(4,4)在抛物线C上,且M,N异于点A,AMLAN,则点M,N到直线y=—4的距离之积
为定值
D.若点A(2,2)在抛物线C上,且M,N异于点A,kAM+kAN=Q,其中左AM>1,则
2尺
|sin4FMN-sinZFNM\<
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
22
xy=1(。>0力>0),四位同学给出了四个说法:
12.关于双曲线C:/一记
小明:双曲线C的实轴长为8;
小红:双曲线C的焦点到渐近线的距离为3;
3
小强:双曲线C的离心率为一;
2
小同:双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1;
若这4位同学中只有1位同学的说法错误,则说法错误的是;双曲线C的方程为.(第一空的
横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”)
13.已知等边△ABC的外接圆。面积为36兀,动点”在圆。上,若+,则实数;I
的取值范围为.
14.已知空间四面体ABC。满足A3=AC=DB=DC,AD=2BC=6,则该四面体外接球的体积的最
小值为•
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验,由于土壤相对贫瘠,前期作物生长较为缓慢,为了增加作物的
生长速度,达到预期标准,小明对自己培育的一株作物使用了营养液,现统计了使用营养液十天之内该作物
的高度变化.
天数X12345678910
作物高度y/cm9101011121313141414
(1)观察散点图可知,天数X与作物高度y之间具有较强的线性相关性,用最小二乘法求出作物高度y关
于天数x的线性回归方程9=京+&(其中另用分数表示);
(2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm,请根据(1)中的结果预测第22天该作物的
高度的残差.
一一(%-歹)
参考公式:日=上―-------------,a^y-bx.
♦(XL元)2
1=1
10
参考数据:Z%y=710.
i=l
16.(15分)
已知数列{%}的前〃项和为S”,且g=3,2Sn=n(an+2).
(1)求数列{4}的通项公式;
*111
(2)若存在,使得——+——++------成立,求实数2的取值范围.
a2a3
17.(15分)
已知四棱柱ABCD—44CR如图所示,底面ABC。为平行四边形,其中点。在平面4452内的投影
为点4,且A8=朋=2AD,ZABC=120°.
(1)求证:平面48。,平面ADRA;
(2)已知点E在线段G。上(不含端点位置),且平面ABE与平面BCGg的夹角的余弦值为,,求
DE
18.(17分)
已知函数〃尤)=山(1+力=-7——.
(1)求曲线y=/(x)在(OJ(O))处的切线方程;
(2)若讨论曲线>=/(%)与曲线y=—2cosx的交点个数.
19.(17分)
22
已知椭圆C:a+%=l(a>b〉O)短轴长为2,左、右焦点分别为月,F2,过点尸2的直线/与椭圆C
UUULUUL1UULLUUUL
交于M,N两点,其中M,N分别在X轴上方和下方,MP=PFl,NQ=QF1,直线尸与与直线M。交
于点G1,直线。工与直线NO交于点G2.
(1)若G1的坐标为,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,过点尸2并垂直于X轴的直线交C于点8,椭圆上不同的两点A,。满足|鸟山,
|心理,|乙。|成等差数列.求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围;
(3)若4sAMNG]43sANF'G\45s&MNGJ求实数。的取值范围•
机密★启用前(新教材卷)
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数学参考答案和评分标准
一、选择题
题号1234567891011
答案DBDCACDBCDACDBCD
1.【答案】D
【命题立意】本题考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合的运算,考查数学运算、逻辑推理的核
心素养.
]A9
【解析】因为A=1x|x(3x-16)<o!=<%0<x<—>,B=1x|5x-2>0j=<xx>—>,则
216
AB=<x-<尤<■—■>,故选D.
53
2.【答案】B
【命题立意】本题考查复数的概念、充要条件的判定,考查数学运算、逻辑推理的核心素养.
【解析】因为|z|=^(2a-l)2+(a+l)2=J5,化简得5a2—2a=0,解得a=O或a=[,故“目=夜”
是“。=2”的必要不充分条件,故选B.
5
3.【答案】D
【命题立意】本题考查互斥事件的概率、二项分布,考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.
【解析】依题意
17
P(X>0)=P(X=5)+P(X=3)+P(X=l故选D.
81
4.【答案】C
【命题立意】本题考查指对数的运算,考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.
【解析】依题意,4.5=5+坨匕,4.9=5+lg%,两式相减可得,0.4=lg%—坨匕=故
4而
H=10°=^/100,2S«98<100<35=243,故w(2.5,3),故选C.
5.【答案】A
【命题立意】本题考查三角函数的诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系,考查数学运算、逻辑
推理、直观想象的核心素养.
sin10°
+
.aql.辽l+tanl90°2cos70°1+tan1002sin200Cos10°2sin20°
【解析】依题意----------------------=---------------------=—c°s*。----------
1-tan370°sin40°1-tan10°sin40°।sin102sin200cos20°
cos10°
(cos100+sin100)"1_l+sin20°
---------=tan20°,故选A.
cos2100-sin210°cos20°cos20°cos20°
6.【答案】C
【命题立意】本题考查空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理,考查数学运算、逻辑推理、
直观想象的核心素养.
【解析】作出图形如图所示;不妨设A8=6,分别延长AE,4线交于点G,此时4G=3,连接尸G交4G
于H,连接即,设平面A所与平面。CG2的交线为/,则Fe/,因为平面〃平面。CG2,
平面AEFI平面平面AEFI平面DCC]R=/,所以/〃AE,设/ID}D=I,则
4
FI//AE,此时故/R=§;连接4,则五边形为所求截面图形,故选C.
7.【答案】D
【命题立意】本题考查数列的递推关系、等比数列的定义、累加法、错位相减法,考查数学运算、逻辑推理
的核心素养.
【解析】依题意,4+2=3a“+1-2an,故an+2-an+l=2(a„+1-a„),而出一4=S2-2S1=1w0,故数列
1
{an+1-an}是公比为2的等比数列,则an+i-an=2'-,由累加法可知,%=2^',故
9i12_ni12zi白i人2+几
=+方+L+声,22丁=声+京+LT+后,两式相减可得,E:=4-宁T,令
i=lClj乙乙乙,=1Clj乙乙乙,=1cZ-乙
.2+n5092+n3
4------->-----,即o----—<---,
2"-'1282"T128
在(0,+8)上单调递减,解得〃>10,故选D.
8.【答案】B
【命题立意】本题考查利用导数研究函数的性质,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】依题意,ax]n^ax)<2xe2x,故6侬叫11(砒)42比2*,令/(%)=叱,XER,由
/'(x)=(%+1)e"可得x=—1是/(%)的极小值点,/(九)在(一8,—1)上单调递减,在(-l,+oo)上单调递
增,且当x<0时,/(x)<0,当%>0时,/(x)>0.由/(lna¥)W/(2x)(x>0),得ln(ar)W2x,
贝iJaW—对任意的xe(O,+x))恒成立,令g(x)=——,xe(0,+8),则g(x)=----总—,故当
XJCX
xe0,-g'(x)<0,g(x)单调递减,当xe-,+oo时,g,(x)>0,g(x)单调递增,故
[g(x)]min=g;]=2e,则a42e,故a«0,2e],故选B.
二、选择题
9.【答案】CD
【命题立意】本题考查二次函数的图象与性质,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
m-21fm-21[m-21
-----<一,
2--22----22-----2
【解析】令/z(x)=x2-(m-2)x+l,则或或或
h->0,h--<0,h-->0,
、\2j〔(2)1I2,
m-21
Q,
2291
\,1、解得34m4大或一二WmWl,
士。,22故选CD.
10.【答案】ACD
【命题立意】本题考查三角函数的图象与性质,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
£(5%).(„5兀.
[解析]/x----=sin3x------1—=sin3x--=—cos3x,其图象关于>轴对称,故A正确;
H18J163;\2)
nn
—1—
.CD7171,(D71兀_j37r/,„\
当%=气3=(时,〃%)有最小值,所以sin—F—=—1,所以一^—F—=H—1(keZ),
14兀兀、TCTC71
所以0=8左+彳(左eZ),因为/(%)在区间上有最小值,无最大值,所以7—:<一,即刃<12,
3、63)34®
CD7C377T/7
—\-(p—+eZ)
14+(p=k7i(keZ)则0=9或电,故c正确;令
令左=0,得①=可,故B错误;令,22
31717
Tn5»5»7»
—2-------~—
206412
兀5万_-(p+2k7i+
0%+°=2&%+彳(左eZ)或。龙+0=2左左+不(左eZ),则x冰eZ)或
CD
4J)n
X=,则需要上述相邻三个根的距离不超过;7,相邻四个根(距离较小的四个)
CO2
2»乃
—&—
7132解得0e4,为],故D正确;故选ACD.
的距离超过二,即1
8»
2——>—71_3)
2
11.【答案】BCD
【命题立意】本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的综合性问题,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的
核心素养.
PP
\MF\3\MF\i3
_1-COSQf+C0SCir
【解析】对A,设直线MN的倾斜角为a,则段一1或西一“解得
NFP
1+cosa1一cosa
P2p2_A/2
1°2
cosa=±-,故A错误;对B,'AOMNP,故B正确;对C,此时抛物线C:
2sincr一亚2
2x—
2
x-4=t(y-4)
“4」则
_/=4光,设直线AM:%-4=('一4)«w0),设N[x2,y2),联立<
/-4/>+16(?-1)=0,故y=4或y=454,则点M到直线y=-4的距离为+4|=固,则点N
,14“4,,
到直线y=-4的距离为4--,故所求距离之积为4f•一=16,故c正确;对D,此时抛物线C:
y2=2x,设直线AM:y-2=k(x-2),与抛物线方程联立可得62一2y+4—44=0,则
4—4左2—2k2+2k
则W丁用-左替换可得则
,/、2、,/\2、
%-%_%-加_2_12(1一左)2-2k2(l+k)2+2k
~22—.一G,贝72,7,N万,■
XM~XNIkk
22
2-2k12(14)211।
故直线MN:y-1-%--2,即y=—彳%+万—i,则点F到直线MN的距离
rZk2化
12-2左2
2J">1),
d
2回I)
111
而|sin/FMN-sinZFNM\=d
\FM\网1
XM+2
5k-45k-4
5132k316kk
-2A/5F-25P-24F+16飞’25左2—24+牛4丫
5k-+16
k2k)
令f=5^-—>1故
k
]At1611_161275
|sinZFMN-sinZFNM\=下•——<飞一,当且仅当
~16十予蓝8
V5r+16忑/+——
/=4时等号成立,故D正确;故选BCD.
三、填空题
12.【答案】小强;---^=1.
169
【命题立意】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的性质,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】分析可知,小明、小红、小强三个人中必有1位同学说法错误,则小同的说法一定是正确的,即
%y«
c-a=l,则小明和小红正确,即双曲线C:故小强的说法错误.
169
13.【答案】[72,+8).
【命题立意】本题考查平面向量的数量积,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】依题意,1N=36兀,故R=6,在△ABC中由正弦定理得=12,则43=68;取
sin60°
线段AC的中点N,MAMB+MBMC=MB(MA+MC^=2MBMN;取线段BN的中点P,则
21226+
MBMN=MP——BNMP=MP2<(MO+OP)=|^1^|二竽,故
4
22581
MBMN<-----------=36,则4272.
44
14.【答案】367t.
【命题立意】本题考查空间几何体的表面积与体积,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】设E,尸分别为8C,的中点,连接AE,DE,BF,CF,由已知,AB=DB,AC=BC,BC=BC,
故△ABC/ZXDBC;因为E是2C的中点,所以AE=OE;因为故石k^AD,即所是线段A。
的垂直平分线,同理可得,EF是线段BC的垂直平分线,故球心在EF上,设球的半径为R,则
OB+OC>BC=327?>3
即4故R23,当且仅当。为线段的中点时等号成立,故所求外接球体积
0A+0D>AD=62R>6
的最小值为367t.
四、解答题
15.【命题立意】本题考查回归直线方程的概念与运算,考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.
-1+2+3+4+5+6+7+8+9+10__
[解析](D依题息,x=-----------------------------------------=5.5,
10
-1+1+2+3+3+4+4
9=10+----------------------------=12,
10
1010
2(芝•一元)(%一歹)Z玉、一1°取
710-10x5.5x1220
故。=旦飞---------1=1
£2s—2385—10x5.5233
-可”,TOx
i=li=l
-巴竺
-23故所求回归直线方程为J=—X+y.
3323
(2)由(1)可知,当%=22时,y——x22H-----=22cm,
333
故所求残差为21.3—22=-0.7cm.
16.【命题立意】本题考查数列的递推关系、裂项相消法,考查数学运算、逻辑推理的核心素养.
【解析】(1)当“=1时,2S]=2q=q+2,解得a1=2;
当篦N3时,2Sn=n(a„+2),2sl=("-1)(%+2),
两式相减可得,(〃—2)%—=—2,
1111
则1_2__2
Ti-ln-2n—2n—1n-2n-3n-3n—2…,万一T
aa、4—2〃
累加可得,—------=------,则4=〃+1;
n-l1n-l
而〃=1,2时也符合题意,故。〃=〃+1;
1111
(2)依题意,------=----------=-----------
anan+x(〃+1)(〃+2)n+1n+2
故,i1111111n
H---------F-+-—I—--I——I---
anan+l2334n+1n+22("+2)
111rin
解法一:故----+----++>2a=>------->2(/z+2)=>2<
"M2(〃+2)2(〃+2)2'
dZja?a2a3anan+l
n
贝”W
2(〃+2产
max
n11
而u-----P477(当且仅当"=2时取等号),
2(〃+2)~2.+壮+416
(1
故实数%的取值范围为—8,二•
I16」
解法故
111111111
>+2)=2<
----1----++2
a2a2%"”+12n+22("+2)(n+2)n+24
111
当〃+2=4即”=2时,
2(〃+2)(〃+2)216
max
1(11
则2W—,故实数7的取值范围为-8,、.
16\1166
17.【命题立意】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的
核心素养.
【解析】不妨设AZA1.
(1)证明:因为4。,平面ABC。,ADu平面ABC。,故4£>_LA£>;
在/XADB中,48=2,AD=1,ZDAB=60°,
由余弦定理,=452+32—2AB-AD.COSNZM3U22+F—2x2xlxcos60°=3,得百;
故4。2+5£>2=.2,则加,..
因为A£>cDB=£>,所以平面48。;
而ADu平面ADR4,所以平面43。,平面ADRA•
(2)由(1)知,DA,DB,£>A两两垂直,以。为坐标原点,分别以向量。4,DB,£叫的方向为x,
y,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系£>-邙.
则。(0,0,0),4(1,0,0),3(0,五0),4(0,0,同,4-1,疯0),衣=(-2,后0),4。1=4。,
所以45=(0,6,—6),DC[=1-2,区⑻,
设DE=2DC1(O<2<1),则DE=ADC,=(-22,732,732),即E(—22,后,后)
所以4E=卜24后,后—百);
(rUULI
rn-A^B=0
设“=(再,乂,为平面防的一个法向量,贝卜
4)4ruuur
〃Ai£=0
岛-后=0
即〈.
—24玉+百孙+(后-@Z]=0
令4=22,则%=2;1,西=2后一Q,取三=(2⑨一行,2424卜
易知W平面BCC4,故克=(0,1,0)为平面5CC]耳的一个法向量;
设平面\EB与平面BCCXBX的夹角为a,
\n-m\22V5
则cosa=',.----
川•网V2O22-122+3
八1DE1
解得"7,故西=§.
18.【命题立意】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的性质,考查数学运算、逻辑推理、直观想
象的核心素养.
【解析】(1)依题意,/'(%)=J+--~r,
1+x2(1+中
故广(0)=5,
33
而/(o)=—1,故所求切线方程为y+1=5无,即y=5九—1;
(2)令ln(l+x)——2-——=-2cosx,故ln(l+x)+2cos
%—/=0,
A/1+x
令S(%)=In(1+1)+2cosx—/
A/1+x
11_21I_3
-2sinx+—(1+%)2,令可尤)=g[x)=-2sinx++%)2
1+X1+X
13_5
〃(%)=--2cosx-a(l+%)2,
(1+4
(71?_5
①当工£—1,—时,cosxNO,(1+X)>0,(l+x)-2>0,
k2_
JI/
;./?(%)在T,》上为减函数,即g'(%)<0在一1,不上为减函数,
iii_2i11
又g'(0)=i+5>0,^,(1)=7-2sinl+7,22<7-2,7+?=0,
.•.g'(x)在(0,1)上有唯一的零点,设为X。,即g'(Xo)=O(O<%o<l).
/冗
g(x)在(-1,%°]上为增函数,在Xo,—上为减函数.
方7777|
又g(0)=2-1>0,g(-1)=皿1-J+2cos(--)—=ln(l--)+72-I<0,
f4
4FI
、
71=lnfl+-
g—।>0,
2.I2j
/n
71
g(x)在(T,%)]上有且只有一个零点,在飞,彳上无零点;
\2_
715兀1]_2
②当XG时,g'(x)<-----—l+/(l+x)2<0,g(x)单调递减,
~2"~61+X
1
5吟=ln1+2/\-2
又g—>0,g—A/3—1H------<In4—y/3<0,
I2J67I6I6)
(71571
***g(%)在xe、万'不内恰有一零点;
5413_5
③当xe,71时,”(力=一-2cos%—7(1+X)2为增函数,
~6(1+X『
5
:.”(九)>h1---1+—>0,
4I6
/5兀
・・・g'(x)单调递增,又g'⑺>0,g<0,
I6
51)/5不、
,
・•・存在唯一不£,使得g'(玉))=0,当工£—,x0时,g(x)<0,g(x)递减;
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