高中数学压轴题复习-探索分段函数的图象与性质（剖析版）

专题L1探索分段函数的图象与性质

一'方法综述

分段函数：对于自变量X的不同的取值范围，有着不同.的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它

是一个函数，而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并

集.

求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系.若

自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期.若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的

解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围.

对于分段函数应用题，尤其是求最值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合起来进行比较.要注意

分段函数值域是各段上函数值域的并集，最大（小）值是各段上最大（小）值中最大（小）的.

二,解题策略

类型一：分段函数的图象

例1.【2019河北保定上学期期末考】定义运算°㊉0={27工则函数/）=1㊉，。叱的图象是（）

C.D.

【答案】C

=[h（a<b）

【解析】从定义运算4㊉。（a（a>b）上看，对于任意的a,b,〃㊉。实质上是求a与b中最大的，，1㊉log2X

就是取1与log2X中较大的一个，，对于对数函数y=log2X，当后2,log2%Nl,・••当0Vx<2时，f（x）=1.

fl,0<x<2,

/（元）=1㊉10g2%=S，故选C.

-[log2x,x>2

【名师点睛】函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供

了“形”的直观性.

x2%<0

1

f⑺=宛〉0

【举一反三】【2019湖北1月联考】已知函数X，g⑺=-K-x),则函数9(久)的图象是(

【答案】A

【解析】因为g。)=-/(一幻,所以g(x)图象与f(x)的图象关于原点对称，由五X)解析式，作出f(x)的图象

如右图，从而可得g(x)图象为A选项.

类型二：分段函数的周期性

_（x+a,-1<x<0

例2.[2019广东六校一联】在R上函数八久）满足f（*+1）=f（K-1）,且八町一（|2-x|,0<x<l,其中aeR,

若f（-5）=，（4.5）,则°=（）

A.0.5B.1.5C.2.5D.3.5

【答案】C

【解析】在R上函数人支)满足f(x+l)=f(K-l),可得到函数的周期为2,故

/(-5)=f(-1),f(4.5)=/(0.5),故f(-l)=a-l,f(0.5)=1.5,所以a-l=l.5,解得a=2.5.

故答案为：C.

【名师点.睛】判断周期函数的一.般方法：

(1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含

条件，合理赋值，巧妙转化.考点梳理栏目中有关周期的结论应熟记.

T

(2)公式法：若函数次x)是周期函数，且周期为T,则函数五次+»(d0)也为周期函数，且周期7=亩.

Ml

2

=<X+2,xe[0,1)

【举一反三】【2019安徽肥东8月调研】已知定义在R上的函数/(%)满足久e[-i,0),且

2%+5

f(％+2)=q(x)=

'久+2,则方程〃久)=9(久)在区间[-5,1]上的所有实根之和为()

A.-9B.9c.-7D.7

【答案】C

【解析】由题意知以》)=竽=喙"=2+W，即g(x)的图象关于点(-2,2)对称，函数f(x)的周期

X+2*+ZXT2

为2,则函数f(x),g(x)在区间［-5,1］上的图象如图所示：由图形可知函数f(x),gG)在区间［-5,1］上的

交点为月，B,C,易知点8的横坐标为一3,若设c的横坐标为tevtvi),则点4的横坐标为-4-1,所以

方程f&)=g(x)在区间［-5,1］上的所有实数根之和为-3++t=-7,故选C.

类型三：分段函数的奇偶性

例3.12019山东济南模拟】若函数I9(K)，工<0为奇函数，则/Xg(-3))=()

A.-3B.-2C.-1D.0

【答案】B

【解析】函数【g(x),x<°为奇函数，于(g(-3))=/［-(log33-2)］=/(1)=log31-2=0-

2=-2,故选2.

【名师点睛】判断函数奇偶性的方法通常有：

(D定义法：根据定义判断.

(2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，人x)为奇因数的充要条件是函数况x)的图象关于

原点对称；氏0为偶函数的充要条件是函数.心)的图象关于1-轴对称.

(3)运用奇、偶函数的运算结论.要注意定义域应为两个函数定义域的交集.

【举一反三】已知函数/(%)=1'—是奇函数，则〃g(—1))=.

g(x),x<0

【答案】-15

【解析】f(g(~l))=/(-/(1))=A—3)=-f(3)=-15.

类型四：分段函数的单调性

e2x-2x+a,%>0

例4.12019河北廊坊联合体三联】若函数“勾=卜X+3"2：xWO在(-8,+8)上是单调函数，且/(久)存

在负的零点，贝3的取值范围是()

1]23(0.|]2

A.4B.S习c.(于+8)

D.3

【答案】B

【解析】当x>0时，f'CO=2e"-2>0,所以函数/在(-s，+8)上只能是单调递增函数，又/(均存

在负的零点，而当x>0时，f(0)=l-a,当xM0时，f(0)=3a-2,二0<3a-2S1一解得汴a钻，故选B.

【名师点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，考查分类.讨论思想，转化思想以及计算能力.其

中熟练掌握分段的基本性质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解决问题的

能力，属于偏难题.

,(a-3)%+5,%<1

f(x)=四久>1

【举一反三】【2019甘肃兰州一中模拟】已知函数久’是(-8,+8)上的减函数，则

a的取值范围是()

A.(0,3)B.(0,3]C.(0,2)D.(0,2]

【答案】D

【解析】因为函数/'(X)为R上的减函数，所以当XW1时，/(%)递减，即a-3<0,当X>1时，/㈤递减,即a>o,

2a

(CL—3)x1+52—

且1,解得aW2,综上可知实数a的取值范围是(0,2],故选D.

三、强化训练

=(回数+4)，久>°

1.【2019陕西四校联考】已知函数八町一1工+2,久W0,且f(0)+f(3)=3,则实数a的值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由题意知，/(。)=2,又/'(。)+/(3)=3,则/'(3)=1,又/'(3)=仞(3a+4)=1,解得a=2.故选B.

.[[-V-7,x<0

fO)=⑵

2.【2019好湖北四地七校10月联考】己知函数]。%(%+1)，£20,若f(a)<l,则实数a的取值范

围是()

A.(-8,-3)U[0,1)B.(-3,0)U(-l,1)C.(-3,1)D.(-8,-3)U(l,+oo)

【答案】C

t解析】f(a)<1,当a<0时，(丁一7<1,解得a>-3,.---3<a<0.

当aNO时,log2(a+l)<l,解得0±a<l.

综上可得-3<a<1.故选C.

“八_f(l-2a)x+3a(x<1)

3.12019山东师大附中二模】函数八町一Il^x>1)的值域为R,则实数a的范围()

[11\/1\

A.(-8,-1)B.kIC.I1,2)D.[0,2)

【答案】C

_[(1-2a)x+3a(x<1)(1-2a>0-1<a<-

【解析】因为函数八^>1)的值域为R,所以1(1-2a)+3a20,解得一2,故选

C.

=e2，x<2,

4.【2019河南开封一模】已知函数一“。93(久-1)，久22,若/"(a)21,贝！|a的取值范围是

A.[1,2)B.[1,+8)C.[2,4-00)D.(-8,-2]Ufl,+oo)

【答案】B

f(x)=[x<2>fa<2fa-2(a<2

【解析】•/llo93(x-1)，*N2,"(a)",..臬。-】之1或〃。做。T)，即(a-120或

[a>2

U2-l>3,即14a<2或aN2,a的取值范围是[1,+oo),故选B.

5.【2019河北衡水中学一摸】对于函数丫=/(无),若存在与,使/'(殉)+/(-%)=°,则称点(久0,f(久o))是曲

2

f(x\-(x+2x,x<0

线了(幻的“优美点已知八L(T+2,%>0,则曲线/(幻的“优美点”个数为

A.1B.2

C.4D.6

【答案】B

【解析】曲线f(幻的“优美点”个数，就是x<0的函数f(x)关于原点对称的函数图象，与丫=2-x的图象

的交点个数，由x<0可得/'(x)=产+2x,关于原点对称的函数f(x)=-x2+2x,x>0,联立y=-x+2

和)，=-r+2力解得x=l或》=2,则存在点(1,1)和(2,0)为“优美点”，曲线f(x)的“优美点”个数

为2,故选B.

x

/(X)=2-°

6.12019广东佛山二模】若函数1--+2久+i,%<0(其中e是自然对数的底数)，且函数

丫=|/'(久)|-加有两个不同的零点，则实数加的取值范围是()

A.(。，1)B.(0,e)C.(-8,0)U(l,+8)D.(-°°.0)U(e,+co)

【答案】D

【解析】由y=lf(WI-mx=0,可得IfCOInmx,作出函数y=的图象，而丫=加工表示过原点且斜率为

m的直线，由图可知，当m<0时，y=1/0)1与y=m久有两个不同的交点，满足题意；过原点(。，。)作丫=小

的切线，设切点为(t，/),因为y'=e;所以切线方程为y-/=et(x-t),将(0,0)代入，得t=l,此时切

线的斜率为e,也即当力=e时，y=m久与y=e”相切，由图可知，当m>e时，y=|/(久)|与了=m"有两个不同

的交点，满足题意；综上可知，实数血的取值范围是(-00,0)u(e,+oo),故选D.

,\lnx\,0<x<e

7.12019齐鲁名校一联】已知函数人比)=二，若0<a<b<c且满足/i(a)=/(b)=/(c),则

X

”(b)+bf(c)+c/(a)的取值范围是()

f、(1,eH-----Hl)(e,2e+-)

A.(1，+8)B.®+8)c.Ie/D.e)

【答案】D

【解析】画出的图象，由0<Q<b<咱f(Q)=/(b)=f(c)得：

0<a<1/1<b<e,c>e,—Ina=Inb,Inb=，ab=1,clnb=e.a/(b)+bf(c)+C/(Q)

=Q+b+c)lnb=q+b)lnb+e,

令g(b)=(b+》lnb+e,(l<&<e),则ge)=(1-3nb+(b+》.；，^(d)=1+lnb4-^(1-Inb),

v1<&<ez/.1-Inb>0zInb>0'・•・g'(b)>0,

11

(—4-b)Inb+e<2e+-

则函数9(b)在区间(1,e)上单调递增，・・・g(l)Vg(b)Vg(e),即e<be,

(e,2e+—]—<a<1

•••af(b)+bf(c)+c/(a)的取值范围是4(以a为变量时，注意a的取值范围为e)，故选D.

8.12019安徽皖中名校10月联考】已知函数14%3-6x2+1,久A0,贝!|函数g(x)=2，(x)]2-3f(x)-2

的零点个数为()

A.2B.3c.4D.5

【答案】B

【解析】由2次x)『-3f(x)-2=0可得：/(幼=2或/(功=-或

当X>0时，//(x)=12x2-12x=12x(x-1)；

当xe(O,1)时，f(x)<0,f(x)单调递减；

当xe(l,+8)时，尸㈤>0,f(x)单调递增,

故函数在x=1处有极小值f⑴=4-6+1=-1,

绘制函数/㈤的图象如图所示，观察可得，函数90)=2[汽初2-3/'(尤)-2的零点个数为3,故选B.

“X)--°93(%+1)，久>0

9.12019山东青岛零模】已知函数‘”一〔3一一%<0,Km')>1,则m的取值范围是

A.(。，+8)B.(2,+8)C.(…，0)D.(-8,0)U(2,+8)

【答案】D

【解析】若f（m）>1,则｛的3（1m>0rmW。(m>0弋/m<0

+m)>log33或3』>1,gptm+l>3^(-m>0,解得，m〉2或m

<0,故选D.

、_（x—1,x40

10.12019四川绵阳一模】若函数八与=Hgx,^>0,则不等式八支）+1<0的解集是（）

1

(-8,(-8,o)u(o,(0,(-1,0)U+00)

A.B.C.D.10

【答案】B

•；：'f可知‘当"。时，令'一］+1<。，解得、<。，

【解析】由函数f（x）=

当x>0时，令Igx+1<0,即Igx<T,解得。<x<'所以不等式“幻+1<0的解集(-8,0)u(0,

故选B.

/I

「，x<0

Kx）=\2j~

11.【2019山东潍坊期末考】已知函数的2%,%>0,则不等式1/0)121的解集为()

(-00,口11

[0,-]U[2,+co)(-8,-]u[2,+8)

A.2B.(一8,0]U[2,+8)C.2D.2

【答案】D

【解析】当xWO,f（x）满足条件，解不等式解得，。氏*21或/。先**1

-111

X>2或汽<--0°,-“2,+8)

解得2,所以解集为,故选D.

12.【2019河北张家口期末考】函数"乃吨潦［巨界'），，则2/3）</（久+2）的解集为（

)

21「2

—1,—?1

A.3B.[-1,1]C.

【答案】A

【解析】由题意，当x<-20寸,2f(x)=-2x,f(x+2)=-(x+2),贝卜2x<-(x+2),解得x>2,与"-2

矛盾，故不成立;

当一2<x=0B寸，2f(x)=-2x,/(x+2)=2“+2,则-2x<2、，x+2,解得-1<x<2,由于一2<x=0,

故T<x<0；

当x>0时，2f(x)=4依，f(x+2)=2收短，则4a<2y[x+2,解得x<由于x>0,故0<xW

综上2/。）£/。+2）的解集为［-1,1］,故选A.

x>0

=,2x,-2<%<0

13.12019安徽黄山一模】已知,2Z+1,x<-2,则用(2019)]=

5

【答案】4

【解析】由题意知，/(2019)=/(2017)=/(2015)=...=/(3)=/(I)=/(-1)=-2,

5

/-[/(2019)]=/(-2)=2-72+1=-

则4.

14.12019四川广元一模】在(1,+8)上的函数/'(%)满足:①/"(2尤)=c/O)(c为正常数)；②当24”44时,

/(x)=l-(x-3)2,若f(久)的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则，=

【答案】1或2

【解析】•・,当23烂4时，f(x)=1-(x-3)2；

_1_1_31

2

当13V2时，2<2x<4,则/(x)cf(2X)-(2x-3)],此时当x2时，函数取极大值,

当2g烂4时，f(x)=1-(x-3)2,此时当％=3时，函数取极大值1；

111

<———

当4〈后8时，22烂%则/(x)=cf(2%)=c[l-(-3)2],此时当x=6时，函数取极大值c.

1

1--

cc-1

313~6-3

——3—

•••函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点(2,c),(3,1),(6,c)共线，2，解得c

=1或2.故答案为：1或2.

,(无)=f/+3,xe[0,1)

15.【2019云南曲靖模拟】已知定义在R上的函数久)满足：一〔3-公，%e[-l,0),且/'0+2)=八久)，

,、3x+7

q(x)=-----

久+2,则方程八久)=9(尤)在区间J5,1]上的所有实根之和为.

【答案】-7

,、3久+71

q(x)=-----=3-1------

【解析】••"(x+2)=/(x),.•.函数f(防的周期为2.又x+2x+2,.♦.函数g(x)图象的对称中

心为(-2,