高中学业水平合格性考试高考数学模拟测试卷五

高中学业水平合格性考试模拟测试卷(五)(时间：90分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|lgx<1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝()A．(－∞，2) B．(0，1)C．(0，2) D．(1，10)2．复数z＝i(1＋i)的实部为()A．1 B．－1C．i D．－i3．某公司有员工49人，其中30岁以上的员工有14人，没超过30岁的员工有35人，为了解员工的健康情况，用分层抽样的方法抽一个容量为7的样本，其中30岁以上的员工应抽多少()A．2人 B．4人C．5人 D．1人4．小李打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7，8，9中的一个数字，第四位是1，2，3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,9) D.eq\f(1,10)5．已知扇形OAB的周长为12，圆心角大小为2rad，则该扇形的面积是()A．2 B．3C．6 D．96．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x，则f(log49)的值为()A．－3B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3)D．37．对于不同的直线l、m、n及平面α，下列命题中错误的是()A．若l∥m，m∥n，则l∥nB．若l⊥α，n∥α，则l⊥nC．若l∥α，n∥α，则l∥nD．若l⊥m，m∥n，则l⊥n8．为了得到函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,5)))的图象，只要把函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,5)))图象上所有的点()A．向右平行移动eq\f(π,5)个单位长度B．向左平行移动eq\f(π,5)个单位长度C．向右平行移动eq\f(2π,5)个单位长度D．向左平行移动eq\f(2π,5)个单位长度9．设f(x)＝3x＋3x－8用二分法求方程3x＋3x－8＝0在区间(1，2)上近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则方程的根落在区间()A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)C．(1.5，1.75) D．(1.75，2)10．设函数f(x)＝x2＋2(4－a)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．a≥－7 B．a≥7C．a≥3 D．a≤－711．已知圆锥底面半径为1，其侧面展开图是半圆，则圆锥的体积为()A．eq\f(2,3)π B．eq\f(\r(3),3)πC．2π D．3π12．规定从甲地到乙地通话tmin的电话费由f(t)＝1.6×(0.5×[t]＋1)(元)决定，其中t>0，[t]是大于或等于t的最小整数，如[2]＝2，[2.7]＝3，[2.1]＝3，则从甲地到乙地通话时间为4.5min的电话费为________元．()A．4.8 B．5.2C．5.6 D．6二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．13．已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．14．已知α、β为锐角，sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，则cosβ＝____________．15．设a、b∈R*，a＋2b＝3，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是________．16．某学校高一年级共有三个班，按优秀率进行评选.1班30人，优秀率30%，2班35人，优秀率60%，三班35人，优秀率40%，则全年级优秀率为________．17．袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，3个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜色相同的概率是____________．18．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．三、解答题：本大题共4小题，第19～21题各10分，第22题12分，共42分．解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤．19．已知f(x)＝sin2x＋2eq\r(3)sin2x．求：(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))；(2)函数y＝f(x)的单调递增区间．20．某城市地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利．已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，t∈N经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁为满载状态，载客量为1300人，当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10－t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为600人，记地铁载客量为p(t)．(1)求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为Q＝eq\f(6p（t）－3960,t)－350(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？每分钟的最大净收益为多少？21．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝3，b＝2，cosA＝eq\f(1,3).(1)求sinB的值；(2)求c的值．22．在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA＝60°，∠SAD＝30°，AD＝SD＝2eq\r(3)，BA＝BS＝4.(1)证明：BD⊥平面SAD；(2)求点C到平面SAB的距离．参考答案1．C由集合A＝{x|lgx<1}＝{x|0<x<10}，又B＝{x|x<2}，所以A∩B＝{x|0<x<2}．故选C.2．B因为z＝i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，所以实部为－1，故选B.3．A由题意抽取比例为eq\f(7,49)＝eq\f(1,7)，所以30岁以上的员工应抽14×eq\f(1,7)＝2(人)，故选A.4．C第二位有三种情况，第四位有三种情况，所以一共有3×3＝9(种)情况，所以一次输对的概率为eq\f(1,9).故选C.5．D设扇形OAB的半径r，弧长l，则周长2r＋l＝12，圆心角为eq\f(l,r)＝2，解得r＝3，l＝6，故扇形面积为eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×3×6＝9.故选D.6．B因为x<0时，f(x)＝2x，所以x>0时，f(－x)＝－f(x)＝2－x，即f(x)＝－2－x，所以f(log49)＝f(log23)＝－2－log23＝－eq\f(1,3).故选B.7．C由平行公理4可得选项A正确，由线面垂直的性质可得选项B正确，由异面直线所成角的定义可得选项D正确，对于选项C，若l∥α，n∥α，则l∥n或l与n相交或l与n异面，即选项C错误，故选C.8．C因为y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,5)))＝3sin[(x－eq\f(2π,5))＋eq\f(π,5)]，所以只要把函数y＝3sin(x＋eq\f(π,5))图象上所有的点向右平行移动eq\f(2π,5)个单位长度，即可得到函数y＝3sin(x－eq\f(π,5))的图象．故选C.9．B函数f(x)＝3x＋3x－8在R单调递增，又因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以由零点存在性定理知，f(x)在区间(1.25，1.5)上有零点，即3x＋3x－8＝0在区间(1，2)上的根落在区间(1.25，1.5)上．故选B.10．B由题意，二次函数图象为开口向上的抛物线，可得a－4≥3即可求解．函数f(x)的对称轴为x＝a－4，开口向上，又因为函数在(－∞，3]上为减函数，所以a－4≥3，即a≥7.故选B.11．B因为圆锥底面半径为1，其侧面展开图是半圆，所以圆锥的底面周长为2π，则圆锥的母线长为2，故圆锥的高为eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以圆锥的体积为V＝eq\f(1,3)·π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.故选B.12．C由[4.5]＝5，得f(t)＝1.6×(0.5×[t]＋1)＝1.6×(0.5×5＋1)＝5.6.故选C.13．解析：因为函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即－x3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)，即x3(a·2x－2－x)＋x3(a·2－x－2x)＝0，即(a－1)(2x－2－x)x3＝0，所以a＝1.答案：114．解析：因为α，β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)，又sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，所以cosα＝eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝eq\f(12,13)，则cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq\f(4,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＝eq\f(16,65).答案：eq\f(16,65)15．解析：由已知可得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,3)(a＋2b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(2b,a)＋\f(a,b)))≥eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2\r(\f(2b,a)·\f(a,b))))＝1＋eq\f(2\r(2),3).当且仅当a＝eq\r(2)b时，等号成立．因此eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为1＋eq\f(2\r(2),3).答案：1＋eq\f(2\r(2),3)16．解析：某学校高一年级共有三个班，按优秀率进行评选：1班30人，优秀率30%，2班35人，优秀率60%，三班35人，优秀率40%，则全年级优秀率为：eq\f(30×30%＋35×60%＋35×40%,30＋35＋35)＝44%.答案：44%17．解析：记2个白球分别为白1，白2，3个黑球分别为黑1，黑2，黑3，从这5个球中任取两球，所有的取法有{白1，白2}，{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白1，黑3}，{白2，黑1}，{白2，黑2}，{白2，黑3}，{黑1，黑2}，{黑1，黑3}，{黑2，黑3}，共10种．其中取出的两球颜色相同取法的有4种，所以所求概率为P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故答案为eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)18．解析：由面积为2π的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为2π.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为eq\r(3).所以该圆锥的体积为eq\f(\r(3),3)π.答案：eq\f(\r(3),3)π19．解：(1)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)(1－cos2x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq\r(3)；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋eq\r(3)＝eq\r(3)－1.(2)2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，则kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z，函数y＝f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)．20．解：(1)当10≤t≤20，t∈N时，p(1)＝1300，当2≤t<10，t∈N时，设p(t)＝1300－k(10－t)2，p(2)＝1300－k(10－2)2＝660，解得k＝10，所以p(t)＝1300－10(10－t)2，所以p(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1300，10≤t≤20，t∈N，,1300－10（10－t）2，2≤t<10，t∈N.))p(6)＝1300－10×(10－6)2＝1300－160＝1140(人)．(2)当10≤t≤20，t∈N时，Q＝eq\f(6p（t）－3960,t)－350＝eq\f(6×1300－3960,t)－350＝eq\f(3840,t)－350，当t＝10时，Qmax＝eq\f(3840,t)－350＝34.当2≤t<10，t∈N时，Q＝eq\f(6[1300－10（10－t）2]－3960,t)－350＝eq\f(－60t2＋1200t－2160,t)－350＝－60t－eq\f(2160,t)＋850；Q＝－60t－eq\f(2160,t)＋850＝－60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(36,t)))＋850≤－60×2eq\r(t×\f(36,t))＋850＝－720＋850＝130.当且仅当t＝eq\f(36,t)时，即t＝6时，取到最大值．答：p(t)的表达式为p(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1300，10≤t≤20，t∈N,1300－10（10－t）2，2≤t<10，t∈N))当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量为1140人．当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为130元．21．解：(1)因为△ABC中，cosA＝eq\f(1,3)>0，所以A为锐角，sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(2\r(2),3)，根据正弦定理，得eq\f(b,s