2024年广东省揭阳实验中学中考模拟数学试题(含答案)

年中考数学科模拟试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米＝0.000000001米）.与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料.0.3纳米用科学记数法可以表示为（）米A. B. C. D.2.下列运算正确的是（）A. B.C. D.3.如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则的值为（）A.0 B.2 C. D.204.某班35位同学课外阅读物的数量统计如下表所示，其中有两个数据被遮盖，下列关于课外阅读物的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）.课外阅读物的数量2345678人数■■97932A.平均数，方差 B.中位数，方差 C.平均数，众数 D.中位数，众数5.如图，小明从点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点时，共走路程为（）A.80米 B.96米 C.64米 D.48米6.已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（）A.8 B.6或8 C.7 D.7或87.如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使，，三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是（）A. B. C. D.48.数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学邻域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为，乙醇化学式为，丙醇化学式为，……，设碳原子的数目为（为正整数），则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示（）A. B. C. D.9.已知二次函数（）的图象与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上.二次函数（）中的自变量与函数值的部分对应值如下表：…013……255…下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②这个函数的最大值大于5；③点的坐标是；4当，时，，其中正确的是（）（）A.①④ B.②④ C.③④ D.②③④10.如图，菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接，则下列结论正确的有（）个.①；②由点、、、构成的四边形是菱形；③；④.A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（每小题3分，共18分）11.若代数式有意义，则的取值范围为______.12.如图，某飞机于空中处探测到目标，此时飞行高度，从飞机上看地平面指挥台的俯角，则飞机与指挥台的距离等于______.（结果保留整数）（参考数据，，）13.已知关于、的方程组的解满足.则的取值范围是______.14.如图，在矩形中，，以点为圆心，为半径的圆弧交于点，交的延长线于点，设.图中阴影部分的面积为______.15.如图，在矩形中，点在边上，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接.若，，，则______.16.如图，为等边三角形，点为外的一点，，，则的面积为______.三、解答题一（共20分）17.（4分）分解因式：.18.（4分）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，求八年级有多少个班级.19.（6分）如图，在平面直角坐标系中，，，.（1）以点为旋转中心，把逆时针旋转90°，画出旋转后的图形；（2）若与关于点位似，且位似比为1:2，直接写出坐标______.20.（6分）“英雄花开英雄城”2024广州传承弘扬红色文化系列活动正如火如荼地开展.某社区组织了形式多样的学雷锋志愿服务活动，活动现场设置义诊、科普宣传、普法宣传、消防宣传、交通宣传等多个便民服务摊位，吸引了众多市民前来参与活动.其中，前来参与义诊活动的100位市民的年龄整理可得如下的频数分布表：年龄分组/岁频数15254020（1）参与义诊活动的市民平均年龄为______岁；（2）某医院安排了4名医生前来为市民提供义诊，现要从这4名医生（其中3名女医生，1名男医生）中随机抽调2人到附近养老院为老人义诊，用树状图或列表的方法求抽取的两名医生恰好都是女医生的概率.四、解答题二（共28分）21.（8分）已知是方程组的解.（1）求的值；（2）若已知一个三角形的一条边长为4，它的另外两条边的长是方程的解，试判断这个三角形的形状并说明理由.22.（10分）【项目式学习】【项目主题】合理规划，绿色家园【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口.为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短.某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动图1任务一实地测绘小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，.小组成员又借助电子角度仪测得，.图2图3任务二数学计算根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算：道路长度（米）403030183225（1）求道路的长；（2）道路______米；①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路，；②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为______米.（保留根号）23.（10分）综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为图1【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为.由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标.如图2，反比例函数（）的图象与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______.图2（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空.【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由.【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数.发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当直线与反比例函数（）的图象有唯一交点时，求出的值，并求出这个交点的坐标.五、解答题三（每小题12分，共24分）24.如图1，是的直径，是上一点，于，是延长线上一点，连接，，是线段上一点，连接并延长交于点.图1图2（1）求证：是的切线；（2）若，求证：；（3）如图2，若，，点是的中点，与交于点，连接.请猜想，，的数量关系，并证明.25.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点图1图2（1）求直线的解析式；（2）过点作交抛物线于，连接，，，，记四边形的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标和的最大值；（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点，为平移后的抛物线的对称轴直线上一动点，将线段沿直线平移，平移后的线段记为（线段始终在直线左侧），是否存在以，，为顶点的等腰直角？若存在，请写出满足要求的所有点的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由.2024年中考数学科模拟试卷参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1.D2.C3.A4.D5.C6.D7.A8.C9.B10.D二、填空题（每小题3分，共18分）11.且12.13.14.15.216.三、解答题一（共20分）17.18.解：设八年级有个班，解得，（舍），则八年级有6个班，19.（1）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点，即可；（2）或（1）解：如图，即为所求；20.（1）解：参与义诊活动的市民平均年龄为岁，故答案为：43（2）解：画树状图如下：由树状图可知，共有12种情况，其中两名医生恰好都是女医生的情况有6种，即抽取的两名医生恰好都是女医生的概率为.21.（1）；（2）该三角形是直角三角形.理由见解析.【分析】（1）将与的值代入原方程组即可求出、的值；（2）将（1）中求得、值代入，列出方程，利用因式分解法求得该方程的两根.然后判断该三角形的形状.【详解】解：（1）把代入方程组，得，解得：.所以；（2）该三角形是直角三角形.理由如下：由（1）知，，则，.由题意知，.整理，得.解得，，所以该三角形的三边长分别是3，4，5.因为.所以该三角形是直角三角形.22.（1）根据平行线的性质和已知条件得出，进而根据等角对等边，即可求解；（2）勾股定理的逆定理证明，勾股定理求得，证明，，进而根据等面积法，即可求解.（3）①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得，的交点到，，，的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点；②先证明，根据①的结论可得，勾股定理，即可求解.【详解】（1）解：，.，.，故道路的长为25米；（2）解：，，，，又在中，，，，故答案为：48；（3）①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得，的交点到，，，的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点，如图所示：②解：，在上，即的垂直平分线上，，又，，，故答案为：.23.（1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为；（2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出；（3）平移直线通过，将点代入，解得.解：（1）将反比例函数与直线：联立得，，，，，另一个交点坐标为，为，为，，.故答案为：；4；2；（2）不能围出；的图象，如答案图中所示：与函数图象没有交点，不能围出面积为的矩形.（3）令，整理得，，一次函数与反比例函数的图象有唯一交点，，，.解方程，得，，即一次函数与反比例函数的图象有唯一交点时，的值为8，此时交点坐标为.24.（1）连接，先由证明，再由，可证得，即可证明；（2）先证得，，说明，利用相似三角形的性质推得，再由，，判定，利用相似三角形的性质推得，从而可得结论；（3）结论：.连接、，先证得，，从而，由相似三角形的性质推得，再设，则，从而，结合，可得，进而推得，然后运用勾股定理证即可得到结论.【详解】解：（1）证明：连接，如图所示：图1，，，，又，，即，是的切线；（2）证明：是的直径，，，又，，，，，，，，，，，又，，，，；（3）.理由如下：如图，连接、，，，，，，，，，，，，，点是的中点，，，，，，设，则，，又，，，，即，，在中，，.25.（1）；（2）的最大值为，此时，点的坐标为；存在点，，，使得以，，为顶点的等腰直角.【分析】（1）令二次函数，，求出、、的坐标，再求直线的解析式；（2）不能用常规的底和高，借助切割法求面积，再求出最大面积差和点的坐标；（3）等腰直角三角形可以利用“两圆一中垂”确定所有的情况，利用“型全等”求出对应的点的坐标.【详解】解：（1）对抛物线，当时，，，当时，，解得：，，，，设直线的解析式为：（），把点，代入得：，解得：.直线的解析式为：；（2），直线的解析式为：.设的解析式为，，把点代入得：，解得：，的解析式为：由解得：，，，直线的解析式为：，当时，，解得：，记直线与轴交于点，则：，，过点作交于