2021届高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第8讲函数与方程创新教学案（含解析）新人教版

第8讲函数与方程

［考纲解读］1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，能够判断一元二次方程根的存在性与

根的个数.(重点、难点)

2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.

［考向预测］从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零

点存在性定理判断零点是否存在.预测2021年高考将以零点个数的判断或根据零点的个数求参数的取值范围为

主要命题方向，以客观题或解答题中一问的形式呈现.

------------基础知识过关------------

1.函数的零点

(D定义：对于函数y=f(S)(xQ力,把使Clf(x)=0的实数x叫做函数y=Ax)(A-GP)

的零点.

(2)三个等价关系

(3)存在性定理

2.用二分法求函数/'(x)零点近似值

(1)确定区间［a,b\,验证f(a)•f(6)<0,给定精确度f；

(2)求区间(a,6)的中点为；

⑶计算

①若f(汨)=0,则无就是函数的零点；

②若03F(a)•则令b=xi(此时零点xoW(a,e))；

③若52/'(小)•f(6)<0,则令3=汨(此时零点(xi,6)).

⑷判断是否达到精确度小即若以一引<£，则得到零点近似值a(或6)；否则重复⑵〜

O诊断自测

1.概念辨析

(1)函数的零点就是函数的图象与X轴的交点.()

(2)函数尸/Xx)在区间(a,6)内有零点(函数图象连续不断)，则/"(a)•/'(AVO.()

(3)若f(x)在区间［a,加上连续不断，且f{a)•f(b)>0,则f(x)在(a,6)内没有零

点.()

(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.()

(5)若函数f(x)在(a,6)上单调且/"(a)•/'(AXO,则函数f(x)在［a,6］上有且只有一个

零点.()

答案⑴X(2)X(3)X(4)X(5)V

2.小题热身

(1)已知函数其力的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

X12345

尸(X)-4-2147

在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)I).(4,5)

答案B

解析由已知得A2)•A3)<0,所以函数Ax)必有零点的区间为⑵3).

(2)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()

答案A

解析能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可

得，只有A不满足此条件.故选A.

(3)函数/U)=g一传)零点的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

答案B

解析函数/■(*)=及一曲零点的个数是方程段―电=0的解的个数，即方程昼=自

”的解的个数，也就是函数y=g与图象的交点个数.在同一坐标系中作出两个函数的

图象，可得交点个数为L故函数f(x)=g—(?,零点的个数为1.

(4)若二次函数/•(入)=/+取+4在区上无零点，则实数衣的取值范围是.

答案(0,4)

解析因为/'(x)在R上无零点，所以方程f+Ax+A=0无实根，所以4=

如一4K0,解得0〈旅4.

-----------经典题型冲关------------

题型一求函数的零点或判断其所在的区间

【举例说明】

2'—1,x^：1,

1.(2019•广州模拟)已知函数f(x)=一

l+log2X,x〉l,

则函数Ax)的零点为()

1

-O民-O

夕2,

1

C-O

2D.

答案I)

解析当xWl时，由/'(x)=2"—1=0,解得x=0；当天>1时，由/'(x)=l+log2X=0,

解得x=T，因为x>l,所以此时方程无解.综上，函数/'(X)的零点只有0,故选D.

2.若水从c,则函数f(x)=(x—a)(A-A)+(x—b)•(x—c)+(x—c)(x—a)的两个零点

分别位于区间()

A.(a,b)和(b,c)内B.(-8,a)和(a,6)内

C.(b,。)和(c,+8)内D.(—8,a)和(c,+8)内

答案A

解析由已知得，/tr)是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，又因为水6<。，所以

f(a)=(a—A)(a—c)>0,f(6)=(，一c)(6—a)<0,f(c)=(c—a)(c—，)>0.由零点存在性定理

得函数Ax)的两个零点分别位于区间(4方)和(4。)内.

3.(2019•青岛二中模拟)已知函数f(x)=2'—loggx,且实数a>b>c>0满足

/"(a)/U)F(c)<0.若实数的是函数y=f(x)的一个零点，则下列不等式中不可能成立的是

()

A.B.xo>a

C.xo<bD.照<c

答案D

解析由f(x)=2Tog1x,可知函数f(x)在区间(0,+8)上单调递增.因为实数a>6>c>0

满足f(a)*6)•『(c)<0,所以3f(8),Ac)可能都小于0或有1个小于0,2个大于0,

如图，则A,B,C可能成立，D不可能成立.故选D.

y

【据例说法】|

函数零点所在区间的判断方法及适合题型

方法解读适合题型

解方可先解对应方程，然后看所求的根是当对应方程K心=0易解时.如举例

程法否落在给定区间上说明1

续表

方法解读适合题型

能够容易判断区间端点值所对应函数值

定理法利用函数零点的存在性定理进行判断

的正负.如举例说明2

画出函数图象，通过观察图象与X轴在

图象法容易画出函数的图象.如举例说明3

给定区间上是否有交点来判断

I【巩固迁移】

1.在下列区间中，函数/1(x)=e-,+4x—3的零点所在的区间可能为()

MT'。)B.(0,力

CI},(ID.R3)

答案D

1

+

解析因为(一；)=++4义卜：)一3=e[—4<0,A0)=1—3=—2<0,e-2-

11⑶333

4X--3=e—KO,/R=e-1+4*彳-3=e1]>0.

乙乙\一/4XX4t

所以61•/(0<°‘所以函数f(x)的零点所在的区间可能为(;，(

2.设f(x)=lnx+x—2,则函数f(x)的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

答案B

解析函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)=lnx,方(x)=—x+2图象交点

的横坐标所在的取值范围.作图如右：

可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).

1+lgx,x>0,

3.函数/'(x)=«2,的零点是________.

x+x,尽0

小品1

答案一1,0,—

解析当x>0时，由1+lgx=0,解得x=｝；当后0时，由J+x=O,解得x=0或

-1.所以函数/'(x)的零点是一1,0,七.

题型二函数零点个数的判定

【举例说明】

X—2X9X〈0,

1.已知函数f(x)=<r。x>0,则函数y=f(x)+3x的零点个数是()

A.0B.1

C.2D.3

答案C

x+x,xWO,

解析由已知得y=f(x)+3x=<l+；+3x,x>0.令x+x=0,解得x=0或x=—

1.令l+1+3x=0(x>0)可得3/+^+1=0.因为=1-12<0,所以方程3/+^+1=0无实

x

根.所以尸F(x)+3x的零点个数是2.

Ilgx\,x>0,

2.己知F(x)=、一则函数尸2f(x)-3f(x)+l的零点个数为________.

[2,W0,

答案5

解析令2f(x)—3f(x)+1=0,解得Ax)=l或f(x)作出f(x)的筒图:

由图象可得当f(x)=1或/•(*)七时,分别有3个和2个交点，则关于x的函数y=2/(x)

—3f(x)+l的零点的个数为5.

【据例说法】

判断函数零点个数的方法

(1)解方程法：所对应方程Hx)=0有几个不同的实数解就有几个零点.如举例说明L

(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断.

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.画出两个函数的图象，图象交

点的个数，就是函数零点的个数.如举例说明2.

【巩固迁移】

1.(2020•河南南阳月考)函数f(x)=、「一cosx在［0,+8)内()

A.没有零点B.有且仅有一个零点

C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点

答案B

解析先研究/'(x)在区间［0,1］内的零点.因为F(x)=#+sinx,、">0,sinx>0,

所以f(x)>0,故f(x)在［0,1］上单调递增，且/'(0)=-1<0,AD=l-cosl>0,所以f(x)

在［0,1］内有唯一零点.当x〉l时，f{x)—y［x-cosx>0,故函数f(x)在［0,+8)上有且仅有

一个零点，故选B.

2.偶函数f(x)满足f(x—l)=f(x+l),且在xd［0,1］时，Xx)=Z则关于x的方程

Hx)=(却在0,y上的根的个数是()

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析因为f(x)为偶函数，所以当xG[—1,0]时，-xG[0,1],所以f(—x)=f,即

7'5)=且又/15—1)=/'(入+1),所以/1(x+2)=F(x),故f(x)是以2为周期的周期函数，据

此在同一坐标系中作出函数y=f(x)与在0,y匕的图象如图所示，数形结合得两

图象有3个交点，故方程f(x)=(得)在[o,1上有3个根.

题型三函数零点的应用多角探究

【举例说明】

9角度1根据函数的零点(或方程的根)的个数

求参数

L⑵电衡水模拟圮知函数个)=1心切S为自然对数的底数)，若关于

x的方程f(x)+a=O有两个不相等的实根，则a的取值范围是()

A.a>-lB.-Ka<l

C.(KaWlD.a<l

答案C

解析画出函数f(x)的图象如图所示，若关于x的方程f(x)+a=O有两个不相等的实

根，则函数『(%)与直线y=-a有两个不同交点，由图可知一lW—a<0,所以0<aWl.

。角度2根据函数零点所在的区间求参数

2.(2019•安庆模拟)函数/•(x)=f—ax+1在区间(；，3)上有零点，则实数a的取值范

围是()

A.(2,+8)B.［2,+8)

C［2,|)式2,竽)

答案D

解析由题意知方程ax=/+l在(；，3)上有解，即a=x+1•在(g,3)上有解，设t=x

+p3),则t的取值范围是2,¥)..••实数a的取值范围是2,芋)

【据例说法】

根据函数零点的情况求参数的三种常用方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

(2)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形

结合求解.如举例说明1.

(3)分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决.如举例说明2.

【巩固迁移】

1.若函数f(x)=4'-2"-a,—有零点，则实数a的取值范围是__.

答案一;，2

解析：函数f(x)=4'-2'—a,1,1］有零点,

...方程4'—2"-a=0在［—1,1］上有解，

即方程a=4'一2'在［-1,1］上有解.

方程。=4*一2',

可变形为

-1

-2

[—1,1],2'€J

』2

?2

实数a的取值范围是一；,2

Ix\,x&m,

2.已知函数f(x)=其中ZZ7>0.若存在实数b,使得关于X的方程

2勿x+4加,x>m,

F(x)=6有三个不同的根，则加的取值范围是_______.

答案(3,+8)

解析Mx)的大致图象如图所示，若存在8WR,使得方程Ax)=8有三个不同的根，只

需4/一/2〈勿，又因为勿>0,所以R>3.

课时作业

组基础关

1.若函数/U)=ax+6有一个零点是2,那么函数g(x)="2-a*的零点是()

1

a2-

Ac.2

B.O,

1D.2,1

---

o,22

答案c

解析因为函数/'(x)=a_v+6有一个零点是2,所以2a+6=0,b=-2a,所以g(x)=

bx—ax——2ax—ax——ax(2x+l'),由屋")=0得x=0或一；，故g(x)的零点是0,—

2.(2020•佳木斯摸底)已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值

表:

123456

124.433-7424.5-36.7-123.6

则函数y=f(x)在区间［1,6］上的零点至少有()

A.2个B.3个

C.4个D.5个

答案B

解析由表可知，f(2)>0,A3)<0,f(4)〉0,A5X0,根据零点存在性定理可知,f(x)

在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少有一个零点，所以函数y=f(x)在区间［1,6］上的零点至

少有3个.

3.在用二分法求方程/一2工-1=0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1,2)内，

则下一步可以断定该根所在的区间为()

c(l,l)D.(|,2)

答案D

解析设/'(*)=/一2x一1,一根在区间(1,2)上，根据二分法的规则，取区间中点亍因

为/"(1)=—2<0,/0=*一4<0,A2)-3>0,所以下一步可以断定该根所在的区间是修，2),

故选D.

2

4.若函数f(x)=2、-—-a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()

x

A.(1,3)B.(1,2)

C.(0,3)D.(0,2)

答案C

22

解析因为函数〃*)=2、-一一a在区间(1,2)上单调递增，又函数/.(X)=2、一一一a的一

xx

个零点在区间(1,2)内，则有f(l)•f(2)<0,所以(一山(4一1一向<0,即a(a-3)<0,解得0<水3.

5.函数/、(x)=|才一2|—Inx在定义域内的零点的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

答案C

解析作出函数y=5一2|与g(x)=lnx的图象，如图所示.

由图象可知两个函数的图象有两个交点，即函数Ax)在定义域内有2个零点.故选C.

6.(2019•江西三校联考)设函数y=log2X-l与y=22f的图象的交点为(施，％),则选

所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

答案C

解析设f(x)=(logzx-D—2",,则/•(2)=1—1—2°=—1<0,A3)=(log23-1)-1=

log23-log22^2>0.所以函数f(x)在区间(2,3)内有零点.所以刘e(2,3).

7.若函数/'(x)=2ax2一犬一1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是()

A.(-1,1)B.[1,+0°)

C.(1,+8)D.(2,+8)

答案C

解析当a=0时，函数f(x)的零点是一1,—{%|0<Kl),不符合题意；当aWO时，

4>0,

由《八

ff，

[l+8a>0,1

B|J_l解得a>l;当〃=0,即，=一耳时，函数/Xx)的零点是一2,-

26{x|(KKl},不符合题意.故选C.

fxlnx,x>0,

8.已知f(x)=<2则其零点为—

[x-x-2,xWO,

答案1--1

解析当*〉0时，由/'（x）=0,即xlnx=0得Inx=0,解得x=l；当xWO时，由f（x）

=0,即I—x-2=0,解得x=-1或x=2.因为x<0,所以入=-1.综上，函数的零点为1,

-1.

9.若函数/（王）=2'一才一@在（-8,1]上存在零点，则正实数a的取值范围是.

答案（0,1]

解析当xG（—8,1]时，2七（0,2].由函数/Xx）=2'—3—a在（-8,1]上存在零点,

可得0<一+aW2,又由a为正实数，得aW（0,1].

10g2A,X>0,

10.（2019•衡水模拟）己知函数Ax）=°才,c且关于x的方程f(x)+x—a=0

3,0,

有且只有一个实根，则实数a的取值范围是

答案（1,+8）

解析如图，在同一坐标系中分别作出夕=〃才）与y=—x+a的图象，其中a表示直线

在y轴上的截距.由图可知，当力1时，直线y=-x+a与y=log2X只有一个交点.

1.函数Ax）=xcos（x'一2x—3）在区间[―1,4]上的零点个数为（）

A.5B.4

C.3D.2

答案B

解析由题意可知k0或cos（f—2x—3）=0,又x£[—1,4],所以才2—2x一3=（王一

l）2-4e[-4,5],当cos（f-2x-3）=0时,x-2x~3=k^+y,〃仁Z,在相应的范围内，

女只有一1,0,1三个值可取，所以总共有4个零点，故选B.

2.（2019•石家庄模拟）设方程10*=|lg（一才）|的两个根分别为小，孙则（）

A.X