2022-2023学年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省内江市高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.设复数z=3-4i,贝收的共轨复数在复平面内对应的点在第()

A.一象限B.二象限C.三象限D.四象限

2.下列各组向量中，可以作为基底的是()

A.久=(0,0),(1,-2)B.瓦=(2,-3),蒜=有一令

C.宣=(3,5),£=(6,10)D.宣=(—1,2),=(5,7)

3.2022年，中央网信办举报中心受理网民举报违法和不良信息172亿件.下面是2021年、

2022年连续两年逐月全国网络违法和不良信息举报受理情况数据及统计图，下面说法中错误

的是()

-■—20221473.7123311258.61602.9I5J4J1498.71441.41601.71518.8I400J1188.3IM2.8

A.2022年比2021年平均每月举报信息数量多

B.举报信息数量按月份比较，8月平均最多

C.两年从2月到4月举报信息数量都依次增多

D.2022年比2021年举报信息数据的标准差大

4.平行四边形4BCD中，点M在边4B上，AM=3MB,记方=

a,CM=K，则而=()

A.ja-^bB.物一轲C,1b-^aD.疑一黑

5.在平面直角坐标系中，已知点P(3,4)为角a终边上一点，若cos(a+S)=g,0e(0,兀),

则cos/?=()

A3—8A/-2B3+8y/~24+6V-2^口6V—2—4

•~15•-15-•-15-•-15-

6.如图，某船在4处看见灯塔P在南偏东15。方向，后来船沿南偏东45。的方向航行30km后,

到达B处，看见灯塔P在船的西偏北15。方向，则这时船与灯塔的距离是（）

A.3B.3+浮C.3+/3D.3c

8.AABC各角的对应边分别为a,b,c,满足搭+上21,则角C的范围是（）

b+ca+c

A.（0苧B.（0,2]C.岁兀）D.生兀）

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.一项最新研究表明，自1960年代以来，随着全球变暖，厄尔尼诺和拉尼娜现象变得越来

越频繁，这在全球范围内引发了干旱，洪水和热浪等极端天气事件.某地区今年四月迎来罕见

的高温炎热天气，当地气象部门统计进入四月份以来（4月1日至4月10日）连续10天中每天的

最高温和最低温，得到如下的折线图：

根据该图，关于这10天的气温，下列说法中正确的有（）

A.最低温的众数为29冤B.最高温的平均值为37.7K

C.最低温的第30百分位数是28.5D.最高温的方差大于最低温的方差

10.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（）

A.“至少一个红球”的概率为，B.“恰有一个黑球”的概率为目

C.“一个红球和一个黑球”的概率为〈D.“两个都是红球”的概率为:

11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边

^ABCDEFGH,其中04=1,则下列结论正确的有（）

图1图2

A.OAOD=一？B.OB+OH=-yTlOE

C.AHHO=BCBOD.瓦5在刀上的投影为（2

12.对于△4BC,有如下命题，其中正确的有（）

A.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形

B.若s讥4=cosB,则△ABC为等腰三角形或直角三角形

C.若siMA+siMB+cos2c<1,则△ABC为钝角三角形

D.若乙4、48、4c所对的边分别为a、b、c,且a=4,b=5,c=6,则△ABC为锐角三角

形

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.某中学高三年级350人，高二年级350人，高一年级400人，若采用分层抽样的办法，从

高一年级抽取40人，则全校总共抽取人.

14.已知复数z满足(1+i)z=2-i,则复数z的模为.

15.己知扇形的圆心角为a,所在圆的半径为r.若a=60。，r=3,扇形的弧长为；

若扇形的周长为16,该扇形面积的最大值______.

16.已知AABC内角/、B、C所对的边分别为a、b、c.

①若a=2,b=5,B=p则该三角形有两解

②若acosA=bcosB,则△力BC一定为等腰三角形

③若4B=8,4C=7,BC=5,G为AABC的重心，P为线段BG上一点，则两.无的最大值

为20

④若cos(2-B)cos(B-C)cos(C—A)=1,则△ABC是等边三角形

以上结论中正确的是(填相应序号).

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知cosa=—|,且a是第二象限角.

(1)求Sina,tana的值;

(2)化简求值：sin(”+a)8sss呻+a)

cos(2023TT-a)tan(20247r-a)

18.(本小题12.0分)

已知平面向量益、b,a=(l,-<3),\b\=l，且日与甜勺夹角为热

⑴求。3;

(2)求前一2瓦;

(3)若五+24与2元+J(4CR)垂直,求2的值.

19.(本小题12.0分)

某校对2021年高一上学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将

分数按照[30,50),[50,70),[70,90)/90,110),[110,130),[130,150]分成6组，制成了如图所示

的频率分布直方图：

(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；

(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数；

(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在[50,70)和[70,90)的

两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2.名

学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50,70)内的概率.

20.(本小题12.0分)

某同学用“五点法”作函数/(乃=有讥(3》+缶(4>0,3>0,|0|<力在一个周期内的图象

时，列出下表并填入了部分数据：

71

X7

121271

37r

3X+9n

0T27r

Asin(a)x+<p)030

(I)将表格数据补充完整，并求出/(x)的表达式及增区间;

(II)当xe[-弟U时，求/(x)的最值及对应x的值.

21.(本小题12.0分)

如图，在平面四边形力BCD中，AB1AD,AB=1,AD=C，BC=<2.

(1)若CD=1+，？，求四边形4BCC的面积；

(2)若sin/BCD=?，求sin4力DC.

22.(本小题12.0分)

在①QCOSC+yT^CLSinC—b—c=0,②cos2A+1=cos2B+cos2C+sinBsinC,③sin(/+

C)=!COS(A—这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答.已知AA8C中，内角4、

B、C的对边分别为a、b、c,且____.

⑴求乙4；

(2)若a=2,~BD=~DC，求40的最大值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：复数z=3-4i,则z的共朝复数在复平面内对应的点(3,4)在第一象限.

故选：A.

根据已知条件，结合共舸复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：选项A,可得0x(—2)-0x1=0,故瓦7/£,不可作基底，故错误；

选项8,可得2x(-令一(-3)x六0,故瓦7同，不可作基底，故错误；

选项C,可得3x10—5x6=0,故瓦〃瓦，不可作基底，故错误；

选项。，可得一lx7-2x5#。，故瓦，互不平行，故可作基底，故正确.

故选：D.

不共线的向量可作基底，由向量共线的条件逐个选项判断即可.

本题考查平面向量基本定理，向量作基底的条件，涉及向量平行的判断，属基础题.

3.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

--1

对于42022年平均每月举报信息数量为%=总(1473.7+1233.2+1258.6+1602.9+1534.3+

1498.7+1441.4+1601.7+1517.8+1400.3+1188.3+1462.8)«1434.6,

2021年平均每月举报信息数量为五=*(1120.5+984.5+1080.4+1495.6+1476.7+

1364.8+1685.6+1947.3+1524.6+1306.7+1375.4+1260.3)=1385.2,

则2022年比2021年平均每月举报信息数量多，A正确；

对于8,分析表中的数据，举报信息数量8月平均最多，8正确；

对于C,由统计表可得：两年从2月至％月举报信息数量呈上升的趋势，即两年的举报信息数量都

依次增多，C正确；

对于0,由统计表可得：2022年举报信息波动较小，则2022年比2021年举报信息数据的标准差要

小，。错误.

故选：D.

根据题意，结合统计表分析选项，综合可得答案.

本题考查统计表的分析，涉及数据的平均数和标准差的分析，属于基础题.

4.【答案】D

［解析］解：AD='CD-CA=^'MA-CA=^(CA-CM)-CA=^CA-^CM=\a-^b.

故选：D.

根据平面向量的线性运算法则，即可得解.

本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的加法、减法和数乘运算法则是解题的关键,

考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：由题意得：a6(0,3),cosa-=|,sina~

因为0e(0㈤,

所以a+£W(0,,)，

因为cos(a+S)=1>0,

所以a+£W(0,^),故sin(a+/?)=1—cos2(a+/?)=

所以cos/?=cos[(a+0)—a]=cos(a+0)cosa+sin(a+/?)sina=1x1x=3+：’.

故选：B.

根据三角函数的定义求出cosa=，与sina=会再结合cos(a+/?)=->0及a+S€(0日)求出

sin(a+/?)=?，利用余弦差角公式求出答案.

本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理与解三角形的实际应用，熟练掌握正弦定理是解题的关键，属于基础题.

在三角形4BP中，利用正弦定理求出BP的长，即为这时船与灯塔的距离.

【解答】

解：根据题意，可得NPAB=4PB4=30。，且48=30,乙4PB=120。，

在AABP中，利用正弦定理得PB=当黑=10日，

sml200

则这时船与灯塔的距离是lOCkm.

故选C.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查数量积的运算、三角函数的性质在实际问题中的应用，同时考查了学生的数学建模的核

心素养.属于拔高题.

根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中P点坐标借助于三角函数

表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解.

【解答】

解：据题意：圆。（后轮）的半径均为at^ABE,4BEC,AECD均是边长为1的等边三角形.点P为

圆D的方程为/+y2=；,可设p(gcosa,；sina),

所以Q=(gcosa+2,gsina),丽=(|,一三).

故而•丽=9cosa—^-sina+3=丫(j-^-cosa—^sina')+3

442v22'

=^cos(a+^)+3<3+

故选：B.

8.【答案】4

【解析】解：由^7+a^c得：a(a+c)+b(b+c)2(b+c)(cz+c),

化简得：a2+b2-c2>ab,

同除以2ab,利用余弦定理得，cosC>

所以0<C<去

故选：A.

化简已知不等式可得。2+b2-c2>ab,利用余弦定理得cosC>利用余弦函数的图象和性质

可求C的范围.

本题主要考查了余弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于

基础题.

9.【答案】AC

【解析】解：对于4选项，最低气温中，29汽出现了4次，其他温度均少于4次，故A正确；

对于B选项，最高气温分别为：38,37,37,39,38,39,38,37,39,37(℃),

故平均值为38+37+37+39+3*39+38+37+39+37=37.90(：,故§错误；

对于C选项，最低气温从小到大排列为：27,28,28,29,29,29,29,30,30,31,

因为30%x10=3,所以从小到大选择第3个和第4个数的平均值作为第30百分位数，级”罗=

28.5,故C正确；

对于。选项，最高气温波动情况小于最低气温波动情况，故最高温的方差小于最低温的方差，故。

错误.

故选：AC.

根据平均数，众数，百分位数，方差的定义可解.

本题考查平均数，众数，百分位数，方差的定义，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，共有第=6种取法，

对于至少一个红球有C：6+废=5种取法，则“至少一个红球”的概率为也故A正确；

对于B,恰有一个黑球有6=4种取法，则“恰有一个黑球”的概率为|,故8正确，C错误;

对于D,两个都是红球有戏=1种取法，则“两个都是红球”的概率为也故。正确.

故选：ABD.

根据题意可计算出从口袋中任取2个小球一共有多少种取法，再结合古典概型逐一判断.

本题考查古典概型相关知识，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：根据题意，建立如图所示坐标系，贝40（0,0）,

4(0,—1),

B4,—芋),C(l,0),。(殍，浮),E(0,l),“(—殍，一早)

选项4,市•时=（0.-1）•（?,浮）=—故A正确;

选项B,南+丽=（?,_?）+=

（0,一。＞

一/I区=一/7(0,1)=(0,--1)，故8正确;

选项C,而.而=（_?,1一?）.（?,峥）=?—1，

耐的=（一?,?）.（-？，峥）=1-峥，故C错误；

y1-7,

选项Q,初在而上的投影为更”=（。，-1）（号一y）=C,故O正确.

\OB\12

故选：ABD.

可通过建立平面直角坐标系，根据向量的线性运算及数量积运算即可判定各选项.

本题考查向量的线性运算及平面向量数量积运算，属中档题.

12.【答案】CD

【解析】解：对于A,•••sin24=s讥2B且4,BC（0,兀），［24=2B或24+2B=兀，

.••4=3或4+8=今.•.△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；

对于8,•；sinA=cosB且4B6（0,兀），［4—B=］或A+B=，，

ABC不一定为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

对于C,vsin244-sin2B+cos2C<1,sin2>l+sin2fi<1—cos2C=sin2C,•••a2+b2<c2,

...cosC=比"二晨0,为钝角，・・・△4BC为钝角三角形，故C正确；

2ab

对于。，:a=4,6=5,c=6,...CosC==3

2ab2x4x5408

・•.△4BC中最大的角为锐角，・•・△ABC为锐角三角形，故。正确.

故选：CD.

由三角形中三角函数的值可判断4B；由同角三角函数的基本关系和正、余弦定理可判断C,D.

本题考查解三角形，属于中档题.

13.【答案】110

【解析】解：设全校总共抽x人，

•••某学校高三年级350人，高二年级350人，高一年级400人，

采用分层抽样的办法，从高一年级抽取40人，

.%_x

"400-350+350+400'

解得X=110.

•••全校总共抽取110人.

故答案为：110.

设全校总共抽“人，利用分层抽样的性质能求出全校总共抽取人数.

本题考查全校总共抽取的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考

查函数与方程思想，是基础题.

14.【答案】弩

【解析】解：(1+i)z=2-3

2-i_(2T)(1T)_13.

人mi」lZ-而一(l+i)(l-i)~2~2lf

故团="+（一》呼.

故答案为：

根据已知条件，结合复数的四则运算，复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数模公式，属于基础题.

15.【答案】7T16

【解析】解：扇形的弧长=x2nr=：x2兀x3=兀；

DOUO

设半径为丁，圆心角为a（0<a工360。），则有2r+，2m=16,'丁=1।m，

c_a2_64a」_647r____64n_______1.2

nr

扇形面积360薨a2+2兀a+360盖a+2〃+等-2w+2yl赛ax等，当且仅当矗a=

哼，即a=（尊）。时等号成立.

故答案为：兀，16.

根据圆心角与弧长的关系构造等式，再运用基本不等式求解.

本题主要考查扇形的弧长和面积公式，属于基础题.

16.【答案】③④

【解析】解：①由正弦定理知，>）=刍，

~sinAsinB

所以S讥4=丝普=?，

因为a<b,所以所以角4只有一解，即三角形仅有一解，故①错误;

②由正弦定理及acosA=bcosB知，sinAcosA=slnBcosB,

所以sin24=sin2B,所以24=2B或24+2B=兀，

所以4=B或4+8=今即△ABC为等腰或直角三角形，故②错误；

③取4c的中点D,

因为乙4DB+乙CDB=71,所以cos乙4。8=—cosZ.CDB,

由余弦定理知，四%=_巴驾W,解得皿2=竽，

2BD-^28g4

因为（闷+的）2=（PA-PC）2+4PA-PC，所以4而2=需2+4方正，

所以两•笈=同2一；刀2丽2一=¥^-)x49=20,当且仅当点P与点B重合时，等

4444

号成立，

所以两•定的最大值为20,即③正确；

④因为函数y=cosxG[-1,1],

所以若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-4)=1,则cos(4—F)=cos(B—C)=cos(C—A)=1,

所以4—B=B—C=C—A=0,即a=B=C,

所以△ABC为等边三角形，即④正确.

故答案为：③④.

①直接利用正弦定理，即可判断；

②利用正弦定理化边为角，并结合二倍角公式，可得解；

③取4c的中点D,根据乙4DB+NCDB=TT,利用余弦定理求得BD,再由平面向量的运算法则，

推出方•同=而2一方2前2一行2,代入运算，得解；

44

④根据余弦函数的值域，可得cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-4)=1,从而有4=B=C,得

解.

本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，平面向量的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能

力和运算能力，属于中档题.

17.【答案】解：⑴因为a是第二象限角，cosa=—|,

所以sina=V1—cos2a=11—(―1)2=2

sin(7r+a)cos(-a)sin(^+a)-sinacos2a

cos(20237r-a)tan(20247r-a)-cosa(-tana)

-COS4a

9

25

【解析】(1)由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解.

(2)利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可化简求解.

本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想,

属于基础题.

18.【答案】解：(1)由Zf=(1,—V~2),有|弓|=，1+3=2,

a-K=|a|-|b|cos1=1；

(2)|a-26|=J(a-2b)2=Ja2-4a-b+4b2

=V4-4+4=2；

⑶因为五+23与2五+高R)垂直，

所以0+2石)・(2五+石)=0,即2五2+(4+Q苍+22」=0,

•••3/1+12=0,

・••A=—4.

【解析】(1)求出m=2,根据数量积的定义即可求得答案；

(2)根据向量模的计算即可得答案；

(3)根据向量垂直，则数量积为0,列式计算，结合数量积的运算律，即得答案.

本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题.

19.【答案】解：（1）由0.005x20+0.005x20+0.0075x20+0.02x20+ax20+0.0025x

20=1,

可得a=0.01,

数学成绩在：[30,50）频率0.0050x20=0.1,[50,70）频率0.0050x20=0.1,

[70,90）频率0.0075x20=0.15,[90,110）频率0.0200X20=0.4,

[110,130）频率0.0100x20=0.2,[130,150]频率0.0025x20=0.05,

样本均值为：40x0.1+60X0.1+80X0.15+100x0.4+120x0.2+140x0.05=93,

可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，

据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩93分.

（2）由⑴知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.1+0.1+0.15+0.4=0.75,

在130分以下所占比例为0.75+0.2=0.95,

因此，80%分位数一定位于[110,130）内，由110+20x能之今=115,

U.vb—U./5

可以估计样本数据的第80百分位数约为115分,

据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数约为115分.

(3)由题意［50,70)分数段的人数为100x0.1=10人，

［70,90)分数段的人数为100x0.15=15人，

用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，

则需在［50,70)内抽取2人，分别记为&，［70,90)分数段内抽3人，分别记为a，B2,B3,

设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段［50,70)内”为事件4

则样本空间。={4142,4181,4/2,483,4281,42824283,8182,8/3,8283}共包含10个样本点,

而4的对立事件4={8182,8183,8283}，包含3个样本点，

37

P(4)=P(4)=1-P(4)=->

・•・抽取的这2名学生至少有1人成绩在［50,70)内的概率为

【解析】本题考查平均分、百分位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考

查运算求解能力，属于中档题.

(1)由频率分布直方图列方程，能求出a=0.01,由此能求出样本均值，从而估计样本数据中数学

成绩均值，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩.

(2)由样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.75,在130分以下所占比例为0.95,由

此能估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数.

(3)由题意［50,70)分数段的人数为10人，［70,90)分数段的人数为15人，用按比例分配的分层随机

抽样的方法抽取5名学生，需在［50,70)内抽取2人，分别记为人,4，［70,90)分数段内抽3人，分

别记为％B2,B3,设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段［50,70)内”为事件4利用列举

法能求出结果.

20.【答案】解：(I)由五点对应法得看3+8=5,号3+租=当导3=2,中=三

L1£L5

则/(X)=3sin(2x+今,

717Tn75n

X

■"61231271~6

7137r

a)x+(p07T27r

2T

Asin(a)x+(p)030-30

函数的周期T=兀，

由2/CTT-542%+242k/r+3，kWZ,得"一工工x4上加+jkEZ

NJN1Z1Z

则增区间为即一招，而+总,kez,

(II)当xe[—畀|5时，-l<2x+1<^,

则当2x+与冶，即％=工时，函数取得最大值，最大值为3,

当2%+/一%即％=一笠时，函数取得最小值，最小值为3s讥(—：)=—学.

【解析】(I)根据五点对应法进行计算，结合条件即可求出/(x)的表达式及增区间；

(II)当xe[-条部寸，求出角的范围，结合函数的单调性即可求/⑸的最值及对应x的值.

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用五点法求出函数解析式以及利用函数的单调性是解决

本题的关键.难度不大.

21.【答案】解：⑴连接BD,在RMABD中，

由勾股定理得B£>2=AB2+4。2=%所以BD=2,

在△BCD中，由余弦定理知cosC=财±"父¥=2,

2BCCD2

因为C(0,7T),所以。=今

所以S-BD=^4BYD=?，

5刖=次。"0=与5，

所以4BCD的面积S=S^ABD+SXBCD=殍+与^=|+C；

⑵在△BCD中，由正弦定理有喜BD

sinZBCD"

,3q3

因为siMBDC=更嘤驾=一=-

-5Z5

因为BD>BC,所以乙8。。6(0,勺，所以cos480C=V1-sin2^BDC=±