八年级数学暑假辅导及解析

八年级数学暑假专题复习一一函数解题中的数学思想应用

重点、难点

数学思想的应用

【典型例题】

方程思想的应用

例1.己知点P(x,x+y)与点Q(y+5,x-7)关于x轴对称，则点Q坐标为

分析：P点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标相反

x=y+5

构造方程组4

x+y+x-7=0

；.Q点坐标为(4,-3)

例2.已知一次函数丁=2%〃,-2，-2+m—2的图像经过第一、二、三象限，求m的值。

分析：一次函数条件：x的次数为1

即：m2-2m-2=1

得：m2—2m-3=0

解得：叫二-1,77?2=3

而当班二一1时，加一2=-3

此时y=2%>-2吁2图像经过一、三、四象限

不符合题意，舍去

故m=3

例3.已知：在AABC中，ZC=90°，AB=1Q,BC=6,P为AB上一动点(P不

与A、B重合)，过点P作PE〃BC交AC于E,连结BE,设AP=x,4BPE的面积为y,

求y与x之间的函数关系，并求自变量x的取值范围。

分析：••・5.卷=3尸石.石0

，知道PE的长、EC的长是关键，而PE、EC与三角形相似有关。

所以此题借助比例式找出PE、EC与x之间的等量关系。

即：用含x的式子表示PE、EC,进而得到函数关系式。

解：vPE//BC

PEAP

"1BC~^B

vBC=6,AB=10,AP=x

：.PE^-x

又•••——=—,AC=y]AB2-BC2=8

ABAC

“4

AE=—x

4

・•.EC=S--x

5

S^PEB~5PE•EC

—x-----X

数形结合思想的应用

例1.一次函数>=左2%—|川的图像经过第象限。

分析：攵2充当y=丘+。中的k,此时大于0

一伙|充当y=正+。中的b,此时小于0

则依据直线y=H+b,当％>0,6<0的图象示意图：可知图像经过一、三、四象

k

例2.已知反比例函数y=—(&<0),(项，％),(x,y),(x,当)是反比例函数图

x223

象上的三个点，若不<0<工2<13,试判断%，%的大小关系。

k

分析：反比例函数y=2(A<0)的图像位于二、四象限

只需将X1,%2,匕在图像上找到相对应的点，则可确定相应的函数值凹，%，为。从

而根据位置判断大小。

例3.如图所示，一次函数y=+)的图像过第一、三、四象限，且与双曲线y=&的

X

图像交于A、B两点，与y轴交于C,A(x,y)是NxOA终边上的一点，若tanNxO4=」，

原点0到A点的距离为而

(1)求A点坐标；

(2)求反比例函数的解析式；

(3)若5刖%=〃-6,求一次函数的解析式。

分析：此题关键是在平面直角坐标系中借助tanNxOA=>!■及。4=而，在Rt△中

5

求A点坐标。从而进一步借助goCxA到y轴距离等于So。。=〃-6,求出b,确定一

次函数的解析式。

解：(1)设点A坐标为(a,b),且Q>0,b>0

过A作AM」/轴交x轴于M

则OM=|a|,AM=\b\

在R/A40M中，tanZxOA=,且。4=病

贝！Ja=5,b=1

所以点A坐标为（5,1）

（2）此反比例函数解析式为y=*

X

2

（3）•/SMOC=b-6,且6<0（OC=|b|,C在x轴下方）

1,

.•.：创-5=^-6

——b=/?2—6

2

2b?+5/?-12=0

3

解得：*=—（舍去），b--4

22

；.一次函数解析式，为：y=&|X-4

又♦.•直线y=6x—4过点4（5，1）

/.1=5Z]—4,占=1

一次函数解析式为y=x—4

三.分类讨论思想的应用

例1.已知点N在x轴下方，且到x轴距离为2,到y轴距离为6,则点N的坐标为

分析：设点N坐标为（x,y）

由题意得：|x|=J5,|y|=2

则x=土百，y-±2

又•.•点N在x轴下方，y<0

x=±V3>y=—2

：.7V（V3,-2）或N卜瓜-2）

例2.已知直线丁=丘-3与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积为9,则直线解

析式为。

分析：设直线y=6一3与x轴交点为A,与y轴交点为B

则0）,B（0,-3）

・»3=9,-AO-BO=9,孙3=9

131A3,,,.1

\k\k2

...直线解析式为y=gx—3或y=—gx—3

例3.已知点A为平面直角坐标系内第四象限夹角平分线上一点，且OA=5,试在坐标轴

上找一点C,使得aAOC为等腰三角形，并写出C点坐标。

分析：首先应分别在x轴和y轴上找点C

其次，△AOC应分类找：（1）OA为腰；（2）0A为底

G（-5,0）、（OC,=OA）

C^|V2,0）、（℃2=AG）

C3（5,0）、（Og=OA）

C4（5V2,0）、（OA=AC4）

G（。，-|

Q（0--5）、（OA=OC6）

C7（0--5闷、（QA=AG）

C8（0,5）、（OA=OC8）

四.转化思想的应用

例1.已知一次函数了=（左一1）%+（-氏一5）的图像经过二、三、四象限,求k的取值范

围。

分析：直线经过二、三、四象限

所以一5〈左＜1

例2.待定系数解题(转化为方程组)

如：已知y+〃与x+加成正比例，其中m,n是常数，当x=l时，y=-1；当x=T

时，y=-7,求y与x的函数关系。

分析：设y+〃=Z(x+m)

当x=l时，y=-1得：-l+n=k(\+m)

当x=—l时，y=—7得：-7+〃=左(一1+加)

“，*,-1+n=k(\+m)

解方程组4

-7+〃=k(-l+m)

—\-k+km-n

<

-J=-k-\rkm-n

解得：F=3

km—n--A-

所求函数关系式为：y+n-k{x+tri),y=kx+Ian—n-3x-4

例3.如图所示，直线y=H+。与y轴交于点A（0,3）与x轴交于点B,正方形OPQR

的两边在坐标轴上，Q在直线AB上，OP：PB=1：2,求直线的解析式。

分析：求直线AB解析式，需要知道A、B坐标。而A点（0,3）,则OA=3,求B点

即可，即求OB长，此问题转化为几何问题。

•.•A4OB中，RQ/IOB

ARRQ

,~AO~~OB

又知PQRO为正方形，设正方形边长为x,则RQ=OR=OP=x

•：OP：PB=1：2

PB=lx

贝ij08=3x,AR=3-x

OB=6

；.B点坐标为（6,0）

•••直线解析式为y=—gx+3

五.几何解题思想的综合应用

k

例：已知反比例函数了=—和一次函数y=2x—l,其中一次函数的图象经过（a,b）,

2x

（a+1,b+k）两点。

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如图所示，已知点A是上述两个函数的图象在第一象限的交点，求点A的坐标;

（3）利用（2）的结果，回答：在x轴上是否存在点P,使AAOP为等腰三角形？若

存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

分析：（1）由一次函数y=2x—1的图象经过两点（a,b）,（a+1,b+k）,代入消

去a,b,可得k=2,进而可确定反比例函数的关系式。

（2）将丁=2%-1与〉=,联立成方程组，易求出点A的坐标:

（3）应根据0A为腰和底进行分类，结合（2）探求出点P的存在性。

解：（1）依题意可得：\b=2a-\

b+k=2（a+1）—1

两式相减，得k=2

所以反比例函数的解析式为y=-

y=2x-l

⑵由《12

%=1

y=一-2

经检验4X1=1与4X2-=5-都是原方程组的解。

[y=1v__2

因为A点在第一象限,所以A点坐标为（1,1）

（3）0A=Vl2+I2=V2,0A与x轴所夹锐角为45°

如图下所示①，当0A为腰时，由OA=OP,得々（JI,0）,巴卜、反，0）

由。4=AP,得6（2,0）

②当OA为底时，得舄（1,0）

所以这样的点有4个，分别是（、历,0）、（—J5,o1（2,o）、（l,o）

-j_--->

PTP^x

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1.反比例函数y=--”的图象上两点A（X],yj,3（*2,%），当玉＜0＜尤2时，有

yv＞2，则m的取值范围是o

2.已知反比例函数y=人的图象在第一、三象限，则一次函数y=-丘+2的图象不经过

第象限。

3.直线y=（加一2）x+3加-5与y轴的交点在x轴上方,且y随的取值范围是

4.三角形三边长为3cm,5cm,xcm,则三角形的周长为y（cm）与㈤的函数关系式是

,自变量取何值时，函数丁=（加一2»〉一3+2+〃7是*的一次函数？它是

否是正比例函数？

6.已知一次函数y=(机一2)工+加一3的图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围。

7.直线y=2x—2和直线y=x—5的交点在第象限。

8.两个一次函数的图象交于y轴上一点A,分别交x轴于点B、C,如图所示,若已知|0B|：

|0A|：|OC|=1：2：3,且aABC的面积是16,求两函数的解析式。

9.在平面直角坐标系中，已知点4(7—2加，5—〃7)在第二象限，且m为整数，则过点A

的反比例函数的解析式为。

10.如果一次函数y=丘-2的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为10,则此一次函

数为。

Q

11.已知点A是正比例函数y=2x和反比例函数y=2在第一象限的交点

x

(1)求点A的坐标；

4、

(2)如果直线y=+b经过点A且与x轴交于点C,求b及点C的坐标。

12.如图所示，在第四象限内的矩形OABC,两边在坐标轴上，一个顶点在一次函数

y3的图象上，当点A从左向右移动时，矩形的周长与面积也随之发生变化，设线

-2

段OA长m,矩形的周长为/,面积为s。

(1)试分别写出/、S与m的函数关系；

(2)能否求出当m取何值时，矩形的周长/最大？为什么？

(3)你能否估计矩形的面积是否有最大值，简单说一下你的想法?

【试题答案】

1.771<-2.三

2

3.-<m<24.y=8+x；2cx<8

3

f—3=1[m=±2

5.解：〈，〈

m一2w0\inw2

则m=-2

y=-4x,它是一次函数也是正比例函数。

[m-2>0fm>2

6.解：•・・{，/.<

m-3<0[m<3

/.2<m<3

7.三

8.解：设03=x,OA=2x,OC=3x

SMBC=EBCxOA=—•4x•2x

16=4x2,x2=4,x=2

：,0B=2,0A=4,0C=6

/.A（0,4）,0）,C（6,0）

2

・•・直线AB解析式为y=2x+4,直线AC解析式为y=-耳x+4

1

9.y=——

x

10.y=gx-2或y=-gx-2

y