2020-2021学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（共6小题）.

1.下列方程属于二项方程的是（）

A.x+1=0B.V^-5=0C.x--=0D.X3-X=1

X

2.直线y=2x-1的截距是（）

A.1B.-1C.2D.-2

3.下列方程中有实数解的方程是（）

1-x

A.x2+2x+3=0B.c.D.{+1=0

X-1X-1

4.下列关于向量的运算中，错误的是（）

A、a+b=b+aB.a"b=a+(-b，

c-；+（-a）=°D.a+(b+c)=(a+b)+c

5.下列说法正确的是（）

A.随机事件发生的概率大于0且小于1

B.“顺次联结四边形四条边的中点，得到的四边形是矩形”，这是不可能事件

C.不确定事件发生的概率为0.5

D.“取两个非零实数，它们的积为正数”，这是必然事件

6.下列命题为假命题的是（）

A.四个内角相等的四边形是矩形

B.对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形

C.一组邻边相等的矩形是正方形

D.两组邻边分别相等的四边形是平行四边形

二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7.（42）3=.

8.已知一次函数），=（k-1）x+1的图象经过第一、二、三象限，那么常数k的取值范围

是.

9.函数yT=的定义域是_______.

7x-1

10.方程Jx+4=2-x的根是.

11.已知方程9+T—=2%-2,如果设y=/-2x,那么原方程可化为关于y的方程，该

x-2x

方程是.

12.已知一次函数y=^+6的图象如图所示，当x<l时，y的取值范围是

13.现有分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形的四张相同的卡片，从中任

选两张，选出的卡片上的图形恰好同为中心对称图形的概率是.

14.某市某年的绿化面积是20万亩，第二、三年的年增长率相同.已知第三年的绿化面积

达到了25万亩，求第三年的年增长率，如果设该年增长率为x,那么可列关于x的方

程：.

15.如果从多边形的一个顶点出发，共可画出两条对角线，那么这个多边形的内角和是

度.

16.在等腰梯形ABCQ中，AD//BC,/B=/C=30°,AD的长为3,高A”的长为

那么梯形的中位线长为.

17.过平行四边形ABCD的对角线交点。作直线/,分别交直线AB、CD于点E、F,AE=

3A8,如果AB=a,那么。尸的长是.（用含有a的代数式表示）

18.如图，在四边形A3C。中，NA=NB=90°,AD//BC,JiAD>BC,AB=BC=\0,

点P在BC边上，点B关于直线AP的对称点为°,C。的延长线交边于点R,如果

AR=CP,那么线段AP的长为.

三、解答题（本大题共8题，满分66分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸上】

19.

解方程：a匚击一袅.

x2-2xy+y2=4

20.解方程组:

2

x+xy-x=0

21.一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是

一次函数关系.当汽车加满油后，行驶120千米时，油箱中还剩油40升；行驶180千米

时，油箱中还剩油35升.

(1)求出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；

(2)已知当油箱中的剩余油量为10升时，该车仪表盘会亮灯提示加油.在距离出发点

500千米处有一加油站，该车在加满油后,请判断司机能否在亮灯提示前行驶至此加油站，

并说明理由.

22.如图，点E、尸在平行四边形A8CZ)的对角线上，且设前=：BA=b)

EC=c.

(1)试用向量Z、b'3表示下列向量：AC_，BE

=-----------------，FB=-----------------；

(2)求作：＞b-c.(请在原图上作图，保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法)

23.我国水资源人均占有量远低于世界平均水平.某小区居民响应号召节约用水，现在日均

用水量比原来减少了3吨，300吨的水比原来400吨还可多用10天，求该小区原日均用

水量多少吨.

24.如图，在直角坐标平面中，点A(2,加)和点8(6,2)同在一个反比例函数的图象上.

(1)求直线AB的表达式；

(2)求△AOB的面积及点A到OB的距离AH.

25.已知：如图，四边形ABCQ的对角线AC、80相交于点O,AO=BO=CO,ZBAC=

ZACD.

(1)求证：四边形ABC。是矩形；

(2)如果点E在边A8上，OE平分NAC8,扬B,求证：BD=AD+AE.

26.已知：如图，平行四边形A8CD中，AB=5,BD=8,点E、F分别在边8C、CD1.(点

E、F与平行四边形A8C。的顶点不重合)，CE=CF,AE=AF.

(1)求证：四边形ABC。是菱形；

(2)设BE=x,AF=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

(3)如果AE=5,点P在直线AF上，ZVIBP是以A8为腰的等腰三角形，那么△ABP

的底边长为.(请将答案直接填写在空格内)

备用图

参考答案

一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应位

置填涂】

1.下列方程属于二项方程的是（）

A.x+1=0B.V^-5=0C.x--=0D.x3-x=\

x

解：8选项未知数x的次数不是正整数，所以不符合.

C选项除了含有x的1次项还含有-1次项，所以不符合.

。选项除了常数项以外，含有x的3次项和1次项，所以不符合.

根据定义可以判断x+l=0是符合的，「A.

2.直线y=2r-1的截距是（）

A.1B.-1C.2D.-2

解：当x=0时，y=2x-1=-1,

・・・直线y=2x-1的截距为-1.

故选：B.

3.下列方程中有实数解的方程是（）

A.x2+2x+3=0B.\[x=xC.1_xD.+1=0

x-lxTVx

解：A.N+2/3=0,

△=22-4X1X3=-8<0,

所以方程无实数解，故本选项不符合题

B.

.*.x=x2,

Ax2-x=0,

Ax（x-1）=0,

解得：x=0或1,

经检验x=0或1都是原方程的解，即方程有实数解，所以方程有实数解，故本选项符合

题意；

X-1X-1

去分母，得1=X,

即x=1,

当x=l时，x-1=0,所以尤=1是增根，

即原方程无实数根，故本选项不符合题意；

D.•.•4+1=0,

Vx="L

...方程无解（算术平方根是非负数），即方程无实数解，故本选项不符合题意；

故选：B.

4.下列关于向量的运算中，错误的是（）

A.a+b=b+aB.（-百

C-a+（-a，D.a+（b+C）=（a+b）+c

解：A、正确，本选项不符合题意.

B、a-b=a+<-b）-正确，本选项不符合题意.

C,>（-a）=0,错误应该等于用，本选项符合题意・

D、之+（5+^）=（之+4）+%本选项不符合题意•

故选：C.

5.下列说法正确的是（）

A.随机事件发生的概率大于0且小于1

B.“顺次联结四边形四条边的中点，得到的四边形是矩形”，这是不可能事件

C.不确定事件发生的概率为0.5

D.“取两个非零实数，它们的积为正数”，这是必然事件

解：A、随机事件发生的概率大于0,小于1,故本选项正确，符合题意；

8、“顺次联结四边形四条边的中点，得到的四边形不能确定”，这是随机事件，故本选

项错误，不符合题意；

C、不确定事件发生的概率为大于0且小于1,故本选项错误，不符合题意；

。、“取两个非零实数，它们的积为正数”，这是随机事件，故本选项错误，不符合题意;

故选：A.

6.下列命题为假命题的是（）

A.四个内角相等的四边形是矩形

B.对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形

C.一组邻边相等的矩形是正方形

D.两组邻边分别相等的四边形是平行四边形

解：A、四个内角相等的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；

8、对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意;

C、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，不符合题意：

。、两组邻边分别相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，符合题意，

故选：D.

二、填空题(本大题共12题，每题3分，满分36分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7.(a2)3=.

解：原式=。6.

故答案为a6.

8.已知一次函数y=(&-1)x+1的图象经过第一、二、三象限，那么常数&的取值范围是

k>l.

解：•.•一次函数y=(Jl-1)x+1(%为常数，2#0)的图象经过第一、二、三象限，

：.k-l>0.

解得：k>l,

故答案为：

9.函数的定义域是x>l

解：根据题意得到：X-1>0,

解得

10.方程力x+4=2-x的根是4=0

解：Nx+4=2-x,

两边平方，得x+4=(2-x)2,

整理得：N-5x=0,

解得：4=0或5,

经检验x=0是原方程的解，x=5不是原方程的解,

故答案为：x=0.

11.已知方程/+T-=2%-2,如果设y=/-2x,那么原方程可化为关于y的方程，该

x-2x

方程是)2+2y+1=0.

解：方程N+―J=2x-2,即方程N-2x+—J+2=0,

x-2xx-2x

设y=x2-2x,则T—原方程可变为，

x-2xy

y+-^-+2=0,

y

去分母得，卢2>1=0,

故答案为：产+2)，+1=0.

12.已知一次函数>=履+。的图象如图所示，当xVl时，y的取值范围是yV-2.

解：一次函数丁="+。的图象与y轴交于点(0,-4),

.\b=-4,与x轴点(2,0),

・・・0=2女-4,

：.k=2,

.\y=kx+b=2x-4,

・・.x=(y+4)4-2<l,

Ay<-2.

故答案为yV-2.

13.现有分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形的四张相同的卡片，从中任

选两张，选出的卡片上的图形恰好同为中心对称图形的概率是4-

一6一

解：等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形分别用1、2、3、4表示，

列表如下：

1234

1---(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)---(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)---(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)---

所有等可能情况数为12种，其中两张卡片上图形都是中心对称图形的有2种,

贝(1P两个都为中心对称

126

故答案为：1■.

6

14.某市某年的绿化面积是20万亩，第二、三年的年增长率相同.已知第三年的绿化面积

达到了25万亩，求第三年的年增长率，如果设该年增长率为x,那么可列关于x的方程：

20(l+x)2=25..

解：设每年增长率为x,则第二年绿化面积20(1+x)万亩，第三年绿化面积20(1+x)2

万亩，

根据题意得出：20(l+x)『25.

故答案为：20(1+x)2=25.

15.如果从多边形的一个顶点出发，共可画出两条对角线,那么这个多边形的内角和是J40

度.

解：多边形的边数是2+3=5,

则内角和是(5-2)X180=540".

故答案是：540.

16.在等腰梯形ABCO中，AD//BC,NB=/C=30°,的长为3,高A”的长为

那么梯形的中位线长为6.

解：过点。作。于G,

；AH_LBC,

J.AH//DG,

•JAD//BC,

：.四边形AHGD为平行四边形,

•：DGA.BC,

平行四边形AHGO为矩形，

：.HG=AD=3,

在RtZ\4B”中，NB=30°,AH=«,

:.AB=2AH=2M，

由勾股定理得：^=VAB2-AH2=7(2V3)2-(^3)2=3>

同理可得：GC=3,

：.BC=BH+HG+GC=9,

.•.梯形的中位线长=界(3+9)=6,

17.过平行四边形ABC。的对角线交点O作直线/,分别交直线A3、CO于点E、F,AE=

3AB,如果48=“，那么。尸的长是44或2a.(用含有a的代数式表示)

解：分两种情况：

①如图1所示，当点E在区4的延长线上时，AE=3AB=3a,

：.BE=AB+AE=4a,

•.•四边形ABC。是平行四边形，

.•.80=。。，AB//CD,

二ZE=NF,

在△BOE和△OO尸中，

2E=NF

<NBOE=NDOF，

BO=DO

:.△BOE'^XDOF(A45),

；・DF=BE=4a；

DC

②如图2所示，当点E在AB的延长线上时，AE=3AB=3a,

：.BE=AE-AB=2a,

•.•四边形ABC。是平行四边形，

：.BO=DO,AB//CD,

：.NE=NF,

在△BOE和△。0尸中，

2E=NF

<ZB0E=ZD0F-

BO=DO

：.^\BOE^/\DOF(A45),

:.DF=BE=2a；

图2

综上所述，D尸的长为4a或2”.

故答案为：4a或2a.

18.如图，在四边形ABCD中，ZA=ZB=90°,AD//BC,JiAD>BC,AB=BC=\0,

点尸在8c边上，点8关于直线AP的对称点为。，CQ的延长线交边AD于点凡如果

AR=CP,那么线段4P的长为二娓

,.・PC=AH,PC//AR,

・・・四边形APCR是平行四边形,

:.AP//CR9

•:B,。关于AP对称,

・•・OB=OQ,

:・BP=CP=5,

在中，ZABP=90°,AB=10,BP=5,

AP=VAB2+BP2=V102+52=58

故答案为：5娓.

三、解答题（本大题共8题，满分66分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸上】

914x

19.解方程：-4-+l=—------f.

x-2x+24-x”

4x一

解：原方程化为:

x-2x+2(x+2)(x-2)

方程两边都乘以Cr+2)(x-2),得2(x+2)+(x+2)(x-2)=x-2+4x,

整理，得N-3X+2=0,

解得：xi=2,xi=1,

经检验加=2是增根，舍去，X2=l是原方程的解,

所以原方程的解是x=L

x2-2xy+y2=4

20.解方程组：，

2

x+xy-x=0

解：先对方程①进行因式分解得:

(x-y)』4,

(x-y)2-4=0,

(x-y)2-22=0,

(x-y+2)(x-y-2)=0,

'.x-y+2=0或x-y-2=0.

由方程②得:

xCx+y-1)=0,

Ax=0或x+y-1=0.

・•・所以原方程转化为:

x-y+2=0或者’~-2=0或者卜-y+2=0或者卜-y-2+0

x=0Ix=0Ix+y-l=0[x+y-l=0

(x=0

所以原方程组的解:或者《或者，

ly=-2_3_i

*y至

21.一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是

一次函数关系.当汽车加满油后，行驶120千米时，油箱中还剩油40升；行驶180千米

时,油箱中还剩油35升.

（1）求出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；

（2）已知当油箱中的剩余油量为10升时，该车仪表盘会亮灯提示加油.在距离出发点

500千米处有一加油站，该车在加满油后,请判断司机能否在亮灯提示前行驶至此加油站,

并说明理由.

解：1）设y与x之间的函数解析式为y=Ax+b（%#0）,根据题意得：

（120k+b=40

1180k+b=35

'，一1

解得｛k~l2,

b=50

^-x+50（0<xW600）；

（2）不能在亮灯提示前行驶至此加油站，理由如下：

当）'=1°时，—^-x+50=10>

解得x=480,

即当油箱中的剩余油量为10升时，该车行驶路程为480千米，

因为480V500,所以该车在加满油后，不能在亮灯提示前行驶至此加油站.

22.如图，点E、尸在平行四边形ABCO的对角线8。上，且EB=F£>,设前=:以=高

EC=c-

⑴试用向量；、芯、3表示下列向量：AC=-a-b--BE=_a^c->FB=--c^

b-：

（2）求作：a+1-c-（请在原图上作图，保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）

解：（1）如图，设AC交8。于点O.

西边形ABCD是平行四边形，

：.OA=OC,OB=OD,

•；BE=DF,

：.OE=OF,

四边形AECF是平行四边形，

：.EC=AF,AF//EC,

•■•AC=AB+BC=a-b'

•,保=友+赤D

-'•FB=FA+AB=-c-b-

故答案为：a"b'a-c--c-b-

（2）如图，作CT//EB,HCT=BE,连接BT,DT,则五即为所求.

23.我国水资源人均占有量远低于世界平均水平.某小区居民响应号召节约用水，现在日均

用水量比原来减少了3吨，300吨的水比原来400吨还可多用10天，求该小区原日均用

水量多少吨.

解：设该小区原日均用水量为x吨，则现在日均用水量为(x-3)吨，

根据题意得：^---=10,

x-3x

解得：x=8或》=-15(舍去)，

经检验x=8是原方程的解，

答：该小区原日均用水量为8吨.

24.如图，在直角坐标平面中，点A(2,w)和点8(6,2)同在一个反比例函数的图象上.

(1)求直线AB的表达式；

(2)求△AOB的面积及点A到OB的距离AH.

•.•点4(2,机)和点8(6,2)在y=K的图象上

X

:・2=2"2=6X2

解得m=6f,

・・.点A的坐标为(2,6),

设直线AB的表达式为y=ax+Z?,

2a+b=6

把A(2,6)和B(6,2)代入得

6a+b=2‘

a=-l

解得

b=8

直线A8的表达式为)，=-x+8；

(2)设直线4B与x轴的交点为C,

在直线AB为y=-x+8中，令y=0,则x=8,

：.C(8,0),

二SAAOB=SAAOC-5ABOC=yX8X6-yX8X2=16.

'：B(6,2),

~VB2+22=2，/10,

•"△'。8=微。2乂H=16,

25.已知：如图，四边形ABC£>的对角线AC、相交于点O,AO=BO=CO,/BAC=

ZACD.

(1)求证：四边形ABC。是矩形；

(2)如果点E在边AB上，£>E平分NADB,80=扬B,求证：BD=AD+AE.

【解答】证明：(1)在△AOS和△C。。中,

'ZBAO=ZOCD

<AO=CO，

ZAOB=ZCOD

・'△AO哈△COO(ASA),

:・BO=DO,

,.・AO=CO,

・・・四边形ABC。是平行四边形，

■:AO=BO=CO,BO=DO,

：.AO=BO=CO=DOf

：.AC=BD,

・・・平行四边形ABC。是矩形；

(2)过点七作后尸，8。于F,如图所示:

由(1)得：四边形A3CO是矩形，

：.ZBAD=90°,

•••△A8。是等腰直角三角形，

AZABD=45°,

VEF1BD,

：.ZEFB=ZEFD=90°,

•••△BE尸是等腰直角三角形，

:.FE=FB,

・・•£>£平分N4O8,

・•・/ADE=NFDE,

在△4£>£和△尸。E中，

'ZEAD=ZEFD=90°

<ZADE=ZFDE，

DE=DE

•••△ADE出AFDE(A4S),

：.AD=FDfAE=FE,

：.AE=FB,

♦：BD=FD+FB,

：.BD=AD+AE.

26.已知：如图，平行四边形A8CZ）中，A2=5,BD=8,点E、F分别在边8C、CD±（点

E、厂与平行四边形A8C。的顶点不重合），CE=CF,AE=AF.

（1）求证：四边形ABC。是菱形；

（2）设BE=x,AF=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）如果AE=5,点P在直线AF上，ZXABP是以A8为腰的等腰三角形，那么AABP

的底边长为8或芋或6.（请将答案直接填写在空格内）

5

9

\AE=AF,CE=CF,AC=ACf

：./\ACE^/\ACFCSSS),

・•・ZACE=ZACFf

即NAC8=NACO；

*/四边形ABCD是平行四边