陕西省榆林市2023-2024学年高三第一次模拟检测数学（文科）试题含答案

榆林市2023-2024年度高三第一次模拟检测

数学试题（文科）

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.复数i2+i3在复平面内对应的点所在的象限为

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.设集合A={一4,一2,0,2,4),8={用3—1<2}.则

A.{0.2,4}B.{-4,-2,0}C.{-4.-2}D.{2,4}

3.已知向量a=(??i.l),6=(12),a//b,则ni=

A./B.—C.2D.—2

4.在等比数列{a“}中，a[+。2=1，。2+43=2,则“5=

C.16D.8

5.某圆锥的侧面积为16a其侧面展开图为一个半圆.则该圆锥的母线长为

A.2B.4C.2V2D.4夜

6.将函数f（/）=sin（axL*）（3>0）的图像向右平移冷个单位长度后得到曲线C,若C关于y

轴对称•则s的最小值是

A.-r-B.

63

7.执行如图所示的程序框图.输出的S=

A.18

B.22

C.25

D137

,5

8.已知a=logo,a0.7,A=log；；2,（'=/，则

A.a<b〈cB.c<Zh<Za

C.a<Zc<ZbD.b<c<a

9.已知函数/⑺〜工+加工在［一手，竽］上单调递增.则a的取值范围是

A.1—1,+2B.［1,+8)

C.［孝,+8)D.［-孝,+M

10.下图是由两个边长不相等的正方形构成的，在整个图形中随机取一点，此点取自△八DC,

△AFC，ABEF的概率分别记为人.人.必.则

A.p\=M

B.pi=p3

C.M=p3

D.闭=生+力3

11.如图，设抛物线V=47的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点

A,B在该抛物线上，点。在》轴「二，若|FA|=7"FB|=1•，则摆［=

D.3

12.已知H是球。的直径八B上一点./\H：HB=1:2.AB，平面a,H为垂足.a截球O所得

截面的面积为4M为a上的一点•且MH=g.过点M作球O的截面•则所得的截面面积

4

最小的圆的半径为

A.<B呼

L4

在D在

J42

第n卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

22

13.已知直线产后r是双曲线，一方=l(a>0.心>0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为

8.7,—y-440,

14.若工,了满足约束条件17+»+420,则目标函数==工一3)，的最大值为▲.

J—2(0,

15.已知J-=/(J-)+2为奇函数.则/(-1)+/(0)+/(1)=A

16.某网店统计了A商品近30大的H销售量，H销售量依次构成数列⑦"，已知m=20,且

a"+l—a"=l+(—l)"(〃eN+),则A商品近30天的总销量为▲.

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个

试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

在三棱锥八一BCD中,AB=AD,CB=CD,O为BD的中点.

（1）证明由平面OAC.

（2）若AB=BC=BD=2,平面A8DJ-平面BCD,求点B到平面ACD的距离.

18.（12分）

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a已知△ABC的周长为6,池•花=电上产

（1）求a的值；

（2）求A的最大值.

19.（12分）

某市为提高市民对文明城市创建的认识•举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随

机抽取100份作为样本，将100个样本数据按[30,40）,本0,50）,[50,60）,[60,70）,[70,

80）.[80,90]分成6组.并整理得到如卜频率分布直方图.

（1）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的

中点值作代表）；

（2）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前30%的市民，某市民知识竞赛的成绩是78,请估计该

市民能否得到表彰.

20.(12分)

设函数/(a-)=ln^+^才十〃,曲线3，=了(7)在点处的切线方程为了=61一一3.

(1)求a,b;

(2)证明：/(Z)〉一告.

21.(12分)

已知椭圆。昌+白=1储>〃>0)经过A(0,l),P(4•，一：)两点.

abob

(1)求。的方程；

(2)斜率不为0的直线I与椭圆C交于M,N两点,且点A不在/上.AM^AN.过点P作)，

轴的垂线，交宜线，=—1于点S,与椭圆C的另一个交点为T.记△SMN的面积为S-

△7MN的面积为S?.求知.

09

(二)选考题:共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系3缶中.曲线G和G的参数方程分别为「T+e"%为参数),

Iv=sina

F=2+而cosd(产为参数)，以坐标原点为极点.7.轴正半轴为极轴建立极坐标系.

lj-1+75sin^9

(1)求曲线C］和C?的极坐标方程；

(2)已知在线/@=菽(£>0),且/与曲线G相交于O・A两点，与曲线G相交于O，B两

点，则当I八B|取得最大值时，求归的值.

23.［选修4—5：不等式选讲口(10分)

已知函数八幻=|3工一2|+|2工+1|.

(1)求不等式f(z)>9的解集；

(2)若存在.zWR,使得了(l)<加成立，求实数回的取值范围.

榆林市2023-2024年度高三第一次模拟检测

数学试题参考答案(文科)

l.Ci?+i3=—1—i,所以该复数在复平面内对应的点为(一L—1),该点在第三象限.

2.D依题意得B={_z|3—工<2}={]|了>1},则A「B={2,4}.

3.B由题意可知一2租=1,则%=一1.

4.A设等比数列{4}的公比为q,则”曳=叫9=勺=2,即q=2,

4

由(21+。2=1,可得3al=1,即所以<25=aii7=y.

5.D设圆锥的母线长为/,底面半径为厂，即侧面展开图的半径为/,侧面展开图的弧长为

又圆锥的底面周长为2*所以24=兀/,即圆锥的母线长Z=2r.所以圆锥的侧面积为“/=

2兀，=16冗,解得r=272,Z=4V2.

6.B曲线C为y=sin[s(_r-y)一~=sin(sx一等一■,又C关于y轴对称，所以等+专

LJ0乙0LJ0

-99

=手十标"GZ,解得3=t+234ez,又3>0,所以当后=0时,3的最小值为早

7.C执行该程序框图,S=12"=2,%W4成立,S=18#=3#<4成立,S=22暴=4"W4成

立，S=25"=5,不满足4W4,输出的S=25.

8.D因为2a—logo.50.49〉logo.5。♦5=1,所以Q〉'，因为2b=log54<Cl,所以,故b<Zc

<Za.

9.B/'(力)=。-sinR>0在[―?苧]上恒成立，即a^sin了,所以则a的取值范围是

[l,+oo).

〃24z

10.A设AB=a,BE=b,a〈b,从而S/\ADC9^^BEF=2，因为AC〃_BF,所以S^AFC~S^ABC

2

=与，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到力1=九，故选A.

11.D由|FA|—7,|FB|—，可得kA+1=7,阴+1=~^~，即ZA=6,_，

所以*=|^^=—=3.

2

12.C如图，设截得的截面圆的半径为「，球。的半径为R,因为AH：HB=B

1:2,所以。打"尺由勾股定理，得R2—+OH2,由题意得兀户=2

0

=1,所以R2=1+([R)2,解得R2=1_,

OO后一二a

此时过点M作球O的截面，若要所得的截面面积最小,只需所求截面圆的

A

半径最小.设球心o到所求截面的距离为高所求截面的半径为则/=需寻，

所以只需球心。到所求截面的距离“最大即可，而当且仅当0M与所求截面垂直时，球心

。到所求截面的距离“最大，即“皿X=OM=J((R)2+MH2=[,所以《向n=j'—；=

/14

4,

13.早由题意可知擀=卮所以

14.12画出可行域(图略)知，当l-z=j：-3y平移到过点(0,—4)时,z取得最大值,最大值

为12.

15.-6因为v=/Cr)+2为奇函数，所以/(z)+2=—[/(—Z)+2],即/(—z)+/(z)=

—4,所以/(—=—4"(0)=—2,即/(-1)+/(0)+/(1)=-6,

16.1020当n=2k—1时，。2&'««；，当n=2k时，■，+产七1+2,所以=痣&-1+2,所以处

+。2+。3+•••+。29+。3。=2(。1+。3+。5+~•+々29)=2X(15X20H------—X2)=1020.

17.(1)证明：因为AB=AD,CB=CD,所以OA，BD,OC，BD,.........2分4

又因为QA,OCU平面OAC,OAnOC=O，........................................3分

所以平面OAC...............................................................................5分/；\

(2)解：因为平面ABDJ_平面BCD,且平面ABDQ平面BCD=BD,OA/\\\

LBD,所以OA,平面BCD,..................................................................7分

所以VABCD=，X2?=1......................................................9分c

在AACD中,AD=CD=2,AC=H，贝ijS：=y\^22-(^)2/15

AAD=1。分

2

设点B到平面ACD的距离为",所以8年"=1,解得人%里............12分

18.解：(1)期,前一cAosA-J+g—.......................................................2分

即(6+。)2=4/,........................................................................................................................3分

因为△ABC的周长为6,所以(6—。)2=4。2,......................................................................5分

解得〃=2......................................................................................................................................6分

(2)由(1)可知6+c=4・............................................................................................................7分

八c2~]~b2—a2(6+c)2-26c—/66.1止口e止7口4辂口

c°sA=—=---------诙------=瓦一12正电一1=7,当且仅当6=。时，等节

(2'

成立.....................................................................10分

故当6=c=2时,A取得最大值等............................................12分

19.解：(1)100份样本数据的平均值为

5=(35X0.005+45X0.010+55X0.010+65X0.020+75X0.032+85X0.023)X10=

68.3............................................................................................................................................5分

(2)成绩低于70分的频率为0.45,成绩低于80分的频率为0.77,................................7分

则被表彰的最低成绩为70+—募里X10=77.8125<78,........................................11分

所以估计该市民能得到表彰................................................12分

20.（1）解：函数/（公的定义域为（0,+8）"‘（G=：+a......................................................1分

由题意可得/（1）=3,/'（1）=6・...............................................................................................3分

故Q+6=3,1+Q=6,解得。=5,6=—2・..............................................................................5分

（2）证明：由（1）知f（x）=ln久+51一2,

从而/（1）〉——等价于iln1〉一512+2久——................................7分

0

设函数g（z）=iln则g/（z）=l+lnx.

所以当L（o［）时,g'（x）<0,当JCG（+,+8）时,g，（_z）〉0.

故gCz）在（0,（）上单调递减，在（（，+8）上单调递增，从而g（z）在（0,十8）上的最小值

为g（：）=--........................................................................................................................9分

Q19

设函数九（久）=一522+2k一三=一5（久一三）2—三，从而/1（1）在（0,+8）上的最大值为

A（V）=-1-<--.................................................................................................................11分

55e

故g（i）〉五（1）,即.............................................12分

仅2=1,

21.解：（1）因为椭圆C过点A和点P,所以46439_1.................................................2分

［而十砺i

解得］［=：'.................................................................................................................................3分

16=1,

则椭圆C的方程为亍+、2=1................................................................................................4分

（2）当直线lA_x轴时,△MAN为钝角三角形，且NM4N<90°,不满足题意.

设M（a：i,^1）,N（i2,丁2）,由AM，AN,可得AM•AN=0,

所以丽•京=（4,yi—1）•（孙，2—1）=4电+（凹—1）。2—1）=0，...................5分

所以直线I的斜率存在.设直线I的方程为、=左7+%，

由巴化简得（1+4为2）*+8岳％r+4〃?2—4=0,

|/+城=4,

△〉0064公枢2-4（1+4无?）（4根之一4）>0=>m2<1+4公.

2

I_—8km_4m一4「八

久1十支2=讦病，乃冗2=1+4庐'.............................................6分

所以A必•不亩=11处+后2处泾+%（加-1）（11+］2）+（加一I）2

_（1+公）（4/一4）_8A27n（加一DI（m—1）2（1+4/）_八

1+4-21+4/1+4"=

则（1+公）（4/—4）—8/加（利一1）+（加一1）2（1+4归2）=o,.............................................7分

整理得（加一1）（5m+3）=0,因为加力1,所以m=一百，..........................8分

所以直线/的方程为尸菽一!■，恒过点Q。一卷）.............................9分

由题意可知—.....................................10分

000

设点s到直线I的距离为出，点T到直线/的距离为d2,

,dl_di_|SQ|_5

$一1|MN|・「一4―..................................................................................

22.解：⑴由—―1+cosa,得（i一］）2+/=1,即工2+/—2L0,....................................1分

〔N=sinQ,

将力=pcos仇、=Qsin9代入上式，得p=2cos/..................................................................2分

由12+.c°s⑶得（1―2）2+（、-1）2=5,即12+y2—4i—2）=0,............................3分

［N=l+V^sinB，

将力=pcos仇;y=psin9代入上式，得p=4cos0+2sin仇

即曲线G和C2的极坐标方程分别为p=2cos仇p=4cos0+2sin9..........................