江西省上饶市2024届高三一模数学试题(含答案)

上饶市2024届第一次高考模拟考试

数学试题卷

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.

4.本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设全集U=R,集合A={x,>9},B={x\-2<x<4},贝乂令人）B=（）

A.[-1,0）B.（0,5）C.[0,5]D.[-2,2]

2.已知z=±a,则z—w的虚部为（）

1+i

A.TB.4C.-4iD.4i

3.关于函数/（x）=2sin，x-下列选项中是对称中心的有（）

abc

-朋）-加-加d-H,0]

4.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则

与圆周合体而无所失矣”.它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+—・中，"…”即代

1H----

表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程l+'=x求得x=正力.类比上述过程，则

x2

+2J4+=（）

A.y/sB.y/s+1C.2^/5-1D.y/5+2

5.血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新

药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一

次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的40%,当血药浓度为峰值的1.024%时，给药时间为（）

A.11小时B.13小时C.17小时D.19小时

1

6.已知函数/(x)=xe*,则下列说法正确的是()

A./(%)的导函数为/'(x)=(x—1度B./(%)在(―1,+8)上单调递减

C./(%)的最小值为―D./(%)的图象在x=0处的切线方程为y=2x

7.已知抛物线C：y=-x2,则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2024的直线的条数是()

•6

A.4035B.4036C.4037D.4038

8.作圆/+/=4一个内接正十二边形，使该正十二边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是

该正十二边形的一条边所在直线的为()

A.x+(2-y-2—0B.x+_y+1+^/3=0

C.x-_y+1-^/3=0D.(2-&)x+y-2=0

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的有()

A.若样本数据/，%，…，4的方差为2,则数据2X]—1,2%-1，…，24—1的方差为7

9

B.若P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(A忸)=0.5,则P(叫A)=§

C.在一组样本数据,(x2,y2),•••,(龙〃,%)，Cn>2,占，x2,•••,x”不全相等)的散点图中，

若所有样本点(%,y)(z=l,2,都在直线y=-gx+l上，则这组样本数据的线性相关系数为—1

D.某学校参加学科节数学学竞赛决赛的10人的成绩：(单位：分)72,78,79,80,81,83,84,86,88,

90.这10人成绩的第70百分位数是85.

10.如图，棱长为1的正方体ABC。—4用GA中，E,尸分别为D。，8月的中点，贝U()

A.直线FG与底面ABC。所成的角为30。B.4到直线FG的距离为等

C.FG〃平面ABjED.平面

2

11.已知定义在R上的函数满足了（%）—〃T）=0,/（x+2）-/（x）=0,且当xe[O,l]时,

/（%）=—2（x—1）2,若函数y=/（x）—log/x+l）在（0,+co）上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的

是（）

A./（尤）的图象关于直线x=—1对称B.当xe[4,5]时，/（x）=-2（x-5）2

C.当xe[2,3]时，"％）单调递减D.。的取值范围是

12.空间中存在四个球，它们半径分别是2,2,4,4,每个球都与其他三个球外切，下面结论正确的是（）

64

A.以四个球球心为顶点的四面体体积为乙

3

32

B.以四个球球心为顶点的四面体体积为J

3

C.若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为厂=殳8-4

3

D.若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为厂=更+4

3

第n卷（非选择题）

三、填空题：本小题共四小题，每小题5分，共20分.

13.（2x-if的展开式中/的系数为（用数字作答）.

14.在平行四边形ABCD中，网=4,|叫=2,点N分别是CD,的中点，

则.

15.若函数/（x）=d—g以2+6工在区间（1,3）上单调递增，则。的取值范围为.

22

16.已知。为坐标原点，双曲线C：=1（a>0,b>0）的右焦点为/（c,。），直线x=c与双曲

线。的两条渐近线分别交于A、3两点（点A在x轴上方），若点用与点N分别满足=

4.

ON=-OA,且。，N,F,M四点共圆，则双曲线C的离心率为.

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题10分）在△ABC中，内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足

a+c=b\J3sinA+cosA].

（1）求B；

3

（2）若6=3,且△ABC的面积为6，3D是△ABC的中线，求的长.

18.（本题12分）如图,三棱台ABC—DEF,7/在AC边上，平面ACED，平面ABC,DHLAC,CH=2,

CD=4,BC=g,BHLBC.

（1）证明：EF±BD；

（2）若AH=D尸=1,求Cb与平面A5£）所成角的正弦值.

19.（本题12分）设S”为正项数列｛4｝的前〃项和，若2a“，2Sn,4成等差数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

人,“为奇数

（2）设a=｛2024,求数列也｝的前2024项和4024•

坐二方为偶数

.a。

20.（本题12分）机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成

的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险.机动车辆保险一般包括交强险和商业险两部分，其中商业

险包括基本险和附加险.经验表明商业险保费（单位：元）由过去三年的出险次数决定了下一年的保费倍率,

上饶市某机动车辆保险公司对于购买保险满三年的汽车按如下表格计算商业险费用.（假设每年出险次数2

次及以上按2次计算）

出险情况商业险折扣若基准保费3000元时对应保费

三年内6赔1.85400

三-年内5赔1.54500

三年内4赔1.23600

三年内3赔13000

三年内2赔0.82400

三年内1赔0.72100

三年内0赔0.61800

（1）汽车的基准保费由车的价格决定，假定王先生的汽车基准保费为3000元，且过去8年都没有出险，近期

发生轻微事故，王先生到汽车维修店询价得知维修费为1000元，理赔人员根据王先生过去一直安全行车的习

惯，建议王先生出险理赔，王先生是否该接受建议？（假设接下来三年王先生汽车基准保费不变，且都不出险）

4

(2)张先生有多年驾车经验，用他过去的驾车出险频率估计概率，得知平均每年不出险的概率为0.8,出一次

险的概率为0.1,出两次险的概率为0.1(两次及以上按两次算).张先生近期买了一辆新车，商业险基准保费

为3000元(假设基准保费不变)，求张先生新车刚满三年时的商业险保费分布列及期望.

21.(本题12分)已知点4(—2,0),5(2,0),动点P满足直线E4与PB的斜率之积为-1,记动点P的

轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)过点厂(1,0)与曲线E相交的两条线段A3和CO相互垂直(斜率存在，且A、B、C、。在曲线E上)，

M、N分别是A3和的中点.求证：直线过定点.

22.(本题12分)已知函数〃力=」一，若。为实数，且方程=a有两个不同的实数根X],x2.

(1)求a的取值范围：

(2)(i)证明：对任意的都有/(x)＞竺:；

(ii)求证：W-xj〉,2(1-61)1—j.

上饶市2024届高三一模数学

参考答案

一、选择题

题号123456789101112

答案DACBBCCCBCDBCABDACD

二、填空题

13.8014.315.(—oo,6夜]16.

部分选择填空详解

12.半径为2的两球球心为A,B；半径为4的两球球心为C,D,易知AB=4,CD=8,

64

AC=AD=BC=BD=6.易知匕A_DC/v二—3；

若外切，设小球中心为。，半径为r,则点。在四面体ABCD内，且AO=5O=2+r,CO=DO=4+r,

取AB中点E,中点尸，连接所，易知。在E产上，CE=DE=4A/2,EF=4,

5

OF=y]0C2-CF2=^（4+r）2-42=^（r+8）,同理OE=Jr（r+4）,代入OE+O/=4得

厂=包1—4；同理：若内切则厂=至+4.

33

16.解：（解法一）由已知得，点A（c,如〕，c,be--Mcbe

,F（c,0）,N

aa5'—五

O,N,F,M四点共圆，:.ZAOB+ZNFM=TI

4bc

又Kb

乂氏K=3a_

NF—4c—a'&M

-----ca

3

4bb2。

NF—ZM=tanNA06=^^-,即:aaa

4bb忑

1+KNFKFM1—与A1+------

aaa

:.a2=llb2,.\12a2=llc2,=

11

（解法二）由已知得，点A（c,如cbe

,M,F（c,0）,N

Ia2a

因为NM（»=NAO方，根据圆的性质，可知|VF|二|A",

b2c2£+16b2c2

4a29a2

b112底

解得「二一，所以e=

a11111

三、解答题

17.解：（1）因为〃+c=b，3sinA+cosA,

3sinA+cosA,

即sinA+sin（A+B）=sinB3sinA+cosA,

即sinA+sinAcosB=sinAsinB,

又因为sinA>0,所以6sinB-cosB=1,所以sin]g-t£

2

6

又因为5e(O,7i),所以8—四四,2],

6166J

所以3—四=巴，所以3=工.

663

(2)因为S△诙=6,所以;a°sinB=6得呢=4,

由余弦定理得：4+/=62+2QCCOS5=13.

又BD=g(BA+BCb

所以忸力『=；(BA+BC『=^(c2+a2+2accosB)=^-,

得及）=」，故5。的长为

II22

18.证明：（1）在中，CH=2,CD=4,

由。7/LAC,解得ZACD=60°,。〃=2百，

又因为平面ACED，平面ABC,平面ACED）平面ABC=AC,DHu平面ACED,

所以DHL平面ABC,

因为BCu平面ABC,所以D7/L5C,

又因为BHDH=H,BHu平面BDH,£>Hu平面应归，

所以6CJ_平面

因为QBu平面瓦汨，所以5d>5,

又因为5C7/EE,所以EFLDB；

（2）由（1）知DHL平面ABC,则以〃为原点，HC,"D的方向分别为y,z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系,

B

则4(0,-1,0)，B把,4。(0,0,26),C(0,2,0),F(0,1,2^/3),

所以A3=及4AD=(0,l,2@,CF=(0,-1,2^/3)

设平面A5D法向量为〃=（x,y,z）,

7

“nJ33c

n-AB=—x+—y=0

则22

n-AD=y+2Gz=0

令y=-26，得平面ABO的一个法向量为〃=6,-261),

设CF与平面A3。所成角为氏

CFn4百4屈

则sin0-cos(CF,n

CF||nA/13x791

所以C/与平面A3。所成角的正弦值为上叵.

91

G

19.(1)an=2n(nN")；(2)7^024=1265

SQQ

解：(1)有已知得：4〃=2〃+；,an>Q

当刀=1时,4不=4%=2%+af,.二%=2.

14s“=2g+o：、

当时，\得4%=2%一2Q〃_I+之0一[3

〔4%]=2%+吊_]

2(%+«„-1)=((«„+«„-1)((«„-%).

aa

„+n-i>0'=2

数列｛4｝是以2为首项2为公差的等差数列

/.an=2n(〃£N*)

a2n-l2/1-1

(2)有已知得：b2-=

n2024—1012

1(1+2x1012-1)-1012

二4+&+々+…+%23=1012.

10122

4052_101311__

4〃.(4"+4)4\nn+lj

1013111

4+64+4++”20241------1----------1----------\~~\---------------1--------

422334101110121012

10131012-

=------------------------二233

41013

，金24=4+〃2+4++%23+82024=(4+伪+幺+，+^2023)+(4+.4++%24)

8

=1012+253=1265.

20.解：（1）由于王先生过去三年都没有出险，若不出险，王先生接下来三年只需按最低标准1800元缴费,

共需5400元.

若进行理赔，则接下来三年每年需2100元，共需6300元

6300-5400=900<1000,故出险理赔更划算

（2）设商业险保费数额为随机变量X,则X的可能值为5400,4500,3600,3000,2400,2100,1800.

则P（X=5400）=0.1x0.1x0.1=0.001

P（X=4500）=。；（0.1）3=0.003

尸（X=3600）=C；（0.1）3+Cf（O.l）20.8=0.027

P（X=3000）=C；0.8xC；（CH）?+（O.l）3=0.049

P（X=2400）=C；0.1（68）2+C2Q8=0216

P（X=2100）=C；（0.8）20.1=0.192

P（X=1800）=（0.8）3=0512

X5400450036003000240021001800

p0.0010.0030.0270.0490.2160.1920.512

则EX=5400x0.001+4500x0.003+3600x0.027+3000x0.049+2400x0.216

+2100x0.192+1800x0.512=2106.3（元）

21.（1）设尸易得％w±2,直线AP的斜率为」一，直线3P的斜率为二一，

x+2x-2

则上上一，

x+2x-24

2222

整理得二+匕=1,则曲线E方程为

—+=1（xw±2）；

4343

vp!*

（2）由题意可知，设A5直线为y=/t（x-l）（左wO）,Af（石,yj,A（x2,y2）,5（玉,％）,

W+%3、，%+%

则因为M分别是A5的中点，所以为=c，:=c'

9

22

因为A,JB在椭圆---F=1Jt,

43

x22

-22-+江=1①

,曰；222

所以《432,由①-②,得x七_工+^^=0,

x23

—3+二=1②

I43

2233

即%-%于是有%一%一,

玉2

4%2+x3x2-x34

所以〜

X4k2

解得।3+4/

-3k"13+4左2'3+4左2

产―3+4左2

k*0,将上式"点坐标中的左换成-工,

k

同理可得N

3k-3k

①当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率kMN=3左；+43=

3-2+/3+4左2

甘、工口—3左7k(4k②“5,曰7k(4、

其方程y---------g=—/----rvx---------，化间付y=-7----kx—,

3+4左24(1—用(3+4日，4(1—左2“7J

二直线MN过定点.

44G2(4

②当直线MN垂直于x轴时，——二-----7,此时，k=±l,直线MN也过定点一,0

3k-+43+4左2(7

综上所述，直线MN过定点［3,。］.

“叼/八r(\lnx+lc\Inxc

22.解：(1)f(%)-------,x〉0,.,.于(1)=-----—，x>0

XX

10

.,・/（X）在X£（0,1）上为增函数，在X£（1,+00）上为减函数

[，)=0,/(1)=1,且X—y时，/(%)—()./.6ze(0,l)

、/•、、-./、(

(/C2)(1)记g(尤)=/r(%)