《1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系》课件与同步练习

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第一课时空间中点、直线和平面的向量表示思考1：1、如何确定一个点在空间的位置？2、在空间中给一个定点A和一个定方向(向量),能确定一条直线在空间的位置吗？3、给一个定点和两个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗？4、给一个定点和一个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗？复习引入OP一、点的位置向量学习新知学习新知二、直线的向量参数方程用向量表示直线l,就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点.如图,是直线l的方向向量，在直线l上取,设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l的充要条件是存在实数t,使得如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使,①

将代入①式，得②①式和②式都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.例题讲评巩固练习学习新知三、平面的向量表示式一个定点和两个定方向能否确定一个平面？平面α可以由α内两条相交直线确定.如图1,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x,y),使得.这样，点O与向量不仅可以确定平面α,还可以具体表示出α内的任意一点.学习新知四、平面的法向量进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？给定空间一点A和一条直线l,则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的A

给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有l学习新知学习新知例题讲评例题讲评例3如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点.以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求平面BCC1B1的法向量；(2)求平面MCA1的法向量.例题讲评解∵AD、AB、AS是三条两两垂直的线段，设平面SCD的法向量＝(1，λ，u)，巩固练习1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(

)A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)A2.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是()A.(0，－3,1) B.(2,0,1)C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)D巩固练习3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证是平面ACD1的一个法向量.巩固练习如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.解:如图所示建立空间直角坐标系.依题意可得D(0,0,0),P(0,0,1),课堂小结1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第二课时空间中直线与平面的平行OP一、点的位置向量复习引入二、直线的向量参数方程如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使,①

将代入①式，得②①式和②式都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.复习引入三、平面的向量表示式和法向量l复习引入

因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？学习新知平行关系：图示图示图示学习新知例1证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.例题讲评例题讲评例2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2.线段B1C上是否存在点P,使得A1P//平面ACD1?例题讲评例2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2.线段B1C上是否存在点P,使得A1P//平面ACD1?用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.巩固练习解：已知直线l,m和平面α,其中,,且l//m,求证：

l//α.设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α的法向量为u.因为l//m,所以.又因为u是平面α的法向量,,所以,所以u·b=0,u·a=u·kb=0.所以l

//α.解：已知直线l,m和平面α,其中,,且l//m,求证：

l//α.设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α的法向量为u.巩固练习.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是面AB1,面A1C1的中心，求证：EF//平面ACD1.如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD上是否存在点F,使得AE//CF?巩固练习巩固练习巩固练习如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是棱CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ//平面PAO?课堂小结

空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.lml1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第三课时空间中直线与平面的垂直复习引入平行关系：图示图示图示复习引入垂直关系图示图示图示学习新知1.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.平行垂直平行巩固练习1.设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.垂直平行相交巩固练习

例1、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。已知：直线m，n是平面内的任意两条相交直线，且求证：例题讲评例题讲评例4如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.例题讲评例3证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直1、设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α//β

，则k=

；若α⊥β则k=

。2、若l的方向向量为(2,1,m),平面α的法向量为(1,1/2,2),且l⊥

α

，则m=

.巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC＝CD,∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.课堂小结

空间中平行与垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则利用空间向