平行四边形完整版本

平行四边形的性质与判定1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。表示：平行四边形用符号“□”来表示。２、平行四边形性质：平行四边形性质平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分。３、扩展性质： 平行四边形对角线分平行四边形成面积相等的四个小三角形。平行四边形对角线分平行四边形成四个小三角形中，相邻两个小三角形周长差等于边长差平行四边形对角线的一半和大于任意一边长过平行四边形对角线交点的任意一条直线分平行四边形成面积相等两部分二.平行四边形的面积：平行四边形的面积：等于底和高的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。平行四边形中的等积法使用：【典例精析】例题1如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4例题2如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4D．8一、平行四边形的判定1、平行四边形的判定判定前提：在同一平面内判定定理两组对边分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。二.已知平面内三点作平行四边形：过点Ｅ、Ｆ、Ｇ三点作对边平行线，图中四边形AEFG、BEGF、CFEG都是平行四边形例题1如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（）A．8B．6C．4D．3例题2如图，平面直角坐标系中有一个5×5的方阵，在方阵中的点的横、纵坐标都是整数的点叫格点，四个点都是格点的四边形叫格点四边形，已知：A（1，2），B（3，2）．以A、B为顶点，面积为2的格点平行四边形的个数是（）A．9个B．10个C．11个D．13个动点形成平行四边形实例：如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．

（1）求证：BF=FD；

（2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时∠A的度数．实例：在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．（3）若AC=6，DE=4，则DF=．

关于性质的补充：（1）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。（2）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。（3）平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。（4）平行四边形的对角线一半的和大于平行四边开任意一边，差小于任意一边。已知平面内三点作平行四边形：关于判定的补充：过点Ｅ、Ｆ、Ｇ三点作对边平行线，图中四边形AEFG、BEGF、CFEG都是平行四边形中位线定理的应用考点1：（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（2）要将中位线与中线区别开。一个三角形有三条中位线。考点2：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。证明图示：拓展：（1）三角形三条中位线分三角形所成的四个三角形全等，每个三角形面积等于三角形面积的四分之一。（2）三角形三条中位线组成的三角形周长为原三角形周长的二分之一。【典例精析】例题1如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°例题2如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是（）A．∠HGF=∠GHEB．∠GHE=∠HEFC．∠HEF=∠EFGD．∠HGF=∠HEF例题3如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（）A．28B．32C．18D．25例题4:如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE∥AC，在BG上取点E，连接DE交AC的延长线于点F．（1）求证：DF=EF；（2）如果AD=2，∠ADC=60°，AC⊥DC于点C，AC=2CF，求BE的长．【总结提升】1、要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。2、当图形中有一个中点的时候考虑倍长中线，当图形中有两个中点的时候考虑连接后用中位线。3、连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。4、直角三角形斜边中线：如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。平行四边形的性质与判定1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（）A．S▱ABCD=4S△AOBB．AC=BDC．AC⊥BDD．▱ABCD是轴对称图形2.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（）A．18B．28C．36D．463.已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（）A．100°B．160°C．80°D．60°4.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（）A．4B．3C．D．25.下列说法正确的有（）①平行四边形的对角线相等；②平行四边形的对边相等；③平行四边形的对角线互相垂直；④平行四边形的对角线互相平分；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；⑥一组对边平行而且另一组对边相等的四边形是平行四边形．A．4个B．3个C．2个D．1个6.如图所示，在▱ABCD中，E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是①AF=CF；②AE=CF；③∠BAE=∠FCD；④∠BEA=∠FCE．7.已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC平移到△A′B′C′，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为8.如图，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交AB于点E，BF平分∠ABC，交CD于点F．（1）求证：DE=BF；（2）连接EF，写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）9、如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．（1）求证：AE=CF；（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．10、已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．

（1）求证：△AEM≌△CFN；

（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．中位线定理的应用1.已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（）A．2cmB．7cmC．5cmD．6cm2.如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是（）A．18米B．24米C．28米D．30米3．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．BC=2BEB．∠A=∠EDAC．BC=2ADD．BD⊥AC4.如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定5.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD，则图中平行四边形的个数为．6.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF=1，DF交CE于点G，且EG=CG，则BC=．7.如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A=28°，∠B=130°，则∠A