理学状空表达式

由工作原理图建状态空间表达式例

RLC电路输入:u(t)

输出:uc(t)解列方程改写为RCL或状态变量具有非唯一性

同一系统，状态变量选取不同，状态方程也不同，但它们都描述了同一系统。得1.单输入单输出系统状态方程输出方程用矢量矩阵表示2.多输入多输出系统七.状态空间表达式的系统框图单箭头表示标量信号,双箭头表示矢量信号bAC+uy

BAC+uy

D+§1-2状态空间表达式的模拟结构图绘制模拟结构图的步骤:①选积分器数目等于状态变量数;例已知微分方程，绘出模拟结构图等于微分方程阶数②将每个积分器输出选作一个状态变量;③据方程画加法器和比例器。已知三阶微分方程，绘制模拟图。例已知状态空间表达式，画出相应模拟结构图-6+-3+-2++例已知状态空间表达式，画出相应模拟结构图++++++BAC+uy

D+多输入多输出系统结构图多以矢量结构图形式表示§1-3状态空间表达式的建立（一）三种途径求状态空间表达式：{A，B，C，D}由系统框图建立；由系统工作机理建立；由系统微分方程或传递函数建立。一.由系统框图建立状态空间表达式系统方框图相应模拟结构图选定状态变量建立状态空间表达式例1-1

已知系统方框图，求其状态空间表达式解系统方框图相应模拟结构图对含零点的环节可展开成部分分式例已知系统方框图，求其状态空间表达式uy解等效方框图+模拟结构图状态空间表达式+等效方框图+z-ppak二.由系统工作机理建立状态空间表达式【例1-5】列写电枢控制直流电动机的状态空间表达式。解:

(1)确定输入u，输出w,

状态变量：i、w。(2)列写原始方程RLu(t)M+_BJw①②(3)整理①

~

④式，消去中间变量e、m，改写成等式左端为状态变量的一阶导数③④(4)

令x1=ix2=

w若输出为转角q§1-4

状态空间表达式的建立（二）微分方程或传递函数状态空间表达式

一.单变量线性定常系统相应的传递函数为：所谓实现,就是据上两式寻求状态空间表达式

实现的存在条件是n≥m(1)当n>m时对应状态空间表达式中d=0(2)当n=m时长除法,化为整数与真分式之和对应状态空间表达式中d=bm≠0前馈系数(一)传递函数中没有零点时的实现传递函数：

上式的实现，可以有多种结构，常用的简便形式可由模拟结构图借助Mason公式导出。梅逊公式及应用△称为系统特征式

其中:-∑L1+∑L2-∑L3+…+(-1)m

∑Lm1△=PK

—第K条前向通路的增益△K

—第K条前向通路的余子式△K求法:去掉第K条前向通路后所求的△—所有不同回路的增益之和;∑L1—∑L2—所有两个互不接触回路增益乘积之和;∑Lm

—所有m个互不接触回路增益乘积之和.模拟图b0+++b0+++状态空间表达式：友阵能控型ACb状态空间表达式：例1-6已知微分方程,列写状态空间表达式(二)传递函数中有零点时的实现以三阶系统为例找出规律,再推广到n阶系统设方法一:串联分解UY1b3Y+选中间变量y1①②以上两式拉氏反变换得:③④据③④式得模拟结构图①UY1b3Y+每个积分器输出为一个状态变量+++③④+++状态空间表达式：推广到n阶系统(1-28)(n=m)

此状态方程与传函无零点的状态方程相同,不同的只是输出方程。能控标准型(1-28)(2)当时方法二对式(1-26)的系统可用下面模拟结构图实现+++图中b0、b1、b2、b3是待求的,将综合点等效地移到前面+++W1W2uy+++W1W2uy对应传递函数为求得bi,

令式(1.29)与式(1.26)相等,通过对s多项式系数的比较:(1.29)故得(1.30)比较得:将图中每个积分器输出选作状态变量+++状空表达式能观标准型扩展到n阶系统(1-33)式中或记为(1-34)例1-7已知微分方程，列写状态空间表达式解由微分方程系数

b3=b2=0,b1=360,b0=440(1)方法一：按式(1.28)所示的方法列写a2=28,a1=196,a0=740,(1)方法二：按式(1.33)所示的方法列写，先求bi二.多输入多输出系统微分方程的实现(1-35)按高阶导数项求解对每一个方程积分模拟结构图++§1-5状态矢量的线性变换

一.状态空间表达式的非唯一性

同一系统,由于所选状态变量不同,可以建立许多状态空间表达式。所选取的状态矢量之间，实际上是一种矢量的线性变换。设系统为

(1-37)总可以找到任意一个非奇异矩阵T，将原状态矢量x作线性变换，得另一状态矢量

z，设变换关系为：代入式(1-37),得到新的状态空间表达式将x=Tz代入式(1-37),得新状态空间表达式(1-38)式中(1-37)

由于T为任意非奇异阵,故状态空间表达式为非唯一的。【例1-8】某系统则变换后z1、z2是x1、x2的线性组合。变换后的状态空间表达式则变换后(1.41)3)若欲将式(1.41)的

变为,求变换阵T3可选

此时

1.系统特征值2.系统的不变量与特征值的不变性(1)对系统作线性非奇异变换,其特征值不变。(2)经非奇异变换,系数a0,a1…an-1为系统的不变量。二.系统特征值的不变性及系统的不变量(2)n×n方阵A有n个特征值。

(3)特征值或为实数或为共轭复数对。

3.特征矢量pi设li是A的一个特征值,若存在一个n维非零矢量pi(2)当特征值l1、

l2…ln互异时,特征矢量p1、p2…pn线性无关,因此由这些特征矢量组成的变换阵T=[p1

p2

…

pn]必是非奇异的。则称pi是A的对应于li的特征矢量。【例1-9】试求的特征值和特征矢量。解

(1)求A的特征值(2)求l1=-1的特征矢量P1=[p11

p21

p31]T按定义：AP1=l1P1(3)同理,求l2=-2的特征矢量对应于l3=-3的特征矢量则有变换阵T=[P1

P2

P3]三.状态空间表达式变换为约当标准型

根据系统矩阵A,求其特征值li,写出约当标准型J无重根时有重根(q个重根l1)00000000介绍几种求变

换阵T的方法

1.A阵为任意形式

(1)A无重根设系统矩阵A有n个不相等的特征根li(i=1,2,…n),相应地有n个不相等的特征矢量Pi(