辽宁辽阳2023-2024学年高二年级上册1月期末考试数学试卷

高二考试数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一、二册.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.直线3》一>+6=°与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

A.4B.8C.6D.12

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线方程得出与坐标轴交点坐标，即可求出结果.

【详解】由题知，

直线与y轴交于点（0,6）,与x轴交于点（-2,0）,

所以围成的三角形的面积为，x6x2=6.

2

故选：C

3

2.某地气象局天气预报的准确率为一，则4次预报中恰有3次准确的概率是（）

4

2727927

A.---B.—C.—D.—

128641632

【答案】B

【解析】

【分析】由独立重复试验的概率公式运算即可得.

【详解】由题意可知，4次预报中恰有3次准确的概率P=C：x[3]x-=—.

4⑷464

故选：B.

3.已知抛物线C：必=22）；5>0）的焦点为歹，点尸（为,4）在。上，怛4=5,则直线口的斜率为

()

A.±32D.±3

B.±-C.+-

2334

【答案】D

【解析】

【分析】利用抛物线定义求得P的值，得出焦点坐标和力,即可得出结果.

【详解】因为|FP|=5,所以4+5=5,解得p=2,

则*0,1）,P（±4,4）,所以直线政的斜率为土j

故选：D

4.同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其

他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（）

A.32种B.128种C.64种D.256种

【答案】C

【解析】

【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解.

【详解】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法；

若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法.

故一共有25+25=64种去法.

故选：C.

5.某市高三年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布N（171,16）,现在该市随机选择一名高

三男生，则他的身高位于［171,179）内的概率（结果保留三位有效数字）是（）参考数据：

-a<X</j+a）«0.683,P（//-2cr<X<〃+2cr）a0.954,

尸（〃-3b<X<〃+3oj#0.997.

A.0.477B.0.478C.0.479D.0.480

【答案】A

【解析】

【分析】利用正态分布的对称性即可求出结果.

【详解】由题意可知，〃=171,a=4,

所以P(171<X<179)=WX<〃+2b)a0.954+2=0.477.

故选：A

6.如图，在三棱柱ABC-A^IG中，M为AG的中点，设84=a，BBX=b,BM=c-则C4=

A.2a+2b-2cB.a+2b-2cC.2a+b-2cD.a-2b+2c

【答案】A

【解析】

【分析】先得到离=2(丽-前)，然后将就表示出来并代入离的表示中，由此可得结果.

【详解】连接BQ,如下图所示,

因为离=2函=2(萧—就)，BM=^BA+~BC^=^BA+~BC+BB^,

所以就=2丽一丽一丽，所以系=一2丽+2丽+2西=2%+23—2之.

故选：A.

2

7.小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为记小明射击2次的

得分为X,则。(x)=()

D1626

AB.—D.—

i939

【答案】B

【解析】

【分析】先找出X的取值可能，计算每种可能的概率后结合方差定义计算即可得.

【详解】由题意可知，X的取值可能为-2,。，2,

224

因为尸（X=2）=§x§=§

111

P（X=-2）=—X—=

339

214

P（x=o）=c；x—x—=—

339

4xllx0=2

所以E（X）=§x2+（-2）+

993

222

故D(X)=0-g41c21i4_16

X—+-2——X、。二

X

93939~~9

故选：B.

8.已知直线y=x+l与圆心在无轴上的圆M相切，圆M与圆N：(x-2『+/=1外切，则圆加的半径为

）

A.行-1或4A历+4B.272-2

C.472+4D.2血-2或4拒+4

【答案】D

【解析】

【分析】根据M在N的左右两侧进行分类讨论，结合的数量关系求解出半径『的值.

【详解】如图，过点M作直线>=尤+1的垂线，垂足为尸，设圆M的半径为r,

直线>=x+1的倾斜角为45°,点A的坐标为(-1,0),

若点M在点N左侧，则有也|PM|+|MN|=3,

2

即厂+1+行r=3,解得厂=v+］=20-2；

若点M（记为AT）在点N右侧，MP垂直于y=x+l,则［-MM=3,

即血厂一厂―1=3，解得,=J［=4亚+4；

所以r的值为2立一2或4行+4，

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若［2x-十］展开式的二项式系数之和为64,则下列结论正确的是（）

A.该展开式中共有6项B.各项系数之和为1

C.常数项为-60D.只有第4项的二项式系数最大

【答案】BD

【解析】

【分析】对A：由二项式系数之和为2"可得〃的值，即可得展开式中的项数；对B：令x=l即可得各项系

数之和；对C：代入二项式通项公式计算即可得；对D：当〃为偶数时，二项式系数最大项为第一+1项即

2

可得.

【详解】因为二项式系数之和为64,即有2"=64,所以“=6,

则该展开式中共有7项，A错误；

令x=l,得该展开式的各项系数之和为1,B正确；

通项小=G•（2x）〜1丫♦J•26,J十，

令6—|r=0,得厂=4,7；=（-1）4XC^X22=60,C错误；

二项式系数最大的是C：,它是第4项的二项式系数，D正确.

故选：BD.

10.某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是

（）

A.若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法

B.若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法

C.若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法

D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法

【答案】ABC

【解析】

【分析】选项A将数学排在后三节，再将其余3个科目全排列即可；选项B采用捆绑法进行求解；选项C

采用插空法进行求解；选项D根据除序法进行求解.

【详解】对于A,有3A：=18种排法，故A正确；

对于B,采用捆绑法，有A；=6种排法，故B正确；

对于C,采用插空法，有A：A；=12种排法，故C正确；

A4

对于D,有m=4种排法，故D错误.

故选：ABC

11.如图，在正方体48CD—A耳G2中，尸为AC的中点，AQ=tABx,?e[O,l],则下列说法正确的

是（）

A.PQ±\B

B.当/=1■时，PQ//平面3。。1片

c.当♦=工时，尸。与co所成角的余弦值为近

311

D.当/=；时，AQ，平面尸44

【答案】ABC

【解析】

【分析】先建立空间直角坐标系，而后对A：证明两向量之积是否为。即可得；对B：证明诙与前平行

即可得；对c：借助向量求出夹角的余弦值即可得；对D：证明而不与函垂直即可得.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则。

所以行=48=(1,0,-1),

所以©A•港=0,所以A正确；

当/=!时，ep=|0,^,0所以PQ//BC,

2I2J2

又BCu平面3。。1片，P。2平面BCCdi，

从而PQ//平面，B正确；

当/=；时，=DC=(1,0,0),

所以尸。与CO所成角的余弦值为cos(反,0?)=*，c正确；

当/=；时，而=］；,0,—藕=(1,0,1),

—■—■131

月1442

所以AQ不垂直于AB-所以4Q不垂直于平面PA与，D错误.

C

X

故选：ABC.

22

12.已知椭圆C：/+、=1,直线〃优+'一3=0与C交于,NG，%)两点，若％=在,

则实数4的取值可以为()

11

A.—B.-C.3D.4

56

【答案】CD

【解析】

【分析】将点”（石,％）和点N（九2,%）代入椭圆方程组成方程组，利用%=2%和点M、N在直线

〃优+>-3=0上消去多余未知数，化简得到用2表示方的关系式，因为如+丁-3=0表示过定点（0,3）

斜率为一加的直线，所以直线不与》轴重合，因为点N（%,为）在椭圆上，根据椭圆性质得到|%|<2,从而

解得丸范围选出答案.

【详解】由玉=4%,得乂=3-加再=3-勿依2=3+彳（%—3）.因为点”（七,％）,N（X2，%）在椭圆

I"<%+3—3疔「1°

。上，所以<9,4消去巧得（「为+3—3—）—彳2£=]_.2,解得

4

i+21=i

I94

%=上浮•因为直线〃优+>-3=°斜率存在为一加，所以|%|<2,所以丁4<2,显然几片1，

6A62

故选：CD

【点睛】关键点睛：本题的关键是将交点代入椭圆，利用已知消元得到方关于丸的表达式，根据方的范

围求出九的范围.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：

广告费用X/万元1.82.235

销售额w万元t71416

根据上表数据得到y与x的回归直线方程为y=3.75x-1.25,则/=.

【答案】3

【解析】

【分析】利用线性回归直线过样本中心列式计算即可得解.

■、斗左力1»日古士/日-1-8+2.2+3+5—t+37

【详解】依题思，得％=--------------=3,y=--------，

44

2+37

所以-----=3.75x3-1.25,解得:3.

4

故答案为：3.

14.在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和机个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3

次，记摸取白球的个数为X.若E（x）=（,则加=,P（X=2）=.

27

【答案】①.1©.—

64

【解析】

【分析】根据已知条件，可知X服从二项分布，由二项分布的期望公式可求出“3进而可得尸（X=2）.

【详解】由题意知X〜

339

因为石（X）=：,所以3x--=解得根=1,

4m+34

所以「a=2）=5"=||.

27

故答案为：根=1；P（X=2）=—.

15.有6道不同的数学题，其中有4道函数题，2道概率题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放

回.在第一次抽到函数题的条件下，第二次还是抽到函数题的概率是.

3

【答案】-##0.6

【解析】

【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可求得结果.

【详解】设事件A表示“第一次抽到函数题”，8表示“第二次抽到函数题”,

则P（叫二彩=1，P（A）4=|

所以P（叫A）=常3

5

3

故答案为：-

16.已知某人每次投篮的命中率为。（0<。<1）,投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为

（）

X,则4D小X-p3的最大值为

【答案】2-2百##-2百+2

【解析】

【分析】结合两点分布的期望与方差公式以及基本不等式计算即可得.

【详解】由题意可知，X服从两点分布，可得E（x）=p,O<P<1,

4D(X)-3_4p(l-p)-3

£>(X)=(l-p)p,则=2-2p--

2E(X)-2p2P

，3\I3-

=2-2p+—42-2」2P——=2-2百,

I2pJ72P

,3

当且仅当2p=丁，即p时，等号成立,

2P2

4D（X）-3

故最大值为

2E（X）2-

故答案为：2-2百.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.某高校《线性代数》课程的老师随机调查了该课程学生的专业情况，调查数据如下：单位：人

数学专业非数学专业总计

男生ef120

女生60g80

总计160h200

（1）求e,f,g,〃的值，并估计男生中是非数学专业的概率;

（2）能否有90%的把握认为选数学专业与性别有关？

n(ad-bcj

附：2其中n=a+b+c+d.

z(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

a=P(/0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)e=100,/=20,g=20,A=40,-

6

(2)没有

【解析】

【分析】(1)利用2x2列联表的定义补全，再利用古典概型的概率公式即可得解；

(2)利用独立性检验即可得解.

【小问1详解】

由题意可知，e=160—60=100,/=120-100=20,

g=80—60=20,A=200-160=40,

故男生中是非数学专业的概率P=-=-.

1206

【小问2详解】

由题意可知力2=200x(100x20-60x20)2;至。？083.

160x40x120x8012'

又因为1—90%=10%,而且查表可得P(Z2>2.706)=0.1,

由于2.083<2.706,所以没有90%的把握认为选数学专业与性别有关.

18.已知直线/:履—y—左=0,keR,圆C:(x—iy+(y—百『=i,/过定点A,/与圆C相交于点

M,N,且________.从①ACJ.CN；②UCMN为等边三角形;③|AM|+|AN|=3；这三个条件中任选

一个填入题中的横线上，并解答问题.

(1)求I的值;

(2)求DCMN的面积.

【答案】(1)左=±G

(2)

4

【解析】

【分析】(1)选①：求出直线定点后，由ACLCN可得CN//X轴，则可设百)，代入计算即可得；

选②：求出直线定点后，结合等边三角形性质及弦长公式计算即可得；选③：求出直线定点后，结合题意可

求得直线/的倾斜角，即可得斜率；

(2)联立直线方程与圆方程后计算得到两交点纵坐标，结合面积公式计算即可得.

【小问1详解】

选①：直线/：y=MxT)过定点A(1,O),

圆+(y—G)=1,圆心为(L百)，

因为ACLCN,所以CN//x轴，

设N(x,塔,贝U(x——6『=1，解得x=0或x=2,

所以直线I的斜率k=——=—V3或左=；

0-12-1

选②：直线/：y=%(九一1)过定点A(LO),

圆C：(x—1)2+(y—G)=1,圆心为

因为DCMN为等边三角形，所以圆心c到直线/的距离d=lxsin^=.

32

所以公占=近

解得k=±V3;

VT7F2

选③：直线/：丁二左(%—1)过定点A(l,0),

圆+(y=1,圆心为

则AC=百，因为|AM|+|AN|=3,

3

所以点A到弦MN的中点石的距离为一，

2

3

此时cosNC4E=,=^，所以NCAE=3°。，

V32

所以直线/的倾斜角为60。或120。，则左=±6；

1

=1,消去》得「土2

联立方程组《I=1,

整理得2y2_35+3=0,解得y=g或y=W

-2

不妨设点N的纵坐标为百，则CN//X轴，

1（n

|CN|=1,所以SLWNC=5X1XVS---=—.

19.已知抛物线C：y2*4=4x,过点尸（4,0）的直线/交C于A,2两点.

（1）若线段AB的中点为求/的斜率；

（2）证明：以线段为直径的圆过坐标原点。.

【答案】（1）2（2）证明见解析

【解析】

x=my+4

【分析】（1）联立〈2；，得V—4my-16=0,根据韦达定理结合中点坐标公式即得.

y=4x

22

⑵由⑴得xx=2L.&=16,WOA05=16-16=0-即可证明.

44

【小问1详解】

当直线/的斜率为。时，直线与抛物线C有一个交点，又过点P（4,0）的直线/交C于43两点，故斜率

不为0.

设直线/的方程为x=my+4,A（x1,y1）,B（x2,y2）.

x=my+4c

联立〈2；，消去x,得-4根y—16=0,A=16/n2+64>0

[y=4x

所以M+%=4根，yxy2=-16.

因为线段AB的中点为Q(Xo，l)，所以％+%=4根=2,解得机=g,

因为直线/的方程为x=my+4,所以/的斜率为2.

【小问2详解】

由⑴知，0A=(4%),OB=(x2,y2),,

所以OAOB=玉%2+X%.

22

由X%=—16，得玉々=1-•/=16，

所以砺•砺=16—16=0，所以。

故NAOB=90°,故以线段AB为直径的圆过坐标原点。

20.为了推动足球运动的发展，某足球比赛允许不同俱乐部的运动员参加.现有来自甲俱乐部的运动员4

名，其中知名选手2名；乙俱乐部的运动员5名，其中知名选手3名.从这9名运动员选择5名参加比

赛.

(1)求选出的5人中恰有2人是知名选手，且这2名知名选手来自同一俱乐部的概率;

(2)设随机变量X为选出的5人中知名选手的人数，求X的分布列与数学期望.

o

【答案】(1)—

63

25

(2)分布列见解析，E(X)=y

【解析】

【分析】(1)结合概率公式计算即可得；

(2)根据随机变量X的可能取值逐一计算相应概率可得分布列，即可得期望.

【小问1详解】

设“选出的5人中恰有2人是知名选手且这2名知名选手来自同一俱乐部”为事件A,

则尸(A)=C；C：+C；C：=§

V'Cj63

【小问2详解】

由题意可知，X的取值可能为1,2,3,4,5.

5

P(X=1)=音

126

P(X=2)=*A20

63

仆3)=磬=小

尸途=4)=雪=胃，

C903

尸(X=5)爷*，

C9IZo

所以随机变量X的分布列为

X12345

52010101

P

126632163126

,5c20c10/10u125

石(X)=1x-----F2x-----F3x----F4x-----F5x----——.

')1266321631269

21.如图，在四棱台ABC。—A4GR中，底面ABC。是菱形，AB=2AA=244=2,

ZABC=60°,M1ABCD.

(1)证明：BD±cq.

(2)棱上是否存在一点E,使得二面角E-AD]-。的余弦值为:？若存在，求线段CE的长；若不

存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)棱上存在点E,且CE=1-亚满足题意

5

【解析】

【分析】(1)连接AC,4G，根据题意证得8。和Ad_L3。，利用线面垂直的判定定理，证得

BD1平面ACQA,进而证得BD±CCX■

(2)建立适当的空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由平面夹角公式、二面角的定义即可列出

方程求解.

【小问1详解】

如图所示：

连接AC，AG，因为ABC。—A4GA为棱台，所以A，4,G，C四点共面，

又因为四边形ABC。为菱形，所以BOLAC,

因为A&J_平面ABCD,BDU平面ABCD,

所以A4]

又因为A&nAC=A,且A4,ACu平面ACGA，

所以8。1平面ACGA，

因为CGu平面ACGA，

所以3DLCG.

【小问2详解】

取中点Q,连接AQ,

因为底面ABC。是菱形，且NA5C=60。，所以048。是正三角形，所以AQLBC,即AQ，AD,

由于A4，平面ABC。，以A为原点，分别以AQ,AD,AA为％,%z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系,

因为AB=2AAi=24耳=2,ZABC=60°,

则A（0,0,0）,A（0,0,1）,2（0,1,1）,。（省,0,0）,

假设点E存在，设点E的坐标为其中-

可得/=（百,40）,可=（0』,1）,

,.\n-AE=y/3x+2y=0

设平面ADjE的法向量方=（x,y,z）,则—_.­,

n-AD[=y+z=0

取x=4,可得y=—6,z=6,所以元=（4—百,百）.

又由平面AD'的法向量为而=（百,0,0）,

所以|cos而同=力囚=；,解得八士巫，

116“+645

由于二面角E—A，—。为锐角，则点E在线段上QC,所以;L=巫，即。石=1—巫,

55

当CE=1—亚时，二面角E—A，—。的余弦值为

故棱BC上存在一点E,

54

22.已知双曲线C：5―2=1（。＞0,b＞0）的右顶点为A,左焦点为尸，过点尸且斜率为1的直线

/b-

与C的一条渐近线垂直，垂足为N,且=

（I）求C的方程.

（2）过点M（-2,0）的直线交C于P（XQi）,。（々42）两点，直线4尸，AQ分别交＞轴于点G,H,试

问在x轴上是否存在定点T,使得TGLTH?若存在,求点T的坐标；若不存在，请说明理由.

【答