2024年河南省各地市中考数学一模压轴题

第=page11/=sectionpages8484页2024年河南省各地市中考数学一模压轴题精选温馨提示：本卷共45题，题目均选自2024年河南省各地市一模真题。本卷共分为六部分，解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。本卷难度较大，适合基础较好的同学。第一部分动点问题和函数图象1.(2024·河南省开封市·一模)如图1，在△ABC中，∠B=60°，点D从点B出发，沿BC运动，速度为1cm/s.点P在折线BAC上，且PD⊥BC于点D.点D运动2s时，点P与点A重合.△PBD的面积S(cm2)与运动时间t(s)的函数关系图象如图2所示，EA.23cm B.(1+3)cm2.(2024·河南省南阳市·一模)如图1，在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D(AD>BD).动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止.设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2A.6 B.8 C.10 D.13

3.(2024·河南省开封市·一模)如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°.设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的A.线段CG B.线段AG C.线段AH D.线段CH4.(2024·河南省南阳市·一模)如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动，设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是(

)

A. B.

C. D.

5.(2024·河南省洛阳市·一模)正方形ABCD与正方形BEFG按照如图所示的位置摆放，其中点E在AB上，点G、B、C在同一直线上，且AB=4，BE=2，正方形BEFG沿直线BC向右平移得到正方形B'E'F'G'，当点G'与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形B'E'F'GA. B.

C. D.6.(2024·河南省驻马店市·一模)如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF/​/BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x.则△DEF的面积y关于

A. B.

C. D.7.(2024·河南省漯河市·一模)如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积为s(cm2)，则s(cm2)

A. B.

C. D.

第二部分一次函数与反比例函数8.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mx(x>0)的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2．

(1)求k，m的值；

(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D9.(2024·河南省漯河市·一模)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象相交于点A(1,2)，B(a,-1)．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)请直接写出不等式kx+b-mx<0的解集．

(3)若直线y=kx+b(k≠0)

10.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于A(a,4)和B(4,2)两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥kx的解集；

(3)请用无刻度的直尺和圆规过点B作BD/​/x轴，交OA于点D，(提示：即作一个角∠ABD等于已知角11.(2024·河南省洛阳市·一模)如图，双曲线y=kx与直线y=mx+n交于A(6,6)，B(a,-1)，直线AB交y轴于点M，交x轴于点N．

(1)求双曲线与直线AB的解析式；

(2)直接写出不等式kx≥mx+n的解集；

(3)请用无刻度的直尺和圆规作出线段ON的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法)，交直线AB于点P

12.(2024·河南省周口市·一模)如图，在平面直角坐标系中，扇形AOB上的点A(1,3)在反比例函数y=kx的图象上，点B(3,-1)在第四象限，菱形OCDE的顶点D在x轴的负半轴上，顶点E在反比例函数y=kx的图象上．

(1)k的值为______；

(2)求∠AOB13.(2024·河南省开封市·一模)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(1,0)，C(2,3)，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点C．

(1)求k的值．

(2)点D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，且BD⊥AC于点E，DE=BE，请说明四边形ABCD是菱形．

(3)

第三部分圆与扇形14.(2024·河南省开封市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F.若圆半径为2.则阴影部分面积=

15.(2024·河南省南阳市·一模)如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，C是AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，

16.(2024·河南省开封市·一模)如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PB经过圆心O，且与⊙O交于点B，C，若AP=AB=3，则直径BC的长为______．

17.(2024·河南省南阳市·一模)如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E.连接AC．

(1)求证：AC平分∠BAE；

(2)若AC=5，tan18.(2024·河南省开封市·一模)如图，⊙O的直径AB与其弦CD相交于点E，过点A的切线交CD延长线于点F，且∠AED=∠EAD．

(1)求证：AD=FD；

(2)若AE=6，sin∠

19.(2024·河南省漯河市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC(1)求证：BE=EC．(2)填空：①若∠B=30°，AC=2②当∠B=_____°时，四边形DECO是正方形．

20.(2024·河南省驻马店市·一模)阅读与思考

九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理(圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等)，下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．

已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P．

求证：AP⋅BP=CP⋅DP．

证明：

如图1，连接AC，BD．

∵∠C=∠B，∠A=∠D．

∴△APC∽△DPB，任务：

(1)请将上述证明过程补充完整．

根据：______；@：______．

(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O

第四部分全等与相似三角形21.(2024·河南省开封市·一模)已知∠ABC=30°，AB=4，P是BC边上一点，当△ABP是以PA为腰的等腰三角形时，BP22.(2024·河南省洛阳市·一模)折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片ABC，其中，∠A=60°，AC=1，找出BC的中点M，在AB上找任意一点P，以MP为对称轴折叠△MPB，得到△MPD，点B的对应点为点D，小明发现，当点P的位置不同时，DP与△ABC的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当

23.(2024·河南省驻马店市·一模)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5，该三角形的两条高BD与AE交于点F，连接CF，点P为射线AE上一个动点，连接BP，若AD=3，当△ABP与△BFC相似时，AP的长为______．

24.(2024·河南省周口市·一模)矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，点E从点A出发，沿A→B→C运动到点C，且AB=1，AD=3.当以点A，E25.(2024·河南省商丘市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=40°，AB=4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE

26.(2024·河南省开封市·一模)如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，D为边AC的中点，E为边AB上的一个动点，连接DE，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A'，当A

27.(2024·河南省漯河市·一模)如图，在△ABC和△ADE中，AB=BC=42，AD=DE=2，∠ABC=∠ADE=90°，连接CE，CD，点O为CE的中点，连接OD.将△ADE

28.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC.点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'，若点B'刚好落在边AC上，∠CB'29.(2024·河南省周口市·一模)如图1，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点F，G，H分别为BC，DE，DC的中点．

(1)观察猜想

图1中，线段GH与FH的数量关系是______，∠GHF的度数为______；

(2)探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接GF，BD，CE，判断△GHF的形状，并说明理；

(3)拓展延伸

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=2，

30.(2024·河南省开封市·一模)转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵话应用．

如图1，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，AB=3.请解答下面的问题：

(1)基础巩固：

如图1，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△NMC，连接BM，则BC与BM之间的数量关系是______；

(2)拓展探究：

如图2，点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN．

①求证：△BCM∽△ACN；

②用等式表示AC与AN之间的数量关系，并说明理由；

(3)问题解决：

点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，将△CDE绕点C

31.(2024·河南省南阳市·一模)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，点E在直线BC上(点E不与点B，C重合)，连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．

(1)如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；

(2)如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；

(3)若AC=5，BC=3，EC=1，请直接写出线段

32.(2024·河南省驻马店市·一模)【问题呈现】

△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CB=mCA，CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．

【问题探究】

(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：______．

(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

【拓展应用】

(3)当m=3，AB=47，DE=4时，将△CDE绕点C

第五部分特殊四边形33.(2024·河南省南阳市·一模)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF．

【问题解决】

(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH.求证：∠ADF=∠H．

【类比迁移】

(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠

34.(2024·河南省漯河市·一模)综合与实践

数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．

问题情境：在▱ABCD中(∠ADC>∠DAB)，点P是边AD上一点.将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．

数学思考：

(1)“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF/​/AD，与PC交于点F，连接DF，则四边形AEFD的形状一定是______(选填“菱形”“矩形”或“正方形”)；

拓展探究：

(2)“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接PF.试判断PF与PC的位置关系，并说明理由；

问题解决：

(3)“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：若点P是射线DA上一点，当点E恰好落在▱ABCD的边或边的延长线上时，AP=3，AD=7

35.(2024·河南省商丘市·一模)综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断：

如图1，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长DF与BC交于点G.请写出线段FG与线段BG的数量关系，并说明理由；

(2)迁移思考：

如图1，若AB=4，按照(1)中的操作进行折叠和作图，当CG=2时，求AD的值；

(3)拓展探索：

如图2，四边形ABCD为平行四边形，其中∠A与∠C是对角，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长DF与射线BC交于点G.若AD=2，CG=0.5，请直接写出线段DG

36.(2024·河南省洛阳市·一模)【问题背景】：

如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=43，∠BAC=30°，点E是斜边AC的中点，过点E作ED⊥AB交AB于点D．

【实验探究】：

(1)数学活动课中，小明同学将图1中的△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①BDCE=______；②直线BD与CE所夹锐角的度数为______；

(2)若我们继续将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由．

【拓展延伸】：

37.(2024·河南省开封市·一模)某数学兴趣小组对具有公共顶点，且其中某个角等于大角一半的几何图形中，边与边之间的数量关系进行了如下探索：

初步探索

(1)如图1，E，F分别是正方形ABCD的BC边和CD边上的点，并且∠EAF=45°，我们可通过如下方法探索EF与BE和DF之间的数量关系：

因为AD=AB，∠D=∠ABE=90°，所以我们以点A为旋转中心，将△DAF绕点A顺时针旋转90°，使得点D与点B重合，则点F的对应点恰好落在CB的延长线上，记为点F'，由△ADF≌△ABF'且易证△AEF≌△AEF'，从而可知，EF，BE，DF的数量关系是______．

探索延伸

(2)如图2，E，F是等腰直角△ABD的底边BD上的点，∠EAF=45°，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，写出新的结论，并说明理由．

拓展应用

(3)如图3，在矩形ABCD中，E是

第六部分二次函数38.(2024·河南省周口市·一模)如图，抛物线y=-12x2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，点G为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；

(2)连接AC，将线段

39.(2024·河南省开封市·一模)如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴P，把开关开至最大时，喷出的形状接近于抛物线y=ax2+bx+1，当水柱距地面2m时，距喷嘴的水平距离为4m，水柱落地点距喷嘴的水平距离OA=6m．

(1)求水柱所在抛物线的解析式．

(2)已知在水柱正下方OA的范围内开有一些鲜花．

①若鲜花的高度为1m，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，才不会被水柱直接喷到．

②开在距喷嘴水平距离为0.4m处的高度为1.3m的鲜花，是否会被水柱直接喷到？判断并说明理由．

40.(2024·河南省南阳市·一模)一小球M从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=12x刻画.若小球到达最高点的坐标为(4,8)．

(1)求抛物线的函数解析式(不写自变量x的取值范围)；

(2)小球在斜坡上的落点A的垂直高度为______米；

(3)若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M

41.(2024·河南省开封市·一模)跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一.如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分.这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离.建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=-116x2+bx+c.已知OA=70m，OC=60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．

(1)点A的坐标是______，点P的坐标是______；

(2)求满足的函数关系式y=-116

42.(2024·河南省漯河市·一模)掷实心球是某市中考体育考试的选考项目.如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2m，当水平距离为4.5m时，实心球行进至最高点258m处．

(1)求y关于x的函数表达式；

(2)根据该市2023年中考体育考试评分标准(男生)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m，此项考试得分为满分17分.按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

43.(2024·河南省南阳市·一模)一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．

(1)求y关于x的函数表达式；

(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．

44.(2024·河南省洛阳市·一模)一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米.如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

(1)求抛物线的解析式；

(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5m，宽为3m的矩形)，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度(结果保留根号)．

45.(2024·河南省商丘市·一模)某校举办“集体跳长绳”体育活动，若在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，示意图如图所示，以ED的中点O为原点建立平面直角坐标系(甲位于x轴的点E处，乙位于x轴的点D处)，正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为A点，B点，且AB的水平距离为4m，绳子甩到最高点C处时，他们握绳的手到地面的距离AE与BD均为1.2m，最高点到地面的垂直距离为2m．

(1)求出该抛物线的解析式；

(2)如果身高为1.8m的小亮，站在ED之间，且与点E的距离为tm，当绳子甩到最高处时，可以通过他的头顶，请结合函数图象求出t的取值范围；

(3)经测定，多人跳长绳且同方向站立时，脚跟之间的距离不小于0.4m才能安全跳绳，小亮与其他4位同学一起跳绳，如果这4位同学与小亮身高相同，通过计算当绳子甩到最高处时，他们是否可以安全跳绳？

参考答案1.【答案】B

【解析】解：由题意知，点D运动2s时，点P，D的位置如图1所示．

此时，在Rt△PBD中，BD=2cm，∠B=60°，PD⊥BC，

∴PB=2BD=4(cm)，

∴PD=PB2-BD2=23(cm)．

由函数图象得BC=(2+23)×1=(2+23)cm，

∴DC=BC-BD=2+23-2=23(cm)，

∴PD=DC．

由题图2点E的位置可知，点P在AC上时，S△PBD有最大值．

当2≤t≤2+23时，点P在AC边上，如图2，

此时BD=t×1=t(cm)，PD=DC=(2+23-t)cm，

∴S△PBD=12×BD×PD=12×t2.【答案】A

【解析】解：由图2知，AB+BC=213，

∵AB=BC，

∴AB=13，

∵AB=BC，BD⊥AC，

∴AC=2AD，∠ADB=90°，

在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2=13①，

设点M到AC的距离为h，

∴S△ADM=12AD⋅h，

∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，

∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h=BD，

由图2知，△ADM的面积最大为3，

∴12AD⋅BD=3，

∴AD⋅BD=6②，

①+2×②得，AD2+BD2+2AD⋅BD=13+2×6=25，

∴(AD+BD)2=25，

∴AD+BD=5(负值舍去)3.【答案】D

【解析】解：若线段CG=y，由题意可得，y随x的增大减小，故选项A错误；

若线段AG=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，并且左右对称，故选项B错误；

若线段AH=y，由题意可得，y随x的增大先减小再增大，故选项C错误；

若线段CH=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，故选项D正确；

故选D．

根据选项中的各线段，可以分别得到它们各自随x的变化如何变化，从而可以得到哪个选项是正确的．

本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．4.【答案】D

【解析】【分析】

分段求出函数关系式，再观察图象可得答案．

本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是分段求出函数关系式．

【解答】

解：当P在BC上，即0<x≤4时，y=12×4x=2x，当x=4时，y=8；

当P在CD上，即4<x≤8时，y=12×4×4=8，

当P在AD上，即5.【答案】A

【解析】【分析】

把运动距离分0≤x≤2，2<x≤4和4<x≤6三种情况讨论求解即可

本题主要考查了动点问题的函数图象，分析出重叠部分面积的变化情况是解题关键．

【解答】

解：①当0≤x≤2时，S随x的增大而增大，最大值为4；

②当2<x≤4时，S随x的增大而不变，此时S=4；

6.【答案】D

【解析】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：EF12=6-x6，

即EF=2(6-x)

所以y=12×2(6-x)x=-x2+6x.(0<x<6)

该函数图象是抛物线的一部分，7.【答案】B

【解析】解：根据题意BE=CF=t，CE=8-t，

∵四边形ABCD为正方形，

∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，

∵在△OBE和△OCF中

OB=OC∠OBE=∠OCFBE=CF，

∴△OBE≌△OCF(SAS)，

∴S△OBE=S△OCF，

∴S四边形OECF=S△OBC=14×82=16，

∴S=S四边形OECF-S△CEF=16-12(8-t)⋅t=18.【答案】解：(1)∵OA=1，

∴点A的坐标为(-1,0)，

则-k+2=0，

解得：k=2，

∴直线l的解析式为y=2x+2，

∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，

∴点C的纵坐标为2×2+2=6，

∴点C的坐标为(2,6)，

∴m=2×6=12；

(2)设点D的坐标为(n,2n+2)，则点E的坐标为(n,12n)，

∴DE=|2n+2-12n|，

∵OB/​/DE，

∴当OB=DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，

∵直线y=2x+2与y轴交于点B，

∴OB=2，

∴|2n+2-12n|=2，

当2n+2-12n=2时，n1=6，n2=-6(【解析】(1)根据题意求出点A的坐标，进而求出k，再求出点C的坐标，求出m；

(2)分2n+2-12n=2、9.【答案】解：(1)把点A(1,2)代入y=mx得，2=m1，

∴m=2，

∴反比例函数的解析式为y=2x；

把B(a,-1)代入y=2x得，a=-2，

∴B(-2,-1)，

把点A(1,2)，B(-2,-1)代入y=kx+b得k+b=2-2k+b=-1，

解得：k=1b=1，

∴一次函数的解析式为y=x+1；

(2)当y=0时，【解析】(1)把点A(1,2)代入y=mx得到反比例函数的解析式为y=2x；把点A(1,2)，B(-2,-1)代入y=kx+b得到一次函数的解析式为：y=x+1；

(2)当10.【答案】解：(1)∵反比例函数图象点B(4,2)，

∴k=4×2=8，

∴反比例函数的表达式为：y=8x，

把A(a,4)代入y=8x得：a=2，

∴A(2,4)，

∵一次函数y=mx+n的图象过点A，点B，

∴4m+n=22m+n=4，

解得：m=-1n=6，

∴一次函数的表达式为y=-x+6；

(2)观察函数图象可得，-x+6≥的解集为：2≤x≤4；

(3)用作一个角∠ABD等于已知角∠ACO的方法作出BD，如下图：

由一次函数的表达式知，点C(6,0)，

由点A的坐标得，直线OA的表达式为：y=2x，

当y=2【解析】(1)利用待定系数法可求解析式；

(2)利用数形结合思想可求解；

(3)用作一个角∠ABD等于已知角∠ACO的方法作出BD，由梯形OCBD的面积=111.【答案】解：(1)将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k=6×6=36，

则反比例函数表达式为：y=36x，

将点B的坐标代入上式得：-1=36a，则a=-36，

即点B的坐标为：(-36,-1)，

将A、B的坐标代入一次函数表达式得：-1=-36m+n6=6m+n，

解得：m=16n=5，

则直线AB的表达式为：y=16x+5；

(2)从函数图象看，不等式kx≥mx+n的解集为：0<x≤6或x≤-36；

(3)分别以点O、N为圆心，以大于12NO【解析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)观察函数图象即可求解；

(3)分别以点O、N为圆心，以大于12NO长度为半径作弧，连接两个弧的交点，即为ON的垂直平分线，得到ON的中垂线为x=-12.【答案】3

【解析】解：(1)∵点A(1,3)在反比例函数y=kx的图象上，

∴k=1×3=3，

故答案为：3；

(2)如图，分别过点A，B作AF⊥x轴于点F，BG⊥x轴于点G，

则OF=BG=1，AF=OG=3．

又OA=OB，

∴△OAF≌△BOG(SAS)，

∴∠AOF=∠OBG，

又∠BOG+∠OBG=90°，

∴∠BOG+∠AOF=90°，

∴∠AOB=90°；

(3)连接CE交OD于H，

∵四边形OCDE是菱形，

∴OD⊥CE，

∴S△COD=2S△OHE，

∵顶点E在反比例函数y=3x的图象上，

∴S△OEH=12×3=32，

∴S△COD=2S△OHE=3，

∵OA=13.【答案】(1)解：把点C(2,3)代入y=kx(x>0)，得3=k2，

∴k=23．

(2)证明：∵点A和点C的纵坐标都是3，

∴AC/​/x轴．

∵BD⊥AC，

∴BD⊥x轴，

∴AO//EB，

∴四边形AOBE是平行四边形．

∵∠AOB=90°，

∴四边形AOBE是矩形，

∴AE=OB=1．

又∵AC=2，

∴EC=AE=1．

∵DE=BE，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵BD⊥AC，

∴▱ABCD是菱形．

(3)解：存在，点P的坐标为(-1,0)或(3,0)．

∵A(0,3)，B(1,0)，C(2,3)，

∴AB2=(3)2+1=4，AC2=(【解析】(1)将点C(2,3)代入y=kx即可；

(2)根据题意得AC/​/x轴，且BD⊥x轴，则有四边形AOBE是平行四边形，结合∠AOB=90°，那么四边形AOBE是矩形，由于EC=AE，DE=BE和BD⊥AC即可判定；

(3)根据点的坐标可求得AB=AC=CB14.【答案】23【解析】解：连接OD，OF．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAB=∠DAC，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=∠DAC，

∴OD/​/AC，

∴∠ODB=∠C=90°，

∴S△AFD=S△OFA，

∴S阴=S扇形OFA，

∵OD=OA=2，AB=6，

∴OB=4，

∴OB=2OD，

∴∠15.【答案】25π8【解析】解：连接OC，如图所示，

∵∠AOB=90°，CD⊥OA，CE⊥OB，

∴∠AOB=∠ODC=∠OEC=90°，

∴四边形OECD是矩形，

∵CD=CE，

∴四边形OECD是正方形，

∴∠DCE=90°，△DCE和△OEC全等，

16.【答案】2【解析】解：连接OA、AC，

∵PA是⊙O的切线，A是切点，

∴∠PAC+∠CAO=90°，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAO+∠CAO=90°，

∴∠PAC=∠BAO，

∵AP=AB，

∴∠P=∠B，

∵∠PAC=∠BAO，AP=AB，∠P=∠B，

∴△PAC≌△BAO(ASA)，

∴AC=AO，

∵AO=CO17.【答案】(1)证明：连接OC，

∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，

∴OC⊥DC，

又∵AE⊥DC，垂足为E，

∴OC/​/AE，

∴∠EAC=∠ACO，

∵OC=OA，

∴∠ACO=∠OAC，

∴∠EAC=∠OAC，

∴AC平分∠BAE；

(2)解：连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵AE⊥DC，

由(1)【解析】(1)连接OC，由切线的性质得到OC⊥DC，进而得到OC/​/AE，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可证得结论；

(2)连接DE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDE=90°，再利用(1)的结论可得tan∠18.【答案】(1)证明：∵AF与圆相切于A，

∴直径AB⊥AF，

∴∠FAD+∠EAD=∠F+∠AED=∠90°，

∵∠AED=∠EAD，

∴∠F=∠FAD，

∴AD=FD；

(2)解：连接BD，

∵∠EAF=90°，

∵sin∠AFE=35，

∴cos∠AEF=AEEF=45，

∵AE=6，【解析】(1)由切线的性质推出∠FAD+∠EAD=∠F+∠AED=∠90°，而∠AED=∠EAD，因此∠F=∠FAD19.【答案】(1)证明：连接DO；如图所示：

∵∠ACB=90°，AC为直径，

∴EC为⊙O的切线；

又∵ED也为⊙O的切线，

∴EC=ED，

又∵∠EDO=90°，

∴∠BDE+∠ADO=90°，

∴∠BDE+∠A=90°

又∵∠B+∠【解析】【分析】

本题考查了圆的切线性质、切线长定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

(1)证出EC为⊙O的切线；由切线长定理得出EC=ED，再求得EB=ED，即可得出结论；

(2)①由含30°角的直角三角形的性质得出AB，由勾股定理求出BC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出DE；

②由等腰三角形的性质，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°，先证明四边形DECO是矩形，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．

【解答】

解：(1)见答案；

(2)解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=23，

∴AB=2AC=43，

∴BC=AB2-AC2=6，

∵AC为直径，

∴∠BDC=∠ADC=90°，

由(1)得：BE=EC，

∴DE=12BC=3，

故答案为：3；

②当∠B=45°时，四边形ODEC20.【答案】有两个角对应相等的两个三角形相似

CPBP【解析】解：(1)连接AC，BD．

∵∠C=∠B，∠A=∠D．

∴△APC∽△DPB，(有两个角对应相等的两个三角形相似)

∴APDP=CPBP，

∴AP⋅BP=CP⋅DP，

∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；CPBP；

(2)延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，

设圆O的半径为rcm，则PF=(5+r)cm，PD=(r-5)cm，

根据(1)中结论得AP⋅BP=DP⋅FP，即为4×(10-4)=(r+5)(r-5)，

解得：r=7或r=-7(不符合题意，舍去)，⊙O21.【答案】433【解析】解：分两种情况：

①如图，AB是等腰△ABP的底，则BP=AP，

∵∠ABC=30°，AB=4，

过点P作PD⊥AB于点D，

∴BD=12AB=12×4=2，cosB=BDBP，

∴BP=BDcosB=2cos30∘=433；

②如图，AB是等腰△ABP的腰，则AP=AB=4，

∵∠ABC=30°，AB=4，

过点A作AD⊥BP于点22.【答案】12或3【解析】【分析】

分两种情形：如图1中，当DP⊥BC，延长DP交BC于点J.如图2中，当PD⊥BC于点J时，分别求出PB，可得结论．

本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

【解答】

解：如图1中，当DP⊥BC，延长DP交BC于点J．

∵∠C=90°，AC=1，∠A=60°，

∴∠B=30°，

∴AB=2AC=2，BC=3AC=3，

由翻折变换的性质可知，∠D=∠B=30°，DM=BM=32，

∴JM=12DM=34，

∴BJ=BM-JM=34，

∴PB=23.【答案】554【解析】解：∵AB=AC=5，该三角形的两条高BD与AE交于点F，

∴∠ADB=∠BEF=90°，∠BAE=∠CAE，BE=CE，

∴∠FBE=∠FCE，

∵∠AFD=∠BFE，

∴∠FBC=∠DAF=∠BAF，

∴∠BAF=∠FCB=∠FBC，

当∠PAB=∠PBA时，△APB∽△BFC，

∴APBF=ABBC，

∵BD=AB2-AD2=52-32=4，

设BF=CF=x，

在Rt△CDF中，x2=(4-x)2+2224.【答案】12或2【解析】解：如图1，当∠AEO=90°时，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AD=BC，

∵AB=1，AD=3，

∴BC=3，

∴tan∠BAC=BCAB=31=3，

∴∠BAC=60°，

由勾股定理得AC=AB2+BC2=12+(3)2=2，

∵O为对角线AC的中点，

∴AO=12AC=1，

在Rt△AEO中，cos∠BAC=AEAO，

∴cos60°=AE1，

即12=AE1，

∴AE=12；

如图2，当∠AOE=90°时，

∵O为对角线AC的中点，

∴OE是AC的垂直平分线，

∴AE=CE，

∴∠EAC=∠ECA25.【答案】80°或140【解析】解：如图1中，当BE=BC时，

∵BE=BC，∠EBC=40°，

∴∠BCE=∠BEC=12×(180°-40°)=70°，

∵弧BD=弧BD，

∴∠BOD=2∠BCE=140°；

如图2中，当EB=EC时，点E与O重合，

∵BE=BC，

∴∠EBC=∠26.【答案】22-【解析】解：设直线A'E交AC于F，

当F在D下方时，如图：

∵AC=BC=4，∠C=90°，

∴AB=42，∠A=45°，

∵将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A'，D为边AC的中点，

∴∠A'=∠A=45°，AD=A'D=2，

∵A'E⊥AC，

∴△AEF，△A'DF是等腰直角三角形，

∴DF=A'D2=2，

∴AF=AD+DF=2+2，

∴AE=2AF=22+2，

∴BE=AB-AE=42-(22+2)=22-2；

当F在D上方时，如图：

同理可得A'D=AD=2，

∴DF=A'D2=2，

∴AF=AD-DF=2-27.【答案】10或【解析】解：∵AB=BC=42，∠ABC=90°，

∴AC=AB2+BC2=8，

分两种情况讨论：

①如图，

当点D运动到线段AC上时，

∵∠ADE=90°，

∴∠CDE=180°-∠ADE=90°，

∵AD=2，

∴CD=AC-AD=8-2=6，

∴CE=CD2+DE2=62+22=210，

∵点O为CE的中点，

∴OD=12CE=10；

②如图，

当点D运动到线段CA的延长线上时，

28.【答案】9

【解析】解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'，若点B'刚好落在边AC上，

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC，∠CB'E=30°，CE=3，

∴B'E=BE=2CE=6，

∴BC=CE+BE=3+6=9．

29.【答案】GH=FH

60°【解析】解：(1)∵点F、G是BC、DC的中点，

∴FH是△CBD的中位线，

∴FH//BD，FH=12BD，

∵点H、G是DC、DE的中点，

∴GH是△CDE的中位线，

∴GH//CE，GH=12CE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴AB-AD=AC-AE，

即BD=CE，

∴GH=FH，

∵FH/​/BD，

∴∠DHF=∠ADC，

∵GH//CE，

∴∠DHG=∠DCA，

∵∠ADC+∠ACD=180°-∠BAC=180°-120°=60°，

∴∠GHF=∠DHF+∠DHG=∠ADC+∠ACD=60°，

故答案为：GH=FH，60°；

(2)△GHF的形状是等边三角形，理由如下：

由旋转的性质得：∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，

同(1)得：FH是△CBD的中位线，GH是△CDE的中位线，

∴FH=12BD，GH=12CE，FH//BD，GH//CE，

∴FH=GH，∠DHG=∠DCE，∠HFC=∠DBC，

∴△GHF是等腰三角形，

∵∠DHF=∠HFC+∠DCB=∠DBC+∠DCB，

∴∠GHF=∠DHG+∠DHF=∠DCE+∠DBC+∠DCB=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，

∵∠ACB+∠ABC=180°-∠BAC=18030.【答案】BC=BM

【解析】(1)解：根据旋转的性质得CM=CB=4，∠BCM=60°，

∴△BCM是等边三角形，

∴BC=BM；

故答案为：BC=BM；

(2)①证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN，

∴CN=CE=12CA，CM=CD=12CB，

∠ACN=∠BCM=60°．

∴CMCB=CNCA=12．

∴△BCM∽△ACN；

②解：AN=32AC.理由如下：

如图2，连接MD，

∵BC=4，AB=3，

∴BD=DC=CM=2．

∵∠BCM=60°，

∴△CMD是等边三角形．

∴CD=MD=BD=2，∠DMC=∠MDC=60°．

∴∠DBM=∠DMB=12∠MDC=30°．

∴∠BMC=30°+60°=90°．

在Rt△BCM中，由勾股定理得：

BM=BC2-CM2=42-22=23．

∴BMBC=234=32．

由①得，△BCM∽△ACN．

∴BMBC=ANAC=32．

∴AN=32AC；

(3)解：①如图所示，

∵∠B=90°31.【答案】解：(1)结论：EF=BE；

(2)结论：AF2+BE2=EF2．

理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．

∵AJ⊥AC，EC⊥AC，

∴AJ/​/BE，

∴∠AJD=∠DEB，

在△AJD和△BED中，

∠AJD=∠DEB∠ADJ=∠BDEAD=BD，

∴△AJD【解析】【分析】

本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

(1)结论：EF=BE.利用线段的垂直平分线的性质证明即可．

(2)结论：AF2+BE2=EF2.如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ.证明△AJD≌△BED(AAS)，推出AJ=BE，DJ=DE，再证明FJ=EF，然后由勾股定理可得结论．

(3)分两种情形：如图3-1中，当点E在线段BC上时，如图3-2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF=x，则CF=5-x.构建方程求解即可．

【解答】

解：(1)结论：EF=BE．

理由：如图1中，

∵当点F与点A重合时，FD=DB，DE⊥FB，

∴EF=EB；

(2)见答案；

(3)如图3-1中，当点E在线段BC上时，设AF=x，则CF=5-x．

∵BC=3，CE=1，

∴BE=2，

同(2)可得EF2=AF2+BE2，

∵EF2=CF2+CE2，

∴AF2+BE2=CF2+CE2，

∴x232.【答案】解：(1)AD⊥BE

(2)(1)中的结论成立，理由如下：

如图2，延长BE交AC于点H，交AD于N，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

又∵DCCE=ACBC=1m，

∴△DCA∽△ECB，

∴∠DAC=∠CBE，

∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，

∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°，

∴∠ANB=90°，

∴AD⊥BE，

(3)如图3，当点E在线段AD上时，连接BE，

∵△DCA∽△ECB，

∴BEAD=BCAC=m=3，

∴BE=3AD=3(4+AE)，

∵AD⊥BE，

∴AB2=A【解析】解：(1)如图1，延长BE交AC于点H，交AD于N，

当m=1时，DC=CE，CB=CA，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

DC=CE∠ACD=∠BCECA=CB,

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴∠DAC=∠CBE，

∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，

∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°，

∴∠ANB=90°，

∴AD⊥BE，

故答案为：AD⊥BE33.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠ADE=90°，

∴∠CDF+∠DFC=90°，

∵AE⊥DF，

∴∠DGE=90°，

∴∠CDF+∠AED=90°，

∴∠AED=∠DFC，

∴△ADE∽△DCF；

(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，AD//BC，∠ADE=∠DCF=90°，

在Rt△ADE和Rt△DCF中，

AE=DFAD=DC

∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，

∴DE=CF，

∵CH=DE，

∴CF=CH，

∵点H在BC的延长线上，

∴∠DCH=∠DCF=90°，

在△DCF和△DCH中，

CF=CH∠DCF=∠DCHDC=DC

∴△DCF≌△DCH(SAS)，

∴∠DFC=∠H，

∵AD/​/BC，

∴∠ADF=∠DFC，

∴∠ADF=∠H；

(3)解：如图3，延长【解析】(1)由矩形的性质得∠C=∠ADE=90°，再证∠AED=∠DFC，即可得出结论；

(2)证Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，得DE=CF，再证△DCF≌△DCH(SAS)，得∠DFC=∠H，然后由平行线的性质得∠ADF=∠DFC，即可得出结论；

(3)延长BC至点G34.【答案】菱形

【解析】解：(1)由折叠的性质可知，AD=AE，DF=EF，∠DAF=∠EAF，

∵EF/​/AD，

∴∠DAF=∠EFA，

∴∠EFA=∠EAF，

∴EA=EF，

∴AD=DF=EF=AE，

∴四边形AEFD是菱形，

故答案为：菱形；

(2)PF⊥PC.理由如下：

连接AE，如图2，

由折叠的性质可知，PD=PE，∠PEC=∠PDC，∠DPC=∠EPC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ADC+∠DAB=180°，

∵∠PEC+∠PEF=180°，

∴∠DAB=∠PEF，

∵点P是AD的中点，

∴PA=PD=PE，

∴∠PAE=∠PEA，

∴∠DAB-∠PAE=∠PEF-∠PEA，

∴∠AEF=∠EAF，

∴AF=EF，

∵PF=PF，

∴△PAF≌△PEF(SSS)，

∴∠APF=∠EPF，

∵∠DPC+∠CPE+∠EPF+∠APF=180°，

∴2∠CPE+2∠FPE=180°，

∴∠FPC=90°，

∴PF⊥PC；

(3)分两种情况：

①当点P在DA的延长线上时，点E在CB的延长线上时，如图3，

由折叠的性质可知，DP=CE，DC=EP，四边形DCEP为平行四边形，

∵DP=AD+AP=7+3=10，

∴CE=DP=10，

∵BC=AD=7，

∴BE=CE-CB=10-7=3，

②当点P在DA间时，点E在AB间时，如图4，

延长CP交BA的延长线于点T.设AE=x，

由折叠的性质可知，∠PCD=∠PCE，CD=CE=10，

∵CD//BT，

∴∠T=∠DCP，

∴∠T=∠PCE，

∴EC=ET=10，AT=10-x，

∵AT//CD，

∴△PDC∽△PAT，

∴APPD=ATCD，

∴34=10-x10，

∴x=2.5，

∴AE=2.5，

∴BE=AB-AE=10-2.5=7.5．

(1)由折叠的性质可知，AD=AE，DF=EF，∠DAF=∠35.【答案】解：(1)FG=BG，

理由如下：如图，连接EG，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°．

∵点E是AB的中点，

∴AB=BE．

由折叠可知AE=EF，

∴EF=EB．

在Rt△EFG和Rt△EBG中，

EF=EB,EG=EG,

∴Rt△EFG≌Rt△EBG(HL)，

∴FG=BG；

(2)∵四边形ABCD是矩形，AB=4，

∴CD=AB=4．

∴DG=42+22=25．

令AD=x，则DF=AD=x，

由(1)知FG=BG=x-2，

∴x+x-2=25．

解得x=5+1，

即AD的长为5+1．

(3)当点F在DC的下方时，如图2，连接BF，

∵折叠，

∴AD=DF=2，∠A=∠DFE，EF=AE，

∵∠A+∠ABC=180°，∠DFE+∠EFG=180°，

∴∠EFG=∠ABC【解析】(1)由“HL”可证Rt△EFG≌Rt△EBG，可得FG=BG；

(2)由勾股定理可求解；

(3)分两种情况讨论，由折叠的性质可得AD=DF=2，∠A=∠DFE36.【答案】32

30°

13【解析】解：(1)①∵∠ABC=90°，AB=43，

∴∠ACB=60°，cosA=ABAC=43AC=32，

∴AC=8，

∴BC=4，

∵点E是斜边AC的中点，ED⊥AB，

∴AE=12AC=4，∠EDA=90°，

∴DE=12AE=2，AD=23，

将△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°，

∴∠BAD=∠CAE=90°，

∵ADAE=234=32，ABAC=438=32，

∴ADAE=ABAC，

∴△DAB∽△EAC，

∴BDCE=ABAC=32；

故答案为：32；

②∵△DAB∽△EAC，

∴∠ACE=∠ABD，

设AB，CE交于点O，BD，CE交于点H，如图1，

则：∠AOC=∠BOH，

∴∠BHC=∠CAB=30°(8字型图)，即：直线BD与CE所夹锐角的度数为30°；

故答案为：30°；

(2)成立；理由如下：

∵∠DAB=∠CAD+∠CAB=∠CAD+30°，∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+30°，

∴∠DAB=∠CAE，

又∵ADAE=ABAC=32，

∴△DAB∽△EAC，

∴BDCE=ABAC=32，∠ACE=∠ABD，

设AB，CE交于点O，BD，CE交于点，如图2，

则：∠AOB=∠COH，

∴∠BHC=∠CAB=30°(8字型图)，即：直线BD与CE所夹锐角的度数为30°；

(3)①如图3，当点D在C，E之间时，

∵D、E37.【答案】EF=BE+DF

【解析】解：(1)如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF'，

∵∠EAF=45°，

∴∠EAF'=∠EAF=45°，

在△AEF和△AEF'中，

AF=AF'∠EAF'=EAFAE=AE，

∴△AEF≌△AEF'(SAS)，

∴EF=EF'，

又EF'=BE+BF'=BE+DF，

∴EF=BE+DF，

故答案为：EF=BE+DF；

(2)(1)中的结论不成立，

理由：将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使得点B与点D重合，则点E的对应点记为点G，则△ABE≌△ADG，

∴DG=BE，∠DAG=∠BAE，AE=AG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠GAF=45°，

∵AF=AF，

∴△EAF≌△GAF(SAS)，

∴FG=EF，

∵DG+DF>FG，

∴BE+DF>EF；

(3)把△ADF绕点A顺时针旋转90°，使得点D与AB上的点D'重合，则点F的对应点记为点F'，则△AD'F'≌△ADF，

∴∠AD'F'=∠ADF=90°，∠F'AF'=90°，AF'=AF，∠F'AD'=∠FAD，AD'=AD，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠F'AD'+∠BAE=∠F'AE=∠EAF=45°，

∵E是BC边的三等分点，BC=A