河北省张家口市2024届高三一模数学试题（含答案解析）

河北省张家口市2024届高三一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数Z=(l+i)(l-2i),复数z=—2i,则|z-zj=()

A.aB.4C.10D.

2.下列命题为真命题的是（）

A.Vx>0,ex>cosxB.\fa>b,a1>b2

C.3x>0,cosx>exD.3a>b,a3<b3

1…5兀

3.已知cos］，贝代in——x

2A/2272

ABC.D.

-4-1r~T

已知双曲线c：，£=l（—的一条渐近线的倾斜角为聿,

4.其焦点到渐近线的

距离为2,则。的方程为（）

V2J]

A.------1B.

64

匚1

C.D.

6463

5.过点尸（1,2）作圆O：/+y2=10相互垂直的两条弦AB与C。，则四边形ACBD的面积

的最大值为（）

A.6A/6B.2V15C.9瓜D.15

6.已知定义在R上的函数〃无）满足：/（%）+/（2-x）=2,/（^）-/（4-x）=0,且

2024

/'（0）=2.若QN*,贝（）

Z=1

A.506B.1012C.2024D.4048

7.已知等比数列｛见｝的前"项和为5”,％>1,邑=6J，则数列｛4｝的公比q满足（）

A.0<^<1B.-1<^<0

C.<7>1D.<?<-1

8.设“力为非负整数，加为正整数，若。和6被根除得的余数相同，则称。和6对模加

同余，记为。三b（modm）.若。为质数，“为不能被P整除的正整数，贝IJ/Tml（modp）,

这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理.现有以下

4个命题：

①23°+1三65（mod7）；

②对于任意正整数一尤三0（modl3）；

③对于任意正整数—x三0（mod7）；

④对于任意正整数三l（mod5）.

则所有的真命题为（）

A.①④B.②C.①②③D.①②④

二、多选题

9.下表是某地从2019年至2023年能源消费总量近似值，（单位：千万吨标准煤）的

数据表:

年份20192020202120222023

年份代号X12345

能源消费总量近似值y（单位：千万吨标准煤）44.244.646.247.850.8

以x为解释变量，y为响应变量，若以%=3+%为回归方程，则决定系数仪0.9298,

若以％=4/+%尤+0为回归方程，则用。0.9965,则下面结论中正确的有（）

A.变量X和变量y的样本相关系数为正数

B.夕2=62炉+%尤+。2比上=4天+4的拟合效果好

C.由回归方程可准确预测2024年的能源消费总量

D.y=3b{+a{

10.已知函数〃x）=sin（2x+9）］|d日），且=若函数/⑺向右平移

a（a>0）个单位长度后为偶函数，则（）

7t

A.（P=~-

6

B.函数/（x）在区间上单调递增

C.。的最小值为；

6

5兀

D.。的最小值为二

试卷第2页，共4页

11.已知函数〃x）=e*与函数g（x）=l+—；的图象相交于上（5,凶）,巩马,%）两点,且

X~1

玉＜%2，则（）

x1

A.%％=1B.yj=_

e

C.适5耳＞1D.X2y2=l

三、填空题

12.已知点厂为抛物线C：/=16y的焦点，直线/为C的准线，则点尸到直线/的距离

为.

13.有5位大学生要分配到A,B,C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个

单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位

学生实习的不同分配方案有种.（用数字作答）

14.如图，己知点A是圆台。。的上底面圆J上的动点，氏C在下底面圆。上，

AO}=1,OO}=2,BO=3,BC=2小,则直线AO与平面。pBC所成角的余弦值的最小值

为.

四、解答题

15.已知在四边形ABCD中，△ABZ）为锐角三角形，对角线AC与8D相交于点0,

AD=2,AC=4,BD=y[6,ZABD=-.

4

⑴求A3；

⑵求四边形ABCD面积的最大值.

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是边长为2的菱形，ZDAB=60,

PA=PD=410.

p

------』

(1)证明：PBLBC-,

⑵若二面角尸-AD-C为150,求平面APB与平面CP3夹角的正弦值.

17.某商场举办摸球赢购物券活动.现有完全相同的甲、乙两个小盒，每盒中有除颜色

外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3

个黑球和7个白球.参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从

选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的

是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球.第二次摸球有如下两种

方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一

个球.若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸

球，得100元购物券.用X表示一位参加活动者所得购物券的金额.

⑴在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率.

(2)①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率

更大；

②依据以上分析，求随机变量X的数学期望的最大值.

22

18.已知椭圆C:=+2=l(a>人>0)的上顶点为。(0,2),直线/：'=履与椭圆C交于

ab

AB两点，且直线与的斜率之积为-g.

⑴求椭圆C的方程；

⑵若直线直线/'与椭圆C交于M,N两点，且直线DM与。N的斜率之和为1,求

/'与/之间距离的取值范围.

19.已知函数〃x)=W，a>0.

(1)当。=2时，求函数/(X)的单调区间和极值；

(2)当x>0时，不等式/(x)-cos[lW(x)]2tdnx2-4x恒成立，求.的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】

化简出4=3-i,贝ij可计算出z-z=-3-i,再由模长公式计算出答案.

［详解］4=(l+i)(l-2i)=l-2i+i-2i2=3-i,

|z-zJ=k2i-3+i|=F3-i|=J(-3)2+(-l)2=回.

故选：D

2.A

【分析】

根据指数函数和余弦函数的性质即可判断AC；举出反例即可判断B；理由作差法即可判断

D.

【详解】对于AC,当x>0时，Vx>O,ex>l,cosx<l,

所以\/%>O,eX>cosx,故A正确，C错误;

22

对于B,当〃=0/=-1时，a=0<l=b,故B错误;

对于D,a3-b3+"+/)=(〃_6)2

因为“>心所以对于D,a3-b3=(a-b)\a+^b\+|&2>0,故D错误.

故选：A.

3.A

【分析】

Sir37r(7T।

根据7-X=万-+xj结合诱导公式求解即可.

故选：A.

4.B

【分析】

答案第1页，共16页

由题意可得3邛及渐近线方程，再根据焦点到渐近线的距离及，"〃求出9即可得

解.

【详解】由题意可得2=tan^=立，所以a=麻,

a63

双曲线的渐近线方程为>即x±6y=0,

焦点（G0）到渐近线x+道了=0的距离d所以。=4,

V1+3I-

又=02=]6,q=J拓，所以。2=4,/=12,

22

所以C的方程为上-匕=1.

124

故选：B.

5.D

【分析】

记OM=m,ON=n,由题意可知疗=5,易得—==2，10-疗.40-川,再利用基本

不等式，得出其最值.

【详解】如图所示：。尸=如,记。"=加,ON=〃，则帆2+〃2=5,

AC=2&0-*,BD=2710-«2，

2

SACBD=-ACBD^2,10-疗.710-n<2x回加一+*“-=15,

Acor/2<,2

当且仅当J13二7=而二了，即根=〃=半时，取等号.

所以四边形ACBD的面积的最大值为15.

【分析】根据条件得到函数/（X）是周期为4的函数，再根据条件得出

答案第2页，共16页

〃1),f(2),”3),f(4),即可求出结果.

【详解】f[x)+f(l-x)=2,①

.■J(l+x)+/(2_(l+x))=2,

即f(l+x)+f(l-x)=2,所以+=,

所以函数的图象关于。,1)对称，

令x=l,则/。)+/。)=2,所以=

令尤=2,/(2)+/(0)=2,又“0)=2,所以"2)=0,

X/W-/(4-x)=0,.-./(2-x)=f(4-(2-x))=/(2+x),②

即函数〃x)的图象关于直线尤=2对称，

〃3)=")=1

且由①和②，得/(x)+/(2+x)=2=/(2+x)+/(4+x)=2,

所以〃x)=〃4+x),则函数〃x)的一个周期为4,

贝U/(4)=/(0)=2,

2024

所以E/(0=506[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]=506x(l+0+l+2)=2024.

i=l

故选：C

7.B

【分析】

利用切线不等式放缩，结合等比数列的通项公式及排除法可得答案.

【详解】设函数/(x)=eJxT,则洋(x)=e，-l,

当x<0时，7(x)为减函数；当x>0时，/(劝>0,Ax)为增函数;

所以“X)2"0)=0,即e，1+l.

因为S3=eJNS4+I,所以S3-S4NI,即%W—1.

因为&=%八％>1,所以q<0,排除A,C.

若g=-l,%=2>1,则'=2,64=0,不满足S3=eS”,排除D.

答案第3页，共16页

故选：B

8.C

【分析】

由二项式定理即可证明230+l被7除所得余数为2,即可判断①；由费马小定理可得

?2=l(modl3),即可判断②；由Vs三i(mod7),结合产一x=-1)(/+1)即可判断③；

由/三l(mod5),结合x12-l=(x4-l)(x8+J+1)即可判断④.

【详解】对于①：因为23。=8|°=(7+1严=(2；"°+或79++C；07+l,

所以23。被7除所得余数为1,

所以230+1被7除所得余数为2,

所以23°+1三65(mod7),正确；

对于②：由费马小定理得：x1?三l(modl3),即三o(modl3),正确；

对于③：由费马小定理得：f三i(mod7),即f-i三。(mod7),

XX13-X=xCx11-1)=x(x6-l)(x6+1),所以£3_尤三0(mod7),正确；

对于④：由费马小定理得：-X4=l(mod5),即三0(mod5),

又储2-1=(x4-l)(x8+x4+1),

所以一1三o(mod5),错误.

故选：C

【点睛】关键点睛：解本题的关键在于充分理解新定义，然后结合带余数法以及费马小定理

等初等数论知识即可求解.

9.ABD

【分析】

随着变量x的增加，变量y也在增加可判断A选项；根据决定系数越接近1,拟合效果越好

可判断B选项；由经验回归方程的定义可判断C选项；由经验回归方程必过样本中心点可

判断D选项.

【详解】对于A选项：随着变量X的增加，变量)也在增加，故变量y和变量X成正相关,

即样本相关系数为正数，正确；

答案第4页，共16页

对于B选项：因为店＞母，故％=%/+出工+。2比％=3+%的拟合效果好，正确;

对于C选项：回归方程可预测2024年的能源消费总量，不可准确预测，错误；

对于D选项：由回归方程必过样本中心点，可知y=34+4,正确.

故选：ABD.

10.AC

【分析】由=可得函数“X)关于X三轴对称，由此可解出°=则A

正确；可得〃x)=sin(2x-[J,由此即可判断出B选项；将函数向右平移。个单位长

度后得至Ug(尤)=sin(2x-2a-tj,由g(x)偶函数，可得_兀kn.

Q=--------，左£Z,再由。＞0,即

62

可求出”的最小值.

【详解】对于A,因为=所以函数〃尤)关于x=]轴对称,

所以—+(p=—+hi,keZ解得(p=-—+kTi,keZ,

32f6

又网vg,所以当左=0时，(p=S故A正确;

26

对于B,〃x)=sinf2x-^j,

、r,2兀7K711171

当—V兀<兀日寸,—<2x—<----,

3666

7兀1171

因为尤在区间

y=sin不'丁上不单调递增，故B错误;

对于CD,将函数向右平移a(a＞0)个单位长度后得到g(x)=sin[2x-2。-*

由g(x)偶函数，可得：-2a-曰=三+kK,kwZ,解得。=一色一旦小eZ,

6232

7T

又。＞0,所以当上=-1时，a的最小值为:，故C正确，D错误.

6

故选：AC

11.AC

【分析】

构造函数利用奇偶性和单调性得出占+无2=。，结合选项逐项验证即可.

【详解】由题意e'=l+3有两个不等的实数根，e，==,x=ln=

x-\x-1x—l

令力(％)=x—,则h(-x)=-x-In-X+=-h(x),即h(x)为奇函数；

x—l—x—l

答案第5页，共16页

当X>1时，/7，(x)=——>0,/7(x)为增函数;

X-1

若“西）=。，贝！］"（一%1）=0,又〃（巧）=。，所以再+%2=。.

对于A,x%=e*eX2=e"厘2=1,正确.

对于B,若成立，则有毛%=T,与否+%=0矛盾，所以B不正确.

e

2

对于C,由指数均值不等式------>e可得^——>1,所以上&>1,C正确.

x-石

x2-%1X2-Xi2

对于D,令尸(x)=xe"，9(x)=(x+l)e",当x>l时，F'(x)>0,尸(x)为增函数,

所以尸（％）>砥1）=6,即无2%>e,D不正确.

故选：AC.

【点睛】结论点睛:均值不等式的拓展：（1）对数型均值不等式：斥〈占一：2（月三,

In玉-lnx22

一+巧QX2_已为

其中％w%，占>0,x,>。；（2）指数型均值不等式：e2<------<---,其中再w%.

元2—%2

12.8

【分析】

根据抛物线定义计算即可.

【详解】根据抛物线方程可知，抛物线焦点为尸（。,4）,准线为y=T,所以点r到直线/的

距离为8.

故答案为：8.

13.50

【分析】

根据特殊元素进行分类计数，具体分类下是不相同元素分配问题，先分堆再配送，注意平均

分堆的要除以顺序.

【详解】根据特殊元素“甲同学”分类讨论，

当A单位只有甲时，其余四人分配到民C,不同分配方案有C：C；A；+C；C；=14种；

「10102

当A单位不只有甲时，其余四人分配到AB,C,不同分配方案有啖尸A；=36种;

合计有50种不同分配方案,

答案第6页，共16页

故答案为：50.

14.叵

10

【分析】

以0为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量

法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.

【详解】连接OC,过C作垂直于8。的延长线于点H,以。为坐标原点，建立空间直

角坐标系如下所示：

在三角形03c中，因为OB=3,OC=3,8C=2A/^,

,,cOB2+BC--OC-9+20-9_加

故cos5=-----------------------,则28=BC.cosB=2岳,

2OBBC2x3x2下333

R二延1痂上14君】

则CH=JBC?-BH?=OH=BH-OB=—,故点c一,，-,0；

9337

2

又5（3,0,0）,O（0,0,0）,«（0,0,2）,设点A（私n,2b八〃w[-1』，由QA=1,则可得病+n=l；

104小小

BC=二，c,u,BO；=(-3,0,2),

33J

设平面。出。的法向量机=（x,y,z）,

10迪

m-BC=0

则,即3A3y_，取/=有，则X=2,z=3,

m•BO1=0

—3x+2z=0

故平面015c的法向量根=仅，6,3）,又Q4=（m,〃,2）,

TT

设直线AO与平面OfC所成角为0,-,

|m|OA|2m+\/5n+6||2m+^n+6|

则sin0=cos(OA,m

Im|OA372X7m2+n2+43M

答案第7页，共16页

因为根,〃,且根2+〃2=1,故令"=cosa,〃=sina,aw[0,27i),

贝!J2m+非n+6=,sin。+2cos。+6=3sin(i+0)+6,tan夕=—^―,cpe

又夕£[0,2兀)，故sin(a+9)£[-l,l],3sin(cr+^)+6e[3,9],也即2m+行〃+6«3,9],

故sin。的最大值为二==酒，又故cos9的最小值为&一sin*=巫.

3^1010L2J10

即直线AO与平面OQC所成角的余弦值的最小值为零.

故答案为：叵.

10

【点睛】关键点点睛：本题用向量法处理线面角的求解，结合问题的关键一是，能够准确求

得C的坐标，二是能够根据相2+“2=1,求得2"?+退”+6的范围；属综合困难题.

15.(1)AB=V3+1

⑵2而

【分析】

(1)由余弦定理解出边长即可，注意判断△ABD为锐角三角形；

(2)作AE,CF垂直8。于瓦产，表示出四边形的面积等于两三角形面积和，再由正弦函数

的最值求出面积的最大值.

化简为422一2扇2+2=0,解得AB=6+1或6-1,

L(A/3-II+4-62-26

当AB=百-1时，因为cos/BAO=^-----\一=-----*、＜0,与△ABD为锐角三

2x2xk/3-lr2x2xk/3-l

角形不符合，故42=出+1

答案第8页，共16页

(2)作AE,C尸垂直于瓦产，设NA0J5=N1,

则

SS+S

ABCD=ABDCBD=^BDAE+^BD-CF=^BD(AOsinZl+COsinZl)=^BDACsinZl,

当5111/1=10/1=90。=>4。，班>,四边形面积最大

最大面积为!x4x#=2几

16.(1)证明见解析

⑵也

37

【分析】

(1)取AD的中点0,连接ORO&BD,证明平面P03,即3C1平面P03,再根

据线面垂直的性质即可得证；

(2)先说明一尸。3即为二面角尸-AD-C的平面角，再以点。为原点建立空间直角坐标系，

利用向量法求解即可.

【详解】(1)取AO的中点0,连接OROBBD,

在菱形ABC。中，ZDAB=60,

则△ABD为等边三角形，所以05，")，

因为尸4=尸。=而，所以AD_LOP,

因为OP03=。0/5,03<r平面「03,所以ADJ_平面尸。8,

又因为AD〃3C,所以平面尸03,

又PBu平面POB,

所以尸3_L3C；

(2)因为QB_LAD,Ar>_LOP,OPu平面PAD,OBu平面AC。，

所以一尸03即为二面角尸-AD-C的平面角，

所以/尸03=150。，

如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

OP=』PA-O1=3,

则A(l,0,0),3(0,有,0)«卜2,石,0),P0,-^-,-,

答案第9页，共16页

故3P=0,-^-,-,AB=(l,-^,0),CB=(2,0,0),

\乙)

设平面P4B的法向量为"=(x,y,z),

sn§

则有'22,令y=6,贝!]x=3,z=5,

n-AB=x-6y=0

所以〃=(3,g,5),

设平面BBC的法向量为m=(a,b,c),

Em'n2826

贝Ucosm,n=rp-j-=—尸—T=

\m\\n\2V7xV37有'

所以平面APB与平面CPB夹角的正弦值为

(2)①方案二中取到红球的概率更大；②230

【分析】

(1)利用全概率公式和概率的乘法公式计算；

(2)①利用条件概率公式计算，根据数据下结论；②两种方案分别求出期望，根据数据下

结论.

【详解】(1)设试验一次，“取到甲盒”为事件A，“取到乙盒”为事件人,

“第一次摸出黑球”为事件耳，“第一次摸出白球”为事件显，

答案第10页，共16页

1217Q

尸（鸟）=尸（A）尸网A）+P（4）尸（因4）=5'示+旷正=.

所以试验一次结果为白球的概率为9三，

21

所以P⑷层）二号谓:p（014）尸（A）r102=2

p⑻99

20

所以选到的袋子为甲盒的概率为:7.

27

（2）①尸（4忸2）=1-尸（阖星）=1-1=§

所以方案一中取到黑球的概率为：

月=尸（4回）尸（四⑷+尸（4间尸㈤4）令（+3寻茅

方案二中取到黑球的概率为：

鸟=尸（4闻尸㈤A）+P（A闯唳闯嗤

因为3弓1＞3工7，所以方案二中取到黑球的概率更大,•

4590

②随机变量X的值为300,200,100,

依据以上分析，若采用方案一:

P（X=300）=P（B1）=l-P（B2）=-,

93737

P（X=200）=P（昆）《=——X——

2090200

尸（X=100）=1—437_53

200~200

1137S3

矶X）=300x—+200x——+100x——=228.5

'720200200

若采用方案二:

P（X=300）=P（A）=I-P（B2）=-,

Q13

P（X=200）=m）^=-xr-）

P（X=100）=1-^_3__2_

20-20

1137

E（X）=300x—+200x—+100x—=230

v7202020

所以随机变量X的数学期望的最大值230.

答案第11页，共16页

【分析】

（1）联立方程组，根据的-;，利用韦达定理可求“，从而得解；

（2）设直线r：y=H+7〃,（MH±2）,联立方程组，根据的M+%V=1,利用韦达定理可得

m=4k—2,由两平行直线间的距离公式，并利用导数求最值.

【详解】（1）

设A（^,AX1）,B（A:2,AX2）

22

由题意，可知6=2,则椭圆c：3+二=1,

a24

y=kx

联立方程组x2,2

一4〃2

显然A＞0,且玉+x2=0,%％=------TV，

12124+a2k2

1kx、一2kxn—21

因为"M%OB=一£，即1"一=-4

34142D

7PL简（3左2+1）玉％—6左（F+%）+12—0,

所以（3新+1b4fl2=0,解得6=12,

'74+ak

22

所以椭圆C:匕+匕=1

124

（2）由直线/'〃/,设直线/':丁="+机,（加。±2）,

A/（J^,AX3+m）,B（x4,Ax4+m）,

y=kx+m

联立方程组＜%2,得（1+3左+6切1X+3加之—12=0,

1124

l22

贝（JA=36k2m-4（3〃+1）（加2_4）=12（12^-zn+4）＞0

得病＜12左2+4①

-6km3m2-12

且$+%=

3k2+1

答案第12页，共16页

kXa+m-2kx.+m-2,

又因为如M+GV=1，即工7—+—----------=1，

%3*4

化简得（2左一1）忍入4+（加一2乂刍+乂）=。，

则（21）与乜+（*2）?=。，

化简得（祖一2）（我一机—2）=0,

因为〃2H±2,所以〃?=4左一2,结合①可知0〈左＜4,

、、qI7m77l\^k—2|‘4/-4左+1

/'与/之间距离d==

Vi+Fvi+F-1+P

左+)

4/_44+12(2%-1)(2

设g（无）=则g'(")

-1+P-(1+4

当A=:时，g")=0,

则当Ae(0,£|,g")<0,则g(x)单调递减,

当上e],4),g")>0,则g(x)单调递增，

所以g(x)min=g(g)=O，

又g(0)=1,g(4)=14」万,所以g(x)<3，

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

（1）设直线方程，设交点坐标为（为,%）,（孙力）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算A；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为％+%,为々的形式；

答案第13页，共16页

(5)代入韦达定理求解.

19.(1)单调递增区间为：(0,1),单调递减区间为：(-叫。)和(1,内)；极大值/⑴=二，极

e

小值/(0)=0;

(2)(0,2e]

【分析】

(1)将。=2代入，求出尸(x),即可求出答案;

ainx2x

(2)原不等式等价于e~-2(〃Inx-2x)-cos(tz\nx-2x)20,i己F(x)=alnx-2x,a>0f

求出厂'(x),则可得出函数尸(x)的单调性，即可得尸(x)的值域-s,a呜-a,记

g(0=e,-