2022-2023学年度武昌区八校联考八年级下学期期中数学试卷

湖北省武汉市武昌区八校联考2022-2023学年八年级下学

期期中数学试卷

一、单选题

i.要使二次根式G开意义，则x的取值范围是（）

A.x<1B.x>1C.x>1D.x>-1

2.下列二次根式中，是最简二次根式的是()

C.J口.屈

A.V12B.V57

3.下列计算中，正确的是（）

A.V2+V3=V5B.3五-20=也C.V15-V3=5D.V3=5V3

4.用下列长度的线段首尾相连构成三角形,其中不能构成直角三角形的是()

A.1.5,2,3,B.8,15,17C.6,8,10D.7,24,25

5.如图，一竖直的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在地面离大树底端4米处,

大树折断之前的高度为（）

C.9米D.12米

6.如图，直线/上有三个正方形a、b、c,若a、6的面积分别为5和11,则c的面积

A.4B.5C.6D.5.5

7.如图，在AASC中，AB=BC,以3为圆心，适当长为半径画弧交34于点跖交BC

于点N,分别以N为圆心，大于。的长为半径画弧，两弧相交于点。，射线8。

交/C于点E,点尸为3c的中点，连接E尸，若BE=4C=4,则的周长是（）

A.8B.273+2C.275+6D.275+2

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8.如图，矩形48。的对角线/C与8。交于点O,过。点作AD的垂线分别交,BC

于£、尸两点.若/C=2A/LZAEO=120°,则FC的长度为（）

A.1B.2C.V2D.V3

9.如图，在平行四边形4BCD中，4HLBC于点、H,E是的中点，下是HC的中点,

已知/〃=3,BC=4,则E产的长为（）

10.将等边23C折叠，使得顶点/与8C上的。重合，尸为折痕，若黑=|■，则崂=

DC3EB

（）.

A

A

二、填空题

2

11.化筒：y/~4—;

12.已知〃是正整数，屈^是整数，则〃的最小值为.

13.如图，每个小正方形的边长都为1,4、B、C是小正方形的顶点，则45。=。.

14.点尸是矩形/BCD的对角线ZC的延长线上一点，PD=^AC,NP=52。,则DPDC=

度.

15.已知矩形/5C0中,4-6,2),B(-5,b),C(a,3),则矩形的面积为.

9

16.Y/BCD中，AE工BC于E,/尸_LC£»于尸，AE=3,AF=-,若点尸刚好是CD

2

三、解答题

17.计算：

(l)V80-V20+V5;

⑵(4血-3&)+2区

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18.已知x=6+l,y=G-l，求下列各式的值:

(1)尤2+2xv+y2；(2)x—y2.

19.已知：如图，点£,尸分别为YABCD的边BC,AD上的点，且/I=/2.求证：AF=CE.

20.如图，小彭同学每天乘坐地铁上学，他观察发现，地铁。出口和学校。在南北方

向的街道的同一边，相距80米，地铁/出口在学校的正东方向60米处，地铁8出口

离。出口100米，离/出口100血米.

⑴求43。的度数;

(2)地铁B出口离学校O的距离为米.

21.正方形网格中的每个小正方形的边长都是一个单位，每个小正方形的顶点叫做格

⑴在图1中，线段48=,ZACB=度；

(2)在图1中，在N8上作出点。，使得。/=0C；

(3)在图2中，N8交其中一条网格线于点£,在平面中作一个点尸，使得跖=而，

(4)在图3中，点A是格点，点P在网格线上，将线段4尸向左平移三个单位得线段

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22.已知出0,4),5(-4,0),1)(9,4),C(12,0),动点P从点/出发，在线段上,

以每秒1个单位的速度向点。运动：动点。从点C出发，在线段上，以每秒2个

单位的速度向点3运动，点尸、0同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点随之

(1)当1=秒时，P。平分线段AD；

⑵当/=秒时，P0_Lx轴；

(3)当=时，求f的值.

23.问题提出：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形.我

们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题.

如图①，两条长度相等的线段48和相交于。点，ZAOC^60°,直线ZC与直线3。

的夹角为a,求线段ZC、BD、满足的数量关系.

分析：考虑将ZC、8。和48集中到同一个三角形中，以便运用三角形的知识寻求三条

线段的数量关系：

如图②，作CE//AB且CE=AB,则四边形/3EC是平行四边形，从而4C=BE；

由于CD=48=CE,DECD=DAOC=60°,所以AECZ)是等边三角形，故ED=AB;

通过平行又求得DE8D=180--a.

在中，研究三条线段的大小关系就可以了.

如图②，若/C=2A/LBD=6,a=30。，请直接写出线段43的长

问题解决:

如图③，矩形48CD中，E、尸分别是CD上的点，满足ZE=C。，DE=CF,求

证：AF=42CE;

拓展应用:

如图④，08c中，乙4=45。，分别在/C、AB1.,BD、CE交于点。，BD=CE,

图①图②图③图④

24.矩形O48C的边CM、OC在坐标轴上，点8(0,6),M(c,0)其中a、b、c满足

-4+(a+2c)2='Jb-2+J2-b.

⑴求出a、b、c的值；

(2)如图，E是BC上一点、,将沿ZE折叠得4夕交x轴于点D,若

ZAED=45°,求5E的长；

(3)如图，点0是直线跖4上一动点，以。。为边作等腰直角△。尸。，其中/尸。。=90。,

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。、Q、P按顺时针排列，当0在直线上运动时，P8+PC的最小值为

参考答案：

1.C

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案.

【详解】解：根据题意，得X-120,

解得x>\.

故选：C.

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的

关键.

2.D

【分析】根据最简二次根式的定义判定即可.

【详解】解：A、：屈=26，.•.夜不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

B、•••代=已=9，.•.后不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

A不是最简二次根式'故此选项不符合题意；

D、行是最简二次根式，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查最简二次根式，解题关键是熟练掌握最简二次根式的必须满足两个条件：

(1)被开方数不含有开的尽方的因数或因式，(2)被开方数不含有分母.

3.B

【分析】根据二次根式的四则运算法则求解即可.

【详解】解：A、0与6不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；

B、3V2-2V2=V2，原式计算正确，符合题意；

C、小+6=石，原式计算错误，不符合题意；

D、屈父小踮=3也,原式计算错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键.

4.A

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答.

【详解】解：A,1.52+22^32,不能构成直角三角形，符合题意；

B、g+152=172,能构成直角三角形，不符合题意；

C、62+82=102,能构成直角三角形，不符合题意；

D、72+242=252,能构成直角三角形，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三

边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

5.B

【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜

边.

【详解】解：如图，

•.•/C=3米，3C=4米，ZACB=9Q°,

.•・折断的部分长为AB=律弄=5，

二折断前高度为5+3=8（米）.

故选：B

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，培养学生对勾股定理在实际生活中的运用能力.

6.C

【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到△/BC咨△<?£>£,从而得到c的面积=6的面

积-”的面积.

NACB+ZECD=90°,NDEC+ZECD=90°,

：.ZACB=ZDEC,

在“8C和ACDE中,

ZABC=NCDE

<ZACB=NDEC,

AC=CE

：.AABC会/\CDE,

：.BC=DE,

,/AC2AB2+BC2,

:.b的面积=。的面积+c的面积，

；.c的面积=b的面积-。的面积=11-5=6.

故选：C.

【点睛】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答

此题的关键.

7.D

【分析】由尺规作图可知，BE为//2C的平分线，结合等腰三角形的性质可得

AE=CE=3AC=2,利用勾股定理求出48、8c的长度，进而可得瓦?=/3=2石，

CF=《BC=后,即可得出答案.

【详解】由题意得，出?为N/8C的平分线，

,?AB=BC,

BE±AC,AE=CE=-AC=2,

2

由勾股定理得，

AB=SC=V42+22=2V5，

•.•点尸为2C的中点,

•*-EF=gAB=75，CF=：BC=后,

...△C£F的周长为：75+75+2=275+2.

故选：D.

【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图步骤

以及等腰三角形的性质是解答本题的关键.

8.A

【分析】根据邻补角求出NDEO的度数，根据余角的定义求出的度数，再根据平行

四边形的性质及等边对等角可求出/E4。和N/OE的度数，根据等角对等边得出AE=EO,

然后勾股定理可求得/E的值，最后根据中心对称的性质即可得出答案.

【详解】解：:4EO=120。,

ZDEO=60°,

,：OELBD,

：.ZADO=3Q°,

•..四边形N8CD是矩形，

4O=OD=OC=OB,

：.ZEAO=ZADO=30°,

ZAOE=30°=ZEAO,

AE=EO,

；AC=2也，

：.OD=-BD=-AC=y/3,

22

设OE=x,则DE=2x

在Rt^DOE中，OE2+OD2=DE2

即x2+（V3）2=（2x）2

解得：x=l（负值已舍去）

AE=OE=1,

:矩形NBC。关于对角线交点O中心对称，

CF=AE=1.

故选：A.

【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.

9.B

【分析】取CD的中点G,连接EG,交AD于点O,连接FG,HD,AC,先证明

△BOEgGOG,可得BO=DO,EO=GO,进而得出点A,O,C三点共线，可知OF是A4cH

的中位线，再根据中位线的性质得/〃〃/，结合已知条件得出OFLBC,然后根据三角形

中位线的性质得。G〃8C,进而得出OFLEG,可知。尸是EG的垂直平分线，再根据线段

垂直平分线的性质得出斯=/G,接下来根据勾股定理求出。“，然后根据中位线的性质求

出尸G,可得答案.

【详解】解：取C。的中点G,连接EG,交8。于点。，连接尸G,HD,AC,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

:.AB=CD,ABHCD,AD=BC=4,

：.NEBO=AGDO.

•点£是48的中点，点G是CO的中点,

ABE=-AB,DG=-CD,

22

：.BE=DG.

"：NBOE=ZDOG,

/\BOEgADOG,

ABO=DO,EO=GO,

...点/,o,c三点共线，

AO=CO.

;点、F是CH的中点，

OF是“CH的中位线，

AH//OF.

'：AHLBC,

：.OFLBC.

;点。是AD的中点，点G是CD的中点,

OG是△8CD的中位线，

OG//BC,

OFVEG,

：.OF是EG的垂直平分线，

EF=FG.

在RIYADH中，DH=yjAD2+AH2=5-

,点厂是CH的中点，点G是。的中点,

・•・巴是△CD”的中位线，

15

:•FG=—DH=—，

22

：.EF=FG^-.

2

故选：B.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的性质和判定，线段垂直平分

线的性质和判定，勾股定理等，构造辅助线是解题的关键.

10.A

【分析】设8=3怎BD=2k,然后利用相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似

比，即可求出BE,然后用人表示/E即可得到结果.

【详解】解：：器=g，

.•.设CD=3左，BD=2k,

：.AB=AC=BC=5k,

AABC为等边三角形，

ZEDF=乙4=60。，

ZEDB+ZFDC=ABED+ZEDB=120°,

ABED=ZFDC,

VZ5-ZC=60°,

ABEDSKDF,

.DBPF_JCBED

DC~JCCD厂，

.BE_7k

.•工―茄’

212119

:.BE=——k,AE=5k——k=——k,

888

19左

.AE8=19

"BE——21k21

8

故选：A

【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，翻折变换，利用相

似三角形的周长比等于相似比，再适当的用左表示边是关键.

3

【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.

【详解】V4=2;导争（26『=12

故答案为：2；—；12.

3

【点睛】此题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质，会用二

次根式的性质进行化简.

12.2

【分析】因为砺是整数，且灰=回石?=3岳，则2〃是完全平方数，由此可以确定

满足条件的最小正整数〃.

【详解】解：,:廊i=d9x2n=3后,且V5薪是整数，

，3底是整数，即2〃是完全平方数，

〃的最小正整数值为2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查二次根式的定义和乘法法则.一般地，我们把形如八（。NO）的式子叫做

二次根式；二次根式的乘法运算法则：4^-4b=4ab-解题关键是把被开方数分解成一个

完全平方数和一个代数式的积的形式.

13.45

【分析】根据勾股定理得到BC,/C的长度，再判断是等腰直角三角形，进而

得出结论.

【详解】解：如图，连接NC,

由题意，=+f=加，BC=S+f=B/8=JF+32=加,

/.AC=BC,AB2=AC2+BC2,

AABC是等腰直角三角形，且44c3=90。，

ZABC=ZCAB=45°.

故答案为：45.

【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出。8c

是等腰直角三角形是解决本题的关键.

14.12

【分析】利用矩形的性质和尸o=可知。。=。。=尸。，利用等边对等角、三角形内角

和定理可求/。加、NODC的度数，最后利用角的和差关系求解即可.

【详解】解：・・•四边形43co是矩形，

OD——BD,OC=—AC,AC-BD,

22

・・・OC=OD,

又PD=LAC,

2

：.PD=OD,

：.ZDOP=ZP,

又N尸=52。,

：.ZDOP=52°,/OOP=76。，

•・•OC=OD,

：.ZODC=ZOCD=1(180°-/COD)=64°,

・•・ZCDP=ZODP-ZODC=12°.

故答案为：12.

【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用矩形

的性质证明OC=OD=PD是解题的关键.

15.20

【分析】连接4C,8。相交于点闻,过4作轴，过。作CHLx轴，过8作

-6+a_-5+0

轴，交/G于点G,交CH于点R利用中点坐标公式关键方程组L22，可求用

2+30+b

F二F

b的值，然后利用割补法求矩形的面积即可.

【详解】解：连接/C，8。相交于点〃，过N作轴，过。作龙轴，过8作8£，了

轴，交/G于点G,交CH于点、F,

•..矩形N3C。，

.•.M为/C,80的中点,

又4-6,2),B(-5,b),C(a,3),

-6+a-5+0

.,2=2

**|2+30+b'

~T=~

Q=1

解得

b=5

：.5(-5,5),C(l,3),

；•矩形的面积为7X5-L6X2-\1X3-L6X2-L1X3=20.

2222

故答案为：20.

【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，中点坐标公式等知识，利用中点坐标公式求

出a,6的值是解题的关键.

16.

8

3

【分析】利用等面积法求出BC='CO=4。，然后在RM/。尸中，利用勾股定理可得

=+最后解方程即可求解.

【详解】解：：四边形48CD是平行四边形，AELBC,AFLCD,

BC-AE=CD-AF,BC=AD,

「9

又AE=3,AF=—,

2

9

・•・BC,3=CD—,

2

3

BC=-CD=AD,

2

13

在月中，ZAFD=90。，DF=-CD,AD=-CD,

22

・"“+*即（|回=0+愕）,

解得0）=2应（负值舍去），

4

27/-

・・.AD=—y]2.

8

故答案为：.

O

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理等知识，利用等面积法求出

3

BC=-CD=AD是解题的关键.

17.(1)3右;

⑵

【分析】（1）先化为最简二次根式，再进行加减运算即可;

（2）将括号内的每一项与后面的20相除即可；

【详解】（1）解：原式=4石-2石+石

（2）解：原式=班+2也一班+2也

=2--V3

2

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

18.（1）12；（2）473.

【分析】先求出x+y=2G,x-y-2,

（1）然后利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；

（2）然后利用平方差公式进行因式分解，即可求解.

【详解】解:x=V3+1,_y=V3—1,

x+y=(百+1)+(百-1)=2百,x-y=(百+1)-(3-1)=2,

•*.(1)/+2xy+「=(x+y)-=(2道)=12；

(2)x2-y2=(;c+y)(x-y)=2^3x2=4^3.

【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的加减运算和乘法运算，熟

练掌握相关知识点是解题的关键.

19.见解析

【分析】先根据平行四边形的性质可得AD〃2C,进而可得/尸〃EC、N2=/3CE由/1=/2

可得N1=N3CF,即/£〃CF,可得四边形/ECr是平行四边形，最后根据平行四边形对边相

等即可证明结论.

【详解】证明：：/台。是平行四边形，

：.AD//BC

：.AF//EC,Z2=ZBCF

又

：.Zl=ZBCF,

：.AE//CF

二四边形/ECr是平行四边形

：.AF=CE.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，灵活运用平行四边形的性质和判定定理

是解答本题的关键.

20.(1)45°

(2)20而米

【分析】(1)先由勾股定理求出ND=100米，再由勾股定理的逆定理判定出△/a5是等腰

直角三角形，即可求解；

(2)过点8作BE，。。交60延长线于£,先证明“0。名必防侬人5)得出3£=0。=80

米，=04=60米，从而求得。£=。。+。£=140米，然后在中，由勾股定理求

解即可.

【详解】(1)解：由题意得：04人0D,

/.ZAOD=90°

由勾股定理得：AD=yJOA2+OB2=由冬+802=100（米），

AD-+DB2=1002+1002=20000，

又：AB2=（10072）2=20000，

AD2+DB2=AB2

：.ZADB=90°,

DB=AD=100（TH：）

ZABD=ZDAB=45°.

（2）解：如图，过点8作8E_L。。交60延长线于E,

由（1）知：ZADB=90°,

：.BADO+BBDE=90°,

BCLOA,BE1OD,

：.NACB=ABED=90°,

：.NEBD+NBDE=90°,

:.EADO=EEBD,AD=BD=10Q,

；.^AOD注力

：.BE=OD=80（米），DE=OA=60（米），

OE=OD+DE=140（米），

在RtaBEO中，由勾股定理得：

OB=ylBE2+OE2=A/802+1402=20765（米）.

【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理及其

逆定理是解题的关键.

21.⑴而，90°

(2)见解析;

(3)见解析；

(4)见解析;

【分析】(1)根据网格上的单位长度求出48、AC.BC,再利用勾股定理的逆定理即可解

答；

(2)根据题意可知作/C的垂直平分线即可得到点。；

(3)根据网格的单位长度计算出再利用平移即可得到解答；

(4)根据题意平移NP即可解答.

【详解】(1)解：由图可知：AB=V52+l2=V26'/C=6+22=瓜，BC=yj32+32=718'

VAC2+AB2=26，AB2=26，

A/3C是直角三角形，NACB=90。,

故答案为：回，90°；

图1

(3)解:如图所示EF即为所求,

•••MN=V32+l2=V10,

；•将点M平移到点E即可得到点F,

图2

（4）解：：线段/尸向左平移三个单位得线段MN,

图3

【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，平移的性质，学会运

用勾股定理是解题的关键.

22.(1)7

(2)4

14

⑶§秒

【分析】⑴设尸。与相交于E,也A5QE（ASA）,得至则97=16-2，,

解之即可求解；

（2）过点D作。EL3C于£,四边形尸0cM是矩形，四边形尸是矩形，贝!I

DE=PQ=OA=4,QE=PD=9-t,所以CE=2t-（9-f）=3f-9，又因为。（9,4）,C（12,0）,

所以CE=3,即可求解；

（3）作N4DC的平分线。E交8C于£,利用平行线性质与等腰三角形的判定、勾股定理,

MCE=CD=7（13-9）2+42=5，再证明四边形尸。助是平行四边形，得QE=DP=9r,

则CE=C0-QE=Z-（9;）=%-9,即可求解.

【详解】（1）解：如图，设尸。与8。相交于£,

V5(-4,0),C(12,0),

SC=12-(-4)=16,

当产。平分线段8。时，则BE=DE,

•；/(0,4),D(9,4),

尤，即

；.EPDE=EQBE,

•：€DEP=»BEQ,

：.ADPE之A80E(ASA),

/.PD=BQ,

；.9一t=16-2f,

解得：f=7,

:.当t=7秒时，

(2)解：如图，过点。作DEL3C于E,

当轴，即尸。，8C,

则四边形尸0。/是矩形，四边形尸是矩形,

DE=PQ=OA=4,QE=PD=9-t,

在RtACED中，CE=2t~（9-?）=3z-9,

VD（9,4）,C（12,0）,

CE=3,

3-9=3,

解得：1=4,

.••当f=4秒时，尸。，x轴;

(3)解：如图，作/4DC的平分线DE交3c于E,

AD//BC,

：.ZCED=ZADE,

：.DCED=DCDE=-DADC,

2

：.CE=CD,

•.5(9,4),C(12,0),

CE=CD=J(13-9)2+42=5，

当E)PQC=；D4DC时，贝l]DCEZ)=E)P0C,

PQ//DE,

'：AD//BC,即尸

四边形尸0ED是平行四边形，

；.QE=DP=9-t,

：.CE=CQ-QE=?t-(9~t)=3t~9,

：.3t-9=5

3

i14

・••当E)尸时，:一秒.

23

【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是熟

练掌握平行四边形的判定与性质定理、矩形的判定与性质定理、勾股定理.

23.问题提出：4B=2后;问题解决：见解析；拓展运用：V58

【分析】问题提出：过E作于点尸，过点C作CE///B且CE=4B,则四边形4BEC

是平行四边形，从而4c=BE；由于CD=4B=CE,DECD=DAOC=60°,所以AECD是等

边三角形，故ED=4B；通过平行又求得NEB尸=30。，分别在RtASEF和RtADE尸中，利

用勾股定理求解即可；

问题解决：作CG〃/尸交N8于G,证明ANGE2ADEC,再证VEGC是等腰直角三角形即可;

拓展运用：作DF〃BE且DF=BE,然后类似“问题提出”求解即可.

【详解】问题提出：过E作E尸，8。于点R过点C作CE7//8且CE=/B,

四边形ABEC是平行四边形，NECD=ZBOD=60°,

:.AC=BE,AC//BE,

'：ABCD,

：.CD=AB=CE,

又E)ECD=EMOC=60°,

：.AECD是等边三角形,

：.ED=AB,

'：AC//BE,

：.BEBF=BM=a=30°,

在RtZ\3斯中，ZEFB=90°,ZEBF=30°,BE=AC=2拒，

:.EF=：BE=追,BF=\lBE2-EF2=3>

DF=BF+BD=9,

RtADE尸中，ZEFB=90°,即=杉，DF=9,

DE=^EF2+DF2=2V21；

问题解决：作CG〃4F交于G,连接GE,

•..四边形/BCD是矩形,

:・AB〃CD,/BAD=ND=90。，

・•・四边形力GCF是平行四边形，

AAG=CF=DE,AF=CG,

又AE=CD,ZBAD=ZD=90°

：.AAGEADEC,

GE=CE,ZAEG=ZDCE,

ZDEC+ZDCE=90°,

：.ZDEC+ZAEG=90°,

・•・ZCEG=90°,

CG2=GE2+CE2=2CE2,

CG=42CE=AF;

拓展应用：

作DF〃BE且DF=BE,连接CF,过尸作尸“_L4C于/,

A

J四边形AE尸。是平行四边形，NFDM=ZA=45。,

：.EF//BD,EF=BD,

：.ZFEC+ZEOD=1^0°,

又ZEOD=ZBOC=120°,

：.ZFEC=60°,

**.4CEF是等边三角形，

CF=CE=BD,

在/中，ZDMF=90°,£FDMF=45°,

・・・Rt^DMF是等腰直角三角形，

DM=FM,

又DF=BE=4,

DM2+FM2=2DM2=DF2=16,

DM=MF=2V2，

CM=CD+DM=5>l2，

RtADE尸中，NCME=90。，MF=2叵，CM=5叵,

•*-CF=y/CM2+MF2=V58•

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等

边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助

线，找出所求问题需要的条件是解题的关键.

24.(l)a=4,b=2fc=-2

4

Q)BE二

(3)275

【分析】(1)根据所给式子V^+(a+2c『=EI+万工，结合二次根式有意义条件和

非负数相加和为0,则两加数均为0进行求解即可；

(2)过点E作斯，DE交48于点尸，根据折叠性质和矩形性质求出NB=NQ=90。，

BE=B'E,再根据“AAS”证得到CD=3'E,CE=B'D,设

CD=B'E=BE=x,得出CE=B'D=2-尤，OD=4-x,ZD=4—3'。=4一(2—司=2+x,

最后根据勾股定理列方程求解即可；

(3)过点。作轴于£,过点尸做尸尸，x轴尸，先根据等腰直角三角形性质得出

OQ=OP,再根据“AAS”证△0。£也A。尸尸，得到OE=P尸，QE=OF,根据A,/两点

坐标求出直线M4的解析式，设0(。+2),结合图象得出尸(7+2,T),从而得到点P在直线

y=-x+2上，作出直线y=r+2与夕轴交于点A,与x轴交于点H,过点C作关于直线

y=-x+2的对称点C"连接尸c'，HC,CC,BC,CC'与直线了=-x+2交于点/,根

据对称性质可知尸B+PC=PB+PC',则尸3+PC'=3C'时，P8+PC值最小，根据条件求

出点。即可得出3C'的长，此题得解.

【详解】(1)-4+(a+2c)~=yjb—2+-b,

:.b—2=2—b=Q,解得6=2,

••ci—4+(a+2c)=0,

。-4二0a=4

。+2』'解得

c=—2’

•・。=4,b=2,c——2；

(2)过点£作石尸_LD£交48于点尸，则/DE尸=90。，

NAEF=ZDEF-ZAED=45°,

ZDEF=AAED=45°,

由(1)知a=4,6=2,

.♦.3(4,2),

•.,四边形O/3C是矩形，

OA=BC=2,A