翻折与旋转（解析版）-2023年中考数学二轮复习（上海专用）

⑤要点归纳

二模翻折旋转类题目与一模基本相同，也主要出现在18题作为填空的压轴题.

翻折旋转类一般是配合矩形或者有直角的图形进行翻折.解决此类问题，注意翻折旋转之后

的图形与原图形全等，角度相关则对应图形还相似，如果有特殊三角形则有三角比可以利

用.最后，这类题一般是躲不开方程和勾股定理的，巧妙假设未知数并且找到一个关键的直

角三角形通过勾股定理列方程并且求出最后结果即可.

、翻折:

基本套路：翻折T全等（相等的角、相等的边）T设未知数T勾股定理T求出未知数.

套路2:翻折前后有特殊的锐角，可以利用锐角三角比解题.

套路3：翻折前的图形有直角，可以利用翻折后的直角构造三垂直相似.

套路4：折痕（对称轴）.联结翻折前后的对应点，作此线段中垂线即为对称轴.利用垂直可以用射

影定理，可以构造三垂直相似解题.

二'旋转：

题型1：旋转角是特殊的角（30。、75。、90。、150。等），利用三角比解题.特别地，如果旋转角是直

角，可以构造三垂直.

题型2：旋转某一个图形，旋转后某一个点落在某一条线上（注意直线、射线、线段的区别），可以

利用旋转双相似解决问题.

题型3：旋转某一个图形，旋转后某一个点是已知点，可以研究旋转角，利用锐角三角比解题.

☆注意需要掌握

⑴基本旋转性质：

①对应点到旋转中心的距离相等；

②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

③旋转前后的图形全等.

（2）作图技巧：

①旋转中心的确定:

联结两组对应点，得到两条线段，分别做这两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点.

②旋转角度的确定：

对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

对应边的夹角等于旋转角或旋转角的补角.

★★☆☆☆勾股定理与锐角三角比

【例题1】如图，已知在△ABC中，AB^AC,tanB=-)将ZvlBC翻折，使点。与点A重合，折痕

3

DE交边BC于息D,交边AC于点E,那么处的值为________.

DC

n

【分析】—

5

★★★☆☆锐角三角形

【例题2]如图，RtaABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,。是"的中点，尸是直线上一点，

把△3DP沿尸D所在的直线翻折后，点3落在点。处，如果QDL2C,那么点尸和点3间

的距离等于.

CB

【分析】*或io

2

★★★☆☆

【例题3】在矩形ABCD中，AB=4,AD=39点?在AB上.若将△ZMP沿。尸折叠，使点A落在矩

形对角线上的4处，则”的长为.

3Q

【分析】—or—・设=

24

①A'在上，在RtAA'B尸中，A'P=x,A'B=2,BP=4-x,<x2+22=(4-xf,;

3Q

②A'在AC上，A4'_LDP,有ZADP=Z^4C,故AP=—AO='.

44

★★★★☆三垂直相似

点是矩形边所在直线上一点，且。，将矩形沿某直线折叠，使

【例题4】EABCDCDE=CO,ABCD

3

点B与点E重合,若AB=3,AD=4,则折痕的长为.

【分析】-y/5or3^2

2

★★★★☆勾股定理

【例题5】如图，一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线即对折，点C落在

点。的位置，3。交AD于点G；再折叠一次，使点。与点A重合，得折痕日V,EN交AD

于点求EN的长.

【分析】EM=xcm,AG=ycm

则有C'G=ycm,0G=（8—y）cm,DM=^AD=4cm

在必△COG中，ZDC'G=90,C'D=CD=6cm

AC'G2+C'D2=DG2,即y2+62=（8-y/

解得尸;7

又•・•4DMES^DC'G：.也ME

DCCG

77

解得：x=—即EM=—cm

66

★★★☆☆

【例题6】已知平面直角坐标系内两点4(班,1),8(1,拘，将308绕点O旋转150。得到ZVTC®，,

则此时点A的对应点4的坐标为.

【分析】(-1,-73)^(-2,0)

★★★☆☆

【例题7】如图，已知梯形ABCD中，AD//BC,ZB=90°,AD=3,BC=5,AB=1,把线段CD绕

点。逆时针旋转90。到DE位置，联结AE,则AE的长为.

【分析】解三角形ME即可，AE=2君.

★★★☆☆旋转的性质+直角三角形的判定

【例题8】如图，已知钝角三角形ABC,/4=35。，OC为边AB上的中线，将△AOC绕着点O顺时

针旋转，点C落在边上的点。处，点A落在点4处，联结54、如果点A、C、4在

同一直线上，那么的度数为.

★★★☆☆旋转相似

【例题9】如图，在AABC中，AB=AC^5,BC=8,将八旬。绕着点5旋转的△ABC,点A的

对应点4,点C的对应点。.如果点4在3c边上，那么点C和点。之间的距离等

于__________

【分析】解三角形3CC即可，。。=当，

本讲巩固

1.(2022秋・上海虹口.九年级统考期中)如图，将矩形A2CD绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC

CC

的对应边B'C交CD边于点G,如果当AB'=B'G时量得AD=7,CG=4,连接BB'、CC',那么一-

BB

5

CC'AC

【分析】先连接AC,AG,AC,构造直角三角形以及相似三角形，根据△ABB"^ACC,可得到加=益

设AB=AB'=x,贝！|人6=逝\,DG=x-4,RtAADG中，根据勾股定理可得方程72+(x-4)2-(0x)2,求

得AB的长以及AC的长，即可得到所求的比值.

【详解】解：如图，连接AC,AG,AC,

由旋转可得，AB^AB',AC^AC,ZBAB'^ZCAC,

.AB_ABr

•'AC-AC7,

：.△A3B's"cC,

.CCAC

…BB'—AB

•・・A8=8G,NA8G=NA5C=90。,

・・・AAB'G是等腰直角三角形，

:.AG=-/iAB',

设AB=A8=x,则DG^x-4,

：RtAAZ)G中，AD2+DG2=AG2,

/.72+(x-4)2=(0x)2,

解得xi=5,X2=-13(舍去)，

：.AB=5,

RtAABC中，AC=^AB2+BC2=752+72="，

.CC_AC_V74

"SB7_AB)

故答案为叵.

5

【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程以

及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，依据直角三角形的

勾股定理列方程求解，从而得出矩形的宽，这也是本题的难点所在.

2.(2022春.上海徐汇九年级统考期中)如图，在ABC中，已知=ABAC=30°,将一ABC绕着

点A逆时针旋转30。，记点C的对应点为点。，AD,BC的延长线相交于点E如果线段。E的长为血，那

么边AB的长为—.

【答案】V6+V2

【分析】作CHLAE于H,设AB=AC=a,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出

ZB=ZACB=1(180-ZBAC)=1(180-30)=75.再根据旋转的性质得AD=AB=a,ZCAD=ZBAC=30°,

则利用三角形外角性质可计算出NE=45。，接着在RSACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得

CH=-AC=-a,AH=6cH=^a,所以DH=AD—AH=a—^a,然后在RtACEH中利用NE=45。得到

2222

EH=CH,于是可得1〃=〃—走a+0,解方程即可.

22

ZB=ZACB=1(180-ZBAC)=1(180—30)=75.

・・,将△ABC绕点A逆时针旋转，使点3落在点。处，此时点C落在点。处，

：.AD=AB=a,ZCAD=ABAC=30,

/ACB=NCAD+NE,

ZE=75-30=45.

在Rt^ACH中,NC4H=30,

CH=-AC=-a,AH=y/3CH=—a,二DH=AD-AH=a-—a,

2222

在放△CEH中,•・•/£=45,

:・EH=CH,

-a=a————a+■\/2,

22

解得：a=5/6+A/2.

故答案为A/6+

【点睛】考查旋转的性质，三角形的内角和，解直角三角形，作出辅助线是解题的关键.

3.(2022•上海杨浦・统考一模)如图，及AABC中，ZC=90°,AC=BC=1,点。在BC上，将AABC沿

直线AD翻折，使点C落在点C处,连接AC,直线AC与边CB的延长线相交与点F,如果ZZMB=ZS4F,

那么线段BP的长为—.

A

CB

【答案】V3-1

【分析】在皿AABC中，ZC=90°,AC=BC=l,得到NC4B=NABC=45。，由AADC'是将AABC沿直线

4。翻折得到的，求出/6。=/口4£>,于是得到/AB/=135。，求出N尸=30。，根据直角三角形的性质即

可得到结果.

【详解】解：如图所示：

A

-在RfAABC中，

ZC=90°,AC=BC=1,

:.ZCAB=ZABC=45°,

MDCr是将△ABC沿直线AD翻折得到的,

:.ZCAD=ZCAD,

ZDAB=ZBAF,

.\ZBAD=-ZDAC=-ZBAC=15°,

23

NAB尸=135。，

/.ZF=30°,

:.BF=CF-BC=y/3-l,

故答案为：^3-1.

【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，正确做出图形是解题关

键.

4.（2022・上海徐汇・位育中学校考模拟预测）如图，点6是445。的重心,。6的延长线交45于点。,34=10,

GC=8,GB=6,将AADG绕点。顺时针方向旋转180。得到△瓦加，则△砂。的面积为.

【答案】48

【分析】根据点G是△ABC的重心，CG的延长线交于，GA=10,GC=8,GB=6,将AAOG绕点。

顺时针方向旋转180。得到△8£)£,得出。G=OE=4,以及BE=10,即可得出AEBG的面积，进而得出答案.

【详解】解：：点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于。，GC=8,

：.DE=4,

•.,将△ADG绕点D顺时针方向旋转180。得到△BDE,

：.DG=DE=4,AG=BE=1Q,

'：BG=6,

...△BGE是直角三角形，

.♦.△BGE的面积为：!x6x8=24,

,?ZBGE=90°,

：.ZBGC=9Q°,

...△BGC的面积为：Jx6x8=24,

.•.△EBC的面积为：48.

【点睛】题目主要考查旋转的性质及直角三角形的性质，理解题意，熟练掌握运用旋转的性质是解题关键.

5.如图，在，ASC中，AB=AC=5,BC=6,点。在边AB上，且N8OC=90.如果ACD绕点A顺时针旋

转，使点C与点8重合，点。旋转至点2,那么线段。2的长为.

【详解】分析：作于E根据等腰三角形三线合一的性质得出研=改一5八3,利用勾股定理

.Af174i--------------7

求出AE=4.根据三角形的面积得出C£>=——==,那么AD=JAC?-C£>2=再根据旋转的性质可

知AO=AA，ZCAD=ZBADlf那么:ABCs利用相似三角形的性质可求出.

详解：如图，作于E.

AB=AC=5,BC=6,

:.BE=EC=-BC=3,

2

AE=y]AB2-BE2=4■

S=-ABCD=-BCAE,

“ARCC22

八八BCAE6x424

••———,

AB55

,AD=VAC2-cz)2=-.

5

ACD绕点A顺时针旋转，使点。与点5重合，点。旋转至点A，

/.AD=AD,,ACAD=ZBAD,,

AB=AC,

ABCsADD.,

BCAB

65

DDX7，

5

42

JDD,=.

125

42

故答案为石.

点睛：本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明.ABCs

ADD,.

6.（2022•上海青浦•校考一模）如图，在R3A8C中，ZACB=90°,AC=1,tanZCAB=2,将△ABC绕点

A旋转后，点5落在AC的延长线上的点。，点。落在点及OE与直线3。相交于点尸，那么C尸

B

C

【答案］正L

【分析】根据已知条件得到BC=AC・tan/C4B=2,根据勾股定理得到AB=J,AC?+BC2=L，根据旋转

的性质得到AO=AB=6，根据三角函数的定义即可得到结论.

【详解】如图,

•.,在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=1,tan/G48=2,

BC=AGtanZCAB=2,

；•AB=7AC2+BC2=也，

•.•将AABC绕点A旋转后，点2落在AC的延长线上的点D,

：.AD=AB=45,ND=NB,

VAC=1,

CD=-75-1,

VZFCD=ZACB=90°,

,CD

tanZ)=tanZCAB==2,

CF

...CF=叵11,

2

故答案为，i二L.

2

【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正确的画出图形是解题的关键.

3

7.(2023・上海松江・统考一模)如图，已知Rt^ABC中，ZC=90°,sinA=《，将ABC绕点C旋转至△AB'C,

AT-)

如果直线A'Z垂足记为点D，那么黑的值为.

A

【分析】设3c=3a,贝i]A5=5a,AC=4a,分两种情况讨论，画出图形，利用相似三角形的判定和性质,

列式计算即可求解.

3

【详解】解：：RtZ\ABC中，ZC=90°,sinA=-

・•.sinA=史」

AB5

设3c=3”，则AB=5a,AC=4a,

;将ABC绕点C旋转至△A'B'C,

B'C=BC=3a,则A'B'=AB=5a,A'C=AC=4a,ZA=ZA',ZB=ZB>

如图，A!B=a,ZA=ZA,ZACB=ZADB=90°,

.ArBBDaBD

，・——=—,n贝ilI——=—

ABBC5a3a

•••I

・・・AD=AB+BD=5a+—=—

55

28〃

.小亨_28

9BD~~3

T

如图，ABr=a,NA=NALZACB=ZADBf=90°,

A

，△A'CB's^ADB',

.AB'AD,aAD

..----=----,贝n！J——=——

A'B'A'C5a4a

：.BD=AB-AD=5a--=—,

55

4。

,『丁二4

H214—21；

可

小林士生4-28

故答案为：莉或丁.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正弦函数，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题.

8.（2022秋・上海松江•九年级校考阶段练习）如图，在AABC中，。是AC边的中点，连接8。，把△BDC

沿3。翻折，得到ABOC',联结AC'.若AO=AC'=2,BD=3,则点。到8C的距离为.

【分析】连接CC',交BD于点M,过点。作DHJ_3C'于点区由翻折知，&BDC"丛BDC',2。垂直

平分CC',证4MC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM=1,CM=6,BM=2,在RmBMC'中，

利用勾股定理求出BC的长，在△BOC‘中利用面积法求出。"的长，则可得出答案.

【详解】解：如图，连接CC,交BD于点、M,过点。作JLBC'于点X,

H

'：AD=AC=2,。是AC边上的中点,

：.DC=AD=2,

由翻折知，△BDg^BDC',

DC=DC',BC=BC,

8。垂直平分CC',

DC=DC=2,CM=CM,

AD=AC'=Z)C'=2,

...△ADC为等边三角形，

ZADC'=ZAC'D=ZC'AC=60°,

'：DC=DC,

：.ZDCC=ZDC'C=-x60°=30°,

2

在RSCDM中，ZDC'C=30°,DC=2,

：.DM=I,CM=y/3DM=5

：.BM=BD-DM=3-1=2,

在RtABMC中，BC'=^BM2+C'M2=布,

,/SRnc.=LBC.DH=>BDCM,

BDC22

，近DH=3乂区

DH=^-,

7

.•.点。到8c的距离为题.

7

故答案为：曲.

7

【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，二次根式的乘除运算等，解题关键

是会通过面积法求线段的长度.

9.如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺

边MN的交点为D,从A点发出的光束经平面镜P反射后，在上形成一个光点E.已知

ABLBC,MNLBC,AB=6.5,BP=4,PD=8.

(2)将木条8C绕点8按顺时针方向旋转一定角度得到(如图2),点尸的对应点为P,BC与MN

的交点为。'，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在上的光点为E"若DD=5,则EE，的长为

【答案】13—

【分析】(1)由题意，证明根据相似三角形的性质，即可求出ED的长度；

(2)过A作AH_L8N交延长线于"过E作E足LBN于尸，设ED=x,ED=5+x,在R3BDN中,由勾

股定理。2=12,可证AABHsABD'DsAE'D'F,AH=6,出/=2.5,E'F="上四,/*'=交，从A点发

1313

66.5

出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点£14AHP'sdE'FP',60+12%=25+5%,解得

---------.o----------

1313

x=1.5.

【详解】解：(1)由题意，

・.•AB±BC,MN±BC,

：.ZABP=ZEDP=90°,

・・,从A点发出的光束经平面镜尸反射后，在上形成一个光点E.

；・ZAPB=ZEPD,

：.△ABPs^EDP,

.ABBP

••一,

EDDP

6.54

即nn—二77，

ED8

/.E»=13；

故答案为：13.

(2)过A作交NB延长线于〃，过。作于R设E'D=xED'=5+x,

在RdBDN中，

VBD=12,DD'=5,

由勾股定理D'B=TfizT+flF7=A/122+52=13，

"?ZAHB=ZABD=ZE'FN=ZBDD'=90°,

：.ZABH+ZDBD'=ZDBDADD'B=ZFE'D+ZE'D'F,

：.ZABH=ZBD'D=ZE'D'F,

：.AABHsABD'DsAE'D'F,

.ABAH_BHE'D'_E'F_FD'

"BD'~BD~DD''BD'~BD~DD'

.6.5AHBH5+xE'FFD'

25+5x

AH=6,BH=25,EF=”,

13

・・,从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E'.

:,ZAP'H=/E'PF,

：.4AHP's丛E,FP',HP'=HB+BP=2.5+4=6.5,P'D'=BD'-BP'=\3-4=9,

25+5%

P，F=P'D'-FD'=9-

13

6.5

黑=篝即飞产

25+5%,

9------------

13

解得x=1.5,

经检验％=1.5是方程的解,

23

EEr=DE-DEf=13-1.5=n.5=—.

2

【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜产性质，掌握相似三角形性质与判定,

6_6.5

勾股定理，光束经平面镜尸性质，利用相似三角形的性质构造方程丽江二；是解题关键.

----------y-----------

1313

10.（2023・上海浦东新•上海市建平实验中学校考一模）如图，RdA8C中，ZACB=90°,BC=5,AB=A^5,

点。在边AC上，将△A8O沿着直线3。翻折得AEB。，BE交直线AC于点F,联结CE,若△BCE是等

腰三角形，则AF的长是

【答案】A/55-1

【分析】根据题意作图如下，过C作把的垂线，交于G,由勾股定理求得4C=JAB2_BC2=后,根据

翻折的性质，可得：AB=EB=4y[5,EC=BC=5,

若△BCE是等腰三角形，则EC=BC,勾股定理求出CG=JBC2—BG?="，在证明SGCfCG尸，求

出CF=3,根据AF=AC-CF,即可求出.

2

【详解】解：。在边AC上，将△A3。沿着直线2。翻折得△仍。，BE交直线AC于点E联结CE,根

据题意作图如下，过C作」BE的垂线，交于G,

在RtABC中,

AC=NAB2-BC，=病，

根据翻折的性质，可得：AB=EB=4y[5,EC=BC=5,

当点。在边AC之间上动时，且BE交直线AC于点尸,

故NBCB>90°,

若42CE是等腰三角形，

则EC=BC,

根据等腰三角形的三线合一的性质知，

点G为3E的中点，

BG==BE=2卮

2

:.CG=VBC2-BG2=75，

NCGF=NBGC=9伊，

ZGFC+ZGCF=ZGFC+ZGBC=90°,

:.ZGCF=ZGBC,

BGC^,CGF,

.BGBC

,~CG~'CF，

解得：CF=1,

二.AF=AC-CF=y/55--,

2

故答案是：吟.

【点睛】本题考查了三角形的翻折、等腰三角形、勾股定理、三角形相似等知识，解题的关键是根据题意

作出相应图形，利用三角形相似来求边长.

n.（2022秋•上海青浦•九年级校考期中）R/AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=2,将此三角形绕点A旋

转，当点B落在直线上的点。处时，点C落在点E处，此时点E到直线3c的距离为

【答案】今24

【分析】过8作8GJ_A□于G,利用旋转的性质及勾股定理求得42=4。=如，再利用

SABD=-AD-BD=