2024年高考数学模拟试题解析 (二)

1.设集合人{小<3},I#-5)(x-2)叫，则&A)IB=

)

A.(YO,2]B,[3,5]C.[2,3]D.[3,5)

【答案】B

【分析】解一元二次不等式得集合B,然后由集合的运算法则计算.

【详解】由题意3={x|2<%<5},%4={x|x23},

所以(\A)I5={%|3<x<5}.

故选：B.

2.若复数(a+i)(l—ai)=2,则实数。=()

A.-1B.OC.1D.2

【答案】C

【分析】根据复数的乘法运算结合复数相等列式求解.

【详解】因为(a+i)(l—ai)=2a+(l—/1=2,

2tz=2

可得2八，解得a=l.

I-a=0

故选：C.

21

3.已知实数满足〃+。=5,则一+——的最小值为()

ab-1

A3+2攻D3+472小3+272

A.-------D.-------C.-------

446

【答案】A

2112I

所求一+——的分母特征，利]用。+"=5变形构造a+3—1)=4,再等价变形—(―+—)[a+(Z7-l)],

ab-14ab-1

利用基本不等式求最值.

【详解】解：因为。>0力>1满足。+/>=5,

则—H——=(―H---)ra+(Z?-l)-|x—

ab-1ab-lL'7J4

』3/伍-1)a小+2®

4|_ab-1

当且仅当2('—1)=，一时取等号,

ab-1

故选：A.

【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常

数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)

代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

4.函数/(尤)的图象如下图所示，则/(X)的解析式可能为()

5sinx

B.

x2+1

「5(…，)5cosx

D.

f+2X2+1

【答案】D

【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,+co)上的

函数符号排除选项，即得答案.

【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且/(-2)=/(2)<0,

5sin(-x)5sinx

由百齐1=一E且定义域为R'即B中函数为奇函数’排除;

当x>0时善二12〉0、5(e：+e')〉0,即人、c中(0,+s)上函数值为正，排除;

X2+2X2+2

故选：D

什八crsin^(l+sin20)/

5.若tan<9=—2,则n--------------」(

sin0+cos0

【答案】C

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(I=sin2，+cos2。)，进行齐次化

处理，化为正切的表达式，代入tan。=-2即可得到结果.

【详解】将式子进行齐次化处理得：

sin6(1+sin26)sin^^sin*20+cos20+2sin^cos0j

=sine(sinO+cos。)

sin6+cos6sin6+cos6

_sin。(sin6+cos。)_tan2+tan_4-2_2

sin2+cos231+tan231+45

故选：C.

【点睛】易错点睛：本题如果利用tan。=-2,求出sin，,cos。的值，可能还需要分象限讨论其正负，通

过齐次化处理，可以避开了这一讨论.

6.已知数列｛%,｝满4=/+力7(aeN*)，且对任意“eN*，。“<4+1恒成立，则实数4的取值范围

为()

A.(0,+“)B.(-00,0)C.[-2,+co)D,(-3,+co)

【答案】D

【分析】根据数列单调性结合二次函数的性质分析求解.

力

【详解】由题意可知：％<%<生<…，且丁=f+%1：开口向上，对称轴为X=

23

可得—<一,解得4>—3，

22

所以实数几的取值范围为(-3,内).

故选：D.

7.已知a=6M5,b=7ln4,0=8瓜3,则()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

【答案】A

【分析】对a,仇c两边取对数，得到Ina=ln5-ln6,In/?=ln4-ln7,Inc=ln31n8,构造

/(x)=lnxln(ll-x),3<x<5,求导后再令g(x)=xlnx,研究其单调性，得到

/(x)=lnx」n(n—x)在3WxW5上单调递增，从而得到lnc<lnb<lna,结合y=lnx在(0,+。)上

的单调性求出答案.

【详解】〃=6必5,5=7^4,c=8M3两边取对数得：lnQ=ln5・ln6,lnZ?=ln4-ln7,

Inc=ln3-ln8,

令"%)=ln%・ln(ll-,3<%<5,

则r(x)」n(n—X)—产=(1-)叫:一；)一.,

X11—xx(11—XJ

令g(x)=xlnx,3<x<5,

则g'(%)=l+lnx>0在3WxW5上恒成立，

所以g(x)=xlnx在3WxW5上为增函数，

因为当3WxW5时，11—x>x恒成立，

所以(n-x)ln(n-x)-xlnx>0在3WxW5上恒成立，

故/'(x)=-------乙*—<--------->0在3WxW5上恒成立，

故/a)=lnx」n(n—力在3WxW5上单调递增，

所以/(3)</(4)</(5),故In3-ln8<ln4」n7<ln5-ln6，

即lnc<lnb<lna,

因为y=lnx在(0,+8)上单调递增，所以C<b<a.

故选：A

【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出

函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对口=6.，人=7融，c=8山3两边取对数得：

Ina=ln5」n6,In〃=ln4」n7,前后两个对数中真数之和为11,从而达到构造出适当函数的目的.

8.已知函数/(x)=(x+l)e”,若函数/(x)=/2(x)_^(%)+加_［有三个不同的零点，则实数机的取

值范围为()

A.(—^,0)B.(—-,V)

ee

C.(1y,l)D.(L+8)

ee

【答案】c

【分析】把函数/（X）有3个不同零点问题转化成方程f（x）=M-1有两个不同解，再利用导数结合函数图

象求解作答.

【详解】函数/（x）=（x+l）e工的定义域为R,求导得/'（x）=（x+2）1,当x<—2时，f'（x）<0,当

x>-2时，f\x）>0,

因此函数在（—8,—2）上单调递减，在（—2,+8）上单调递增，/（xU=/（-2）=-4>且X<—1，恒

e

有/（x）<0，

由歹(x)=0,得"(x)——m+1]=0,即/(x)=l或/(x)=机—1,由/(x)=l,得尤=0,

于是函数尸（X）有3个不同零点，当且仅当方程/（X）=m-1有2个不同的解，即直线y=m-1与

>=/（尤）图象有2个公共点，

在同一坐标系内作出直线丁=m-1与y=/（x）的图象，如图,

即1一"]<m<1时，直线丁=m-1与>=/（无）的图象有2个公共点,

所以实数m的取值范围为.

e

故选：C

【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图

象交点个数，数形结合推理作答.

二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）

9.在一ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知（8+（?）:（o+。）：（。+/?）=4:5:6,则下

列结论正确的是（）

UULUUU

A.sinA:sinB:sinC=7:5:3B.CAAB>0

C.若c=6,则的面积是15D,若＞+c=8,则外接圆半径是友

3

【答案】ABD

【分析】先利用已知条件设b+c=4左,c+a=5左,a+b=6左，进而得到a=3.5左力=2.5,c=1.5左，利用

正弦定理可判定选项A；利用向量的数量积公式可判断选项B；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定

选项C；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D.

【详解】依题意，设b+c=4£c+a=5左,a+b=6左，

所以a-3.5k,b-2.5k,c—1.5k,

由正弦定理得：sinA:sinB:sinC-a:b:c=r7:5:3,故选项A正确；

4ns,,b2+c2-a2b2+c2-a22.52+1.52-3.52,15,

AB-AC=becosA4=bcx---------=---------=--------------k2=---k2<0n,

2bc228

故=—ACA3>0,选项B正确；

若c=6,贝|%=4,所以。=143=10,所以cos.=l°+6-14=_1

2x10x62

所以sinA=走，故45c的面积是:

一besinA=—x6xl0x故选项C不正确;

222

52-k32-721

若〃+。=8,则左=2,所以Q=7]=5,C=3,所以COSA=^^—-=

2x5x32

所以sinA=且，则利用正弦定理得：A5C的外接圆半径是：Lx'一=述

22sinA3

故选项D正确.

故选：ABD

10.设正项等差数列｛4｝满足（4+弓0）2=24为+20,则（）

A.%%的最大值为10B.4+为的最大值为2&U

111,九

C.—+-最大值为一D.a；+a；的最小值为200

Cl?^^93

【答案】ABD

根据等差数列的性质，求得％,佝的关系式，由此结合基本不等式，判断出正确选项.

2

【详解】因为正项等差数列｛。“｝满足(q+«10)=2a2a9+20，

所以(。2+。9J=2〃2%+20，

即a；+=20.

①4为4若产=弓=10,当且仅当的=%=加时成立，故A选项正确.

②由于在+%«名士&=10,所以然役《加,。2+49V2加，当且仅当%=%=J再时成

22

立，故B选项正确.

1।1_20〜20_20_1

③蜡心说迷(也@丫1。？5,当且仅当4=%=加时成立，

、2，

111

所以二+二的最小值为一，故C选项错误.

④结合①的结论，有a；+色=(a；+片1—2a1%=400-2g.a；2400—2义IO?=20。，

当且仅当%=%=历时成立，故D选项正确.

故选：ABD

【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值，属于中档题.

11.如图，棱长为6的正方体ABCD—A4GR中，点M、N满足AM=/L4G，CN=/JCD,其中

%、〃e(O,l),点「是正方体表面上一动点，下列说法正确的是()

A.当;1=工时，£)暇〃平面C4A

3

B.当〃=9寸，若3/〃平面ANG，则14H的最大值为3石

C.当2=〃=g时，若PMLD[N,则点P的轨迹长度为12+6百

D.过A、M、N三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形

【答案】ABC

【分析】以点2为原点，24、2G、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示空间直角坐

标系，利用空间向量法可判断AC选项；分别取A3、中点G、H,连接用G、GH、4”、

AG，GN,,找出点尸的轨迹，结合图形求出14Pl的最大值，可判断B选项；作出截面，分析截面的

形状，可判断D选项.

【详解】以点。1为原点，2A、2G、RO所在直线分别为X、＞、z轴建立如下图所示的空间直角坐

标系，

则。1（0,0,0）、4（6,6,0）、C（0,6,6）、A（6,0,6）＞£＞（0,0,6）、Q（0,6,0）,

对于A选项：当;1=§时，则r>M=AM—AD=§AG—AD=（4,2,—2）,

因为A4=（6,6,0）,RC=（O,6,6）,

,、m-D,B,=6x,+6y,=0

设平面CBQI的法向量为初=（%,%,zj,贝R,

''的.£＞iC=6%+6zi=0

取％=—1,则玉=z=l,可得m=（1,—1,1）,

所以相=4—2—2=0，则

因为W平面C3Qi，所以当4=；时，〃平面。与。1，故A正确；

对于B选项：当〃=工时，N为CD中点，

2

分别取A3、中点G、H,连接用G、GH、B〔H、AQ,GN,

因为G、”分别为A3、的中点，所以GH〃AC,

又因为AA]〃CG且A4=Cq,则四边形为平行四边形，可得AC〃AG，

所以GH〃AC，

且GHa平面ANC],AG<=平面ANC],所以GH〃平面ANG，

同理可得，用G〃平面ANG，

因为4G-G〃=G,B]G、GHi平面与GH,所以平面与GH〃平面AN£,

当点尸为△耳G”的边上一点（异于点用）时，则与Pu平面片G”,则4P〃平面ANC],

故点P的轨迹为"GH的边（除去点B[）,则囚G|=^BB^+BG1=762+32=3君,

同理可得14M=3/,结合图形可得14PLxT4G|=|旦引=3君，故B正确；

对于选项C：当％=〃=；时，M、N分别为&G、CD的中点，如图所示：

此时点N（0,3,6）、〃（3,3,3）、^（0,0,0）,〃N=（O,3,6）,

当点P在平面A4QQ内运动时，设点P（x,0,z）,其中0WxW6,0<z<6,

则Aff=（无一3,—3,z—3）,

0

因为则〃N・MP=—9+6（z—3）=6z—27=0,解得Z=Q,

设点P的轨迹分别交棱Ad、DR于点R、Q,则e[^0,0,1j,

当点尸在平面CC]〃。内运动时，设点P（x,0,z）,其中0<y<6,0<z<6,

则MP=(_3,y_3,z—3),则〃N-MP=3y_9+6(z_3)=3y+6z_27=0,

设点P的轨迹交棱CG于点E，则P1O,6,|1,设点P的轨迹交棱5用于点T,

因为平面的2。〃平面3月£C,平面RQFT1平面A4]RD=RQ,

平面RQfT1平面BB©C=FT,所以RQ〃FT,

同理可得QF〃尺T,所以四边形RQPT为平行四边形，

且网=3=6,网=\FQ\=L2+62+^|-|J=375，

因此点尸的轨迹的长度即为平行四边形RQPT的周长2(6+36)=12+6百，故C正确；

对于D选项：设截面AMN交棱4用于点U,连接AU、QU,由题意可知，截面AAW与平面AC]N

重合，

因为平面ABCD//平面4月。1，，平面ANG-平面ABCD=AN,

平面平面451cI。1=£U,所以AN〃G。，同理可得AU〃CN,

所以四边形AU£N为平行四边形,

因N(0,6—646),其中0<九<1,则A2V=(—6,6—6/1,0),=(0,-62,6),

且⑷V•C]N=—64(6—6为=364(4—1)<0,即4V与GN不可能垂直，

所以平行四边形AU£N不可能为矩形，即过A、M、N三点的截面不可能是矩形，故D错误.

故选：ABC.

12.己知函数/(x)=e*—x—根(xeR),g(x)=sinx—cosx(x>0),则下列说法正确的是()

A,若/⑴有两个零点，则%>1

B.若石w々且/(石)=/(x2),则Xj+x2<0

5

C.函数y=g(x)在区间0,—有两个极值点

4

D.过原点的动直线/与曲线y=g(x)相切，切点的横坐标从小到大依次为：片，彳2,…，％.则

%=tan,一；

【答案】ABD

【分析】A项：方法1：分离参数画图即可求得相的范围；方法2：研究原图的图象与无轴交点即可；B项:

由极值点偏移的证明步骤即可证得结果；C项：应用辅助角公式化简g。)，求g(x)的极值点可得；D项：由

,g(x〃)-g(0),/、"行一小

k=----------=g(%)化简可得.

%—0

【详解】A项：方法1：=x-根有两个零点，即：方程x=机有两个根.

令A(x)=ex-x

h(x)=ex-x

有两个交点.

y=m

h(x)=e1—1

令h(x)=0,解得尤=0,

当x<0,h(x)<0,/i(x)在(一8,0)单调递减,

当x>0,/??(x)>0,/z(x)在(0,+co)单调递增.

当xf+oo,h(x)f+oo,当x--8,h(x)f+oo.

h(x)如图所示,

又\"(0)=e°—0=1

m>1,A正确.

方法2：/(%)=el-x-m,则/'(xXe-l,

令/'(x)=0,解得x=0,

当x<0,f\x)<0,/(x)在(—8,0)单调递减，

当x>0,/(x)>0,/(x)在(0,+co)单调递增，

所以x=0是/⑴的极小值点同时也是最小值点，即/(x).=/(0)=1-根，

当/>1时，/(0)=l-m<0,/(—根)=e。〉0,所以/⑴在(—8,0)只有一个零点，

又因为f(ni)=em-2m,只需证明f(m)=em-2m>0恒成立，即可得到了⑴在(0,+(x>)内只有一个零点.

令t(m)-em-2m,

■：?'(m)=em-2>0,(m>l)

.."(m)在(1,也)上单调递增.

/.?(m)>/(l)=e-2>0

:"(m)=e"'—2根〉0恒成立得证.

.../(x)在R上有两个零点，A正确；

B项：方法1：由A项知：/(%)=/(%)

〃2=入(%)=人(X2)且%>1且入(X)在(T»,0)单调递减，"(X)在(0,+8)单调递增.

不妨设：药<0,%2〉0

要证：%1+x2<0

只需证：不<一%2

又再<0,x2>0

玉<-x2<0

又・・・/?(%)在(—8,0)单调递减.

・•・只需证：/Z(X1)>/Z(-X2)

又；-%)=〃(％)

.•.只需证：/z(x2)>/z(-x2),x2>0

令

••・只需证：H(x)>0,x>0

H(x)=h(x)+Ji(—x)=刈一1+e-x-l=ex+e_A-2

当尤>0,e'+er—2>0恒成立，所以H'(x)>0,

在(0,+oo)上单增

”(%)>"(0)=0

原命题得证.B正确.

C项：*/g(x)=sinx-cosx=^2sin(x--)

JTJTsjr

***x----=—I-kji,kE7J解得：x------1-kji,keZ即为g(%)的极值点.

424

g(x)在区间。”]有1个极值点为网.C项错误.

44

D.Vg(x)=sinx-cosx,xe[0,+oo),贝i]g'(x)=cosx+sinx,

设切点坐标为(X",g(%„)),则切线斜率为k=g(xn)=cosxn+sinxn,

sinxn-cosx„-0_.

=COSxn+sinxn,

x„-0

sinx„-cosx„tanx„-1

11

即xn=---——；~2-=------—=tan,D正确.

cosxn+sinxn1+tanxnI"4J

故选：ABD.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

⑴直接求零点：令f(x)=。，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间团，切上是连续不断的曲线，且/(a)/3)<0,还必须结

合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同

的值，就有几个不同的零点.

极值点偏移问题解法：

（1）（对称化构造法）构造辅助函数：

对结论为+々>（<）2%型，构造函数F（x）=/（x）—/（2x（）-x）；

对结论七工2〉（<）器型，构造函数E（x）=/（x）-7—，通过研究尸（x）的单调性获得不等式.

（2）（比值代换法）通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换/=主化为单变量的函数不等式，利用函数

x2

单调性证明.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.已知/（x）=sin（0x+高）（O>0）,=且/⑺在区间（4，3）有最小值无最大值，贝U

J.N乙JJLN4

CD=.

17

【答案】一

2

【详解】试题分析：因为/卮|=/图，所以直线X=?是函数/（刈=5足（5+乡（0>0）的一条对

JTJTTT713

称轴，又因为/（X）在区间（二,3）有最小值无最大值，所以+土=巳乃，解得。=1」7；故填1」7.

124612222

考点：三角函数的性质.

abax1

14.定义运算，=ad—be则不等式，，<0对任意xeR恒成立，则实数。的取值范围是

ca1x+l

【答案】（T,0]

【分析】由题意可得：依2+依-1<0对任意xeR恒成立，分a=0和awO两种情况，结合一元二次不等

式恒成立问题分析求解.

ax10

【详解】由题意可得，，=62+公一1<。对任意xeR恒成立，

1x+l

若a=0,贝U—KO,符合题意，即a=0成立；

a<0

若awO,则L2“c，解得-4<a<0；

A=a+4a<0

综上所述：实数。的取值范围是（T,0].

故答案为：（T,0］.

15.正ABC的三个顶点都在球。的球面上，AB=AC=2,若三棱锥O—ABC的体积为2,则该球的

表面积为

,田必、160^

【答案］——

3

【详解】由题可知截面小圆的半径厂=冬8,又.•.V=2XL><2><2X

xd=2=>d=2-\/3，所以

3322

R=

n+1

16.对于数列｛〃〃｝,使数列｛斯｝的前七项和为正整数的％的值叫做“幸福数”.已知％=log4——，则在区

n

间［1,2021］内的所有“幸福数”的个数为

【答案】5

【分析】求得数列｛&｝的前几项和s〃，结合对数运算列不等式，由此求得“幸福数”的个数.

n+1

【详解】an=log4----=log4(«+l)-log4zi,

n

设｛4,｝的前几项和为S”,贝I]S"=log42-log41+log43-log42++log4(n+l)-log4n

=log4(n+l),为整数，设为m,log4(〃+l)=根,

.•."+1=4"',1<n=4"'—1W2021，加可取1,2,3,4,5共5个数,

，“幸福数”有5个.

故答案为：5

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

sin5sinA

17.在一ABC中，a,b,。分别是角A,B,C的对边，且

1+cosB2-cosA

.711—COSB

(1)右A=；,求--------的值;

3sin5

（2）若b=l,求一ABC的面积的最大值.

【答案】（1）B

3

⑵手

【分析】(1)由A=g可知sinA=@，cosA=-,由同角三角关系可得匕四0=上3—,进而可

322sin31+cosB

求得结果；

citiRwin/A

(2)由--------二---------结合正弦定理可得2b=〃+c=2,在A5C中利用余弦定理和同角三角函

1+cosB2-cosA

数的关系可得sin3=、/-----,然后利用三角形面积公式和基本不等式可求得结果.

Vac4ac

【小问1详解】

因为A=g,可知sinA=正，cosA=-,

322

由己知可得*_=*_=3=且，

1+cosB2-cosA2—13

-2

1-cosB(1-cosB)(l+cosB)_1-cos2B_sinB

又因为

sin3sin3(1+cos5)sinB(1+cosB)1+cosB

所以1一cosB_sinB_V3

sin51+cosB3

【小问2详解】

在一ABC中，A+B=7i—c

因为si"'=siR",则(2-cosA)xsinB=sinA(1+cosB),

1+cosB2-cosA

即2sinB-cosAsinB=sinA+cosBsinA,

贝!J2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB,

可得2sin5=sinA+sin(A+5)=sinA+sinC,

由正弦定理可得得2b=〃+c

若Z?=l,则Q+C=2>1,

2+c2-b2(«+c)2-b2-lac22-l23

在.ABC中，由余弦定理cos8=々----------=-----------------------=-----------1=——

2ac

"T

当且仅当a=c=l时，等号成立，

所以A6C的面积的最大值是走.

4

18.如图，在四棱锥P—ABCD中，上平面ABC。，ABCD,且AB=1,CD=2,BC=lyfl>

PA=1,ABJ.BC,N为P£>的中点.

(1)求证：AN//平面PBC；

(2)求二面角3-尸C-。的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵或

3

【分析】(1)取PC中点为M,连接7W,MB,进而证明四边形NMBA为平行四边形即可证明结论；

(2)取。C中点为石，以A为空间直角坐标系原点，AE为x轴，AB为＞轴，"为z轴，建立空间直角

坐标系，利用坐标法求解即可；

【小问1详解】

证明：取尸C中点为连接NM,MB,如图所示，

因为N分别是PC,的中点，所以且M0=^DC,

2

又因为AB0c且A3=LDC,

2

所以NM〃AB,NM=AB,

所以四边形NMBA为平行四边形,

所以AN〃5M,

又因为AN(Z平面PBC,BMu平面PBC，

所以AN//平面PBC.

【小问2详解】

解：取。C中点为E,以A为空间直角坐标系原点，AE为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角

坐标系，如图所示，

则4（0,0,0）,尸（0,0,1）,B（0,l,0）,D（2V2,-l,0）,C（2^,l,0）,

设平面尸的法向量为m=（%,y,z）,

因为=BC=（2A/2,0,0）,

所以〈.l，令y=i，解得1,，即m=o,u）,

BC-m=2>j2x=0〔z=l

设平面PDC的法向量为a=(a,6,c),

因为PD=（2后1,—1）,DC=（0,2,0）,

PD-n=2yf2a-b-c=0l\b-Q

所以.令a=0，解得“即〃=(后,0,4卜

DCn=2b=Qc=4

jr

记平面P£>C与平面PBC夹角为。，0<3<-

m-n\4

则cos0=cos（m.n

|m|-|n|A/2x^/183’

所以二面角B-PC-D的正弦值为更

3

19.设｛4｝是等差数列，也｝是等比数列，公比大于0,已知可=伪=3,b2=a3,&=4g+3.

(I)求｛为｝和也｝的通项公式；

[1,“为奇数，*

(II)设数列｛或｝满足C.=归〃为偶数，求qq+a2c2++a2rle2"("WN*).

【答案】(I)an=3n,1=3"；

(II)QI'""。'"*)

d=3

【分析】(I)首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得《、，进而求得

q=3

等差数列和等比数列的通项公式；

(II)根据题中所给的％所满足的条件，将“C+a2c2+」+出12”表示出来，之后应用分组求和法，结合

等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.

【详解】(I)解：设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛%｝的公比为夕,

3q=3+2dd=3

依题意，得c2y/J解得

3q=15+4<7q=3

n

故4=3+3(〃-1)=3〃，bn=3x3"一1=3,

所以，｛4｝的通项公式为4=3"，他“｝的通项公式为〃=3"；

(II)axcx+a2c2++a2nc2n

—(q+Q3+++%〃一1)+(a2bl+a4b2+a*3++)

=[nx3+n(^~1)x6]+(6x31+12x32+18x33++6〃x3")

=3川+6x(1x31+2x32++nx3"),

12n

记T(=1X3+2X3++nx3①

则37；=1X32+2X33++nx3"+l②

②—①得,27；=-3-32-33-..-3"+nx3"+1=_3(1-30)+2鹏=⑸一叱―

1-32

22

所以+a2c2++a2nc2n=3n+6Tn=3n+3x—————

(2n-l)3"+2+6n2+9正、

=-----------------------(zneN)■

【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前九项和公式等基础知识，考查数列求和的基

本方法和运算求解能力，属于中档题目.

20.已知函数/(X)=e*-x?+2ax

1)若a=l,求曲线y=f(x)在点(1,7(1))处的切线方程

(2)若/(尤)在R上单调递增,求实数a的取值范围

【答案】(1)ex-y+1^0(2)a21n2—1.

【详解】分析：(1)求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；

(2)求出导数，若/(%)是单调递增函数，则/'(%)="—2x+2a20恒成立，分离参数构造函数，求出

函数的最值即可得到实数。的取值范围.

详解：

(1)f,(^=ex-2x+2.-.f(l)=e

.■.y-f(l)=e(x-l).\ex-y+l=0

⑵...f'^x^=ex-2x+2a>0:.a>x-^-=g(x)

Qg(x)=l-^-=0..x=ln2

所以g(%)在(f，ln2)上单调递增，在(ln2,上单调递减

所以=g(ln2)=ln2-l.\a>ln2-l..

点睛：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，综合考查导数的应用，属于中档

题.

21.设｛%｝是首项为1的等比数列，数列｛2｝满足d=詈.已知%,3%,9%成等差数列.

(1)求｛4｝和也｝的通项公式；

C

⑵记"和分别为｛4｝和也｝的前〃项和.证明：T,〈彳.

1W

【答案】(1)4=(；产，bn=--,(2)证明见解析.

【分析】（1）利用等差数列的性质及为得到9夕2-69+1=0,解方程即可;

（2）利用公式法、错位相减法分别求出7；,再作差比较即可.

【详解】（1）因为｛凡｝是首项为1的等比数列且〃1，3a2,9生成等差数列,

所以6g=%+9q,所以6%.=q+9。应2,

即9d—64+1=0,解得q=；,所以%=g)"T,

所以2=券=n

y'

（2）［方法一］:作差后利用错位相减法求和

12n—1n

=-+—+H-----,

332+产3〃

£111

2I—F—7++

22133132

Sn123n11110--1--2--

+F5剪+要+三++-----H-----—H-----2.++

3°3132

,1

n—1----

____2+2L-

3“T3"

0_J_1_12」11

「一1一5,⑧

设「2+,二+

"3°3〃T

।1

,0--1--2--n—1—c

则＞=」+_!+=+

n,--_-_--_--_-_---2-.⑨

3"3132333”

33

n——1n----

21112,1,2

由⑧一⑨得*r=一上+-F—7++-------r

323,323"-----23〃

3

n----

所以「12n

n4x3〃一22X3”T2x3"-'

nn、＜°，

因此7；—-色3"2x3-'-2

n2

q

故（＜才.

［方法二］【最优解】：公式法和错位相减求和法

1x(1--)

证明：由(1)可得S〃=——=1(1-F),

1-1

3

2II11na'n1、n

①-②得/=§+3+3+3"