山东省济宁市兖州区2023-2024学年高三二诊模拟考试数学试卷含解析

山东省济宁市兖州区2023-2024学年高三二诊模拟考试数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点4-3,0),8(0,3),若点尸在曲线y=—二/上运动，则△R43面积的最小值为()

93/-93/—

A.6B.3C.--------v2D.—I—72

2222

2.已知a=(1,3),1=(2,2),c=(〃,一1),若(a-c)J_Z?,则"等于()

A.3B.4C.5D.6

3.设函数Ax)定义域为全体实数，令g(%)=/(|x|)-"(尤)1.有以下6个论断：

①/(X)是奇函数时，g(£)是奇函数；

②/(X)是偶函数时，g(x)是奇函数；

③/(X)是偶函数时，g(x)是偶函数；

④/(X)是奇函数时，g(X)是偶函数

⑤g(x)是偶函数；

⑥对任意的实数x,g(x),,0.

那么正确论断的编号是()

A.③④B.①②⑥C.③④⑥D.③④⑤

4.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()

1Ix

5.已知函数〃x)=ln+x+l且〃a)+〃a+l)>2,则实数。的取值范围是()

1-X

6.已知双曲线C:\-^=l(a>0,6>0)的一条渐近线的倾斜角为。，且COS6=15,则该双曲线的离心率为()

a-b-5

A.J?B.@C.2D.4

2

2v+1+2,x<0,*

7.已知函数/(x)=A,八若关于》的方程r"(刈--24(>)+30=0有六个不相等的实数根，则实数。的取

Jlog2x|,x>0,L」

值范围为()

A.[3,二]B.^3,—C.(3,4)D.(3,4]

8.若函数/(x)=e'的图象上两点4，N关于直线丁=》的对称点在g(x)=G：-2的图象上，则。的取值范围是

()

A.1一°0片)B.(-℃,e)C.[°，：]D.(Qe)

9.某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸

识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识

别，则这6名研究生不同的分配方向共有()

A.480种B.360种C.240种D.120种

10.已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABC。-中，P是上底面上的动点.给

出以下四个结论中，正确的个数是()

①与点。距离为G的点P形成一条曲线，则该曲线的长度是

②若。P〃面AC4,则OP与面ACGA所成角的正切值取值范围是]彳，0；

③若DP=g,则OP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6女.

A.0B.1C.2D.3

11.已知数列｛凡｝的首项囚=。(。70),且。“+1=她+乙其中左，teR,neN*,下列叙述正确的是()

A.若｛4｝是等差数列，则一定有左=1B.若｛。“｝是等比数列，则一定有/=0

C.若｛4｝不是等差数列，则一定有kwlD.若｛。“｝不是等比数列，则一定有1W0

12.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

但x>0

13.设y（x）=%'（其中e为自然对数的底数），g（x）=/2（x）—（2根-l）/（x）+2,若函数g（x）恰有4

-2019%,x<Q

个不同的零点，则实数加的取值范围为.

14.已知等差数列｛4｝的前"项和为S",4=9,5一今=-4,则%=.

15.某几何体的三视图如图所示（单位：二二），则该几何体的表面积是ZZ-,体积是二二;.

的视图

16.已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球。的表面上.若球。的表面积为

28办则该三棱柱的侧面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在三棱锥P—ABC中，AB±PC,M是AB的中点，点。在依上，VD〃平面24C,平面？，

平面PMC,ACPM为锐角三角形，求证：

(1)。是依的中点；

(2)平面ABC_L平面

18.(12分)已知函数/(x)=lnx+ax2-3x(aeR)

(1)函数/Xx)在点(1,/⑴)处的切线方程为y=-2,求函数/(x)的极值;

(2)当“=1时，对于任意不々目1/0],当々〉玉时，不等式/(芯)—/(乙)〉一(；；\)恒成立,求出实数机的

取值范围.

19.(12分)某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每

天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走

步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”,

步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表：

运动达人非运动达人总计

男3560

女26

总计100

(1)(i)将2x2列联表补充完整;

5)据此列联表判断，能否有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？

(2)将频率视作概率，从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户，求抽取的用户中女用户人数的分布列及期

望.

附:

2

P（K>k0）0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

K?n(ad-bc?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.(12分)如图，在四棱锥A—5CDE中，平面5CD£，平面ABC,BE±EC.BC=1,AB=2,ZABC=60°.

(I)求证：班1平面ACE；

(II)若锐二面角E-AB-C的余弦值为包，求直线CE与平面ABC所成的角.

7

21.(12分)在直角坐标系中，直线/过点P。,2),且倾斜角为戊，以直角坐标系的原点。为极点,X

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕2(3+sin2©)=12.

(1)求直线I的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线;

(2)设直线/与曲线C相交与M,N两点，当归WH/W|=2,求c的值.

22.(10分)设数列｛。,｝的前”项和5”满足25“=〃4+〃，neN+,a2=2,

(1)证明：数列｛%｝是等差数列，并求其通项公式；

1

(2)设々=

II—，求证：。=4+仇++bn<1.

any/an+l~^~an+iyan

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,B

【解析】

求得直线A5的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P位于(-1,0),结合点到直线的距离公式和两点的距离

公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.

【详解】

解：曲线y=—加一。表示以原点。为圆心,1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，

直线的方程为x-y+3=0,

|-1-0+3|

可得|A5|=3立，由圆与直线的位置关系知P在(-L0)时，P到直线A5距离最短，即为=V2,

则APAB的面积的最小值为gx3&x0=3.

【点睛】

本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结

合思想易得.

2、C

【解析】

先求出2=(1,4),再由(0-c)_Lb,利用向量数量积等于0,从而求得〃.

【详解】

由题可知。一。二(1一冏,4),

因为(a—所以有(1—〃)x2+2x4=0,得〃=5,

故选：C.

【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.

3、A

【解析】

根据函数奇偶性的定义即可判断函数g(x)的奇偶性并证明.

【详解】

当是偶函数，则/(-X)=/(%),

所以g(-x)=f(\-x1)-1/(-x)1=/(IX1)-1/(x)|=g(x),

所以g(x)是偶函数；

当/(X)是奇函数时，则/(-X)=-/(%)，

所以g(-X)=f(\-x1)-1/(-X)1=/(IX1)-1/(X)1=g(X),

所以g(x)是偶函数；

当了。)为非奇非偶函数时，例如：y(x)=x+5,

则/(-2|)=7,|/(-2)1=3,此时g(-2)>0,故⑥错误；

故③④正确.

故选:A

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题.

4、D

试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的剩余部分体积是正方体体积的二,所以截

66

去部分体积与剩余部分体积的比值为一，故选D.

5

考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.

5、B

【解析】

构造函数F(x)=/(%)-1,判断出人龙)的单调性和奇偶性，由此求得不等式/(a)+/(。+1)>2的解集.

【详解】

构造函数歹(x)=/(x)-l=lnp+x,由匕二〉0解得所以网％)的定义域为(T1),且

1—X1—X

1Iy1_1—X

xf、

F(-x)=ln-―---x=-ln-―--x=-In-―-+xU-F(x),所以为奇函数，而

1—X1+Xk1+XI

F(x)=ln1±^+x=ln|-l+-1-|+x,所以b⑴在定义域上为增函数，且网0)=lnl+O=0.由

JLX\kX)

a+a+1〉0

/(a)+/(a+l)>2得/(a)—1+/(a+1)—1>0,即/(a)+F(a+l)>0,所以<—l<a<l—<。<0.

2

—l<a+l<l

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.

6^A

【解析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即。力的关系，求出双曲线的离心率.

【详解】

解：设双曲线的半个焦距为。，由题意万)

又cos6=好，则sin6=拽，tan6=2,-=2,所以离心率e=£=+=小,

55aa\[aJ

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题

7、B

【解析】

令"x)=f,则2成+3a=0,由图象分析可知产—2改+3a=0在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程

根的分布即可解决.

【详解】

令/(x)=f,则产—2at+3a=0,如图

2

y=/与y=/(x)顶多只有3个不同交点，要使关于x的方程[/(%)]-2勾F)+3。=o有

六个不相等的实数根，则——2G+3a=0有两个不同的根％4e(2,4],

设g。)=『-2at+3a由根的分布可知,

A=4a2—12a>0

ae二(2,4)二，解得16

g(2)〉05

g(4)>0

故选：B.

【点睛】

本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中

8、D

【解析】

由题可知，可转化为曲线g(%)=^-2与y=lnx有两个公共点，可转化为方程依-2=Inx有两解，构造函数

领x)=2±l吧，利用导数研究函数单调性，分析即得解

X

【详解】

函数f(x)=ex的图象上两点M，N关于直线y=X的对称点在y=InX上,

即曲线g(%)=依-2与y=Inx有两个公共点,

即方程ox-2=lnx有两解，

口r

即〃=2-+--l--n--x有-两e解，

x

人7/、2+lnx

令h(x)=-------,

x

r[7\—1—In%

贝！Ih(x)=----z-,

则当0<%<，时，h!{x}>0；当时，/z\x）<0,

ee

故X=:时/z（x）取得极大值=e，也即为最大值，

当x-0时，/z（x）-T»；当xf+8时，〃（尤）一>0,

所以0<a<e满足条件.

故选：D

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.

9、B

【解析】

将人脸识别方向的人数分成：有2人、有1人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.

【详解】

当人脸识别方向有2人时，有团=120种，当人脸识别方向有1人时，有C；阂=240种，.•.共有360种.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.

10、C

【解析】

①与点。距离为G的点P形成以2为圆心，半径为虎的;圆弧MN,利用弧长公式，可得结论；②当P在A（或

G）时，op与面ACGA所成角（或ZDCQ）的正切值为"最小，当p在。1时，与面所成角

3

/。旦。的正切值为衣最大，可得正切值取值范围是［当,行］;③设p。，y,1）,则/+V+1=3,即/+,2=2,

可得OP在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和.

【详解】

如图：

①错误，因为RP=,Dp2_DD：=一J=后，与点。距离为四的点P形成以R为圆心，半径为0的

,圆弧朋N,长度为2兀-0'='^兀；

442

②正确，因为面〃面AC耳，所以点p必须在面对角线上运动，当p在A（或G）时，0P与面ACGA

所成角NDA。（或NOG。）的正切值为逅最小（。为下底面面对角线的交点），当P在。1时，OP与面ACGA

3

所成角NDQ。的正切值为后最大，所以正切值取值范围是］,，、历；

③正确，设P（x,y,l）,则f+F2+1=3,即》2+,2=2,0P在前后、左右、上下面上的正投影长分别为护士，

（I~22、

斤1，后K，所以六个面上的正投影长度之2（J7W+朽Z+后卜22Jy+1^A-+1+V2=6A/2,

当且仅当P在。i时取等号.

故选：C.

【点睛】

本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题.

11、C

【解析】

根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.

【详解】

A：当左=0/=a时，4+i=a,显然符合｛4｝是等差数列，但是此时k=1不成立，故本说法不正确；

B：当攵=0,/=。时，。“+1=。，显然符合｛4｝是等比数列，但是此时t=0不成立，故本说法不正确；

C：当％=1时，因此有=常数，因此｛4｝是等差数列，因此当｛4｝不是等差数列时，一定

有左/1,故本说法正确；

D：当/时，若左=0时，显然数列｛%｝是等比数列，故本说法不正确.

故选：C

【点睛】

本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.

12、A

【解析】

由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积.

【详解】

由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2,

1Q

直观图如图所示，V=-x2x2x2=-.

33

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、m>2

【解析】

求函数广(X),研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设f=/(x),若函数g(x)恰有4个零点，则等价为

函数人⑺=/-(2〃?-》+2有两个零点，满足/〉1或。</<1,利用一元二次函数根的分布进行求解即可.

【详解】

当%>0时，r(x)一(l一产),

X

由/'(%)>。得：1-Znr>0,解得0<x<e,

由广(x)<0得：l-lnx<0,解得x〉e,

即当x=e时，函数/(尤)取得极大值，同时也是最大值，f(e)=1,

当xf+co,/(x)fO,

当x90,/(x)f—8,

作出函数/(x)的图象如图,

设f=/(x),

由图象知，当/>1或/<0,方程r=/(x)有一个根，

当/=0或7=1时，方程f=/(x)有2个根，

当0</<1时，方程t=/(x)有3个根，

则g(x)=f(x)-(2m-1)/(%)+2,等价为/7⑺=/-(2加-1V+2,

当t=0时,飘0)=2*0,

二若函数g(£)恰有4个零点，

则等价为函数〃⑺=产-(2相-)+2有两个零点，满足f〉l或0。<1,

7/(0)=2>0

则⑴<0,

即%(1)=l-2m+l+2=4-2/n<0

解得：m>2,

故答案为：m>2

【点睛】

本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及.求的导数，研究函数的7(x)的单

调性和极值是解决本题的关键，属于难题.

14、—2〃+n

【解析】

利用邑-区=-4求出公差d,结合等差数列的通项公式可求an.

95

【详解】

设公差为d,因为之一*=—4,所以4d—2d=T,即d=—2.

以Un—+("—V)d—9—2("—1)=—2〃+11.

故答案为：—2〃+11

【点睛】

本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用等差数列的基本量是求解这类问题的通性通法，侧重考查数学运算的核

心素养.

15、8.

【解析】

试题分析：由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积=一——•二一:二

体积一二｝X-K-，故填："-，♦，S.

考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积.

16>36

【解析】

只要算出直三棱柱的棱长即可，在AO。/中，利用0142+。1。2=。42即可得到关于x的方程，解方程即可解决.

【详解】

由已知，4万代=28万，解得R=S，如图所示，设底面等边三角形中心为。।,

直三棱柱的棱长为x,则«A=#x，(91<9=1x,故aA2+ao2=042=R2=7,

22

即土+上=7,解得x=2退，故三棱柱的侧面积为3必=36.

34

故答案为：36.

【点睛】

本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析；(2)证明见解析；

【解析】

(1)推导出由"是AB的中点，能证明。是有中点.

(2)作于点N,推导出CNL平面从而。VLAB,由能证明平面PMC,由

此能证明平面ABC±平面PMC.

【详解】

证明：(1)在三棱锥P—A5C中，

〃平面PAC,平面RLBc平面B4C=E4,

"Du平面/

:.MD//PA,

在AB钻中，M是AB的中点，二。是BP有中点.

(2)在三棱锥P-ABC中，ACBM是锐角三角形，

二在ACPM中，可作CNLPM于点N,

平面平面PMC,平面QABc平面=

CNu平面PMC,CWJ_平面R4B,

ABu平面？AB,:.CN±AB,

ABYPC,CN\PC=C,

r.A6_L平面PMC,

ABu平面C4B,二平面ABCJ_平面PMC.

【点睛】

本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算

求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.

18、(1)极小值为一2,极大值为—ln2—工.(2)(—co,—1710]

【解析】

(1)根据斜线的斜率即可求得参数。，再对函数求导，即可求得函数的极值；

(2)根据题意，对目标式进行变形，构造函数/z(x)=/(x)-%，根据曲%)是单调减函数，分离参数，求函数的最

值即可求得结果.

【详解】

(1)函数/(%)=111%+。》2-3苫的定义域为(0,+00),

f\x)=-+2ax-3,尸⑴=l+2a-3=0,=l,

Xa

可知/(x)=lnx+%2—3x,f'(x)=-+2x-3=2x~3x+1=o,

XX

解得X1=l,x2=-,

一2

可知在(L+8)时，f'(x)>0,函数尤)单调递增，

在xeg1时，f'(x)<0,函数/Xx)单调递减，

可知函数的极小值为/(I)=In1+1-3=-2,

极大值为/=In：+=_In2-g.

1^2)2424

，?

(2)/(x1)-/(x2)>-^—以可以变形为/(斗)一/(々)〉丝一巴，

马石再入2

可得/(%)一三>/(&)-?,

可知函数/(X)-生在［1,10］上单调递减

X

h(x)=/(%)--=In%+x2-3x~—,

xx

Ivn

〃(x)=—+2x—3+-yV0,

XX

可得根K—2x3+3x2—x，

设厂0)=-2犬+3/—》,

/(x)=-6%2+6x-l=+；<0,

可知函数F(x)在［1,10］单调递减，

斤(%)而°=F(10)=-2X103+3X102-10=-1710,

可知加W—1710,

可知参数机的取值范围为(—，-1710］.

【点睛】

本题考查由切线的斜率求参数的值，以及对具体函数极值的求解，涉及构造函数法，以及利用导数求函数的值域；第

二问的难点在于对目标式的变形，属综合性中档题.

19、(1)(i)填表见解析3)没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”(2)详见解析

【解析】

(1)⑴由已给数据可完成列联表，(ii)计算出K?后可得；

(2)由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为J的取值为0』,2,3,3,j1由二项分布

概率公式计算出各概率得分布列，由期望公式计算期望.

【详解】

解⑴⑺

非运动达

运动达人总计

人

男352560

女142640

总计4951100

⑴由2x2列联表得k10°X(35><26-14x25)2

-5.229<6.635

所以没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”

2

(2)由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为.

，网-）=喟］欢=04,2,3

易知。〜

所以4的分布列为

40123

125150408

P

343343343343

…C125,150c40c86

=Ox----nix----i-2x----H3X-----

343343343343-7,

【点睛】

2

本题考查列联表,考查独立性检验,考查随机变量的概率分布列和期望.属于中档题.本题难点在于认识到J~B(3,y).

20、(I)详见解析;(II)45°.

【解析】

(I)由余弦定理解得AC,即可得到ACL8C,由面面垂直的性质可得AC,平面即可得到

从而得证；

(II)在平面中，过点E作石5c于点。，则。平面ABC,如图所示建立空间直角坐标系，设

A(-a,V3,O),E(O,O,Z7),其中0＜。＜1］＞0,利用空间向量法得到二面角的余弦，即可得到。力的关系，从而得

解；

【详解】

解：（I）证明：在AABC中，AC-=BC2+AB7-2BC-cosZABC»解得AC=6,

则=.2,从而ACLBC

因为平面平面ABC,平面BCDEc平面ABC=BC

所以AC,平面3CDE,

又因为BEu平面BCDE,

所以

因为BELEC,ACCE=C,ACu平面ACE,CEu平面ACE,所以Ml平面ACE；

(II)解：在平面BCDE中，过点E作石O_15c于点。，则。平面ABC,如图所示建立空间直角坐标系，设

A(_a,G,o),E(o,os),其中0＜。＜1］〉0,则

3(1—a,0,0),3A=(—1，百,0),3E=(a—1,0力)

设平面ABE的法向量为m=(x,y,z),则

BA-m=0—x+y/3y=0

,即

BE-m=0(a-l)x+6z=0

(

令y=i,则m=#i,i,

又平面ABC的一个法向量O£=(0,0力)，则

四2

/人口\m-OE叵

cos(m-OE)=।-----1

'1\m\n-\OE\7

从而b=l—a,故NEBO=45°=NECB

则直线CE与平面ABC