圆与二次函数结合型压轴题（学生版）-2024年中考数学重难点

圜与二次函数结合型度轴题专题

知识剖析

通用的解题思路：

一、点在圆上的使用技巧,①没告诉半短，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可以表示出半径的长度;②告

诉半径,18上的点到圆心的距离等于半径这个等找关系可以求出一个参数。

二、判断直线与圆的位置关系的标准流程:第一步，利用圆上的点到圆心的距离等于半径表示出半径r,第二

步，表示出圆心到直线的距离原第三步，比较半径r和距离d的大小:若半径r＞距离d,则直线与圆相交，若

半径r=距离原则直线与圆相切,若半径r＜距离d,则直线与圆相离。

三、记直线I被圆。检得的弦长为爵目的常用方法

弦长公式:48=2拧二？

经典例题

:题目Q（长沙中考）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，aR0）的对称轴为y轴,且经过（0,0）和

（瓶，上）两点,点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的。P总经过定点4（0,2）.

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⑴求a,6,c的值；

（2）求证:在点P运动的过程中，。P始终与①轴相交；

⑶设。P与2轴相交于M（X1,0）,N（M，0）（0＜g）两点，当A4MN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐

标.

•••

［题目2j（岳麓区校级月考）如图，已知直线/：g=-1和抛物线L：y=ax\bx+c（aW0），抛物线乙的顶点为

原点,且经过点A，直线n=k岔+1与n轴交于点尸，与抛物线L交于点_8（%1,%）,C（力2，纺），且61

〈62・

（1）求抛物线L的解析式；

（2）点P是抛物线刀上一动点.

①以点P为圆心，PF为半径作。P,试判断。P与直线Z的位置关系，并说明理由；

②若点Q（2,3）,当|PQ—PF|的值最大时，求点P的坐标；

（3）求证:无论k为何值，直线Z总是与以为直径的圆相切.

S1图2

,题目区在平面直角坐标系吟/中，已知二次函数+皿+九的图象经过点42,0）和点3（1,号）,

⑴求该二次函数的表达式；

（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标yi随时间t（t>0）的变化规律为仅

=一；+2九现以线段QP为直径作。C.

①当点P在起始位置点B处时，试判断直线Z与。。的位置关系,并说明理由；在点P运动的过程中，直线

Z与。。是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由.

②若在点P开始运动的同时,直线，也向上平行移动,且垂足Q的纵坐标纺随时间t的变化规律为物=—1

+3t,则当t在什么范围内变化时，直线，与。。相交？此时,若直线I被0。所截得的弦长为a,试求a2的

最大值.

题目区（长沙中考）如图半径分别为小，"（0＜小＜九）的两圆0O1和0。2相交于P，Q两点，且点P（4,1），

两圆同时与两坐标轴相切，。Oi与2轴，y轴分别切于点M，点N,。。?与加轴，“轴分别切于点五，点笈・

（1）求两圆的圆心。1，。2所在直线的解析式；

（2）求两圆的圆心Q,Q之间的距离d；

（3）令四边形POXQO2的面积为8,四边形RMOQ2的面积为S2.

试探究：是否存在一条经过P,Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为国N的抛物线？若存在，

V2d

请求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

题目回（广益）如图1,已知一次函数g=-c+4与反比例函数沙=旦相交于P,Q两点（P在Q的右侧）.

X

（1）求P,Q的坐标并写出△OPQ的面积；

（2）如图2,已知M（m,rn）,N（n,九），其中（0VmVn）,若分别以7W,N为圆心的圆均与c轴相切，切点分

别为4B,并且点P既在。河上又在。N上.

①求直线的解析式；

②求出线段AW的长度d；

2

（3）在（2）的前提上,记四边形PMQN的面积为S1，四边形AMNB的面积为S2,已知抛物线y=ax+bx+

c满足两个条件：①经过点P和点Q,②该抛物线截立轴得到的线段长度为色盘,请求出抛物线二次项系

a

数a的值.

图1图2

2

题目回已知：如图,抛物线y=ax+bx+c（a丰O）经过X轴上的两点A（g,0）、B（x2,0）和夕轴上的点C

（0,-y）,©P的圆心P在"轴上，且经过B、C两点，若6=图，AB=2』,

（1）求抛物线的解析式；

（2）设。在抛物线上，且C,。两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P,并说明理由；

（3）设直线BD交。P于另一点E,求经过H点的。P的切线的解析式.

题目力（青竹湖）定义:如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁,称之为直线与

曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点.

（1）如图,在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，以点40,一3）为圆心，5为半径作圆A,交①轴的负半轴

于点求过点B的圆人的切线的解析式；

（2）若抛物线g=a/gw0）与直线9=上/+6（%£。）相切于点（2,2）,求直线的解析式；

（3）若函数g=；/+（n—k—1）力+m+fc—2的图象与直线相切，且当一1＜九42时，zn的最小值

为k,求k的值.

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目8J（麓山国际）如图，经过定点A的直线沙=—2）+1（A:<0）交抛物线y=——+42；于。两点（点

。在点B的右侧），D为抛物线的顶点.

⑴直接写出点A的坐标；

⑵如图（1）,若△ACD的面积是面积的两倍，求％的值；

⑶如图⑵，以AC为直径作。E,若0E与直线9=力所截的弦长恒为定值，求力的值.

图⑴图（2）

题目包（长郡）如图,在平面直角坐标系中,点”的坐标是（5,4）,0M与y轴相切于点。，与c轴相交于A、

B两点.

（1）分别求A、B、。三点的坐标；

（2）如图1,设经过4B两点的抛物线解析式为y=5/+%,它的顶点为E,求证:直线EA与。河相

切；

（3）如图2,过点M作直线FG〃;y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点（不与3、F重

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合），连接FP、AP,FN_LBP的延长线于点N.请问P是否为定值，若为定值,请求出这个值，若

不为定值,请说明理由.

图1图2

题目®（长郡）如图1,抛物线y=*—2,与2轴交于O、A两点,点B为抛物线的顶点,连接OB.

⑴求乙4OB的度数；

（2）如图2,以点A