2024年高考数学一模试题分类汇编：立体几何（解析版）（广东专用）

专题09立体几何

题型01几何体表面积和体积

1.（2024下•广东湛江•高三一模）中国是瓷器的故乡，中国瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟

大贡献.下图是明清时期的一件圆台形青花缠枝纹大花盆，其上口直径为20cm,下底直径为18cm,

高为24cm,则其容积约为（）

A.1448兀cm3B.16687icm3C.216871cm3D.3252兀cm3

【答案】C

【解析】

【详解】依题意可得该圆台形大花盆的上底面面积为H=100兀cn?,

下底面面积为S?=81兀cn?,又高为力二24cm,

代入圆台体积公式可得%=+$2+而区=216871cm3.

故选：C

2.（2024下•广东大湾区•校联考模拟预测）在各棱长都为2的正四棱锥％-48CD中，侧棱以

在平面EBC上的射影长度为（）

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',巫B."C.V3D.2

33

【答案】B

【解析】

【详解】把正四棱锥ABCD放入正四棱柱ABCD-44GA中,

则K是上底面的中心，取4片的中点E，G2的中点R

连接E尸，BE,CF,过/作/G_L8E,垂足为G,

在正四棱柱45cL>—44GA中，

BC1平面4BB4,ZGu平面4BB4,

所以5C_L/G,又BCCBE=B,BC,BEu平面EFCB,

所以ZGJ_平面EFCB,所以侧棱VA在平面EBC上的射影为VG,

由已知得，AA、=G,EB=[/+[F]=6，

所以=；*2义正=；xe./G2V2

所以ZG=

所以〃G=J/—NG2

故选：B.

3.(2024下•广东•省一模)分别以锐角三角形/5C的边N3,BC,/C为旋转轴旋转一周后得到

的几何体体积之比为6：指：2,则cos8=()

5735A/2

Nc3V|V6

1212'丁~12

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【答案】c

【解析】

【详解】设43边上的高为CD=X,以边N8,BC,4C为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积分

别为匕，匕，匕,

则工以.。85由。=128/,可得x=a.C'sinC

22AB

可得：匕=。.3+小2皿=皿6能0

333AB

nAB2-AC2-sin2AnAB2-BC2B

，匕=

3BC3AC

,7tC^2-C52-sin2C7L4B2-AC2-sin2A

由题意可得：-------------------:--------------------处』=8行.2

3AB3BC3AC

整理得/。=注/民3。=Jas,

22

所以诙5=坐上二贮=还

2AB-BC8

故选：C.

4.（2024下广东广州市一模）已知正四棱台4BCD-的上,下底面边长分别为1和2,且

AB］则该棱台的体积为（）

n7行77

D.-------------C.一D.-

662

【答案】B

【解析】设上、下底面中心分别为。,。1，班1与">1交于点M">=应出A=2近,

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MO=-BD=—,MOi=-B,D1=V2,/z=—,K=-（1+4+2）•—=,选B.

22121123、726

5.（2024下•广东•梅州市一模）已知圆锥的顶点为S,。为底面圆心，母线1s4与SB互相垂直,

△S4B的面积为8,皮与圆锥底面所成的角为30。，则（）

A.圆锥的高为1B.圆锥的体积为24兀

C.圆锥侧面展开图的圆心角为哀况

3

D.二面角S—48—0的大小为45°

【答案】D

【解析】

【详解】对于A选项，因为SO与底面垂直，为底面圆的一条半径，则SOLCM,

所以，1s4与圆锥底面所成的角为NS4O=30°，

又因为所以，△S4B的面积为一£4-S3=—X"2=8,解得”=4,

22

所以，该圆锥的高为SO=S4-sin30°=4x^=2,A错;

2

对于B选项，该圆锥的底面半径为Q4=S4-cos30°=4x3=26，

2

故该圆锥的体积为「=31兀*。42*5。=51兀、（2百）2x2=8兀，B错；

对于C选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为，，

底面圆周长为2兀x/O=，则，=4拒兀=，也"=6兀,C错；

SA4

对于D选项，取48的中点E,连接。£、SE,

因为£4=S8,E为Z5的中点，则由垂径定理可得OE，N8,

所以，二面角S—45—。的平面角为NSEO,

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因为SO_L平面。4£,。£<=平面/。8，则SOJ_O£,

因为&4,SB,SA=SB,则△S4B为等腰直角三角形,

则N5=JS42+s§2=(42+42=4也，所以，SE=^AB=242,

2_V2

所以，sinZSEO=—

SE2行一2

因为0°VNSEOW90。，故NSEO=45°，所以，二面角S—48—。的大小为45°，D对.

故选：D.

6.（2024下•广东•珠海模拟）（多选）对于棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略

不计），下列说法正确的是（）

A.底面半径为1m,高为2m的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体

B.以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为注

2

C.该正方体内能同时整体放入两个底面半径为0.5m,高为0.7m的圆锥

D.该正方体内能整体放入一个体积为叵n?的圆锥

17

【解析】BCD.对于A,若高为2m的圆锥形罩子刚能覆盖水平放置的正方体，考虑圆锥的轴截面,

如图，BC=C，因为△4BCS^4DE,所以生=工，所以DE=2也，圆锥底面圆半径最

DE2

小为A错误；

对于B,如图，以48,4D三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为平面&助，等价于求45

与平面48。所成角的正切值，因为右一4助=/T&D，所以点Z到平面48。的距离为日,正切

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41

三，B正确;

0.

4鸟

对于C,如图，以矩形ABQQ的中心为圆锥底面圆圆心，半径为0.5,分别以441,CG的中点E，

R为两个圆锥的顶点，每个圆锥高的最大值为在〉0.7,C正确;

2

对于D,如图，ZG的中点尸作垂线”乂，分别交4C，4G于点〃，N,则

PM=AP.tan/CiAC=g义与='，以正方体的体对角线ZC；作为圆锥的轴，0为圆锥顶

点，跖V为圆锥底面圆的直径时，该圆锥的体积为

K（x）=|nxPM2xCP=

1—71,D正确.

17

事实上，以正方体的体对角线zq作为轴，q为顶点的圆锥的体积最大值，显然底面圆心尸在线

段幺尸上（不含尸点），设ZG=x,当GI与MN（M为/C的四等分点）重合时，MP=NP,

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3、历ZG

因此0<x<土，因为所以=AH=GH,则z笈=*x，

4ZC]ACCQ3

GH=-^-xC[H=M一^~x，圆锥体积厂(x)=4兀xGT/?xv?1--^-x

333913)

(0<x<£l),X(x)="x(2—岳)〉0,所以忆(x)在。，手上单调递增，体积的最大

49V

(3⑨V3V3

值为「工一=—7i>—7i,D正确.

7.（2024下•广东大湾区•校联考模拟预测）如图是一个正四棱台43co-44GA，已知正四棱台

的上、下底面的边长分别为2和6,体积为竺迪，则侧面积为

【答案】3273

【解析】

【详解】设该正四棱台的高、斜高分别为〃，h',

所以正四棱台侧面积为S=4义出生述=32百.

故答案为：32G.

8.（2024下•广东•江门一模）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相

同的四面体得到的（如图），则该几何体共有个面；若被截正方体的棱长是60cm,那

么该几何体的表面积是cm2.

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【答案】14②.10800+360073

【解析】

【详解】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，

再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；

如果被截正方体的棱长是60cm,那么石凳的表面积是

5=8x1x30A/2x30V2xsin60°+6x30^x30^=（10800+36002）,

故答案为：14,10800+3600百

题型02球外接球和内切球

1.（2024下•广东•深圳市一模）已知某圆台的上、下底面半径分别为小々，且弓=2、若半径为

2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）

28兀407r56兀112兀

A---B.---C.——D.----

,3333

【答案】C

【解析】

【详解】如图，

设圆台上、下底面圆心分别为则圆台内切球的球心。一定在的中点处，

设球。与母线4B切于M点，所以所以＜W=OO]=。。2=2，

所以AZOO]与全等，所以ZM=不同理8M=々，所以45=八+4=3勺，

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过/作ZGL8O2,垂足为G,则3G=々—7[=i，AG=Op,=A,

所以/G2=/B2一BG2,所以16=（3八『―片=的2,所以外=也，所以々=2近,

所以该圆台的体积为;（2兀+8兀+4兀）x4=等.

故选：C

2.（2024下•广东湛江•高三一模）（多选）在直三棱柱Z5C-44cl中，ABIBC,AB=2BB1=4,

BC=3,",N分别为Bq和CG的中点，尸为棱用C上的一点，且PCJ_PM,则下列选项中正

确的有（）

A.三棱柱44。存在内切球

B.直线"N被三棱柱48C-44G的外接球截得的线段长为JR

C.点尸在棱片G上的位置唯一确定

D.四面体ZCW的外接球的表面积为26兀

【答案】ABD

【解析】

【详解】对于A,取棱Z4中点。，连接MQ,NQ,

若三棱柱4BC-44cl存在内切球，则三棱柱4BC-44cl内切球球心即为△跖V。的内切圆圆

心，

•.•△•V。的内切圆半径即为一5。的内切圆半径，又AB_LBC,AB=4,BC=3,

0xx4xa

.-.AC=5,:.AABC的内切圆半径y=2s:=2=］，

r~AB+BC+AC~4+3+5—

即△跖V。的内切圆半径为1,

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又平面4SC、平面48cl到平面儿WQ的距离均为1,

二.三棱柱45C-44G存在内切球，内切球半径为1,A正确；

对于B,取ZC中点G,NQ中点。，MN中点、H,连接5G,0G,0〃,5C，05],

ABIBC,，G为AA8C的外接圆圆心，又OGIIAAJIBB、,8耳，平面Z5C,

0为三棱柱ABC-A^Q的外接球的球心；

•.•8月，平面/8。，ABu平面4BC,：.BBl上AB,

又ABLBC,BBQBC=B,88],8。匚平面5。。啰1，.:281平面5。。]81，

VOHHMQHAB,OHI平面BCCXBX,H为四边形BCC^的外接圆圆心，

•••四边形BCCNi为矩形，

:•直线MN被三棱柱ABC-4耳G截得的线段长即为矩形BCCXBX的外接圆直径，

■/B.C=^BC2+BB^=V9+4=岳，：.直线MN被三棱柱ABC-481G截得的线段长为岳，

B正确；

对于c,在平面中作出矩形5cq与，

设GP=M(0＜加＜3),则5/=3-加，

PC2=4+m2＞MP2=l+(3-m)2,MC2=32+12=10.

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又PCLPM,：,PC2+PM-=MC2）即4+掰2+1+（3—加）2=10,

解得：加=1或加=2,.•.0为棱用G的三等分点，不是唯一确定的，c错误；

对于D,取MC中点S,

•rPCLPM,.:S为△PCM的外接圆圆心，且55==加。=：）为+12=叵，

222

则四面体ACMP的外接球球心。在过S且垂直于平面PCM的直线上，

■二/台,平面73。/,平面PCA/,

设05=。，四面体ZCW的外接球半径为火'，

.-.7?,2=f—+/=（a]+（4—of,解得：a=2,R'2=—,

22v'2

\7\7

，四面体ACMP的外接球表面积为4兀氏”=26兀，D正确.

故选：ABD.

3.（2024下•广东珠海•模拟）（多选）如图，已知正三棱台ABC-4/的的上、下底面边长分别为2

和6,侧棱长为4,点P在侧面BCC/i内运动（包含边界），且AP与平面BCC/i所成角的正切值为

2加，点Q为CCi上一点，且&=3百，则下列结论中正确的有（）

A.正三棱台48。一4/1r的高为苧

B.点P的轨迹长度为旧兀

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C.高为包，底面圆的半径为它的圆柱可以放在棱台内

36

D.过点4B,Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为多

【答案】ACD

【详解】延长正三棱台侧棱相交于点。，由题意可知：0A=OB=0C,

在等腰梯形中，因为BC=6,8©=2,BBX=CC1=4,贝1kBiBC=NgCB=60。.

即AOBC为等边三角形，可知三棱锥。—力BC为正四面体，且。当=2.

对于选项A：设H为等边AOBC的中心，

由正四面体的性质可知：AH1侧面。8C,且a”=,一偌J=2逐，

即。点到底面A8C的距离为2伤，

又因为。/=2,BBi=4,所以正三棱台力BC—4出的的高为：义2遥=壁，故A正确;

对于选项B：因为力P与平面BCCiBi所成角的正切值为2vL

即tan/APH——==2a,解得HP=V3,

HPHP

且等边AOBC的内切圆半径r=V3,

可知点P的轨迹为等边AOBC的内切圆，所以点P的轨迹长度为2旧11,故B错误；

对于选项C：因为正三棱台力BC-4/1的的高量，且的内切圆半径为渔〉渔，

336

所以高为延，底面圆的半径为它的圆柱可以放在棱台内，故C正确；

36

对于选项D：设正四面体。-Z8C的内切球半径r,

由等体积法可得：[SA4BCX2乃=4x]s”B「r，解得r=--

因为2r＜延，则该棱台内最大的球即为正四面体。-ABC的内切球.

3

又因为我=3西\CCi=4,OC=6,

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则Q为。C的中点，过点4B,Q的平面正好过该内切球的球心,

2

TT=—故D正确.

2

故选：ACD.

4.（2024下•广东•深圳市一模）（多选）如图，八面体。的每一个面都是边长为4的正三角形,

且顶点B,C,D,E在同一个平面内.若点M在四边形8CDE内（包含边界）运动，N为的中

点，贝I（）

TT

A.当"为。E的中点时，异面直线跖V与C9所成角为］

B.当人W〃平面/CD时，点M的轨迹长度为2a

C.当时，点M到5C的距离可能为G

D.存在一个体积为”的圆柱体可整体放入。内

3

【答案】ACD

【解析】

因为8CDE为正方形，连接BD马CE,相交于点°,连接则O£>,OE,两两垂直,

故以为正交基地,建立如图所示的空间直角坐标系,

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D(20O,O)B(-2也,0,0)E(0,2A/2,0)C(0,-272,0)Z(0,0,20)F(0,0,-2A/2)

，，，，，

N为的中点，则N(0,亚,亚),

当M为DE的中点时，,雨八-叵。，吟,赤=(0,2"-2班)，

cos"cos/丽CF\\--吞-l0+0-4l-1

\5/r丽唇|2

设异面直线"N与5所成角为夕，।II।

0e(O,-]0=-

2,故3,A正确；

设尸为DE的中点，N为/£的中点，则PN〃N£>,NDu平面/CD,尸N<Z平面4G0,

则PN〃平面/CD,又上W〃平面/CD,又MNcPN=N,设。

故平面MVP〃平面/CO,平面NC©n平面BCD£=CO,

平面MVPD平面8cDE=P。，^,jPQ//CD,则。为的中点，

点河在四边形8CDE内(包含边界)运动，则MePQ,

点M的轨迹是过点。与3平行的线段尸0,长度为4,B不正确；

当阪时，设M(x/，0),MA=(-x,-y,26),ME=(-x,2C-y,0),

2

MA-ME=x+y(y-2A/2)=0；得》2+72_2向=0,即丁+^一行了二？，

即点”的轨迹以°£中点K为圆心，半径为血的圆在四边5CDE内(包含边界)的一段弧(如

下图)，

K到的距离为3,弧上的点到的距离最小值为3-血，

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因为3一行〈行，所以存在点M到的距离为百，c正确;

由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥力一BCD£内接最大圆柱的体积，

设圆柱底面半径为人高为h,P为DE的中点，。为8C的中点，「2=4,AO=2y/2t

GHAGr

根据A/GH相似ANOP,得OPAO,即22V2,h=®2-r),

则圆柱体积联.〃=五兀/QT),

设外打=亚万(2/—/)(o(尸<2),求导得『&)=也万(4「—3/),

_4_4

令片&)=°得，'3或〃=0,因为0<厂<2,所以尸=0舍去，即’3,

I八1V*y<*4_4,y

当3时，『⑺>0,当3时，广&)<0,

_432正

即§时修有极大值也是最大值，%有最大值27,

32正596收-135也6°x2-任亨戊8432—♦8225八32行5

273272727，故273

10万

所以存在一个体积为3的圆柱体可整体放入。内，D正确.

故选：ACD.

5.(2024下•广东・番禺)三棱锥A-BCD中，ZABC=ZCBD=ZDBA=60°，BC=BD=2,点、E

第15页共54页

为CD中点，的面积为2血，则与平面BCD所成角的正弦值为，此三棱锥外接

球的体积为.

【答案】①.逅②.逝

33

【解析】

【详解】设NOJ_平面5cD,垂足为0,如图，

A

过。作0EL8C于点过。作0GL3Z）于G,连接NE,ZG,

由平面BCD,BCu平面BCD,得A0上BC,

又OFcAO=0,平面4F。，BCJ,平面4F0,

4Fu平面4F0,得4F人BC,同理/GLBD,

从而AABFQABGQBFO均为直角三角形，

AABC=ZCBD=ZDBA=60°>BC=BD=2,

：.OF=OG,则。在NCB。的平分线BE上，易知48与平面BCD所成角即为/Z8E.

BFBOBF

***cos/4BC-,cos/4BE-,cos/EBC-,

ABABBO

cos/ABC=cos/ABEcosZEBC,

又/ABC=60°,ZEBC=30°,

:.cosZABE=—，即sinN48E=Y6，则N3与平面BCD所成角的正弦值为逅，

333

又BE=&SABE=L-&B-BE-sinNABE=26,解得23=4,

又ZABC=NABD=60°,BC=BD=2,

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=12.

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:.AC2+BC2=AB2，同理=2^2,

ZACB=ZADB=90°，.：AB为外接球直径，

二三棱锥外接球的体积为手■•(g)3=■

故答案为：逅，出.

33

6.(2024下•广东•茂名市一模)如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化

而努力奋斗的真实写照.被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层3个，上层1个，两两相切.若球

的半径都为。，则上层的最高点离平台的距离为.

【解析】

【详解】依次连接四个球的球心则四面体。2。3。4为正四面体，且边长为2a,

o

正AQCQ外接圆半径r=|(92(93sin60,则。।到底面020304的距离

h=1(2a)2-12=2,a，

所以最高点到平台的距离为+=

33

276+6

故答案为:------------a

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。1

Q

题型03点、线、面位置关系

1.（2024下・广东・番禺）已知直线///平面平面夕，平面a,则以下关于直线/与平面尸的位

置关系的表述（）

A./与月不平行B./与£不相交

C./不在平面月上D./在月上，与万平行，与尸相交都有可能

【答案】D

【解析】

【详解】如图所示，正方体48CD—44GA中，易知平面48CD1平面CDRC，

不妨设a为平面48C2"为平面CDDG,

又可知&B"/a//£,所以当/=4用时，/与月平行；

AXDJla,AiD^/3=Dx,所以当/=44时，/与月相交;

C\DJIaf[D[U0,所以当/=G。时，/在月内.

故选：D.

2.（2024下•广东深圳•联考）设6为两条不同的直线，％尸为两个不同的平面，下列说法正确的是

（）

A.若。〃a,6//a,贝i]a//bB.若。,6与&所成的角相等，贝

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C.若a_L尸,a//〃万，则D.若a_L_L_L尸，则"_L「

【答案】D

【详解】对于A,平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误，

对于B,见6与。所成的角相等，则°力可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误，

对于C,a,bI]B,贝产/可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误，

对于D,aLB,aLO/3,贝仃,石，D正确，

故选：D

3.（2024下•广东广州•模拟）设私凡/是三条不同的直线，名夕是两个不同的平面，则下列说法中正

确的是（）

A.若/_L冽,/_L%加u尸,〃u，，贝B.若相〃。，冽〃"，贝！j〃〃a

C.若m〃n,n1（3,mua,则。_LQD.若加〃夕,〃〃夕，%uua,贝!Ja〃6

【答案】C

【详解】A.如果私〃是平行直线，那么/与0不一定垂直，故A错误；

B.若冽〃a,机〃“，贝ij"〃a或〃ua,故B错误；

C.若冽〃〃/，"，则若mua,则故C正确；

D.若私”是平行直线，则。与万有可能不平行，故D错误.

故选：C

4.（2024下•广东惠州・模拟）已知/,根是两条不同的直线，a为平面，inua,下列说法中正确的

是（）

A.若/与。不平行，贝!1/与冽一定是异面直线

B.若/〃a,贝！J/与冽可能垂直

C.若/Cla=4,且/g加，贝!J/与加可能平行

D.若/口。=/,且/与。不垂直，则/与加一定不垂直

【答案】B

【详解】对于选项A：若I与。不平行，则I与。的位置关系有：相交或直线在平面内，

且加ua,贝lj|与m的位置关系有：平行、相交或异面，故A错误；

对于选项B：若/〃。，则I与m可能垂直，

如图所示：/〃/'/ua/可知：机，故B正确；

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对于选项C：若/Ca=/,且/£加，mua,则|与m异面，故C错误;

对于选项D：若/口£=/,且|与。不垂直，则I与m可能垂直,

如图，取a为平面48。，/二/鼻川二48,

符合题意，但“加，故D错误;

故选：B.

5.（2024下•广东・广州天河区一模）（多选）己知掰,〃是不同的直线，生尸是不重合的平面，则下

列命题为真命题的是（）

A,若加//则加//n

B.若加民加//〃，则a///?

C,若a//团加ua,则加///?

D.若aI//3,mua,nu/3,则加//〃

【答案】BC

【解析】

【详解】对于A,当加//a,〃ua时，加，〃有可能异面，故A错误；

对于B,因为加_L_1_尸，

所以加，〃对应的方向向量加深分别是a,尸的法向量，

又加//〃，所以石〃几所以。//月，故B正确；

对于C,因为a///?,加ua,由面面平行的性质易知加//月，故C正确;

对于D,当a11/3,mua,〃uB时,加，〃有可能异面，故D错误.

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故选：BC.

6.（2024下•广东•梅州市一模）（多选）已知直线加，〃和平面,且"ua,则下列条件

中，P是4的充分不必要条件的是（）

Ap'.m//a,q'.m//nB.p'.mLa,q'.mLn

C.p\a//P,q:n//PD.p'.nLp,q:aL/3

【答案】BCD

【解析】

【详解】A：若优〃a,〃ua,则直线加，〃可能平行或异面，所以P不能推出/故A错误；

B：若）：加_L（z,则直线"?垂直于平面a的每一条直线，又〃ua,所以q:掰，〃成立，

但若q:加，〃成立，根据线面垂直的判定，还需在平面a找一条与〃相交的直线，且加不在平面a

内，故g不能推出°,故B正确；

C：若）：a〃夕，且“ua,由面面平行的性质可知，q:n〃B成立;反之，由线面平行的判定

可知当4：〃〃，，不能推出）：a〃夕，故C正确；

D：若）：〃_!_/?,且"ua,由面面垂直的判定定理可知q:a_1_/成立；反之，若q:a_L夕，且

〃ua,则直线”与平面月可能成任意角度，故D正确.

故选：BCD.

题型04空间直线、平面的平行

1.（2024下•广东•百校联考）（多选）如图，在长方体488—48CQ中，4B=BC=2,'4=4,

E是棱8四上的一点，点R在棱上，则下列结论正确的是（）

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A.若4，c,E,E四点共面，则=

B.存在点E,使得AD//平面A.CE

c.若4,c,E,尸四点共面，则四棱锥G-4ECE的体积为定值

D.若E为A8］的中点，则三棱锥£-4。。的外接球的表面积是32兀

【答案】BCD

【解析】

【详解】对A,由4，C,E,尸四点共面，得CF//&E,则=用£,

若E不是棱5片的中点，则尸，故A错误.

对B,当E是棱3片的中点时，取4c的中点G,连接GE,8Q,则G为耳。的中点.

因为E为8片的中点，则G£//5£).

因为G£u平面4CE,8Da平面&CE,所以5。//平面&CE,则B正确.

根据长方体性质知BBJ/CQ,且C£u平面&CG,AS1•平面&CG,

所以3片//平面ZCG，同理可得DDJ/平面4CG，

则点E,F到平面4CG的距离为定值，

又因为△&CG的面积为定值，所以三棱锥E-4CG和三棱锥/-&CG的体积都为定值,

则四棱锥G-4EC下的体积为定值，故C正确.

取棱CG的中点。「由题中数据可得CE=GE=2后,CG=4,

则。炉+。也2=cc；,所以ACGE为等腰直角三角形，所以。是ACGE外接圆的圆心，

△CQE外接圆的半径r=2.设三棱锥E-AXCCX的外按球的球心为0,

半径为R,设。a=d,则氏2=废+/=@耳+(4用一内2=8+(2—d)2,

即/+4=8+(2—dp,解得d=2,贝！JR2=8,此时。点位于。A中点，

从而三棱锥E-4CG的外接球的表面积是4成2=32兀，故D正确.

故选：BCD.

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2.（2024下•广东•省一模）（多选）己知正方体48CD-44GA的各个顶点都在表面积为3兀的

球面上，点尸为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是（）

A.有无数个点P,使得4P//平面BDC,

B.有无数个点尸，使得4P1平面AD。

C.若点尸©平面8CG四，则四棱锥P-45CD的体积的最大值为立卫

6

D.若点Pe平面BCC^,则AP+PCA的最大值为76

【答案】ACD

【解析】

【详解】令正方体ABCD-44GA的外接球半径为r,4/=3兀，「=等，则叫=百/8=1,

连接481,NR,由四边形是该正方体的对角面，得四边形是矩形,

即有ADJ/BC{,而Bqu平面BDC],ADt0平面BDQ,则ADJ/平面BDQ,

同理/4〃平面BDG,又451n40]=A,ABl,ADiu平面力4口，

因此平面4812//平面BO。，令平面482截球面所得截面小圆为圆”，

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对圆M上任意一点(除点A外)均有4P//平面B£»G，A正确;

对于B,过A与平面8DG垂直的直线么尸仅有一条，这样的尸点至多一个，B错误；

对于C,平面BCqg截球面为圆R,圆R的半径为注，则圆R上的点到底面45CD的距离的最

2

大值为克里，

2

因此四棱锥P—45CD的体积的最大值为‘义1义正史=立土1,C正确；

326

对于D,显然481平面3。。田1，在平面BCG片内建立平面直角坐标系，如图，

口Pj1111

令点尸(——cos。,——sin6)，而3(-5，-5),。1(不,不),

222222

cos6>+^)2+(^-sin1-)2=^2+^-(sin6*+cos6>)，

因此4?=

V212zV2.121/-2/y

PJ=-y-cos6^--)+(-^-sm0--)=J1—(sin8+cosd)，令一^-(sin6+cos。)=x,

A.P+PC]—+x+y/\—x-=芯,当且仅

当％=—L取等号,

2

此时^^(sin6+cos。)=—■即sin(8+7)=—§，因此/尸+尸。］的最大值为，D正确.

故选：ACD

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3.(2024下•广东・百校联考)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面/BCD为矩形，PN,平面/BCD,

E,尸分别为棱ND,PC的中点，PA=AD=2AB.

(1)证明：EF//平面P4B.

(2)求平面8EE与平面CE方所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)-

9

【解析】

【小问1详解】

取棱心的中点〃，连接FH.

因为〃，尸分别是棱尸8,PC的中点，所以HF//BC,HF=LBC.

2

因为£是棱/。的中点，所以4E//BC,AE=^BC,

2

所以HF//AE,HF=AE,

所以四边形ZEE〃为平行四边形，所以EF//AH.

因为平面R4氏平面尸48,所以斯//平面尸48.

【小问2详解】

以A为坐标原点，分别以五瓦而，石的方向为x,V,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系.

设45=2,则5(2,0,0),。(2,4,0),5(0,2,0),厂(1,2,2),

故阮=(-2,2,0),CE=(-2,-2,0),EF=(1,0,2).

/、ri'BE--2x,+2y,=0一

设平面下的法向量为为=(石,必，4),则[—.,令玉=2,得〃=(2,2,—1).

n•EF=匹+2Z]=0

设平面CER的法向量为应=(9J2/2),

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mCE=-2X-2y2=0

则《2令王=2,得而=(2,—2,—1).

m-EF=x2+2z,=0

设平面BEF与平面CEF所成的角为6,

—•—►In,rT711