安徽中科大附中2024年高一年级下册第一次月考数学试题含答案

中科大附中2023-2024学年第二学期高一年级月考

数学试卷

考试时间：120分钟卷面满分150分

一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.在复平面内，点Q，3）表示复数z,则W的虚部是（）

A.3B.3iC.-3D.-3i

2.已知点A。,3）,8（4,-1）,则与通同方向的单位向量为

L2

3.4ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知。=君，c=2,cosA=-,则b=

3

A.V2B.V3C.2D.3

4.已知Q=g施，用厉，砺表示而，则而等于（）

A.-OA--OBB.-OA+-OB

3344

C.--OA+-OBD.--OA--OB

3333

5.在口43。中，AB=（cos21°,sin21°）,AC=（2sin39°,2cos39°）,则口ABC的面积为（）

A.1B.1C.火D.V3

22

n—h

6.在口ABC中，若cosA-cosB+J」=0,则DABC的形状是（）

c

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

7.点尸是锐角口ABC内一点，且存在/leR,使而="砺+衣），则下列条件中，不能判断出口48。为

等腰三角形的是（）

A.点尸是043。的垂心B.点尸是DABC的重心

C.点尸是048。的外心D.点P是口ABC的内心

8.设。为两个非零向量a，B的夹角，已知对任意实数/,|a+仍|是最小值为1,则（

A.若6确定，则|）|唯一确定B.若6确定，贝日加唯一确定

C.若|）|确定，则。唯一确定D.若|时确定，则。唯一确定

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下面四个命题中的真命题为（）

A.若复数zeR,则彳eRB.复数zeR的充要条件条件是z=1

C.对任意复数z,•都有二^=1+7D.若复数z=a+i（aeR）,且|z|=JL贝U

a=1

io.如图所示设ox,Oy是平面内相交成角的两条数轴，。1分别是与匕丁轴正方向同向的单

位向量，则称平面坐标系xOy为6反射坐标系，若两=+则把有序数对（x,y）叫做向量的

的反射坐标，记为由=（x,y）.在。=茎的反射坐标系中，3=（L2）J=（2,-1）.则下列结论中，正

确的是（）

A.a-/?=(-1,3)B.|tz|=Vs

c.albD.G在B上的投影向量为一封Zg

14

TT

11.在DABC中，a=2,A=~,则下列结论正确的是（）

6

A.若b=3,贝！］口ABC有两解B.DABC周长有最大值6

C.若口48。是钝角三角形，则边上的高的范围为（0,23）D.口48。面积有最大值2+百

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知a=（x』）,B=（―1,2）,且归+2,=卜—2,，则％=.

13.如图,OM〃AB,点尸在由射线OM线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且

OP^xOA+yOB,则x的取值范围是—；当x=—/时，＞的取值范围是—.

〃+u

14.在DABC中，内角A,3,C的对边分别为a,4c,角B为锐角，M8sinAsinC=sin2B＞则---的

b

取值范围为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.设。为坐标原点，向量西、电、西分别对应复数4、Z］、Z3,且％=/+（2—a）i,

z2=-l+（3-2t?）i,z3=2-mi（a,meR）.已知4+z2是纯虚数.

（1）求实数。的值；

（2）若Z1,Z2，Z3三点共线，求实数冽的值.

16.已知向量a,B满足同=1,忖=2,悔_同=26.

（1）求向量3］的夹角；

（2）求向量3%+B与£的夹角的余弦值.

17.在AABC中，内角A,5,C的对边分别为a,4c.已知侬"-2cosc=生心

cosBb

„sinC…

（1）求-----的值

sinA

（2）若COS5=L/?=2,求AABC的面积.

4

18.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C,另一种是

先从A沿索道乘缆车到8,然后从8沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步

行，速度为50m/min.在甲出发4min后，乙从A乘缆车到B,在8处停留Imin后，再从8匀速步行到

123

C,假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,索道AB长为2080m,经测量cosA=—，cosC=-.

135

（1）求AC的长；

（2）问：乙从A出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过5min,乙步行的速度应控制在什么范围内？

19.在DABC中，内角A,5,C的对边分别是。，仇c,且sinC+V^cosCuq，b=V3-

(1)求角8;

(2)若a+c=2,求边AC上的角平分线3。长；

(3)若口ABC为锐角三角形，求边AC上的中线8E的取值范围.

中科大附中2023-2024学年第二学期高一年级月考

数学试卷

考试时间：120分钟卷面满分150分

一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.在复平面内，点Q，3）表示复数z,则W的虚部是（）

A.3B.3iC.-3D.-3i

【答案】C

【解析】

【分析】先得到z=2+3i,则％=2—3i，再求出其虚部即可.

【详解】由复数的几何意义得z=2+3i,从而』=2-3i，其虚部为-3.

故选：C

2.已知点A（l,3）,8（4,-1）,则与AB同方向的单位向量为

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：而=（4-1,-1-3）=（3,-4），所以与荏同方向的单位向量为

-一荏_1/-34

,=倒=斜3'—4）=（丁—?，故选A.

考点：向量运算及相关概念.

L2

3.4ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知迅，c=2,cosA=-,则b=

3

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】D

【解析】

【详解】由余弦定理得、一〃♦42K/>X2；「，

3

解得6=3(b=-j舍去)，故选D.

【考点】余弦定理

【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一，根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程，再通过解方程求

b.运算失误是基础题失分的主要原因，请考生切记！

—►4—►__►►

4,已知AP=§AB,用。4,03表示而，则而等于()

A.那一舞B.-OA+-OB

44

D.--0A--0B

33

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量减法，将而，通用0尸，04,08表示，然后整理可得.

—4—

【详解】因为=

所以而—丽=g(砺—砺)，整理得而=_；而+：砺.

故选：C

5.在nABC中，AB=(cos21°,sin21°),AC=(2sin39°,2cos39°),则HABC的面积为()

A.1B.1C.也D.V3

22

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量的坐标求出|通i，wq,而，恁，然后由三角形面积公式可得.

【详解】因为荏=(cos2io,sin21。)，AC=(2sin39°,2cos39°),

所以|而|=Vcos221o+sin221°=1,|AC|=V4sin2390+4cos239°=2,

cosAB,AC=2cos21=390+2sin2108s39。=sin60°=

1x22

又通,无亍€［0,可，所以Z及箍=四，

6

1兀］

所以鼠瓯=7,lx2sinz=7.

2OZ

故选：A

n—h

6.在口ABC中，若cosA-cosB+——=0,则口48。的形状是（）

c

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】

।Z,2_22：h2—r2

［分析］利用余弦定理将cosA-cosB+〜=0化简为if—£__r=n_J,从而可求解.

cab

【详解】由cosA-cos8+"<3--=0,得a-ccosB=0—ccosA,

c

222221122222

r+An+士工E/旦tz+C-b,b+c-a,,a+b-ca+b-c

由1余弦定理得a-cx---------------=b-cx-----------,化徇得-----------=-----------,

lac2bcab

当/+/—02=0时，即/+尸”？，则口48。为直角三角形；

当/+廿一02/。时，得口二万，则DABC为等腰三角形；

综上：DABC为等腰或直角三角形，故D正确.

故选：D.

7.点尸是锐角口ABC内一点，且存在/leR,使而=2（而+/），则下列条件中，不能判断出048。为

等腰三角形的是（）

A.点P是口ABC的垂心B.点尸是048。的重心

C.点尸是O48C的外心D.点P是DABC的内心

【答案】B

【解析】

【分析】由已知判断点P在直线AD上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可.

【详解】记的中点为。，则酢=4（而+恁）=24而，

所以，点P在直线上.

A选项：若点尸是口ABC的垂心，则

所以AB=AC,所以口48。为等腰三角形，A正确；

B选项：若点尸是DABC的重心，则点尸在边的中线上，无法推出ADIBC,B错误;

C选项：若点P是DABC的外心，则点P在边的中垂线上，

所以1BC,所以口48。为等腰三角形，C正确；

D选项：若点尸是口48。的内心，则为/B4c的角平分线，

所以N84£>=NC4£>,

又AP=AP,BD=CD,所以口AD3与△ADC全等，

故A8=AC,D正确.

故选：BB厂

8.设。为两个非零向量Z，B的夹角，已知对任意实数/,|2+7|是最小值为1,则（）

A.若。确定，则|）|唯一确定B.若6确定，则唯一确定

C.若|必确定，则。唯一确定D.若|引确定，则。唯一确定

【答案】A

【解析】

【分析】画图，利用点与直线上的点的距离大小关系，以及向量的加减法性质判定即可.

【详解】如图，记而<、AB=b>AH=tb>则丽=5+石，

则当3_1_（。+区）时，|。+正।取得最小值1,

若6确定,则|Z|唯一，出|不确定,

若|a|确定，6可能有两解（图中％。或0A=N），

若确定，则Z不确定，从而6也不确定.

II

故选：A

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下面四个命题中的真命题为()

A.若复数zeR,则彳eRB.复数zeR的充要条件条件是z=3

C.对任意复数z,w都有)D.若复数z=a+i(aeR),且|z|=JL贝i］

a=1

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据共甄复数的概念判断AC,根据复数为实数及共甄复数的概念判断B,根据复数模的运算判断

D.

【详解】对于A,设z=o+历(a,beR),若复数zeR,即匕=0,则彳=zeR,正确；

对于B,设z=。+历eR),若2=z=o+0i=。一历=Z?=0，

所以，复数zeR的充要条件是z=7正确；

对于C,设2=。+历(a,〃eR),w=c+di(^c,deR),则z+w=(a+c)+(0+d)i,

所以z+w=(a+c)-(b+d)i,而Z+刃=(a—历)+(c-di)=(a+c)—(匕+d)i,

即有z+vv=z+w,正确；

对于D,若复数z=a+i(aeR),且|z|=J^,所以，合十俨=夜,解得。=±1,错误.

故选：ABC.

10.如图所示设Ox,Oy是平面内相交成。［。力1］角的两条数轴，qI分别是与x，y轴正方向同向的单

位向量，则称平面坐标系X0V为6反射坐标系，若丽=+则把有序数对(x,y)叫做向量两

的反射坐标，记为两=(%>).在。=T的反射坐标系中，a=(L2)J=(2,-l).则下列结论中，正

确的是()

B.|a|=V5

C.aJ-bD.G在B上的投影向量为---b

14

【答案】AD

【解析】

【分析】向量差的坐标运算判断选项A；利用向量的模公式计算判断选项B；用向量的数量积公式判断选项

C；利用N在B上的投影向量公式判断选项D.

【详解】对于A,。=（1,2）石=（2,—1）*一3=（—1,3）,故人正确；

对于B,同=J（1+2.）2=j5+4cosg=百，故B错误；

~►—»—►—►—►—►2—»—►—»2

对于C,a,b=（G+2q）（2弓—4）=2,+3弓e?~2e?=一］，故C错误；

____________________3

对于D,同=1（24—疗=5-4cos”=正，彳在行上的投影向量为红3=，3=_次小

11V3忖甘14

故D正确；

故选：AD.

7T

11.在048。中，a=2,A=~,则下列结论正确的是（）

6

A.若b=3,贝nABC有两解B.048。周长有最大值6

C.若DABC是钝角三角形，则边上的高的范围为（0,2百）D.口48。面积有最大值2+百

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，根据6sinA<a<0得到结论；B选项，由余弦定理和基本不等式求出周长的最大值；C

选项，求出三角形的外接圆半径，画出图形，数形结合得A在也或以后上，边上的高AD的范围为

（0,273）；D选项，在C选项的基础上求出面积最大值.

兀3

【详解】A选项，bsinA=3sin—=一,故〃sinA<〃<b,故DABC有两解，A正确;

62

B选项，由余弦定理得/+（?一/=20CCOSA，

即(Z?+c)2-2bc-4=2bccos—,化简得(0+c『一4=(2+百“c,

6

由基本不等式得匕cW（0+c）

故9+c『-4V

4

当且仅当匕=6•时，等号成立，

解得b+cW2#+2&,故□ABC的周长最大值为2指+2&+2，B错误；

a2.

---------------4

C选项，由正弦定理得sinA.71，故口人8。的外接圆半径为2,

sin——

6

7T

如图所示，将口48。放入半径为2的圆中，其中BC=DE=2,ZBDC=-,

6

故BE=CD=26，

□ABC是钝角三角形，故A在心或以后上，

故边上的高AD的范围为(0,26)，C正确；

D选项，由C选项可知，当A落在BE的中点时，口48。边上的高4口最大，

其中OE=O3sinN=G,

3

此时高A'E为2+百，面积最大值为g5C-AE=2+G,D正确.

故选：ACD

【点睛】思路点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范

围问题，或与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，

通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知a==(―1,2),且归+2.=口—2.，则％=.

【答案】2

【解析】

【分析】由归+2同=忖-2司可得力=0,利用向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】由|，+2同=忖—2司两边同时平方可得：忖+242=忖—2年，

所以示+41.3+4店=示一41Z+4庐，整理得=B=0,

而5-B=XX(-1)+1X2=0,解得：x=2,

故答案为：2.

13.如图,0M〃A8,点P在由射线0M线段。8及A3的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且

OP^xOA+yOB,则x的取值范围是一；当x=—万时，y的取值范围是—.

【解析】

【分析】由向量加法的平行四边形法则，0P为平行四边形的对角线，该四边形应是以。瓦。4的反向延

长线为相邻两边，得到x的取值范围，当工=-工时，要使点尸落在指定区域内，即点尸应落在DE上，

2

得到了的取值范围.

【详解】解：如图，点尸在射线,线段。8及的延长线围成的区域内(不含边界)运

动，且而=》而+丁而，由向量加法的平行四边形法则，0。为平行四边形的对角线，该四边形应是以

。瓦。4的反向延长线为相邻两边,

故x的取值范围是(-8,0);

113

当天=——时，要使点尸落在指定区域内，即点尸应落在DE上，CD=-OB,CE=-OB,

222

故y的取值范围是:

【点睛】本题考查了平面向量基本定理及向量加法的平行四边形法则，属基础题.

〃+C

14.在口ABC中，内角AB,C的对边分别为。，仇c,角8为锐角，且85布4$亩。=5：11128，则的

b

取值范围为.

I答案】若号

【解析】

Q+C

【详解】设一-一则a+c=tb,由8sinAsinC=siYB,得8ac=Z?2,.

b

a2+c2-b2（a+c）2-2ac-b2-b"

由余弦定理得cosB=---------=——.........=------把-------=4广一5,由角8为锐角得

2acLac1从

4

0<cosB<l,所以o<4〃—5<1，所以好〈/<逅，即好<q±g<4t.

222b2

4g声„[A/55/6

故答案为

22

\7

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.设。为坐标原点，向量西、至、西分别对应复数4、Z]、z3,且％=/+（2—o）i,

?2=—1+（3—2a）i,z3=2-mi（a,meR）.已知马+z2是纯虚数.

（1）求实数。的值；

（2）若ZI,Z2，Z3三点共线，求实数冽的值.

【答案】（1）a=-\

（2）m=-2

【解析】

【分析】（1）根据）+Z2是纯虚数，结合共辗复数、纯虚数的定义求解即可；

（2）根据ZZ2//Z1Z3求解即可.

【小问1详解】

由题意可得Z]+z,=。~—1+(1—a)i,

一a2—1=0

由于复数Z+Z2是纯虚数，贝I*a。。，解得。=-1；

【小问2详解】

由⑴可得马=1+31,z2=-l+5i,则点Z](l,3),Zz(T,5),点Z3。,—m)

所以，范=(—2,2),拓=—3)

因Zj,Z2，Z3三点共线，所以范//拓，所以(―2)x(—3)=lx2,

所以〃?=-2

16.已知向量痴满足同=1,忖=2,忸—同=2月.

(D求向量Z]的夹角；

(2)求向量33+B与Z的夹角的余弦值.

【答案】(1)—

3

【解析】

【分析】(1)将|2G-q=23两边平方，结合数量积的运算，即可求得答案；

(2)求出向量33+B与Z的数量积，求得3Z+B的模，根据向量的夹角公式，即可求得答案.

【小问1详解】

由忸一同=2百，得|2方-42=12,即4方2一4展B+庐=12,

一_-1

故4-4xlx2cos〈2Z?〉+4=12,则cos〈G,b)=,

一一一，一；*、271

而〈。,力6[0,兀],所以〈扇6〉=7；

【小问2详解】

—**—*2—*-*2兀

(3。+6).。=3。+6/-Z?=3+lx2xcos—=3-1=2,

M+q=J(33+B)2=y/9a2+6a-b+b2=,9-6+4=V7,

由I、I八一£一'（3。+分，22s

所以cos〈3〃+瓦〃〉=-―—―=—1==----.

|3〃+b||〃|V77

17.在AABC中，内角AB,C的对边分别为a,4c.已知侬"-2cosc=生心

cos5b

（i）求丝c的值

sinA

（2）若COS5=LZ?=2,求AA_BC的面积.

4

【答案】（1）U£=2（2）叵

sinA4

【解析】

【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得sin（A+B）=2sin（B+C）,化简即得答案.

（2）由（1）知£=也叫=2,结合题意由余弦定理可解得a=1,sinB=叵,从而计算出面积.

asmA4

【详解】（1）由正弦定理得a=2火sinA,/?=2Rsin瓦c=2RsinC,

cosA-cosC2c-a2sinC-sinA

所以

cosBbsinB

即sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB

即有sin（A+JB）=2sin（5+C）,即sinC=2sinA

所以包£=2

sinA

csinC

（2）由（1）知一=J^=2,即c=2a,

asinA

又因为6=2,所以由余弦定理得：

b2—c1+cT—2accosB>即2~=4a~+a~—2ax2a义工，解得a=l,

4

所以c=2,又因为COS3=L,所以sin3=415，

44

故AA8C的面积为工acsin5=Lxlx2x@l=m5.

2244

【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题.

18.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C,另一种是

先从A沿索道乘缆车到B,然后从8沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步

行，速度为50m/min.在甲出发4min后，乙从A乘缆车到8,在8处停留Imin后，再从8匀速步行到

123

C,假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,索道A3长为2080m,经测量cosA=—，cosC=-.

135

(1)求AC的长；

(2)问：乙从A出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过5min,乙步行的速度应控制在什么范围内？

【答案】⑴2520米

(/2_)、t-7-0m.in

37

“25025001

(3)(单位：m/imm)

4361

【解析】

【分析】(1)根据同角关系由余弦可求正弦值，进而可由和差角公式求解sin8,然后在口ABC中，利用正

弦定理即可求解AC.(2)根据余弦定理表达出两人之间的距离，然后根据二次函数的最值进行求解.

(3)根据甲乙两人行走的时间与路程之间的关系即可求解.

【小问1详解】

123

在DABC中，因为cosA=—，cosC=-

135

54

所以sinA=-，sinC=—

135

sa19An

sinB=sin[兀一(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=——x—H----x—=——

13513565

—AB.八208063

由正弦定理黑=益AC=------xsinB=---x—=2520

sinC465

5

所以AC的长为2520米.

【小问2详解】

假设乙出发miin后，甲、乙两游客距离为,，此时，甲行走了(200+50%)m,乙距离A处130/m,

1Q

所以由余弦定理得d2=(200+50力2+(130?)2—2x130fx(200+50力x—=200(37r2-140r+200)

20Q0

由于0<f<——，即0WfW16,

130

70

故当t==min时，甲、乙两游客距离最短.

【小问3详解】

—抻BCAC

由正弦定理----=-----,

sinAsinB

B“C=--A--C--xsin-AA=—2—52—0x—5=1i00n0

；•sin36313

65

中泮2520

甲到达。共=50.4分钟，乙开始从B出发时，已经用去16+4+1=21分钟.

50

乙从B出发时，甲已走了50x(16+4+1)=1050米，还有1470米到达C.

设乙步行的速度为vm/min,由题意得一5〈侬一段V5解得段＜v〈生油

v504361

12502500

所以为使两位游客在/处互相等待的时间不超过5min,乙步行的速度应控制在(单位:

~^3~，61

m/mim)范围内.

19.在口ABC中，内角ABC的对边分别是。，仇c,且sinC+J^cosC=a，b=V3"

(1)求角8

(2)若a+c=2,求边AC上的角平分线长；

(3)若DABC为锐角三角形，求边AC上的中线B