2024届高三第二次学业质量评价（T8联考）数学试题（含答案解析）

2024届高三第二次学业质量评价（T8联考）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=1|三|<()[,B={x|2'<4},则AB=()

A.(-2,2)B.[-2,2)C.(-2,2]D.[—2,2]

2.复数z=〃+bi(awO,a,bwR)满足(l—i)z为纯虚数，则()

A.a+Z?=0B.a-b=0C.a+2b=0D.a-2b=0

3.样本数据5,7,4,6,12,10,11,9的第70百分位数次为（）

A.7B.9C.9.5D.10

4.若x=〃+lnb,y=a+；lnZ?,z=〃+21nZ?(Z?wl)成等比数歹！J,则公比为()

A.-2B.-3C.—D.2

15

5.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中

一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概

率为()

5698

A.—B.—C.—D.一

1825259

6.在"C中，sin(B-A)=1,2a2+c2=2Z?2,贝”inC=()

A.-B.3C.gD.1

322

7.已知正方体ABCD-ABCzR的棱长为2,尸为线段G2上的动点，则三棱锥p—BCD

外接球半径的取值范围为（）

8.已知抛物线C的方程为y=；/,/为其焦点，点N坐标为（0,-4）,过点厂作直

线交抛物线C于A、8两点，。是x轴上一点，且满足|D4|=|D3|=|@V|,则直线48的

斜率为（）

A.土叵B.土姮C.±72D.±73

22

二、多选题

9.已知函数力(x)=£§(weN*),则下列判断正确的是()

A.若〃=1,且工⑷+工伍)=0,则而=1B.若〃=2,且力(。)+力(。)=。,

则而=1

C.力(力是偶函数D.力(x)在区间。,收)上单调递增

10.已知。为坐标原点，点A(cosa,sina),B(cosy0,sin/?),aw夕.若点。满足|OCj=点

OCLAB,则下列判断错误的是()

(a+/3.a+f3\

A.Ccos-------,sin--------B.面积的最大值为g

I22)

C1.1・々.a+P

C.—sinad--sinp<sin-----D.CACB>0

222

11.已知正方体ABCD-AZ'C'。'的棱长为1,〃是AA中点，尸是AB的中点，点N满

足。W=4。'。(2e[0,1]),平面MPN截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体

积分别为％匕，则下列判断正确的是()

A.时，截面面积为3B.2=(时，乂=%

222

C.忆-匕|随着X的增大先减小后增大D.忆-匕|的最大值为工

三、填空题

12.，=履+>是>=当在(1,0)处的切线方程，贝.

13.1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼

卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹.已知点耳(-2,0),F2(2,0),动

点P满足闾=6,则APF居面积的最大值为.

14.已知孙x2是实数，满足考+8月-=8,当㈤取得最大值时，归+即=.

四、解答题

15.设数列｛4｝为等差数列，前〃项和为S“，%+%=22,九=120.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

,1

(2)设a=I，/的前”项和为4,求小

<a“+'a,.

16.兵乓球(tabletennis),被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.已

试卷第2页，共4页

知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得

11分者获胜.

(1)若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为:，甲接球时获胜的概率为甲先发球，求

单局比赛中甲11:2获胜的概率；

(2)若比赛采用三局两胜制(当一队萌得两场胜利时，该队获胜，比赛结束)，每局比赛

甲获胜的概率为:，每局比赛结果相互独立，记X为比赛结束时的总局数，求X的期

望.(参考数据66=46656)

17.已知三棱锥P-ABC中，侧面PAC是边长为2的正三角形，AC=2,BC=4,=2百,

PE=gPC,PF=FB,平面AEF与底面ABC的交线为直线I.

2

(1)若BCLPC,证明：PC±AF；

(2)若三棱锥P-ABC的体积为华，。为交线/上的动点，若直线PQ与平面3的夹

角为。，求sine的取值范围.

18.已知双曲线尸的方程为5•-;/=：!,其中

a>2,0(%,%)(%2a,%>0)是双曲线上一点，直线。B与双曲线尸的另一个交点为E,

直线DC与双曲线P的另一个交点为歹，双曲线尸在点入尸处的两条切线记为与

4交于点尸，线段。P的中点为G,设直线的斜率分别为％,后.

“11/4。

⑴证明：4丁丁

GB

Q)求~^方的值.

CrC

19.记A={/(尤)|/(x)=fct+7〃,匕相eR},若/o(x)eA,满足：对任意均有

maxj/(%)-/(%)|>喘"⑺一氯x)|,则称/o(x)为函数在xe[a,b]上“最接近”直

线.已知函数8(%)=2111%-炉+3,尤e[r,s].

⑴若g(r)=g(s)=0,证明：对任意/(x)eAmax|g(x)-/(x)|>1；

⑵若r=l,5=2,证明：g(x)在xe[l,2]上的“最接近”直线为：

/。(力=(21!12-3)卜-9]+宏等1,其中(1,2)且为二次方程

2八(21112-3卜-2=0的根.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】根据题意求集合A，8,再结合交集运算求解.

【详解】由题意可得：A={尤]一2＜尤＜3},3={无h＜2}.

所以Ac3=[-2,2).

故选：B.

2.A

【分析】根据条件，利用复数运算法则及复数的分类，即可求出结果.

【详解】因为(l-i)(a+bi)=a+6+(b-a)i,又(l-i)z为纯虚数，

所以Q+b=O且Qib,

故选：A.

3.D

【分析】利用第〃百分位数的定义即可求解.

【详解】8x70%=5.6,

二.数据4,5,6,7,9,10,11,12的第70百分位数为10.

故选：D.

4.B

【分析】利用等比中项得到变量之间的关系，再求公比即可.

【详解】％Vz成等比数列..yz=y2,

即(a+lnb)(q+21nb)=[q+glnZ?),

a2+3ainb+2(lnZ?)2=a2+alnb+-(InZ?)2,b^l.

4

8i7.八"4。"'—InZ?

..一一a=Inb,..公比为2”

7----------=-3

a+lnb

故选：B.

5.C

【分析】应用分组分配法、分步计数求活动安排的方法数，最后运用古典概率模型概率公式

即得.

答案第1页，共15页

【详解】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3,1,1,第二类分法是2,2,1,再分

配到三项活动中，总方法数为

因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同，故只需先把甲，乙，丙三人在三项活动上安排好，

再让丁，戊两人分别在三项活动中选择，

其方法数为A；C；C；=54.故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为2=蒜=*.

故选:C.

6.C

【分析】利用余弦定理的边角变换得到20cos8-次0就=-°,再利用正弦定理的边角变换

与三角函数的和差公式即可得解.

【详解】因为2/+。2=2/，所以2/一2〃=一/,

因为+/_/_2〃ccos氏b2+c2-a2=2bccosA,

两式相减，得2/-2b2=2accosB-2bccosA=-c2,/.2acosB-2/?cosA=-c,

由正弦定理，得2sinAcosB—2sinBcosA=—sinC,即—2sin(J3-A)=—sinC,

ii

因为sin(3—A)=z，所以sinC=/.

故选：C.

7.C

【分析】根据外接球性质找到外接球球心位置，通过几何直观找到外接球半径与4尸CD的外

接圆半径的关系式氏2=1+/；设PG=x,在PCD中根据面积关系和正弦定理，得到产是

关于X的函数/Tx+8)(y+4)；利用导数求出户范围，进而得到我范围.

16

【详解】如图，连接AC,交BD于点、E,易得E为△BCD的外心.

连接交于点/，易知平面3C。，则三棱锥P—3co的外接球球心。在斯

上.

设；PCD的外接圆圆心为，平面PCD,

由正方体中棱3C1平面CCRD，得OO-//BC,又易得E,F分别是BD,BR中点，

所以OO=1.

答案第2页，共15页

设，尸CD的外接圆半径为厂，三棱锥P-BCD的外接球半径为R.贝1」店=1+r,

设PC；=%xe[0,2],:.SPCD=2=^PC-PDsinZCPD,

.1PCPDG7LJ(2-X)2+4又「CD1

sinZCPD44'2sinZCP£)sinZCPD)

产_(，-4x+8)(/+4)

"16

设/(x)=(x2-4x+8)(/+4),则f'(x)=4(x3-3X2+6尤-4),

设g(x)=f\x),则g\x)=12(X2-2X+2)>0,

.在xe[0,2]单调递增，又/'⑴=0,

所以/(力在xe[0,l]单调递减,在xe[l,2]单调递增,又/⑴=25,/(0)=〃2)=32,

所以〃尤闫25,32],.，.人||,2,:.R=^+r26孚6.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题第一个突破口是找出外接球半径与j8的外接圆半径的关系，

第二步是根据面积关系和正弦定理，得到,是关于x的函数.

8.B

【分析】设A(&%),8(%,%)，。(。，0)，直线A8方程为产质+1,联立直线与抛物线方

程，消元，得至1」尤述2=-4,再由|以|=|£>@=|DN|=夜2+由,可得A(4%),8(々,%)是方

程V+：/-2分一16=0的解，将、=履+1代入方程，由玉％=-4求出左.

【详解】设4(%,%),8(孙为)，。(。，0)，直线方程为尸质+1，

答案第3页，共15页

y=kx+\

联立直线与抛物线方程12,可彳导x?—4kx—4=0,

y=一尤

-4

显然A>0,所以玉％=-4.

又|ZM|=\DB\=QM=>Ja2+42,即J（X[—a）~+y；=—a]+y；=Ja?+4?，

即X；+y：-2aV]—16=0f+2ax»_16=0,

故4（工,%）,3（々,%）是方程/+丫2_26-16=0的解,

将y="+l代入方程/+>2-2以-16=0,

整理得（1+K）x?+（2k—2a）x—15=0,显然A>0,

故选：B.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为a，%）、（吃,为）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X（或y）的一元二次方程，必要时计算△；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为大+超、%%的形式；

（5）代入韦达定理求解.

9.AD

【分析】分别将〃=1和〃=2代入计算可得A正确，B错误；显然当力=2左-1,仅eN*）时,

答案第4页，共15页

，2nxn~x

力（X）不是偶函数，即C错误;求导利用导函数可得方（%）=伍而>°在（1,+8）上恒成立,

即D正确.

【详解】对于A,”=1时，工(司=罟，

\—X

z./\z./\1+"1+b2—2ab

所以工⑷+工z伍)==+百=(]-)(]_"=0,所以m=1,A正确;

1+x2

对于B,"=2时，f2(x)

2

可得力（。）+力修）=^^+1+b2-2(海

=0,解得H=±1且〃力片±1,即B错误;

1—CLl-b2(-2)(-2)

n

l+(-x)_i-x-

对于C,当”=2无-1,仅wN*),fn(-x)=片力（x）,故C错误;

l-(-x)"1+x"

2〃X"T

对于D,易知力'♦）=

2，

1-

2nx"-'

当xe（l,+s）时，力（司=（T>°.

1-尤"

所以力（X）在区间（1,+8）上单调递增，即D正确;

故选：AD

10.ACD

【分析】由已知可知点C在劣弧上或优弧上，即可判断A；由三角形的面积公式可判断B；

JTTT

取。=£=-二时，可判断C；点C在劣弧上时，/ACB为钝角，点C在优弧上时，/ACB

为锐角，即可判断D.

【详解】若|OC|=1,OC±AB,则点C在劣弧上，或者在优弧上，

所以c]cos；（a+m，sing（a+/））或者c'cos；（a+0,-sing（a+m],故A错误；

因为SAOB=gxlxlxsinZAO2=:sinZAO2vl，故B正确；

取a=g,0=E，则!sina+）sin.=sin,故C错误；

66222

nunUUU1

点C在劣弧上时，/ACB为钝角，CACB<0,

点C在优弧上时，/AC3为锐角，CACB>0，故D错误.

故选：ACD.

答案第5页，共15页

11.BCD

【分析】对于A,易于判断截面形状，计算即得其面积；对于B,可由A项图形进行对称

性判断得到；对于C,要结合A项中点N从点必运动到点C的过程中，截面形状的变化,

以及B项中的结论合并进行判断；对于D,要在选项C的基础上判断取最大值时,

对应于几=0或4=1时的情形，故只需要求出这两种情形下的忖-阳的值即得.

72

21

如图2.当2从0变化到1时.截面从四边形MD'CP变化至五边形（其中1/为3c靠

近3点的三等分点）.

结合B项可知，被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0,再逐渐增大，故C项正

确;

M-匕|取最大值时对应为久=0,或2=1时情形.

当2=0时，不妨记匕为截面MDCP左上角的部分几何体，则

答案第6页，共15页

1/1I、III17

TX7=VT7P-AMD'D+VT7P-DD'C=-(l-7)X-+-X~Xl=^T，

jt,4J乙

1717q1711775

则%i—=—，此时MT-T匕7二------

24241121242412

当无=1时，不妨记匕为截面MPJC'。左上角的部分几何体，则

,、।口1八I、II11II1II147

匕=^P-DAMQD'+T^/P-DCC,D,+^Q-PCJ+^Q-JC,C=~(^~X~+ZXlXl+ZXTXl+ZXZXl-TT,

312233o3372

47254795ll

贝nlT匹7=l-----=—,此时MF=五-五

2727236

・•・MM的最大值为白，故D项正确.

故选：BCD.

【点睛】甩路点睛：本题重点考查正方体的截面面积和分割成的几何体的体积问题，属于难

题.

解题思路在于要有从特殊到一般的思想，先考虑点N为。的中点时的截面和分割成的几

何体体积的关系，再考虑点N分别与点DC,点C'重合时的截面形状以及分割成的两部分的

体积，总结出体积变化规律即可.

12.-1

【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再求切线方程即可.

【详解】令丁=吧=/(尤)，1-2：1叽/⑴,

XX

则上=/'(1)=1,则方程为y=x+。，将(LO)代入方程，得0=1+6,解得6=-1,

故答案为：-1

13.3

【分析】根据题意可列等量关系，化简可得4标有"-4=+标育-8)冷,

3

即可求解由面积公式即可求解.

【详解】已知定点为£(-2,0),8(2,0),

因为动点尸(x,y)满足忸£卜|「引=6,

所以点尸的轨迹方程为7(X+2)2+>2-J(x-2>+y2=6,

两边同时平方可得(%2+/+4)2=36+16V,

整理得/=-7l6x2+36-X2-4=-—(716?+36-8)2+-,

164

答案第7页，共15页

所以回4，

止匕时=：山/yy|=gx4|y|43,当且仅当y?=:时，取得最大值，

故答案为：3

14.5

【分析】根据等式特征可知8=(占-2%)2+(2%y,再由不等式及其等号成立条件可得结果.

【详解】由龙;+8考一4%％=8可得(玉一2々丫+4x；=8,

又(占-2%了+4%=8=(%-2尤2丫+(2无2y2(占-2无;+2%),

16>xj2,gp|x,|<4；

fx-2x,=2x,(X=4fx,=-4

当且仅当।…-时，即「或।,,等号成立；

此时上+引=5.

故答案为：5

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用条件等式得出平方关系式，得出162考，由等号成

立的条件即可得出结论.

15.(l)a„=2n+l

⑵J27+3退

22

【分析】(1)设公差，将条件利用等差数列的基本关系式列出方程组，求解即得;

71

⑵将册=22代入第=忑干,分母有理化后，利用裂项相消法求和即得.

【详解】(1)设数列｛%｝的公差为d,由的+%=22,Slo=12O,

2。［+8d=22...

则1。,+45d=12。'解得4=35=2,故4=3+(-l)x2=2〃+l；

_______1■\12rl+3—+1

(2)由(1)得勿=

d2rl+1+J2/+32

答案第8页，共15页

:.T,=；函-6+币-后+也-币++/2〃+3-5+1)=却2〃+3-退)

_以+3#)

一-2r

49

16-⑴丽

⑵%)=等

【分析】（1）根据题意，分3种情况分别求单局比赛中甲11:2获胜的概率，再求和;

（2）首先分析得到X=2,3,再分别求概率，以及数学期望.

【详解】（1）设事件A为“若甲先发球，单局比赛甲11:2获胜”，其可分为如下三种基本事

件，

事件3为“甲发球，甲败2次”，事件C为“乙发球，甲败2次”，事件。为“甲发球，甲败1

次，乙发球，甲败1次”，

这个单局比赛中，甲发球6次，乙发球6次，最后1次是甲发球甲赢，

21602640

"5遍X3=^尸(C=c；

6

IX2768

I三'

156849

P（A）=P（B）+P（C）+P（Z））=

1458

（2）随机变量X的所有可能取值为2,3,

尸(X=3)=C；*|g|+C；gW

549?

所以E(X)=2x§+3＞丁丁

17.（1）证明见解析

（2）H_

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明尸C_L平面AER，由线面垂直的性质定理即可证

明结论；

答案第9页，共15页

(2)建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设。(l,y,o),求出平面A肝的法向量，根据

空间角的向量求法，结合不等式知识，即可求得答案.

【详解】(1)由题意：==分别为棱尸C$8的中点，E尸〃8C,

BCLPC,:.EF±PC.

.34C为等边三角形，E为尸C中点，

:.PC±AE.

又EF、^^^^^，^，^(^平面凡^^,尸^平面钻尸，

AFu平而AEF,,PC,AF；

(2)如图，在底面ABC内过点A作BC的平行线即为平面AEF与底面ABC的交线/,

(因为所〃3C,则EF〃/',A为平面AEF与底面ABC的公共点，故/'为平面AEF与底

面ABC的交线/)

由题意AC=2,BC=4,AB=2&,可得ACZ十台。？=,即AC人3C,

故底面一ASC的面积为S=3AC-8C=4,

2

设底面ABC上的高为力，贝4C=J_s/z=工义4〃，于是h=垂＞,

333

注意到侧面PAC是边长为2的正三角形，取AC中点O,

连接PO,则尸。=6，从而尸。即为三棱锥尸-ABC的高，故平面ABC,

取48中点加，连接DM,则DM1AC,

于是，以点。为坐标原点.94,。川,。月所在直线分别为苫轴、y轴、z轴,

建立空间直角坐标系，则A。,0,0),P(0,0,A/3),C(-1,0,0),B(-l,4,0),

E_g。，*，F—g,2,91,Q(l,y,0),

答案第10页，共15页

于是尸Q=(i,y,_君),=跖=(0,2,0),

I22J

设平面AEF的一个法向是为n=(x0,%,1),

3+4。

AEn=0即「了"°

EFn=

2%=0

1

由线面所成角的定义可知sin〃二卜os<PQ,〃>卜sinae

J4+V2

18.(1)证明见解析

(2)1

【分析】(1)根据点23,C坐标求得斜率表达式，利用自变量范围即可得出证明；

(2)联立直线《与双曲线的方程可得其斜率为&=木，同理可得心二言，联立直线44

的方程解得号=%纥"),再通过联立DB,DC的方程利用韦达定理代入化简可求得

xly2-x2yl

xP=~x0,可知点G的横坐标%=。，即OGL3C,可得|G理=|GC|.

【详解】(1)证明：如下图所示：

答案第11页，共15页

由。（尤0,%）,3（-4,0）,。（4,0）可得勺=已&=2

人nIC44c

112x

所以厂+1=一

%1%2丁0

又£＞（%,%）在双曲线上，.•.J-y；=l.

<1,

（2）设E&,%）,*%,%），设直线4,4的斜率分别为上，&，

直线4的方程为y-%=内（了-不），

y-yx=k^x-x^

联立方程32।由A=0可得%=7^，

-----y=14%

I4-

同理可得&=广-;

4%

=/（尤一%）丫2-％+%占一勺尤2

联立44的方程1一必=%（彳一尤2）消去y可得巧＞=

k3—女4

将&=白，/=产代入上式，化简整理可得”=4也一%）

4%4%百%一9必

设直线DB,DC的方程分别为xiy-a.xfy+a，

1x0+a1xn-a

则可得％，2=~j~=,

%hy0

x=t{y-a

联立双曲线与直线05方程＜x2

丁)’2=1'

消去X可得关于y的二次方程（4—4）/—2的y+片—4=。，该方程的两根为加切；

々2—4/一4

由韦达定理可知为%=方二I,可得％=；

.一41-4)%

“2—4

同理可得为=行书,

答案第12页，共15页

4（%一%）4（%f）

所以％p二再将%，必表达式代入乙中整理可得:

*：4(%-%)「________4%«：一引________

P+(/-4)&-幻一伙(片+g-8)'

xn+axn-a8xn8xn

再将t.=~—,t2=」一代入上式整理可得8=0°2/U=一不；

%%4y0-x0-4-8

所以点G的横坐标%=汽配=0,所以OGL3C,故|G@=|GC|；

\GB

可得^—=1

GC

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据直线和切线方程，通过与双曲线联立求得点P横坐

GB

标的表达式，并通过化简变形求得点G的横坐标为0,即可求得OGL3C,可得汴=1

19.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)首先求g'(x)，利用导数分析函数的单调性，并结合“最接近”直线的定义，分

情况分析证明；

(2)首先设函数/z(x)=(21n2-3)(x—1)+2,再令/(x)