2024年高考数学复习讲义 向量性质与基本定理应用(原卷版+解析)

第十三讲向量性质与基本定理应用

目录

题型01向量夹角：模型夹角.......................................................................I

题型02向量夹角：坐标型........................................................................2

题型03向量夹角：复合型........................................................................2

题型04向量夹角：恒成立与最值型.................................................................3

题型05投影与投影向量：投影数量.................................................................4

题型06投影与投影向量：投影向量.................................................................4

题型07线性运算：鸡爪基础型.....................................................................5

题型08线性运算：四边形........................................................................6

题型09基底：换基底型..........................................................................7

题型10基底：两线交点型........................................................................8

题型11基底：面积比值型........................................................................9

题型12基底：赵爽弦图型........................................................................9

题型13数量积最值范围..........................................................................11

题型14范围最值型：建系法......................................................................11

高考练场.......................................................................................12

热点题型归纳

题型01向量夹角：模型夹角

【解题攻略】

求平面向量夹角的方法模长型）：

a-b…「

定义法：利用向量数量积的定义得cos<a，b>=b，其中两向量<a,b>的取值氾围是[0,句；

a•

【典例1-1】.（2022•辽宁・模拟预测）已知向量a，Z，满足期第=3,卜-3%历，则〃，夹角的余

弦值为（）

【典例1-2】（2022•全国•高三专题练习）已知a,6为非零向量，Q.y/3\a\=2\b\,\a+2b\=\2a-b\,贝必与6夹

角的余弦值为（）

A,昱

B.gC.迈D.国

816816

【变式1-1]（2022・甘肃.一模（文））向量a,z,满足网=豆，6=1，。-26=9，则向量a,6的夹

角是（）

,71「兀-2兀-5兀

A.—B.-C.—D.—

6336

【变式1・2】（2022•广西南宁•一模（文））若两个向量a、6满足|a|=l，W=6,a-6=3,则a与，的夹角是

（）

一兀一兀一兀

A兀B.—C.—D.一

432

【变式1-3］（2022・广西•高三阶段练习（文））已知单位向量a,b，+=则。与方的夹角为

（）.

A.30°B.60°C.120°D.150°

题型02向量夹角：坐标型

【解题攻略】

求平面向量夹角的方法（坐标型）：

坐标法：若非零向量：=（为,乂）、力=（%,为），则cos<a，6>=

+•西-r

【典例1-1］（2021・江西•高三阶段练习（理））已知向量。=（x,l）/=（-2,y）,若2a+6=（2,6）,则向量“与

b的夹角为（)

371

A.——

4噌

【典例1-2］（2022•全国•高三专题练习（理））已知为整数，且肛设平面向量2=（%〃）与办=（2,_1）

会1）的概率为（）

的夹角为6,贝g

「9一4色

A.2B.—C.—D.

32642525

（2022・全国•高三专题练习）若向量）=（1,2）与人=「一1,|4的夹角为锐角，则f的取值范围为

【变式1-1]

()

B.小

A.(4,+oo)

cJVD.弓，"（…）

【变式1-2］（2022・河北・衡水市冀州区y釜运中学高三）已知点4（-1,2）,5（1,0）,C（l,-2）,0（4,2）,则向

量AB与CZ）夹角的余弦值为（）

、贬R0070n70

A.----D.------C.--------D,------

10101010

Q

【变式1-3］（2022•全国•高三专题练习）若a=（l,X,2）,人=（2,-1,2）,且0,6的夹角的余弦值为“则4

等于（）

22

A.2B.—2C.—2或—D.2或---

5555

题型03向量夹角：复合型

【解题攻略】

复合型向量夹角计算，和简单向量夹角计算一样，多了一个复杂的求分母计算

abxixz+yi”

cos〈a,方〉=|a仙I=q尤?+y对蝮+免

【典例1-11（2022.河南・光山一中高三阶段练习）己知单位向量a,b,^满足4一36=2亿，则6与a+&c

夹角的余弦值为（）

A一3B.王C.一也D.一正

3223

【典例1-2】（2022•四川省成都市新都一中高三）已知。=（cose,-1,sina）,/>=（sin«,-l,cos«）,贝！I向量

与a-。的夹角为（）

A.90°B.60°C.30°D.0°

【变式1-11.（2020•云南德宏•高三（理））已知向量4,办满足1a1=1,b=,且则〃与a+Z?

夹角的余弦值为（）

A.无B.毡C.土且D.+2

5555

【变式1-2］（2022•全国•高三专题练习）已知向量4=（2,4）,6=（-2,相），若a+6与b的夹角为60,贝1」以=

（）

AV3Q币「2出n2出

3333

【变式1-3］（2022•全国•图二专题练习（理））已知a、b、c均为单位向量，且2a=4Z?+3c，则〃、c之

间夹角的余弦值为（）

题型04向量夹角：恒成立与最值型

【解题攻略】

向量型恒成立:

1.通过模计算，转化为函数恒成立。

2.通过向量几何意义，转化为图形恒成立

【典例1-1】已知向量d,6满足同=g|,W=1,且对任意的实数X,不等式,+也国a+.恒成立，设心

6的夹角为6,贝1Jtan。的值为（）

A.-272B.272C.-72D.后

【典例1-2】设q©为单位向量，满足|2/-02卜&,。=《+02,6=36+02，设的夹角为。，则cos20的

可能取值为（）

A19-20「28c38

A.—B.—C.—D.—

29292929

【变式1-1】已知向量。=（1,2）,力=（-左2,1）,keR,a，b的夹角为6,若存在实数使得|小。$。-若根>。,

则m的取值范围是（）

A.f-1-

B.（0,+。）

C.I-00,11

D.—00,—

2

【变式1-2］已知平面向量a,6,满足口=1,且对任意实数2,有卜-XapI,设匕与6一°夹角为0,贝UcosE

的取值范围是（）

A.（°，图B.［0,|］C.惇"D,［|,1］

【变式1-3］已知单位向量q,g的夹角为6。°，向量。=啊+*2，,fil<x<2,l<y<2,设向量〃与q的

夹角为C,则cosa的最大值为（）

逅也「5近「2币

A.B.Vz.------LJ.------

43147

题型05投影与投影向量：投影数量

【解题攻略】

若a=（七,乂）、b=（%2，%），则

砂_x1x2+y1y2

。在〜方向上的投影为：|a|cos6=-⑸&+4

【典例1-1］（2023下•辽宁葫芦岛•高三校联考阶段练习）已知向量。=（虚,1）,6=（2忘,-1）,则向量°在向

量B上的投影的数量为（）

A-TBYC.-D.1

3

【典例1-2】已知I。1=2,向量。在向量。上的投影为近，则。与6的夹角为（）

71-兀

A.—B.—C

36-TD-T

【变式1-1X2024.全国•模拟预测）已知向量。=（1,右），人=（-2,机），若向量&在向量方向上的投影为-6,

则机的值为（）

「2指2A/3

A.73B.-6X_Z.--------N\-J.-----

33

向量建（）（）则〃在方方向上投影的数量为（）

【变式1-2］（2023•辽宁丹东•统考一模）2,1,b=-3,4,

A2石口2C.-D.型

5555

【变式1-3］（2022上.云南昆明.高三昆明市第三中学校考期末）已知向量a=（1,2）,向量b=（3,-4）,则向

量。在向量6方向上的投影数量为（）

A.-2B.-1C.1D.2

题型06投影与投影向量：投影向量

【解题攻略】

若a=（七,乂）、6=（孙％），则。在力士施投影向量：

【典例1-1】（2023•全国•模拟预测）已知向量a=（/l+l,2）/=（l,-X）,若a'b，贝U向量c=（l,2）在向量a+b

上的投影向量为（）

A.（3,1）B.（1,3）

【典例1-2】（2023上•山东•高三校联考阶段练习）已知向量a=（l,2）,b=（3,l）,则a在0上的投影向量

（8石6百

【变式1-1］（2023•广西•模拟预测）向量a=（2&2）在向量力=（1，⑹上的投影向量为（）

【变式1-2］（2023•广东・东莞市东华高级中学校联考一模）已知。=（1,3）,6=（2,5）,则向量。在向量方上

的投影向量为（）

【变式1-3］（2023.全国.模拟预测）向量a=（l,2）,6=（-2,-1）,那么向量a-b在。上的投影向量为（）

题型07线性运算：鸡爪基础型

uun3yLm1uu®UUD21011uura

C.AP=-AB——ACD.AP=-AB+-AC

一2233

,__3

【典例1・2】如图，若Q4=Q,OB=b，O0=c，点3是线段AC上一点，且A3=yAC.若b=4a+g

则（）

23

B.4=—,R=—

55

。41

D./l=一,u.=一

55

【变式1・1】在一ABC中，M为边的中点，^CM=mAB+nAC^则加+川=（）

A.1B.-1C.0D.不确定

【变式1・2］如图，在,ABC中，BD=2DC，AD=mAB+nAC9则加〃=（）

A

1

cD

2-

【变式1-3］设。为ABC所在平面内一点，AD=3AB，贝1J()

A.CD=3CA-2cBB.CD=3CA+2CB

C.CD=—2CA—3cBD.CD=-2CA+3cB

题型08线性运算：四边形

【解题攻略】

四边形基底线性运算，可以用基底推导，也可以通过特殊化构造坐标系设点计算

【典例1-1］（2023•河南•校联考模拟预测）在平行四边形ABC。中，点E满足2。=48万，

CE=ABA+juBC（A,/zeR）,则加=（）

【典例1-2】（2023春•河北石家庄•高三校联考）如图，在平行四边形ABCD中，AMAMB，DN=心，

（4〃eR）,^MN=-^AB+AD,则下列关系正确的是（

)

1_____

B.〃-2=3

〃+14+13

111

C---------------——D.%—4=3

•2+1n+13

【变式1-1］（2023春•海南•高三校）如图，在等腰梯形ABCD中，ADUBC,AB=BC=CD=3AD,点、E

为线段8的中点，点尸是线段8c上的一点，且FC=5BF,则尸E=（）

-BC+-BAC.-BC+-BAD.-BC+-BA

32433422

【变式1-2］.（2023春・江苏盐城•高三校联考阶段练习）在平行四边形ABCD中，E是线段5D的中点,

若=+则〃?+〃的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【变式1-3］（2023秋•新疆博尔塔拉•高三校考开学考试）如图，在平行四边形ABC。中，£是2C的中点,

F是线段AE上靠近点A的三等分点,则。户等于（）

B.-AB--AD

33

13

C.-AB--ADD.-AB--AD

3634

题型09基底：换基底型

【解题攻略】

若华、4是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量〃，有且只有一对实数4、4,

特别提醒：不共线的向量4、4叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意

向量〃都可被这个平面的一组基底,、4线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.

【典例1-1］设向量｛竹©｝是平面内一个基底，且〃=q+24乃=-q+4，则向量q+与可以用另一个基底

表示，即%+e2.

【典例1・2】已知a=—6+34，b-4^+2^2,c=—3,+24,右以人与c为一'组基底，则用匕与c表不〃=

【变式1”】若a,4是一组基底，向量7=xa+y尸（x,"R）,则称（%,y）为向量/在基底a,夕下的坐标，

现已知向量〃在基底p=（1,-1）,4=（2,1）下的坐标为（一2,2）,则〃在另一组基底根=（—1,1）,〃=（1,2）下的坐

标为________

【变式1・2］设q©是平面内一组基底，且1=令+2%，b=-ex+/，则向量q+6可以表示为另一组基底

的线性组合，即q+6二—.

【变式1.3】已知令与与不平行，且a=—q+3e2，b=4e1+2^2,c=-3e1+12^2,若以人、d为一组基底,

则〃用Z?、c可表示为

题型10基底：两线交点型

【解题攻略】

向量共线定理（两个向量之间的关系）：向量6与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数X,使得

b=Aa-

变形形式：已知直线/上三点A、B、P,。为直线/外任一点，有且只有一个实数X,使得：

OP=（l-AyOA+AOB.

特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“aw0”，否则几可能不存在，也

可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当

两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这

两条直线不重合.

【典例1-1】（2023•陕西咸阳•统考三模）如图，在ABC中，点。为8C边的中点，O为线段AQ的中点,

连接CO并延长交于点E,设A8=a,AC=6，则CE=（）

13,„1

A.—a——bB.-a-b

444

113

C.—a—bD.—a-----b7

334

AF1

【典例1・2】（2023・高一课时练习）如图，在ABC中,是8C边上的中线，尸是A。上的一点，且不1=二,

FD5

连接CT并延长交A3于£,若A石=4防，则2等于（）

D-A

【变式14】（2022.全国•高一专题练习）在△Q4B中，已知QA=3OC，OB=2OD，且AO与的交点为

M,石是04中点，又直线ME与线段03交于点凡若OF=4OB,则实数X的值为.

【变式1・2】（2022•全国•高三专题练习）如图，平行四边形A3C0的两条对角线相交于点。7AE=5AB，

AD=4AF^石厂交AC于点K,AK=WA，则实数丸的值为.

【变式1-3］（2023春.湖南岳阳.高一湖南省校考期末）在11ABe中，BE=gEC,D是AC

..X

的中点，^AC=xAE+yBD,则一=（）

y

A.士B.2C.-D.3

22

题型U基底：面积比值型

【典例1-1］（2023春•全国•高三专题练习）设。、P为一ABC内的两点，且满足AD=e（A2+AC）,

AP=AD+~BC,则於皿=

103△ABC

32

【典例1・2】（2023•全国•高三专题练习）若点M是.ABC所在平面内一点，且满足：AM=~AB+-AC.则

与ABC的面积之比为.

］1\13

【变式1-1］（2023春•全国•高三专题练习）四边形ABCD中，=。。=。，1），冏氏4+6⑶=内即，

nAnCn/J

则四边形ABC。面积为（）

A.73B.72C.2D.

13

【变式1-21（2023春•四川南充•高三校考阶段练习）已知点。、G为」ABC所在平面内的点，AD=-AB+-AC

44f

AG=^（AB+AC）,记SBC、S△物分别为，ABC、BDG的面积，那么沁（）

3'7^AABC

【变式1-3］（2023春•高三单元测试）已知点。为ABC所在平面上一点，且满足04+408+（1+%）000,

若QC的面积与，。钻的面积比值为1:4,贝□的值为（）

A.gB.-C.2D.3

23

题型12基底：赵爽弦图型

【典例1-D我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.

如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知"E=2EB,M为线段AB的中

点，设户为中间小正方形EFG”内一点（不含边界）.若MP=4ME-MB，则X的取值范围为.

Dp；—----------fC

M'B

【典例1-2】赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆

方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组

成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的

一个较大的等边三角形，设DF+2AF=0，若AD=4AB+〃AC,则可以推出九一〃=.

【变式1-1】《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾

股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形ABCD

是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.

现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若A/=6,BF=4M,G,尸两点间的

距离为2而■，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（）

A.9B.4C.3D.8

【变式我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为

“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”

中，已知===,则人石=（）

A.与+~B,3。+丝b34-

C.D.-a+-b

252525255555

题型13数量积最值范围

【解题攻略】

求最值基本思维：

（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减

或数乘运算.

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论

表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

（3）具有特殊条件向量，可以考虑三角换元求最值

【典例1-1】（2023秋•河北保定•高三校联考开学考试）已知边长为2的菱形ABC。中，点尸为题）上一动

点，点E满足BE=3EC，AEBD=-^,则A尸"的最大值为（）

24

A.0B.-C.-D.3

33

【典例1-2】（2023•河北沧州•校考三模）在.ABC中，若===|联|=|浅|=2,A=120°,

则APAB的取值范围为（）

A.[—2,8]B.[—2,6]C.[T,6]D.[T，8]

【变式1-1]（2024秋.内蒙古呼和浩特•高三统考开学考试）已知定点尸（2,1）,。为坐标原点，点A是圆。

上的一点，且圆。的半径为1,则PA-PO的最大值为（）

A.5B.3+75C.5+75D.8

【变式1-2]（2023秋・云南大理•高三云南省下关第一中学校考开学考试）设一ABC的内角A&C的对边分

别为a,6,c,且62+c2+6c=q2,若角A的内角平分线AD=2,则24AC的最小值为（）

A.8B.4C.16D.12

【变式1-3]（2023春・北京海淀•高三清华附中校考）已知卜耳=1,|CD|=2,AD-AC=\AC^,则CHCD的

最大值为（）_

A.1B.2C.2-72D.4

题型14范围最值型：建系法

【典例1-1】（2023•全国・高三专题练习）已知平面向量b，C满足|a|=l,叫=2,|c|=3,且

则|a+b-c|的取值范围是（）

A.[3-君,3+百]B.（3,6）C.（3,3+75]D.[3-75,6）

【典例1-2]（2023春・广东东莞•高三东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在扇形。45中，。4=2,

ZAOB=90°,M是。4中点，点P在弧AB上，则尸匠心的最小值为（）

A.0B.2C.4-3亚D.4-275

【变式1-1]（2023秋・江西抚州•高三江西省乐安县第二中学校考开学考试）在平面四边形ABC。中，

AB=BC=2CD=2,ZABC=60,ZAZ）C=90,若P为边8c上的一个动点，则PAJC的最小值是（）

【变式1-2]（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）已知长方形ABC。的边长AB=2,BC=1,

P,。分别是线段BC,C。上的动点，ZPAQ=45°,则的最小值为（）

A.三B.4A/3—6

C.4A/2+4D.4忘-4

【变式1-3]（2023春.湖南永州.高三永州市第一中学校考开学考试）已知；MC是边长为4的等边三角形,

尸为..ABC所在平面内一点，贝|尸4（尸3+尸。）的最小值为（）

A.—8B.—6C.—4D.—2

高考练场

1.（2023•全国•高三专题练习）若非零向量入满足口=忖，（。-2方），“，则向量°与％的夹角为（）

,71—兀-2兀571

A.—B.-C.—D.—

6336

2.（2021•北京・中国人民大学附属中学朝阳学校高三阶段练习）已知〃=（-6,-1）/=（1,代），那么私的夹角

0=（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.（2022.山西.怀仁市大地学校高中部高三阶段练习）设向量三=（2,0）,&=（1,1）,则a与a-b夹角的余弦

值为（）

A.0B.—C.-也D.1

22

4..已知向量a、b,满足同=1,|b|=2,若对任意模为2的向量c，均有,七|+电。|<2夕，则向量0、b

夹角的取值范围是（）

A.[0,勺B.JmC.4,勺D.[0,与

33633

5.（2022上.北京•高三阶段练习）已知a=（-l,0,-1）力=（1,1,2）,则向量a在b方向上的投影数量为（）

A.一3B.--C.-逑D.渔

222

6.（2023・全国•高三专题练习）已知向量。=（-2,1）=（3,0）,e是与b方向相同的单位向量，贝〜在b上的投

影向量为（）

A.一非eB.y/5e

C.-2eD.2e

21

7.在一ABC中，BC=2BD，S.AD=-AB+-ACf则;1=（）

2i

A.2B.3C.-D.-

Jz

8.（2022春.陕西安康.高三校考）如图，在梯形ABCD中，BC=2ADDE=EC,设BA=a，BC=b，则

BE=（）

11,cl5,

A.-a+-bB.-CLH—b

2436

〃13]22

C.—a+—bD.—a—b

2433

9.若｛&4｝是一个基底，向量/=xa+y£（x,yeR）,则称（x,y）为向量/在基底｛a,/?｝下的坐标.现已知

7^=（1,-1）,q=（2,l）,加=（-1,1）,«=（1,2）,向量°在基底｛p,4｝下的坐标为（一2,2）,则“在基底｛/，力下

的坐标为.

10..如图，在ABC中，已知AB=2,AC=8,ZBAC=60°,BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点

P,则AR在2P上的投影为（）

8A/74A/3

~nD.

11.（2021秋・湖南•高三周南中学校联考开学考试）在中，E为AC上一点，AC=3AE，尸为BE上任

31

一点，AD^mAB-AF=nAC>Cm>0,〃>0）,若4P=A£>+Ab，则当一+—取最小值时，四边形ADPb

mn

的面积与一ABC的面积之比等于.

12.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，

用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，E,F,G,H分别是。尸，AG,BH,CE的

中点，^AG=xAB+yAD,则2x+y等于（）

55

13.（2022春•高三单元测试）若平面向量Z,b,c满足卜-2@=2,aVb，c-（a+2b-2c）=-4,则=心+2%）的取

值范围是（）

A.[-2,4]B.[-1,3]C.[1,5]D.[1,4]

14.（2023春•浙江台州•高三温岭中学校考）已知尸是边长为2的正六边形A5CDEF内（含边界）一点，M

为边BC的中点，则的取值范围是（）

A.[-2,6]B.[-1,9]C.[-2,4]D.[-1,6]

第十三讲向量性质与基本定理应用

目录

题型01向量夹角：模型夹角.......................................................................1

题型02向量夹角：坐标型........................................................................2

题型03向量夹角：复合型........................................................................2

题型04向量夹角：恒成立与最值型.................................................................3

题型05投影与投影向量：投影数量.................................................................4

题型06投影与投影向量：投影向量.................................................................4

题型07线性运算：鸡爪基础型.....................................................................5

题型08线性运算：四边形........................................................................6

题型09基底：换基底型..........................................................................7

题型10基底：两线交点型........................................................................8

题型11基底：面积比值型........................................................................9

题型12基底：赵爽弦图型........................................................................9

题型13数量积最值范围..........................................................................11

题型14范围最值型：建系法......................................................................11

高考练场.................