山西省数学高考理数二模考试试卷

山西省数学高考理数二模考试试卷

姓名:班级:成绩:

一、选择题（共8题；共16分）

_1苣.1

1.（2分）（2020•九江模拟）若一=一22'，则二+5=（）

A.-n

B.3

C.-1

D.1

2.（2分）阅读如图所示的程序框图，如果输入的n的值为6,那么运行相应程序，输出的n的值为（）

IT蛤I

A.3

B.5

C.10

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D.16

3.（2分）（2020•淮北模拟）已知圆，4+E=r*>0）直线/A=2,则"l<r<3”是“C上恰

有两个不同的点到7的离为1”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

4.（2分）设函数f（x）=6sin2x+2cos2x-m,a,b,c分别是aABC的三个内角A,B,C所对的边，已

知b+c=2,f（A）=-1,在使得函数f（x）在［0,3］上有零点的所有m的取值中，当m取得最大值时，实数a

的最小值为（）

A.1

B.「

C.3

D.2V3

5.（2分）（2017•宜宾模拟）在2016年巴西里约奥运会期间，6名游泳队员从左至右排成一排合影留念，

最左边只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（）

A.216

B.108

C.432

D.120

6.（2分）如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则

该几何体的表面积为（）

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3

423

正视图侧视图俯视图

A.6兀+12

B.10Ji+36

C.5兀+36

D.6JI+18

7.（2分）已知函数f（x）=|2x-1|,当aVbVc时，f（a）>f（c）>f（b）,那么正确的结论是（）

A.2a>2b

B.2a>2c

C.2-aV2c

D.2a+2c<2

8.（2分）（2020高二下•成都月考）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分

时，回答如下：

甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.

事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（）

A.甲

B.乙

C.丙

D.甲或乙

二、填空题（共6题；共6分）

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*y*

9.（1分）（2020高二上•崇左期末）双曲线而一A=1的焦距是.

10.（1分）（2017•平谷模拟）如图，在矩形ABCD中，,点E为BC的中点，如果DF=2FC,

那么~iF-~RF的值是.

n+

11.（1分）（2020•桐乡模拟）等比数列的相邻两项小，X是方程v--2v+rn=0（nG.V）的两

个实根，记Tn是数列：G，：的前”项和，则7”=.

12.（1分）（2014•陕西理）在极坐标系中，点（2,北）到直线PsM"例―1的距离是.

1

!y-x<i

13.（1分）（2020高二上•安徽期中）若变量V,丫满足约束条件1,贝U二=2'--3的最小

值为.

14.（1分）（2016高一上•越秀期中）用列举法表示集合"={"热€》"，旭€2}=.

三、解答题（共6题；共55分）

15.（10分）（2019高三上•禅城月考）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建

立极坐标系，曲线ci的极坐标方程为P=4cosd,直线/的极坐标方程为℃0«8+5）=2后，两条曲线交于

-iB两点.

（1）求直线/与曲线G交点的极坐标；

|x=2cos^

（2）已知P为曲线C-b=sinp（。为参数）上的一动点，设直线1与曲线G的交点为-15,求

1P4R的面积的最小值.

16.（5分）（2017高三上•石景山期末）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27

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亿.微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18-36岁之间.为调查大学生这个

微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：

微信群数量频数频率

0至5个00

6至10个300.3

11至15个300.3

16至20个aC

20个以上5b

合计1001

(I)求a,b,c的值;

(II)若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；

(III)以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人,

记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX.

17.(5分)在四面体ABCD中，Z^ABC与ADBC都是边长为4的正三角形.求证：BC±AD

18.(10分)(2017高二上•哈尔滨月考)己知椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为

1

尸1、/2,长轴长为8,离心率为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F：的直线;与椭圆C交于点”、N,若城川=与，求的面积.

19.(10分)已知函数f(x)=alnx-ax-3(aGR).

(1)当a=l时，求函数f(x)的单调区间;

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(2)若函数尸f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问：m在什么范围取值时，对于任

意的t£[l,2],函数g(x)=x3+x2[2+f'(x)]在区间(t,3)上总存在极值？

20.(15分)(2019高二上•浙江月考)已知数列值；满足4S„-2n„=/,其中S,,为尿；的前n项和.

(1)求,内的值；

⑥一11

(2)求证：[2"6»是等比数列；

口-6n1—3加、+36a1—3<.（八"

（3）证明：对任意“€寸，都有1-3&7”+3・（-1）

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参考答案

一、选择题（共8题；共16分）

答案：1T、°

考点：复数代数出式的垂除运算

［快答］因为_____J也，所以一口巨」_更,一.

Z=~<XZ+==—5+-^L5-=一I

故答案为：C.

解析：【分析】根运算,即可求得结果.

答案:2-1、B

考点：真法的特点；程序0

［Utfr］ISiR框图的循环结构，=6,i=0；n=—=3,j=0+1=1；“=3x3+1=10,i=1+1=2；

“=12=5,i=2+1=3跳出循环，输出结果曾=5,故B正确.

解析：-

答案：3-1、C

考点：旗藤件、充分条件与充要条件的判*

解析：

【皖答】因为c上恰有两个不同的点到J的两为r,所以有1<r<3.

因此由*l<r<3>不一定能推出"c上恰有两个不同的点到/的高为V,但是由*c上恰有两个不同的点到］的高为

r一定能推出1<壮3成立，故"l<r43"是"C上恰育两个不同的点到/的离为1的必要不充分条件.

故答我为:C

【分析】根据直线与园的位置关系,结合充分性和必要性的定义进行求解即可.

答案：4T、A

考点：三角做中的1国料糜应用；3的数的国象

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解析：

【解答】解：f(x)=Gsin2x+2cos2x­m

=G«n2x+(cos2x+l)-m

=4sin2x*cos2x+l-m

=2sin(2x+4)+1•rn

o

.在使得函数f(x)在［0,专］上有零点,

.,.m=2$in(2x+4)+1在9,4］内有解

OZ

vOsxg4,

oo6

.-.0<2sin(2x+f)+1<3,

.,.0sms3.

•〔m最大值=3,

.\f(A)=2sin(2A+1)-2=-1,

•.sin(2A+1)=1,

..2A+f=f+2kn或2A+”冬+2kn,(keZ)

0OOo

.Ae(0,n),

:A=g.

•.b+c=2&2版.当且仅当b=c时be有6A(S】.

•.a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3be=4-3bc,

；.a有最小值1,此时b=c=l.

般：A.

【分析】利用二倍角及辅助角公式先对已知总数进行化简,易得m的值为3.通过已知的数解析式可以求得A二号.然后利用余

弦定理和基本不等式来求a的最小值即可.

答案：5-1、A

考点：排列、电合的实际应用

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解析:

【帐答】事：根据题意，最左边只能排甲或乙，则分2种情况讨论：①、最左边排甲,则先在剩余5个位式选一4^2,乙有5

种情况，

再将剜余的4个人至排列，安排在其余4个位宜,有心4=24种安排方法，

此时有5K24=120W＞情况，①.最左边排乙，由于量右靠不能排甲,则甲有S6澧可选，有饰情况，

再将剩余的2人全排列，安排S其余4个位置,有44=2仰安排方法,

此时有4x24=96种情况，

则不同的排法种数为120+96=21附；

SUS：A.

【分析】根据题意,分2种情况讨论：①、最左边^甲，①、最左边排乙,分别求出每一种情况的封防法数目，由分类计数原

理计算可得告案.

答案：6-1、8

考点：由三视屋本面护泳枳

【解答】由三视图可知儿何体为半13柱与直三棱柱的组合体,S=3x5+3x3+3x4+4n+6n=10n+36.

故答案为：B

解析：【分析］由加三视图得到谈几何体为半国柱与一棱柱的如台体,利用0B柱和接柱的表面积公式计算即可得结果.

答案：7-1、D

考点：分度困数的应用

解析：

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【解答】•,S»f(x)=|2x-l|,

.,.f(X)=2*-I.x>0

1-2X.x<0

画出的数图象如下图所示：

可知：函数f(X)在区间(-8,0)上单调递减，在区间(0,+8)上单强递瑙.

当0sa<b〈c时，f(x)在区间(0,+8)上单加瑁，不SSSf(a)>f(b)>f(c),因.

当a〈O〈c时，l-2a>2c-l,(tib2a+2c<2;

当a<b<csO时，f(x)在区间(-8,0]上笔调递减.

:.l>1-2a>1-2c20,

.-1,2a<1,

.-.2a+2c<2.

综上可知：D-e正确.

Sta：D.

【分析】附数f(x)=|2X-1|,可得f(x)=[2、~3x>°.画出困数图象.利用函数图象的单谒性和已知条件可得：当

1-2*.r<0

Ovavbvc时，不SJSf(a)>f(b)>f(c),因.当a〈O〈c时，1-2a〉？1,%2&+2c<2;当a<bv

c<W,f(x)在区间(-oo,0)上也满足2a+2c<2.

答案：8-1、A

考点：进行简单的合怖稣

【照答】假设甲说的是假话，即丙考'分，则乙也是侬,不成立；

假设乙说的是假话,即乙没有考清分,又丙没有考满分，故甲考满分；

因此甲得满分,故答案为：A.

解析：【分析】利用已知条件进行筒隼的合情樨1,从而分析判®f得篇分的同学.

二、填空题(共6题；共6分)

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答案：9-K【第1可20

考点：双雌州葡单性质

【帐誉】因为双曲线方程是=1

HWU.fl2=64,廿=36

c=^a-+b'=《64+36=10'

所以说双曲娃的焦距是2r=20.

故花友为：20

【分析】先由双曲线方程是否一苣=1东=64,廿=，再用c=+b‘^

答案：10T、【第1空】9

考点：平面向量数量积的运苴

第11页共19页

【解旬9;解：以A为原点,AB为x轴、AD为y轴建系如图，

.-.A（0,0）,B（3,0）,C（3,3^7）,D（0,3「）,

.•点E为BC的中点,

.'.E（3,§石），

.•点F在边CD上,且DF=2FC,

..F（2,3后）,

••・#=（2,3「）,^=（0,建）,

•・・米•瑟=2x0+3"x芈=9.

2SS":9.

解析:【分析】通过以A为原点.AB为府、AD为触建系,利用向量的坐标形式计算即可.利用向量的坐标形式计算即可.

【第1空】算4"-1)

答案:11—1、

考点:等比数列的前n项和;一元二次方程的解箧及其根与系数的关系

解析:

第12页共19页

【皖答】因为斯，4rH是方程.己一力+^:如逐'n的两个实根，

则由韦达定理得，%+4rH=2"，斯•。/1=。，

因为数列屈是等比数列,则数列｛%｝的公比g=籍等=3=2，又。1+。2=“1+0=2，所以苜项4+

,故％=°]・打】=5・产：

所以j=的-1=彳•2尸、1•20=5-4"-1•

故数列卜」是以|为首项,4为公比的等比数列，

耐x电工却，e

S«=：务4"-1)

【分析】利用书达定理,得到关于(1„,七1与J的两个恒等式，由其中一个求得等比数列｛%｝的公比与首项，带入另一个可

表示数列；cj的通项公式,进而由等比数列求和公式求得答案.

答案：12-1、【第1空】1

考点：茴里89：主的极坐标方程

解析：

【解旬解：点P(2.1)化为x=2cos*f.y=2sm1=1,：P(^i).

出外4"*)=1展开化为：,小访.5co/=1，化为直角坐标方程为：巧＞7一2=0，即.收尸2=拆

••点P科由泊勺距离d=同:⑹,=1.

故答宏为:1.

【分析】把极坐标化为直角坐标,再利用，券直线的2随公式即可得出.

答案：13-1、【第1空】2

考点：简里制规划

解析：

第13页共19页

（x+y>l

【解答】由约束条件］v-x<\，作出可行域如图中阴森部分，

h<1

由题得），=2x-z+3,它表示斜率为2,纵截距为3—z的直线■

当直线经过点j时，直线的纵战距最大,此时二最小.

迎;;二：二；，解得X（°，1），

...z=2x-,+3的最小值为2x0_l+3=2.

2KS"：2

【分析】首先根据题意作出平面区域，把目标函数转化为一次函数的截距由图可知当直线经过点A时直线在潮的截距最大求出

点A的坐标,代入直线方程求出z的值即可

答案：14-1、【第1空】；0」4,9}

考点：恁台的

【皖答】详解:焦合,眩={“器w",/nwz}.

当m=0时，-^r=10GAT*",

frr~k

当〃1=1时，3f=5GJV*»

nn~k

当m=4时，，

rfT^L

当刀1=9时，=1€JV**

Tfn~i

当机＞9时，显然^•

nr"L

.•・列举法表示集合”={0,1,4,9}，

故答室为：{0J49}.

解析：【阚若用5,则m+1为1。的IE维,列举可.

第14页共19页

三、解答题（共6题；共55分）

解：由户=4cos^，得〃=4pcos8»

所以》2+y2=4xr

由/)cos(e+1)=2亚,得/)co3-psin^=4,

又x=pcos^,y=psin^*

-J=4r

答案：15-1、配.

解：田（1）知直线/与曲线C1交点的直角坐标为（2,-2）,（4,0）.

所以L3=«2一4尸+（-2）2='

因此当JPAB的面积最“山，点p到直线/的距离也最小.

设点P（2COS9>,smp）1则点尸到直线/的距离为

|2co$ysm^4|询业。0H匹Hbg慎中._2「百）

d=一下一=市=-不—sina=-5-,cosa=—

故当sin（aT）=l时，d取得最小值，目4am=邛，

V2

械JP.1B面腌S4MB为［、0d1Hm=Jx2「x邛^=4-E

答案：15-2、-一射

考点：三角形中的几何计其；三角酥的最值；参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化

解析：

【分析】（1）把极坐标方程化为直角坐标方程为、2+产=公，x-y=4，解方程姐可得直线/与曲线g交点为

（2-2）,（4,0），化为极坐标为（2亚辅（4,0）•（2）由（1）可得房=2隹，故当点P到直线/的距离最岫，

JPAB的面积最小.故可设点p（2cos^,sinp），则点P到直线/的距离为

_12cos^-sink4S件co/"''收HkpHl俚中2^56），可得，_域，从

d=--------p-------=-----------产---------=」-----产-----sina=-cosa=-T-七皿-cr

V2痘m〉）W

而得JP.1B面积的最小值为4•.18•d1Hm=4-6

第15页共19页

解：（I）由已知得:0+30+30+a+5=100,

解得a=35,

1002010020

(口)记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A,

16

33

所以.2人中恰有1人徵信群个数超过15个的慨率为竺.

33

(in)依题意可知，微信群个数超过15个的概率为尸=三.

X的所有可能取值0,1,2,3.

则尸心0)=矶不喝*>、3嗜*>7

m=*；喂.

PiA-=3)=C；:|；,1-1；哈•

其分布歹蜘下:

X0123

P2754368

125125125125

所以，£Y=0x_^_+ix^-+2x^-+3x-^-=f

答案:16-1,1251251251255

考点：列举法计皿本事相R及重件发生的概率；离散型随机娈量及其分布列；离处随机变量的朗塑与方差

解析：

【分析】(I)由频率分布列的性质及频率望数,能求出a.b,c的值.(n)记“2人中恰有1人微信群个数超过15

•c^^SX

个-为事件A,利用等可能事件再率计其公式能求出2人中恰有1A微信群个数超过12的微率.(ID)依翅息可知,微信群个

数超过15个的概率为P=4.X的所有可能取值0,1,2,3,由此能求出xeg分布列和数学期里EX.

第16页共19页

解:取BC中点0,迩结AO,DO.

“ABC,ABCD«是边长为4的正三角形，

.\AO±BCrDO±BC,aAOADO=O,

.♦.BCJ■平面AOD.

又ADu平面AOD,

.\BCiAD.

答案：17-1、

考点：空间中侬与直线之间的位置关豕

解析：【分析】根辘湎垂直的性质证明BCJ■平面AOD即可证明BC^AD.

所以，椭圆方程为X：V2

16+l2=1

答案:18-1,

阴:设MN的方程为niy=1+2

12mv

（"少=x+2

=（碗2+4）*-12/wy-36=0

备2+4严=48心与=_温

•|AfM=2/j+，Xi+、J=苧=〃*=1

答案：18-2、所以，SMV&=写有

考点：椭圆的应用

解析：

【分析】⑴本题利用长轴长公式2a=8和离心率公式e=£求出a和c,再利用a,b,c三杳的关系式苏=y+。二求出椭圆的标准方

程.

(2)本题利用直线与国相交的位置关系联立直线和圆的方程求出关于戒L元二次方程,在结合韦达定理

y+y^=.|午、=得，利用弦长的条件与a和efi送系式求出m的值,最后利用三角形面积公式底乘以言滁以2求出面积

SsMNFf

第17页共19页

解:函数f(x)=alnx-ax•3,f(x)=5-a(x>0)

当a=l«,「(x)=_l-1=，令「(x)>0,则Ovxvl;

XX

答案：19-1、「(x)<0,则X>1.故的数f(x)的典&S区间为(0,1)，减区间为(1,+8)•

解:由于函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的铀角为45°,

则f(2)=1.即号-a=l,

厢如=-2,/0)=了+2.

则gfx)="+x揩+2-置="+修+2卜2-2x，

g'(x)=3x2+(4+m)x-2,

因为任意的ten,2],函数式x)=x3+x彳4+/(x)]在区间(t,3)上总存在极值,

如3)>0

答案：19-2、一¥<刑<一9•

考点