3.1全国教程不等关系与不等式

3.1全国教程不等关系与不等式3.1不等关系与不等式1．如果a－b是正数，那么a________b；如果a－b等于零，那么a________b；如果a－b是________数，那么a<b，反过来也对．答案：>＝负2．如果a>b，那么b________a；如果b________a，那么a>b，即a>b⇔b________a.答案：<<<3．如果a>b，b>c，那么a________c.答案：>4．如果a>b，c∈R那么a＋c________b＋c.答案：>5．如果a>b，c>0，那么ac________bc.如果a>b，c<0，那么ac________bc.答案：><6．如果a>b，c>d，那么a＋c________b＋d.答案：>7．如果a>b>0，c>d>0，那么ac________bd.答案：>8．如果a>b>0，那么an________bn，(n∈N，n≥2)．答案：>答案：>b>a性质１:反对称性a<b性质２:传递性性质３:可加性性质４:可乘性性质５:可加性

(同向不等式可相加)

性质６:(正数同向不等式可相乘)

性质７:乘方法则

性质８:开方法则1．不等关系与不等式有什么区别？答案：不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“a>b”、“a<b”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的．不等式基本原理a－

b>0<=>a>ba－

b=0<=>a=ba－

b<0<=>a<b作差比较法比较两数（式）的大小的最基本和首选的方法：例1解:比较两个数(式)的大小的方法:作差,与零比较大小.练习：1．已知a<b<c，且a＋b＋c＝0，则 ()A．b2－4ac>0 B．b2－4ac＝0C．b2－4ac<0D．不能确定b2－4ac的符号解析：∵a<b<c，且a＋b＋c＝0，∴a<0，c>0，∴b2－4ac≥－4ac>0.答案：A练习2．x＝(a＋3)(a－5)与y＝(a＋2)(a－4)的大小关系是 ()A．x>y B．x＝yC．x<y D．不能确定解析：x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝－7<0，∴x<y.答案：C3．已知a>b，c>d，且c、b不为0，那么下列不等式成立的是 ()A．ab>bc B．ac>bdC．a－c>b－d D．a＋c>b＋d解析：∵a>b，c>d，由同向不等式可加性得a＋c>b＋d.答案：D4．已知a<b<0，那么下列不等式成立的是 ()A．a3<b3 B．a2<b2C．(－a)3<(－b)3D．(－a)2<(－b)2解析：∵a<b<0，∴a3<b3.答案：A1．两个实数比较大小关系在数学问题中经常要遇到比较大小问题，其方法有两个，一是作差比较法；二是作商比较法．(1)作差比较法是比较大小的主要方法，它是将两个数(或式子)作差，并由“差”与0的大小关系，即“差”的正负号而比较出两个数的大小关系．(2)作商比较法的前提条件是两个正数的大小比较，特别适合一些指数幂式子的大小比较，它是将两个正数(或式子)作商，并由“商”与1的大小关系而得到两个数的大小．2．利用不等式性质判断不等关系不等式的性质是判断不等关系的理论依据和方法．不等式的性质较多，要注意识记和准确地理解与应用．特别要注意某些性质的限制条件，以防乱用和混用．(1)同向不等式不能相减．(2)异向不等式不能相加．(3)两边同乘或除以一个负数，不等式要反向．(4)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd

与a>b，c>d⇒ac>bd（错误命题）易混淆，其中，应注意它们的区别，前一个各项为正，后一个没有正负，故不成立．题型一比较大小【例1】比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．典例剖析步骤：比较大小的一般步骤是：作差——变形——定号，变形是比较大小的关键，是最重要的一步，因式分解，配方，凑成若干个平方和等，是“变形”的常用方法．1．设m＝(x＋6)(x＋8)，n＝(x＋7)2，则()A．m>nB．m≥nC．m<nD．m≤n解析：∵m－n＝(x＋6)(x＋8)－(x＋7)2＝x2＋14x＋48－(x2＋14x＋49)＝－1<0，∴m<n.答案：C题型二不等式的性质的应用(4)显然c2>0，∴两边同乘以c2得a>b.∴(4)对．注：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需要的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定．2．适当增加条件，使下列各命题成立．误区解密对不等式性质理解有误【例3】已知－1≤a＋b≤1①，1≤a－2b≤3②，求a＋3b的取值范围．错因分析：错解中用了同向不等式相减从而扩大了所求代数式的取值范围，导致范围不准确．正确的解法是所求问题用已知的不等式进行表示，根据已知不等式的取值范围，利用同向不等式相加的性质进行求解．注意同向不等式不能相减或相除．正解：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，典例分析：练习已知变式1：若a>b,结果会怎样？变式2：若没有a<b这个条件呢？问题b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添上m克糖（m＞0），则糖水就变甜了，由此，你得到了什么启发？练习1．不等式的性质是不等式变形的依据．每一步变形，都应有根有据．记准适用条件是关键．2．关于处理带等号的情况；由a>b，b≥c或a≥b，b>c均可推得a>c，而a≥b，b≥c不一定可以推得a>c，可能是a>c，也可能是a＝c.总结