自动控制系统（第3版） 课件 第3章 控制系统时域分析

第3章控制系统时域分析3.1引言3.2控制系统暂态性能分析3.3线性定常系统的稳定性分析3.4控制系统的稳态误差分析3.1引言控制系统在典型输入信号作用下的动态过程的品质及稳态性能直接表征了系统的优劣。稳定性是系统正常工作的首要条件，线性系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定，而与系统的输入无关；稳态误差是系统的稳态性能指标，它标志着系统的控制精度；系统的时域响应可定性或定量分析系统的动态性能。介绍了如何用MATLAB和SIMULINK进行瞬态响应分析。系统稳定的充分必要条件，Routh判据，误差与稳态误差的定义，静态误差系数及系统的型号，线性定常一阶、二阶系统的时域响应及动态性能的计算，高阶系统的主导极点，偶极子及高阶系统的降阶.对于不同的系统，例如线性的、非线性的、定常的、时变的系统，稳定性的定义也不同，本章仅讨论线性定常单输入单输出系统的稳定性．从控制系统分析和设计的角度来说有绝对稳定性和相对稳定性，绝对稳定指系统是否稳定，一旦系统是稳定的，则人们更关心其稳定的程度，这就是相对稳定性，相对稳定性一般用稳定裕度衡量.当系统受外加作用时引起的输出随时间的变化规律，称其为系统的时域响应，分为暂态响应和稳态响应．暂态响应是指系统输出量当时间趋于无穷时趋于零的那部分时间响应，工程上一般定义暂态响应为从初始状态到达某一规定值（例如偏离终值的误差值在终值的5%或2%以内）并且以后不再超过此值的这一部分时间响应过程，它反映控制系统的快速性和阻尼程度，由于系统物体的惯性都是无法避免的，因此人们常常可以观察到暂态现象．而稳态响应则是整个响应在暂态响应消失后余下的那部分响应，主要指系统输出量的最终位置，它反映控制系统的准确性或控制精度，控制系统是按照稳态误差和误差系数的计算来表示控制精度的．3.1.1典型输入信号1、控制系统性能评价分为暂态性能指标和稳态性能指标两大类．对于同一系统，在不同的输入信号作用下会产生不同的输出响应，因此为了求解系统的时间响应，必须了解输入信号的解析表达式2、在分析和设计控制系统时，需要有一个对控制系统的性能进行比较的基准，这个基准就是系统对预先规定的具有典型意义的实验信号激励下的响应3、一个复杂的信号通常可看作是几个简单典型信号的合成.典型输入信号：控制系统分析与设计中常常遇到的一些输入信号，也是在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。需要满足以下几点：1）输入信号的形式应反映系统响应的实际输入；2）输入信号在形式上应尽可能的简单，应当是实验室或仿真可以获得以便于对系统响应进行分析的信号；3）应选取能使系统工作在最不利情况下的激励信号作为输入信号满足以上条件典型信号有：3.1.2时域性能指标稳定是系统工作的前提，只有系统是稳定的，分析系统的暂态和稳态性能以及性能指标才有意义．控制系统时域性能指标（TimeResponseSpecifications）分为暂态与稳态性能指标．1.暂态性能指标一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态，如果系统在阶跃函数作用下的暂态性能满足要求，那么系统在其它形式函数作用下其暂态性能也是令人满意的．为此，通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的暂态性能．描述稳定的系统在阶跃函数作用下暂态过程随时间t

的变化状况的指标，称为暂态性能指标1）调节时间(settlingtime，ts)指阶跃响应到达并保持在终值的5%（或2%）的误差带内所需时间．2）峰值时间(peaktime)tp

：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间．3)上升时间(risetime)tr：响应从终值的10%上升到终值的90%所需时间.对振荡系统,工程上上升时间

定义为输出从零到第一次上升至终值所需时间.4）超调量(peakovershoot)σ%：响应的最大峰值与终值的差与终值比的百分数，即：超调量常常用来衡量控制系统的相对稳定性或阻尼程度，一般不希望控制系统有很大的超调．

在实际应用中，以上四个指标可以用来衡量控制系统的暂态特征，一般通过测量系统的阶跃响应，很容易得到这些指标．通常，用tp

或tr

评价响应速度；用

评价系统的相对稳定程度或阻尼程度；用ts同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标．除简单的一、二阶系统外，要精确确定这些暂态性能指标的解析表达式是很困难的。2.稳态性能指标

稳态误差ess

是衡量系统控制精度或抗扰动能力的一种度量．工程上指控制系统进入稳态后（

）期望的输出与实际输出的差值，

越小，控制精度越高。3.2控制系统暂态分析3.2.1一阶系统的时域分析

凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。其典型结构图及传递函数为：RC

r(t)c(t)1Ts﹣+R(s)C(s)13tc(t)０T

2T3T4T

当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。1单位阶跃响应

响应曲线在[0，）的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应。时间常数T反映系统响应过程的快慢，T越小，系统响应越快；反之，系统响应越慢．0.6320.950.9820.8651.014一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts定义：︱c(ts)

1︱=

(

取5%或2%)

一阶系统响应具备两个重要的特点：①可以用时间常数T去度量系统输出量的数值。②响应曲线的初始斜率等于1/T。０T

2T3T4T

tc(t)0.6320.950.9820.8651.0152单位斜坡响应

[r(t)=t]tc(t)0r(t)=tc(t)=t﹣T+Te﹣t/T

稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后了一个时间常数T的斜坡函数。TT163．单位脉冲响应[δ，R(s)=1]

它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲响应函数，以h(t)或g(t)标志。

求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。另外，如已知某典型信号的响应可求出其它信号的响应。对应T2T3Tth(t)01/T0.368/T0.135/T0.05/T17线性定常系统的重要性质2.在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定。

1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的导数：3.2.2典型二阶系统的时域分析18二阶系统的数学模型标准化二阶系统的结构图为：闭环传递函数为

二阶系统有两个结构参数

(阻尼比)和

n(无阻尼振荡频率)

。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。s(s+2

n)R(s)C(s)

n2

﹣+微分方程式为：19

对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的含义是不同的。

例如RLC电路RCr(t)c(t)L20

j

0二阶系统的闭环极点二阶系统的闭环特征方程，即

s2+2

ns+

n2=0其两个特征根为：

上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比

的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有不同的分布规律。分述如下：s1s2(1)

>1时，特征根为一对不等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为过阻尼的。

(2)

=1时，特征根为一对等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为临界阻尼的。21(3)

0<

<1

时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面的左半平面上，使得系统的响应表现为欠阻尼的。

j

0s1=s2=

n

ns1s2

j

d

n

j

0(4)

=0时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上，使得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡过程。22

j

0

j

n

j

0(5)

<0时，特征根位于s平面的右半平面，使得系统的响应表现为幅值随时间增加而发散。23

j

0s1s2

j

0s1=s2

ns1s2

j

d

n

j

0

j

0

j

n

阻尼比取不同值时，二阶系统根的分布241.二阶系统的单位阶跃响应由式，其输出的Laplace变换为式中s1，s2是系统的两个闭环特征根。

对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达式。阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s平面上的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论。（1）欠阻尼情况25

j

ns1s2

j

d

n0

26

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成：稳态分量为1，表明系统在1(t)作用下不存在稳态位置误差；瞬态响应是阻尼正弦项，其振荡频率为阻尼振荡频率，而其幅值则按指数曲线衰减，两者均由参数

和

n决定。

无阻尼情况

c(t)=1cos

nt(t>0

)c(t)t01c(t)t0（2）临界阻尼情况

s1,2=

n27

此时响应是稳态值为1的非周期上升过程，c(t)单调上升；整个过程不出现振荡。tc(t)01（3）过阻尼情况28

响应特性包含两个单调衰减的指数项，且它们的代数和不会超过1，因而响应是非振荡的。29横坐标

nt

，曲线只是

的函数。

=0,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,230

p欠阻尼二阶系统的动态性能指标

用tr

,

tp

,

p

,

ts

四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。

c(t)t010.50.05或0.02tr

tp

ts(1)上升时间tr

：从零上升至第一次到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量。tr越小，响应越快。31(2)峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。32(3)超调量

p

：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比表示。33

p只是

的函数，其大小与自然频率

n无关。

=0.2

p=52.7%=0.4

p=25.4%=0.6

p=9.5%

=0.707

p=4.3%

p

(4)调节时间ts

：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5~2%所需要的时间。

c(t)c()c()(t

ts)34

工程上，当0.1<

<0.9

时，通常用下列二式近似计算调节时间。△=5%△=2%35总结：各性能指标之间是有矛盾的。(1)ωn

一定，使trtp

使ts

(

一定范围)必须必须必须(2)

一定，使

trtpts

ωn

(3)

p

只由

决定必须36例3-1单位负反馈随动系统如图所示(1)确定系统特征参数与实际参数的关系。(2)若K=16(rad/s)、T=0.25(s)，试计算系统的动态性能指标。解:(1)系统的闭环传递函数为与典型二阶系统比较可得：K/T=

n21/T=2

ns(Ts+1)R(s)C(s)K﹣+37(2)K=16，T=0.25时(=0.05)38例3-2已知单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试求系统的开环传递函数。

解：由系统的单位阶跃响应曲线，直接求出超调量和峰值时间。

p=30%tp=0.1求解上述二式，得到

=0.357，

n=33.6(rad/s)。于是二阶系统的开环传递函数为1c(t)t01.30.13.2.3高阶系统的时域分析G(s)，H(s)

一般是复变量s的多项式之比，故上式可记为39高阶系统的阶跃响应控制系统的基本结构如图所示。其闭环传递函数为G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)40式中0<

k<1

。即系统有q个实极点和r对共轭复数极点。取拉氏

反变换，并设全部初始条件为零，得到系统单位阶跃响应的时间表达式：

根据能量的有限性，分子多项式的阶次m不高于分母多项式的阶次n。对上式进行因式分解，可以表示为41

上式表明，如果系统的所有闭环极点都具有负实部，系统时间响应的各暂态分量都将随时间的增长而趋近于零，这时称高阶系统是稳定的。闭环主导极点

1）高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由

pi，

k

k决定，也即闭环极点负实部的绝对值越大，相应的分量衰减越快。

2）各分量所对应的系数由系统的零极点分布决定。当某一极点越靠近零点，而远离其他极点和原点，则相应系数越小，该瞬态分量的影响就越小；式中；

k=arccos

k

；Ak、Bk是与C(s)在对应闭环极点上的留数有关的常数。42

当某一极点远离零点，越靠近其他极点和原点，则相应系数越大，该瞬态分量的影响就越大；一个零点和一个极点距离非常近，把这一对零极点称为偶极子。

3）系统的零极点共同决定了系统瞬态响应曲线的形状。根据上述，把系数很小的分量，远离虚轴衰减很快的分量常常忽略，高阶系统就可用低阶系统来近似估计。

4）对系统瞬态响应起主导作用的极点，称为主导极点。

应用闭环主导极点的概念，可以把一些高阶系统近似为一阶或二阶系统，以实现对高阶系统动态性能的近似评估。

43一般情况，高阶系统具有振荡性，所以主导极点常常是一对共轭复数极点。找到了一对共轭复数极点，高阶系统的动态性能就可以应用二阶系统的性能指标来近似估计。44试求阶跃响应。解：c(t)=1

1.1e

t+0.11e

10t

≈

1

1.1e

t主导极点是s=1

，这时系统传递函数近似为一阶:tc(t)01例3-3已知闭环传递函数为4546例3-4已知闭环传递函数为试求阶跃响应。解：

j

0

1

10

1.25c(t)=1

0.22e

t

0.78e

10t47tc(t)01

0.22

0.78

0.78e

10t

0.22e

t

（1）零点不影响系统动态响应分量的个数，也不影响系统的稳定性；（2）零点改变了系统动态响应的形状；（3）过渡过程要快。零点起微分加快作用。48

零极点分布对系统动态响应的影响:

1）极点决定系统固有运动属性。

2）零点决定运动模态的比重。

3）若闭环极点离虚轴较远，则对系统的动态性能影响不大。反之，则影响较大。

4）增加闭环零点，将会提高系统的响应速度。闭环零点越靠近虚轴，这种作用将会越显著。

5）增加闭环极点，将会延缓系统的动态响应，也即响应速度变慢。且离虚轴愈近，其作用愈显著。MATLAB分析控制系统时域响应读者可自行在宿舍或实验室上机仿真学习。3-3线性定常系统的稳定性分析3.3.1稳定性定义及线性定常系统稳定的充分必要条件控制系统的稳定性是相当重要的，不稳定的系统是没有意义的．但对于不同的系统，如线性的、非线性的、定常的、时变的系统而言，稳定性的定义也是不同的．本节只讨论SISO线性连续时间定常系统的稳定性．定义１有界输入、有界输出（BIBO）稳定性．

如果某系统它在一个有界输入或扰动作用下其响应也是有界的，我们称该系统为有界输入有界输出（BIBO）稳定的，简称系统稳定．证:假设在零初始条件下，线性定常系统的输入、输出和单位脉冲响应分别为

由卷积公式得：≤当输入

有界时，

≤

M，其中，

M是有界的正实数．则显然，对于任意正实数Q，如果有下式成立：

则，|c(t)|必为有界，这就意味着单位脉冲响应曲线的绝对值|g(τ)|

对时间τ的面积必须为有限值，即，响应曲线是收敛的，称为系统是BIBO稳定的，或稳定的；否则，系统不是BIBO稳定的，称为不稳定．

下面进一步考察线性定常系统特征方程的根和稳定性之间的关系．≤传递函数取绝对值因为复变量又因如果是特征方程的根即传递函数的极点根据传递函数的性质知道，则于是有：如果特征方程至少有一个根在右半s平面或在虚轴上，则σ≥0即|e-σt|≤1=M,于是有显然不满足BIBO稳定条件．因此，要满足BIBO稳定，则特征方程的根都必须位于左半复平面.定义２线性定常连续时间系统的零输入和渐近稳定性．

对线性定常连续时间系统，完全由初始条件c(i)(0)产生的零输入响应c(t)

，若当t

趋于无穷时c(t)等于0，则我们称该系统是零输入稳定的，简称稳定，或渐近稳定的，反之，则称系统是不稳定的．证设线性定常系统在给定r(t)、扰动

f(t)及初值

作用下的响应为：例如：初值则系统在输入信号r和初始条件激励下的输出为：特征方程：特征方程的特征根如果输入为阶跃信号，即，则该系统的阶跃响应t≥0所以线性定常系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，即特征方程的特征根，而与外界输入无关．因而可取：考察系统的零输入响应取拉氏反变换得是系统特征程的单实根部分，是特征方程共轭复根的实部如果线性定常系统，即所有特征根平面时，则有则称该线性定系统是零输入稳定的，也简称渐近稳定的或稳定的．具有负实部或均在左半s如果线性定常系统有一个或一个以上特征根具有正实部;或如果有部分特征根在虚轴上,即

σi=0（指重的纯虚根）,而其余的特征根即使均在左半s平面,也有

，则称该系统是不稳定的

如果有部分特征根在虚轴上，即σi=0（指单的纯虚根，而不是重的纯虚根），而其余的特征根均在左半s平面，则系统处于临界状态，此时

（常数）,则称系统的稳态响应为等幅振荡，系统处于临界稳定或临界不稳定状态MATLAB验证MATLAB验证综上所述，线性定常系统稳定的充要条件是其全部特征根应满足Re(pi)<0,(i=1…n)，或全部特征根均在左半s平面．即，对于线性定常系统，BIBO、零输入和渐近稳定性均要求特征方程所有的特征根均位于复平面的左半平面．线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有性能，而与外界条件无关；而非线性系统的稳定性相当复杂，可能与初值和外加激励有关，也可能出现稳定的自激振荡现象．3.3.2劳斯(Routh)判据

设n阶系统的特征方程为

D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0=an(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0

先考查特征方程系数，若特征方程中有负数或零（缺项），则该系统是不稳定的.结论：线性定常系统稳定，则特征方程的系数一定均为大于零，反之如果线性定常系统特征方程的系数均大于零，则控制系统不一定是稳定的．这就是线性定常系统稳定的必要条件．将上式的系数排成下面的行和列，即为劳斯阵列(劳斯表)

snanan-2

an-4an-6……sn-1an-1an-3an-5an-7

……sn-2b1b2b3b4……sn-3c1c2c3c4……………s2f1f2s1g1s0h1其中，第一行和第二行是由特征方程各项的系数构造的表头

如此类推．计算时，为简化运算，可用一正数去乘或除某一行各项，不改变稳定性结论，若劳斯表第一列各数均为正数，则控制系统是稳定的．若第一列有负数，则控制系统是不稳定的，且符号改变的次数表示系统在右半平面根的个数．例3-9已知系统特征方程

方程无缺项，且系数大于零。列劳斯表：

劳斯表中第一列元素大于零，系统是稳定的，即所有特征根均s平面的左半平面。例3-10系统特征方程为各项系数均大于零。列劳斯表：

劳斯表中第一列各元素符号不完全一致，系统不稳定。第一列元素符号改变两次，因此系统有两个右半平面的根。

例3-11系统特征方程

它有一个系数为负的，有劳斯判据的系统不稳定。但究竟有几个右根，仍需列劳斯表：

劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2个右半平面的根

有两种特殊情况需要说明：＊1.劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该行其它元素并不为零，则在计算下一行第一个元素时，该元素必将趋于无穷大，以至劳斯表的计算无法进行。＊2.劳斯表中某一行的元素全为零。则表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实根或虚根，系统是不稳定或临界状态。

例3-12系统特征方程

列劳斯表

显然，劳斯表第一列出现了负的数值，并且系数的符号改变了两次，所以该系统有两个特征根在右半

平面，系统是不稳定的．用MATLAB求解系统的特征根为：-1.8832，0.2071±0.978i，-0.53，看出有一对位于右半

平面的共轭复根，系统不稳定．这与劳斯稳定判据的结果一致．1）劳斯表某行第一列系数为零，而该行其余项中某些项不为零情况例3-13系统特征方程为列劳斯表：由于s3

行出现全零行，故用s4行系数构造如下的辅助方程：2）某行每一项的系数都为零求导把

方程的系数代入全零行继续按劳斯表的计算原则进行计算，得：看出劳斯表第一列无符号改变，但由于辅助方程

的根在虚轴上，所以系统处于临界状态实际上可以解出该系统特征方程的特征根为3.3.3赫尔维茨判据

设系统的特征方程式为以特征方程式的各项系数组成如下行列式及其顺序主子式

全部为正，即显然，当系统特征方程阶次高于3次时，赫尔维茨方法计算工作量大．后来李纳德（Lienard）已证明，当所有时，则系统稳定的．例用赫尔维茨判据分析右图所示系统的稳定性解因为该系统的开环传递函数为特征方程为于是有赫尔维茨判别式为所以，闭环控制系统是稳定的劳斯判据不仅可判断线性定常系统的绝对稳定性，而且还可确定系统的相对稳定或稳定裕量．例系统结构图如图所示，1）试确定系统稳定时K的取值范围3.3.4劳斯稳定判据的应用2）若要求系统特征根具有

的稳定裕量，的取值范围为多少？解因为闭环系统的特征方程为：劳斯表为：显然，要保证劳斯表的第一列全为正数，即控制系统是稳定的，则要求增益的取范围欲使该系统具有

的稳定裕量，如图3.33所示的阴影部分，利用坐标平移，可令

代入原特征方程中化简得：新列写劳斯表得：要保证劳斯表的第一列全部大于零，即K的值范围应为0.675<K<4.8时，该系统具有σ=1的稳定裕量．可见，稳定裕量要求越大，所允许的比例增益

将越小．由本例也得到一个重要结论就是通常系统的比例增益越大，则对控制系统稳定性越不利．相对稳定性和稳定裕量

相对稳定性即系统的特征根在s平面的左半平面且与虚轴有一定的距离，称之为稳定裕量。为了能应用上述的代数判据，通常将s平面的虚轴左移一个距离δ，得新的复平面s1，即令s1=s+δ或s=s1-δ得到以s1为变量的新特征方程式D(s1)=0，再利用劳斯判据判别新特征方程式的稳定性，若新特征方程式的所有根均在s1平面的左半平面，则说明原系统不但稳定，而且所有特征根均位于-δ的左侧，δ称为系统的稳定裕量

第3章控制系统的时域分析3.4系统的稳态误差通常系统的控制目标之一就是要求系统输出的稳态响应要精确跟踪期望的参考输出信号，系统的稳态误差ess(Steady-stateErrors)是控制系统精度（准确度）的一种度量，常称为稳态性能．在控制系统分析与设计中，稳态误差是一项重要的技术指标，要求稳态误差最小化，或保持在某个可以接受的范围内，同时暂态响应也必须满足一套相应的指标要求．显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义．本章主要讨论线性控制系统由系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差，即原理性稳态误差的计算方法，其中包括系统类型与稳态误差的关系．3.4.1误差及稳态误差的定义

系统的误差e(t)一般定义为被控量的希望值与实际值之差。即

e(t)=被控量的希望值—被控量的实际值

对于下图所示的反馈控制系统，常用的误差定义有两种

1.输入端定义2.输出端定义当图中反馈为单位反馈时，即H(s)=1时，上述两种定义可统一为

误差响应e(t)与系统输出响应c(t)一样，也包含暂态分量和稳态分量两部分，对于一个稳定系统，暂态分量随着时间的推移逐渐消失，而我们主要关心的是控制系统平稳以后的误差，即系统误差响应的稳态分量——稳态误差记为ess。定义稳态误差为稳定系统误差响应e(t)的终值。当时间t趋于无穷时，e(t)的极限存在，则稳态误差为

由拉普拉斯变换的终值定理计算稳态误差，则代入E(s)表达式得从上式得出两点结论：1.稳态误差与系统输入信号r(t)的形式有关；2.稳态误差与系统的结构及参数有关。3.4.2稳态误差的计算

1.系统的类型系统的开环传递函数G(s)H(s)可表示为

系统常按开环传递函数中所含有的积分环节个数来分类。把γ=0，1，2，…的系统，分别称为0型，Ⅰ型，Ⅱ型，…系统。

可得系统的稳态误差计算式为：2.单位阶跃输入作用当系统的输入为单位阶跃信号r(t)=1(t)时，其中Kp定义为系统静态位置误差系数。Kp的大小反应了系统在阶跃输入下消除误差的能力，Kp越大，稳态误差越小对于0型系统即开环传递函数中无积分环节对于Ⅰ型或高于Ⅰ型以上系统即开环传递函数中有积分环节3.单位斜坡输入作用当系统的输入为单位斜坡信号时r(t)=t·1(t)，即则有

其中

Kv定义为系统静态速度误差系数。

Kv的大小反应了系统跟踪斜坡输入信号的能力，Kv越大，系统稳态误差越小。对于0型系统

对于Ⅰ型系统

对于Ⅱ型或Ⅱ型以上系统

4.单位抛物线输入作用当系统输入为单位加速度信号时，即则系统稳态误差为其中定义为系统静态加速度误差系数。Ka的大小反应了系统跟踪加速度输入信号的能力，Ka越大，系统跟踪精度越高对于0型系统，Ka=0，ess=∞；对于Ⅰ型系统，Ka=0，ess=∞；对于Ⅱ型系统，Ka=K，；对于Ⅲ型或Ⅲ型以上系统，Ka=∞，ess=0。

表3-1各种输入下各种类型系统的稳态误差

输入形式稳态误差0型系统Ⅰ型系统Ⅱ型系统单位阶跃00单位斜坡∞0单位加速度∞∞1）0型系统对阶跃输入信号引起的稳态误差为一常值，Kp=K,误差大小与K有关，K越大，ess越小，但不为0，所以把0型系统称为有差系统2）在阶跃输入作用下，若要求系统稳态误差为0，系统至少是Ⅰ型或高于Ⅰ型的系统0型系统无法跟踪斜坡输入信号和加速度信号Ⅰ型系统在单位斜坡信号下，进入稳态时，有一个常值速度误差Ⅱ型及Ⅱ型以上系统可完全跟踪斜坡信号1）Ⅱ型系统可以跟踪加速度输入，但有一个常值误差，其大小与Ka成反比；2）要想准确跟踪加速度信号，需要Ⅲ型或Ⅲ型以上的系统例3-14系统结构如图3-9所示，求当输入信号r(t)=2t+t2时，系统的稳态误差ess。首先判别系统的稳定性。由开环传递函数知，闭环特征方程为根据劳斯判据知闭环系统稳定。（自己列劳斯表）第二步，求稳态误差ess，因为系统为Ⅱ型系统，根据线性系统的齐次性和叠加性，有

故系统的稳态误差ess=ess1+ess2=0.1。例3.15已知位置随动控制系统如图3.41所示，求系统在

输入作用下系统的稳态误差，其中负载扰动

．解定性分析：为简化，忽略电机粘滞摩擦系数f稳态误差的定性分析：假设输入为常数，如果系统稳态时

也为常数，则电机转速

，也就是3.4.3动态误差系数上面介绍的ess

只能根据终值定理计算t→∞时误差e(∞)，如果sE(s)不解析，则不能用终值定理计算稳态误差。显然稳态误差ess

并不能全面了解系统进入稳态后误差随时间的变化规律，系统到达稳态（ts）后系统的误差称之为动态误差，用ess(t),(t≥ts)表示。即

稳态误差ess

与系统进入稳态后的动态误差ess(t),(t≥ts)是不同的，稳态误差是动态误差的一个极限特例，表示为例3.18

一阶系统如图3.43所示，输入

，求系统的动态误差。解：取拉普拉斯反变换得到系统误差为显然，若硬按终值定理

计算，可得

，

则结论显然是错误的．

系统进入稳态后的动态误差