直线与直线垂直 学案 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8．6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直1.理解两条异面直线所成角的定义及两条异面直线互相垂直的概念．2.掌握异面直线所成的角的计算方法．活动一巩固空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系：位置关系共面情况公共点个数思考1►►►分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？练习在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：(1)平行直线；(2)相交直线；(3)异面直线．活动二了解异面直线所成的角的概念思考2►►►如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，直线A′C′与直线AB，直线A′D′与直线AB都是异面直线，直线A′C′与A′D′相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？异面直线所成的角：定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b结论我们把直线a′与b′所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°特殊情况当θ＝90°时，异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b例1已知多面体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体．(1)正方体中哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线？(2)求异面直线AA1与BC所成的角的大小；(3)求异面直线BC1与AC所成的角的大小．1.直线a与b所成的角的大小只由a，b的位置关系来确定，与点O的选择无关，为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．2.两条异面直线所成的角θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.当两条异面直线a，b所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.4.两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形．5.通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，求AA1的长．活动三两条直线垂直例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为平面A1B1C1D1的中心．求证：AO1⊥BD.证明两条直线垂直的常用方法：1.利用平面几何的结论，如矩形，等腰三角形的三线合一，勾股定理等．2.定义法：证明两条直线的夹角是90°.3.利用一些事实：已知a∥b，若a⊥c，则b⊥c.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，P为A1B的中点，Q为棱C1C的中点，求证：PQ⊥AB.1.(2023全国高一专题练习)如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为1，M，N分别是BC，AD的中点，设AM和CN所成角为α，则cosα的值为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,4)2.和两条异面直线都垂直的直线()A.有无数条B.有两条C.只有一条D.不存在3.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论中正确的是()A.AC⊥B1D1B.AC1⊥BCC.直线AB1与BC1所成的角为60°D.直线AB与AC1所成的角为45°4.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________．5.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝5，AD＝6，BC＝8.求直线AD与BC所成的角的大小．【答案解析】8．6空间直线、平面的垂直8．6.1直线与直线垂直【活动方案】活动一位置关系共面情况公共点个数相交在同一平面内有且只有一个平行在同一平面内没有异面不同在任何一个平面内没有思考1：不一定，可能异面、平行或相交．练习：略思考2：不同，我们可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系．例1(1)与BC1是异面直线的有AA1，A1B1，A1D1，DA，DC，DD1.(2)因为DA∥BC，所以∠A1AD即为异面直线AA1与BC所成的角，所以异面直线AA1与BC所成的角为90°.(3)连接A1C1，A1B.因为AA1∥BB1∥CC1，AA1＝BB1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1，所以异面直线BC1与AC所成的角就是直线BC1与A1C1所成的角.因为A1B＝A1C1＝BC1，所以异面直线BC1与AC所成的角为60°.跟踪训练如图，连接CD1，AC.由题意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1所成的角．因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C＝90°.因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，且AD＝DC，所以△ACD1是等腰直角三角形，所以AD1＝eq\f(\r(2),2)AC.因为底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，所以AC＝2eq\r(3)×sin60°×2＝6，所以AD1＝eq\f(\r(2),2)AC＝3eq\r(2)，所以AA1＝eq\r(ADeq\o\al(2,1)－A1Deq\o\al(2,1))＝eq\r((3\r(2))2－(2\r(3))2)＝eq\r(6).例2如图，连接B1D1，AD1，AB1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD，所以直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．易证AB1＝AD1，O1为B1D1的中点，所以AO1⊥B1D1，所以AO1⊥BD.跟踪训练如图，取AB的中点D，连接CD，DP.因为P为A1B的中点，所以PD＝eq\f(1,2)AA1，且PD∥AA1.因为Q为CC1的中点，所以CQ＝eq\f(1,2)AA1，且CQ∥AA1，所以PD∥CQ，且PD＝CQ，所以四边形CDPQ为平行四边形，所以CD∥PQ.又因为CA＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，所以PQ⊥AB.【检测反馈】1.A解析：如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON，OC，则ON＝eq\f(1,2)AM且ON∥AM，所以∠ONC为异面直线AM与CN所成的角(或其补角).由题意，得AM＝CN＝DM＝eq\f(\r(3),2)，所以ON＝eq\f(1,2)AM＝eq\f(\r(3),4)，MO＝eq\f(1,2)DM＝eq\f(\r(3),4)，OC＝eq\r(MC2＋MO2)＝eq\r(\f(1,4)＋\f(3,16))＝eq\f(\r(7),4).在△CON中，由余弦定理，得cos∠ONC＝eq\f(ON2＋CN2－OC2,2ON·CN)＝eq\f(\f(3,16)＋\f(3,4)－\f(7,16),2×\f(\r(3),4)×\f(\r(3),2))＝eq\f(2,3)，即cosα＝eq\f(2,3).2.A解析：因为和两条异面直线都垂直相交的直线只有一条，所以所有与这条直线平行的直线都与这两条异面直线垂直，而与这条直线平行的直线有无数条，故和两条异面直线都垂直的直线有无数条．3.AC解析：如图，因为AC⊥BD，BD∥B1D1，所以AC⊥B1D1，故A正确；因为BC∥B1C1，所以∠AC1B1是异面直线AC1与BC所成的角．因为在△AB1C1中，∠AB1C1＝90°，所以∠AC1B1不是直角，故B错误；因为BC1∥AD1，所以∠B1AD1是异面直线AB1与BC1所成的角，而△AB1D1是等边三角形，所以∠B1AD1为60°，故C正确；在Rt△ABC1中，∠ABC1＝90°，但AB≠BC1，所以Rt△ABC1不是等腰直角三角形，所以AB与AC1所成的角不为45°，故D错误．故选AC.4.5解析：取AD的中点P，连接PM，PN，则PM∥BD，PN∥AC，所以∠MPN(或其补角)为异面直线AC与BD所成的角，所以∠MPN＝90°.因为PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，所以MN＝eq\r(PN2＋