《8.3 简单几何体的表面积与体积》考点讲解复习与同步训练

《8.3简单几何体的表面积与体积》考点讲解【思维导图】考法一多面体表面积【例1】（1）已知正六棱柱的高为，底面边长为，则它的表面积为（）A． B．C． D．（2）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的侧面积为（）.A． B． C． D．【一隅三反】1．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为()A． B． C． D．2．棱长为的正四面体的表面积为（）A． B． C． D．3．正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（）A． B． C． D．考法二多面体台体积【例2】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（）A． B．1 C． D．【一隅三反】1．如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．2．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（）A． B． C． D．83．已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥如图所示，求它的体积.4．如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥的表面积；（2）求正三棱锥的体积.考法三旋转体的表面积【例3】若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．【一隅三反】1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（）A． B． C． D．2把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A．10 B． C． D．3．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（）A． B． C． D．考法四旋转体的体积【例4】已知圆锥的母线长为5，底面周长为，则它的体积为（）A． B． C． D．【一隅三反】1．将半径为，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．2．古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（）A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈3．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A．3 B． C．9 D．考法五球【例5】（1）已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（）A． B． C． D．（2）．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积（）A． B． C． D．【一隅三反】1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为（）A． B． C． D．2．棱长为的正方体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．3．已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为（）A． B． C． D．4.将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（）A． B． C． D．考法六组合体的体积表面积【例6】如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积为（）A．54 B． C． D．【一隅三反】1．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为（）A．20 B． C．16 D．2．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）A． B． C． D．3．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高_______．《8.3简单几何体的表面积与体积》考点讲解答案解析考法一多面体表面积【例1】（1）已知正六棱柱的高为，底面边长为，则它的表面积为（）A． B．C． D．（2）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的侧面积为（）.A． B． C． D．【答案】（1）A（2）B【解析】（1）由题知侧面积为，两底面积之和为，所以表面积.故选：A.（2）由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为和，腰长为的等腰梯形等腰梯形的高为：等腰梯形的面积为：棱台的侧面积为：本题正确选项：【一隅三反】1．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为()A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意侧棱长为．所以表面积为：．故选：A.2．棱长为的正四面体的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，所以，所以可知：正四面体的表面积为，故选：A3．正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为底面正三角形中高为，其重心到顶点距离为，且棱锥高，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为，斜高为，所以侧面积为.选A.考法二多面体台体积【例2】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是故选：A【一隅三反】1．如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】三棱锥的体积为：故选：C2．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（）A． B． C． D．8【答案】C【解析】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积.故选：C.3．已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥如图所示，求它的体积.【答案】【解析】如图所示：连接AC，BD交于点O，连接SO，因为四棱锥的棱长均为4，所以平面ABCD，即SO为四棱锥的高，所以,所以，所以.4．如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥的表面积；（2）求正三棱锥的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）取的中点D，连接，在中，可得.∴.∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥的侧面积是.∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.则正三棱锥的表面积为；（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.且.在中，.∴正三棱锥的体积为.考法三旋转体的表面积【例3】若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图圆锥的轴截面是顶角为，即，，,所以，所以圆锥的侧面积为.故选：C.【一隅三反】1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆柱的侧面展开图是一个正方形，，圆柱的侧面积为，圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为，圆柱的表面积与侧面积的比为：，故选：．2．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A．10 B． C． D．【答案】B【解析】半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长为，所以底面圆的半径为r=10，所以圆锥的高为.故选：B3．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】圆锥的底面半径为2，高为4，设内接圆柱的底面半径为，则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为，因此，内接圆柱的高；圆柱的侧面积为，令，当时，；所以当时，，即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为.故选：D.考法四旋转体的体积【例4】已知圆锥的母线长为5，底面周长为，则它的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，因为底面周长为，所以，解得，又因为母线长为5，所以h=4，所以圆锥的体积是故选：B【一隅三反】1．将半径为，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由扇形弧长公式可求得弧长，圆锥底面周长为，圆锥底面半径，圆锥的高，圆锥的体积.故选：.2．古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（）A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈【答案】B【解析】由题意得，下底半径（丈），上底半径（丈），高（丈），所以它的体积为所以(立方丈).故选：B.3．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A．3 B． C．9 D．【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆柱的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，.故该圆锥的体积为.故选：B.考法五球【例5】（1）已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（）A． B． C． D．（2）．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积（）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）C【解析】（1）设正方体的棱长为a，球的半径为R，则，球的表面积为，正方体的表面积为，.故选：B（2）设该正三棱锥为，将三棱锥补成正方体，如下图所示：则正方体的棱长为，该正方体的体对角线长为，所以，正三棱锥的外接球直径为，可得，该球的表面积为.故选：C.【一隅三反】1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为球的直径为2，即球的半径为1，所以球的表面积为，故选：D.2．棱长为的正方体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以，解得，所以球的表面积为：.故选：C3．已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积，故选：C.4.将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方体的棱长为3cm，所以球体最大体积的半径，所以球的体积：.故选：B考法六组合体的体积表面积【例6】如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积为（）A．54 B． C． D．【答案】C【解析】器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，即器皿的表面积．故选：C．【一隅三反】1．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为（）A．20 B． C．16 D．【答案】A【解析】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.故选：A2．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为.故选：A.3．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高_______．【答案】8【解析】由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积所以故答案为：8《8.3简单几何体的表面积与体积（精练）》同步练习【题组一多面体表面积】1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为()A．12 B．24 C．28 D．322．一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为A．8 B．12 C．16 D．203．若正三棱台上、下底面边长分别是和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为（）A． B． C． D．4．正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（）A． B． C． D．5．已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为（）A． B． C． D．6．已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（）A． B． C． D．7．已知是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（）A． B．C． D．8．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a，表面积为108，则a等于（）A．2 B．3 C．5 D．69．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为的球面上，如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为（）A． B．C． D．【题组二多面体台体积】1．正方体的全面积为18cm2，则它的体积是_________2．如图，在长方体中，棱锥的体积与长方体的体积之比为（）A．2∶3 B．1∶3 C．1∶4 D．3∶43．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为（）A． B．C． D．4．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长丈，上底边长丈．高丈．问它的体积是多少立方丈？（）A． B． C． D．5．出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由块玻璃拼组而成，塔高米，底宽米，则该金字塔的体积为（）A． B． C． D．6．如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求（1）截去的三棱锥的表面积；（2）剩余的几何体的体积.【题组三旋转体的表面积】1．经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（）A． B． C． D．2．某圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则该圆台的表面积为（）A． B． C． D．3．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（）A． B．3 C．12 D．364．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为()A．3 B．5 C．6 D．75．圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（）A． B． C． D．6．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的高为________．7．已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______.8．将底面直径为8，高为的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.9．若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________.【题组四旋转体的体积】1．若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．2．现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________.3．圆锥的母线与底面所成的角为60，侧面积为8π，则其体积为________.4．把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（）A． B． C． D．5．《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄驾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书，其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何”?其意思为场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的稻谷约有多少斛（保留两位小数）（）A．61.73 B．61.71 C．61.70 D．61.696．某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为（）A．米 B．米 C．米 D．米【题组五球】1．在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（）A． B． C． D．2．在长方体中，，若此长方体的八个顶点都在体积为的球面上，则此长方体的表面积为（）A．16 B．18 C．20 D．223．正三棱柱有一个半径为的内切球，则此棱柱的体积是（）.A． B． C． D．4．如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a，那么球的体积为（）A． B． C． D．5．一个球的体积为，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．6．已知正方体外接球的体积是，那么该正方体的内切球的表面积为______．【题组六组合体的体积表面积】1．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．2．如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积.3．在底面半径为2，高为的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1：4，求圆柱的表面积.《8.3简单几何体的表面积与体积（精练）》同步练习答案解析【题组一多面体表面积】1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为()A．12 B．24 C．28 D．32【答案】C【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为，则.又由题意知，解得或.故长方体的侧面积为.故选：C.2．一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【解析】由题得侧面三角形的斜高为，所以该四棱锥的全面积为.故选B3．若正三棱台上、下底面边长分别是和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，分别为上、下底面的中心，分别是，的中点，过作于点E.在直角梯形中，，，.在中，，则..故选：C4．正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图:正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴斜高h′=PE=，∴S正棱锥侧=故选：A5．已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，在正四棱锥中，取中点，连接，则为直角三角形，所以，所以表面积.故选：B.6．已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】正四棱锥如图，设四棱锥的高，由底面边长为4，可知，斜高，故，解得，故侧面积为，故选：D.7．已知是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由所给正方体的展开图得到直观图，如图：则此三棱锥的表面积为：故选：A8．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a，表面积为108，则a等于（）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】D【解析】长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a，则长方体的表面积为，解得a=6，故选：D9．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为的球面上，如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上，正四棱柱的底面边长为2cm，球的直径为正四棱柱的体对角线正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为，正四棱柱的高为，该棱柱的表面积为2×22+4×2×=8＋16()，故选：C【题组二多面体台体积】1．正方体的全面积为18cm2，则它的体积是_________【答案】【解析】设该正方体的棱长为cm，由题意可得，，解得，所以该正方体的体积为.故答案为：2．如图，在长方体中，棱锥的体积与长方体的体积之比为（）A．2∶3 B．1∶3 C．1∶4 D．3∶4【答案】B【解析】设长方体过同一顶点的棱长分别为则长方体的体积为，四棱锥的体轵为，所以棱锥的体积与长方体的体积的比值为.故选：B.3．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图正四棱锥中，，，所以正四棱锥的体积为，故选：A4．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长丈，上底边长丈．高丈．问它的体积是多少立方丈？（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选:5．出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由块玻璃拼组而成，塔高米，底宽米，则该金字塔的体积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图正四棱锥中，底面，，，底面正方形的面积为，则正四棱锥的体积为，故选：A6．如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求（1）截去的三棱锥的表面积；（2）剩余的几何体的体积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥的表面积（2）正方体的体积为，三棱锥的体积为，所以剩余的几何体的体积为.【题组三旋转体的表面积】1．经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，由题可知，∴，侧面积为，故选：C.2．某圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则该圆台的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r，则下底面半径，高则它的母线长∴，.∴，.故选：3．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（）A． B．3 C．12 D．36【答案】B【解析】根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为r、R，设圆锥的母线长为L，截得小圆锥的母线长为l，∵圆台的上、下底面互相平行∴，可得L=4l∵圆台的母线长9，可得L﹣l=9∴=9，解得L=12，∴截去的圆锥的母线长为12-9=3故选B4．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为()A．3 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】设圆台较小底面圆的半径为，由已知有另一底面圆的半径为，而圆台的侧面积公式为，选D.5．圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆柱底面半径为1，母线长为2，圆柱侧面积为,故选：A6．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的高为_____．【答案】4【解析】设圆柱的高为，有，得．故答案为：4.7．已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______.【答案】【解析】如图是圆锥与圆柱的轴截面，设内接圆柱的高为，圆柱的底面半径为，则由，可得，所以圆柱的侧面积，所以时，该圆柱的侧面职取最大值.故答案为：．8．将底面直径为8，高为的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.【答案】【解析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h，底面半径为r，则，解得；所以；当时，取得最大值为故答案为：.【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.9．若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________.【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意得：,即，所以其侧面积是，底面积是，所以该圆锥的侧面积与底面积之比为故答案为：【题组四旋转体的体积】1．若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆锥母线长为，则侧面积为，故.故圆锥的高，圆锥体积为.故选：C.2．现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________.【答案】【解析】设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r，则由题意得R=10，由，得，由得.由可得.该容器的容积为.故答案为.3．圆锥的母线与底面所成的角为60，侧面积为8π，则其体积为________.【答案】【解析】如图所示，圆锥的母线与其底面所成角的大小为，，由题意设圆锥的底面半径为，则母线长为，高为圆锥的侧面积为，，解得，，圆锥的体积为．故答案为：．4．把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】正方体棱长为，所以正方体底面正方形的内切圆半径为，面积为，以此内切圆为底、高为的圆柱是可切出的最大圆柱.且该圆柱的体积为.故选：C5．《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄驾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书，其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何”?其意思为场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的稻谷约有多少斛（保留两位小数）（）A．61.73 B．61.71 C．61.70 D．61.69【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则，所以，故（立方尺），因此（斛）.故选：A.6．某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【解析】原仓库圆锥的底面半径为6米，高为4米，则容积为立方米；仓库的高增加4米，底面直径不变,则仓库的容积为立方米.所以新建仓库比原仓库能多