2024届苏州高三年级上册学业质量阳光指标调研数学试卷含答案

苏州市2023〜2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷

高三数学2024.01.22

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求；

1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题

（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答

题结束后，请将答题卡交回，

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在各题

来的规定位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须

用0.5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.设集合U=R,集合{尤|logM<l},N={x|x>l},则集合{x[0<xWl}=

A.MUNB.MCNC.（CW）AND.（CW）rw

2.设i为虚数单位,复数z满足（3—i）z=4+2i,贝!||z|=

A.V2B./C.2D.4

3.2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速

铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）.为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两

人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，乙

随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车.已知两人不在同一站下车，

则甲比乙晚下车的概率为

■

AIPjUHLA速快路线蹄上向小公制

高三数学试卷第1页（共7页）

A'20B'4C'20D'8

TTTT

4.已知函数«X)=COS(S:+§)+1(G>0)的最小正周期为兀，则“X)在区间[0,习上的最大值

为

13

A.B.1C.D.2

7T

5.在梯形A3C0中，AD//BC,NABC=],5C=2AO=2A5=2,以下底5C所在直线为轴，

其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为

2兀4兀一5兀_

A.B.丁C.丁D.2兀

6.在平面直角坐标系xOy中，已知A是圆G：N+。-3)2=1上的一点，B,C是圆C?：(无

—4)2+y2=4上的两点，则/2AC的最大值为

兀兀—.兀2兀

丁

A.ToB.T3C.T2D.3

__,__.l2〃+13Z?+1,4c+1rt,,,

7.已知正实数a,b,c满足---=2a~a,­=3b~b,--------=4c~c,则a,b,c的大

abc

小关系为

A.c〈b〈aB.a<b<cC.a<c<bD.b〈a〈c

jr

8.若sin而是函数式x)=ax3—6x+l(a,b6N*)的一个零点，则式1)=

A.2B.3C.4D.5

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知a,bCR,贝Uaa>b"的充分不必要条件有

B.lga>lgb

A.Mab

C.〃3〉拄D.〃3>〃2匕

10.在平面直角坐标系中，已知直线/：y=x—2经过抛物线C：丁2=2〃刈9>0）的焦点,

，与抛物线相交于A,8两点，则

A.p—2B.|AB|=16

C.线段A3的中点到y轴的距离为6D.OALOB

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数>=5%>0)的图象为曲线C,点3,所,

△A1&A2,△A223A3，

B3,…在C上，点4,A2,A3,…在x轴上，且△054,…分

高三数学试卷第2页(共7页)

别是以S，B?,当，…为直角顶点的等腰直角三角形.记点4,5的横坐标分别为如

bi(i=i,2,3,n,•,•)>则

（第11题图）

A.|AIB2|=^-B.的=2仍

1001

C.｛斯2｝为等差数列D•荀=1°

12.如图，在长方体ABCD—AiBCiQi中，已知AB=2,BC=小，AAi=l,P为棱CQi的

中点，。为底面ABC。上（含边界）的一动点.记点。轨迹的长度为L则下列说法正确

的有

（第12题图）

A.若尸。_L6C,则L=2

-J5

B.若尸。〃平面ABCi，贝ijL=V

C.若尸。=也，贝1］乙=兀

D.若C到平面4PQ的距离为为则L=2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了20根棉花的纤维长

度（单位：mm）,按从小到大排序结果如下：25283350525859606162

8286113115140143146170175195,则估计这批棉花的第45百分位数

为▲.

14.已知（X+〃）（X—1）7=〃0+〃1%+42/+…+〃福8,且0=13,则〃=▲.

3

15.已知单位向量m力的夹角为仇向量C=］方一°,若|c|£Z,则8已=▲.（写出一

高三数学试卷第3页（共7页）

个可能值）

16.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：^-p=l（a>0,b>0）的右焦点为R过。

的直线/与C的左、右两支分别交于A,B两点,若ZAFB+ZAOF^n,则

C的离心率为▲.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

霹雳舞在2023年杭州举办的第19届亚运会中首次成为正式比赛项目.某学校为了解

学生对霹雳舞的喜爱情况，随机调查了100名学生，统计得到如下2X2列联表：

男生女生总计

喜爱402060

不喜爱202040

总计6040100

（1）请你根据2X2列联表中的数据，判断是否有90%的把握认为“是否喜爱霹雳舞与性

别有关”；

（2）学校为增强学生体质，提高学生综合素质，按分层抽样从调查结果为“喜爱”的学

生中选择6人组建霹雳舞社团，经过训练后，再随机选派2人参加市级比赛，设X

为这2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.

附：_i_;vLJX/_LA/A_LZA'其中w=a+6+c+d.

（〃十/7）（。十d）（〃十c）（。十o

P（群。⑹0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

▲▲▲

高三数学试卷第4页（共7页）

18.(12分)

cosBcosA—3cosc

在AA3c中，角A,B,C的对边分别为mb,c,已知

b3c—a

⑴求证：c=3〃；

(2)若点。在边AB上，且8D=2D4,CD=2,AC=y[Tl,求△ABC的面积.

▲▲▲

19.(本小题满分12分)

已知等差数列｛斯｝的公差为d,且dWO,设S,为｛斯｝的前项和，数列｛d｝满足与=4S“一

2〃(〃£N*).

(1)若〃1=-1,d=l,且为＜〃〃，求〃；

(2)若数列"优｝也是公差为d的等差数列，求数列｛(—1)%“｝的前n项和Tn.

▲▲▲

高三数学试卷第5页(共7页)

20.（12分）

如图，在多面体ABCDE尸中，底面ABC。为平行四边形，AB=2,AD=2巾,ZABD=

90°,矩形所在平面与底面ABC。垂直，M为CE的中点.

（1）求证：平面〃平面AEF；

（2）若平面BDM与平面BCF夹角的余弦值为华，求CE与平面BDM所成角的正弦

（第20题图）

▲▲▲

21.（12分）

田，\nx+1

已知函数八尤）=7.

（1）求小：）的极值;

（2）证明：

▲▲▲

高三数学试卷第6页（共7页）

22.（12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆「：也+必=1（。>6>0）经过点A（—4,0）,B（2,

3）,直线A3与y轴交于点尸，过P的直线/与「交于C,。两点（异于A,B）,记直线AC和

直线B。的斜率分别为41，k2（k#2丰0）.

（1）求「的标准方程；

21

⑵数F的值;

（3）设直线AC和直线8。的交点为Q,求证：。在一条定直线上.

▲▲▲

高三数学试卷第7页（共7页）

苏州市2023〜2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷

高三数学参考答案2024.1

题号9101112

答案BDBCBCDACD

三'填空题：本题共4，'题，每小题5分，共20分.

13.61.514.215.-(或16.3at显

442

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.(10分)

解：(1)由2x2列联表得犬=*譬答泸部=岂=2.778>2.706,•……3分

60x40x60x409

所以有90%的把握认为“是否喜爱霹雳舞与性别有关”...................4分

(2)由题意得，选择的6人中，有男生4人，女生2人，..................5分

所以X的所有可能取值为0,1,2,

C121a"2]

2

P(X=0)=-^-=—»P(X=1)=-32=—,P(X=2)=—y=—,..........8分

5C615C615

故X的分布列为

2812

£(X)=0xy+lx-+2x-="..............................10分

18.(12分)

八、BdCOSBCOS/4-3COSCcos^cos/-3cosc

解:(l)因为一7一=—：-------，由正弦定理知二二■=~—I分

b3c-asinB3sme-sin/

所以3sinCcos8-sinACQSB=sinBcos/-3cosCsin5>

所以3(sinCcosB+cosCsinB)=sin8cos/+sinAcosB•

即3sin(C+8)=sin(3+4),..........................................3分

因为sin(C+8)=sin/,sin(8+4)=sinC.

高三数学参考答案第I页(共5页)

所以3sin.4=sinC,所以r=3a.5分

+°」+4。,-4

(2)在AJCD中.

2BCBD~~=~~4n*

BCl+AB1-ACio1+9«,-ll511

在△中,

4BCcos8=IBCAB-一^一亍否

所以;-J=；一^^,所以/=2...................................................................8分

所以cosB=°,因为8w(0,功，所以sin8=Jl-co$?B=，,.....................10分

44

i

所以=5。，3。，$由8=-^—・......................................................................12分

19.(12分)

解：⑴由题意得生=-1+(〃-1)=〃-2,

=nx(-l)+^y^xl=1n2-1n,.................................2分

所以“=4S.-2n=2n2-8〃.

因为，<%，所以2--8〃<n-2,所以心叵<“<丝叵，

*44

又因为neN',所以"=1,2,3,4.....................................................................4分

(2)因为｛麻｝是公差为d的等差数列，所以设&=dn+b,..........................5分

又因为历=14S._2n=^4{na,+里丁)d]-2n=小2加+(4q_2d_2)”,

所以dn+b=J2办2+(4%_2d_2)n对任意”eN•恒成立，

21

即2dn+(4at-2d-2)n=//+2dbn+b对任意neN,恒成立,

2d=d1,d=2,

所以。-/一二加，又因为dwO,所以Oj=-»所以b.=4/,8分

b=0.

b=Ot

所以(-l)».=4(-l)"7.

2

当/I为偶数时，7；=4-1'+2’・3'+4'-------M-1)，+n]

=4(2-1)x(2+1)+(4-3)(4+3)+…一l))(n+n—1)]

=4(l+2+3+4+・，・+〃)=2〃M+l)।.....................................10分

当/!为奇数时，7；=4[_p+2?-非+/-…+-/]

=4[-li(2-3)(2+3)+(4-5)(4+5)+…+((〃-1)_”)(〃-1+〃)]

柘三数学参与答案第2页(共S贝)

二4(-1-2-3-4一…一〃)二-2”(，i+1).

综上所述，7；=(-1)'2n(n+l)......................................................................12分

20.（12分）

解：（1）如图，连接“C交于点G,连接MG.

因为底面“BCD为平行四边形，

所以G为4C的中点.

因为M为CE的中点，所以MG//EA.

又因为MG<Z平面/EF,EAu平面/EF.

所以MG〃平面W......................................2分

因为BDEF为矩形，所以DB//EF,BD<Z平面/E尸,EFu平面4环，

所以平面花F.....................................................................................3分

因为A«?naD=G,MGu平面8DM,8Du平面BOM,

所以平面8。“〃平面的............................................4分

(2)因为/3=2,XD=2&,4BD=90°,所以BD=2,4BJ.3D.

因为平面8DEF1平面/BCD,平面BDEFA平面MCQ=BD,DELBD,

所以。E_L平................................................5分

分别以OB,DC,0E为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

设DE=2/(r>0),则丽=(0,1,。，丽=(2,0,0),而=(-2,2,0),而=(0,0,2，)，

设平面8DM的法向量为胆=(外,必,始，则卜上=°'

tn,DB=0,

即夏二°'令Z|=-l,则m=(0,f,-l),................................................7分

设平面8c尸的法向量为”=(三,%,zj,=°'

n-BF=Qt

即｛B不%=°'令,=1，则“=(1,1,0)，................................................8分

所以|cos<m,”>|==L=~^，解得‘=2,......................10分

I«|-I«lVP+1-V25

所以m=(0,2,-l),既=(0,-2,4).

设CE与平面BDM所成的角为0,

则sin0=|cos<而,/w>|=J2X(-2)+(/-1)X4|_4................................葭分

海三数学参考答案第3页（共5页）

21.(12分)

解：(I)八仙J-.....................................................

e

设g(x),-lnx-l，因为g，(x)=-I」<0,所以g(x)在(0,+8)上单调递减.

xXX

当0<x<l时，g(x)>g⑴=0,故r(x)>0,/(x)单调递增；

当x>l时，g(x)<g(l)=o,故r(x)<0,/(x)单调递减，................3分

所以/(力有极大值/(1)=1,无极小值.................................4分

e

/.、〃、21n2-11lnx+121n2-l1

(2)要证/(x)<——--+一，即a证-----<-------+一，

e4exe14

EPuEe1-4lnx+81n2-8>0.......................................5分

4

设A(x)=e*-41nx+81n2-8,则，(力=/・二,

x

显然A'(x)在(0,+oo)上单调递增，又因为〃(l)=e-4<0,Ar(2)=e2-2>0,

所以存在唯一的(1,2),使%)=0,............................7分

4

即，所以%=2山2-lnx0...................................9分

当xe(0,%)时，A'(x)<0,A(x)单调递减；

当xe(%,+8)时，A'(x)>0,A(x)单调递增，

所以力(为)》6(％)=©"-41nx0+81n2-8=—+4x0-8=4(x0+—)-8,.....11分

又因为不€(1,2),所以4(X0+,)-8>8-8=0,

%

所以A(x)>0,即原不等式成立.......................................12分

22.(12分)

16=hz

解：⑴由题意知〃'所以卜：

4,9,Ih2=12,

l7+7=h

所以r的标准方程为.......................................2分

1612

(