2024年高考数学考试易错题（新高考专用）二项式定理、复数（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）（原卷版）

专题14二项式定理、复数

——题型一：(a-b)n化解问题3、易错点：忽略了二项式中的负号而致错

——题型二：三项展开式的问题0、易借点：三项式转化不合理导致计算麻烦失误

二项式定理、复教——题型三：系数与一项式系数问题又易丁点：混淆项的系数与一项式系数致谡

——题型四：求复数虚部e、易错点：混淆虚部定义致错

——题型五：复数有关模长的求算巳、易错点：复数的几何意义应用错误

-：忽略了二项式中的负号而致错((a.b)n化解问题)

I:二项式定理

一般地，对于任意正整数"，都有：(a+by=C°an+C\an-'b++W++C》"(〃eN*),

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a+6)"的二项展开式.

,rr

式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第r+1项：Tr+1=C；a'b,

其中的系数C：(r=0,1,2,n)叫做二项式系数，

II：二项式(。+力”的展开式的特点：

①项数：共有〃+1项，比二项式的次数大1;

②二项式系数：第厂+1项的二项式系数为C：,最大二项式系数项居中；

③次数：各项的次数都等于二项式的幕指数字母。降幕排列，次数由〃到0；字母6升幕排列，次

数从0到,，每一项中，a,6次数和均为〃；

④项的系数：二项式系数依次是C：,C：,C3…，C，…，C"项的系数是。与6的系数(包括二项式系数).

m：两个常用的二项展开式：

①(a-4=C：a"-C》""++(-Dr-CX^r++(-D"C,»"(〃wN*)

@(l+x)"=1+C^x+C^x2++C；xr++x"

IV：二项展开式的通项公式

nrr

二项展开式的通项:Tr+l=Qa-b（r=0,1,2,3,

公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是C；；

②字母6的次数和组合数的上标相同；

③。与6的次数之和为

注意：①二项式伍+6）”的二项展开式的第r+1项〃和（6+。）"的二项展开式的第r+1项C/-"是有

区别的，应用二项式定理时，其中的。和6是不能随便交换位置的.

②通项是针对在（。+”'这个标准形式下而言的，如①-。）”的二项展开式的通项是（+i=（T）'C,；a"方'（只

需把~b看成b代入二项式定理）.

易错提醒：在二项式定理5-刀"的问题要注意b的系数为T,在展开求解时不要忽略.

变式1:在，龙的展开式中，x的系数是

变式2：口-5］展开式的常数项为.

变式3：的展开式中/的系数为.

1.的二项式展开式中x的系数为（）

A.560B.35C.-35D.-560

2.若"-曰g*）的展开式中所有项的二项式系数之和为16,则的展开式中的常数项为（)

A.6B.8C.28D.56

3.1l-?］(X+y)6的展开式中的系数为()

A.55B.-70C.65D.-25

4.若，彳2一.］的展开式中含有常数项(非零)，则正整数”的可能值是()

A.3B.4C.5D.6

5.(1+〃7j(X-y)7的展开式中尤3y4的系数为一105,则实数机=()

A.2B.1C.-1D.-2

6.在(3-6y的展开式中，V的系数为()

A.-21B.21C.189D.-189

7.(2/-3q，-上］的展开式中含x的项的系数为

8.已知］以--

的展开式中的常数项是672,则。=_____.

9.在12x——\=•1的展开式中，x的系数为______.

10.(1-2x)4(l+x)3的展开式中，按X的升嘉排列的第3项的系数为

11.在［宁一尤］的展开式中的V的系数是.

12.二项式Q-g：的展开式中常数项为.

13.卜-：：的展开式的第三项的系数为135,则〃=.

易错点二：三项式转化不合理导致计算麻烦失误(三项展开式的问题)

求三项展开式式中某些特定项的系数的方法

第一步：通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解

第二步：两次利用二项式定理的通项公式求解

第三步：由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作

几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量

易错提醒：对于三项式的展开问题，一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解，但在转化为二项式的

时候，又有不同的处理策略：一是如果三项式能够化为完全平方的形式，或者能够进行因式分解，则可通

过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析，进而解决问题（如本例中的解法二）；二是不能化为完全平

方的形式，也不能进行因式分解时，可直接将三项式加括号变为二项式，套用通项公式展开后对其中的二

项式再利用通项展开并进行分析求解，但要结合要求解的问题进行合理的变形，以利于求解.

三9

例、（无2+3尤+2丫的展开式中，X的一次项的系数为（）

A.120B.240C.320D.480

变式1：在（a+26+3c）5的展开式中，含/62c的系数为.

变式2：卜-丁一日展开式中一/的系数为（用数字作答）.

变式3：在（2x+y+z）5的展开式中，形如的所有项系数之和是

1.+/+j的展开式中的常数项为（）

A.588B.589C.798D.799

2.在（x+y+2）s的展开式中，孙3的系数是（）

A.24B.32C.36D.40

3.1邛一尤+1］的展开式中/的系数为12,则cos26=（

)

4.（x+y-Ip的展开式中孙2的系数为（）

A.-60B.60C.-120D.120

5.设〃>0,已知丁+^的展开式中只有第5项的二项式系数最大,且展开式中所有项的系数和为256,

则（f+2+By中/的系数为（）

A.0B.2C.4D.8

6.（X->+3）5的展开式中，Jy的系数为（）

A.80B.60C.-80D.—60

7.已知+g+（QER）展开式的各项系数之和为-1,则展开式中V的系数为（）

A.270B.-270C.330D.-330

的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256,则1f+2+士丫”

8.

中V的系数为（）

A.1B.4或1C.4或0D.6或0

9.p+1+l^|的展开式中/项的系数为

10.（x+2y-z）8展开式中，Vy2z3项的系数为.

11.（龙2-尤+2y丫的展开式中项的系数为.

12.在“+无一上）的展开式中，/的系数为.

13.-初的展开式中，的系数为10,则〃=.

14.卜+：_14展开式中的常数项为.（用数字做答）

15.（x-2y+Ip展开式中含孙3项的系数为.

16.（l+2x-3尤2丫的展开式中犬的系数为.

17.（x+2y-3z）6的展开式中初与3的系数为（用数字作答）.

易错点三：混淆项的系数与二项式系数致误（系数与二项式系数问题）

I:二项式展开式中的最值问题

1.二项式系数的性质

①每一行两端都是1,即c：=c;；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即C2=C『+C：.

②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即c：=c：-m.

③二项式系数和令a=6=1,则二项式系数的和为C：+C：+C：++C；++C；=2",变形式

C：+C：++C：++c：=2"-l.

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令。=1,6=-1,

则C：-C：+C；-C；++（-l）"C；；=（l-ir=0,

从而得到：《+C；+C；…+Cy+-=C：+C；++C+1+---=1-2"=2"-1.

⑤最大值：

如果二项式的幕指数〃是偶数，则中间一项的二项式系数c：最大；

如果二项式的幕指数”是奇数，则中间两项"±1,"±1+1的二项式系数c?，C手相等且最大.

22J

2.系数的最大项

求3+法）"展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A，4,…，4M，设第厂+1

fA>A

项系数最大，应有.+l，从而解出厂来.

II:二项式展开式中系数和有关问题

常用赋值举例：

（1）设（a+3”=端/+C'„an'b+C；an-2b2++C^anrbr++C»”,

二项式定理是一个恒等式，即对。，6的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取。，6的值.

①令a=b=l,可得：2"=C：+C：++C；

②令。=1,。=1,可得：o=d-C：+G”C即：

C：+C；+-+C：=C：+C；++c：-（假设〃为偶数），再结合①可得:

C：+C；+.+C：=C,';+C>.+C；T=2，T.

(2)若/(x)=++alx+a0,则

①常数项：令x=0,得g=/(0).

②各项系数和：令x=l,得/⑴=%+4+.2++4,-1+。".

注意：常见的赋值为令x=0,x=l或x=-l,然后通过加减运算即可得到相应的结果.

易错提醒：二项式定理（〃+力”的问题要注意：项的系数与二项式系数的区别与联系（求所有项的系数只要

令字母值为1）.

例、设（x-"）"的展开式中，第三项的系数为36,试求含V的项.

变式1：求的展开式中第3项的系数和二项式系数.

变式2：计算（尤+2yy的展开式中第5项的系数和二项式系数.

变式3：求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数.

1.在二项式（4-的展开式中，二项式系数最大的是（）

A.第3项B.第4项

C.第5项D.第3项和第4项

2.已知二项式（2x-l）"的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则”为（）

A.6B.7C.8D.9

3.在二项式（石-1）6的展开式中，下列说法正确的是（）

2x

A.常数项是三13B.各项系数和为士1

464

C.第5项二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为32

4.在二项式(2x-的展开式中，下列说法正确的是()

A.第6项的二项式系数最大B.第6项的系数最大

C.所有项的二项式系数之和为7。D.所有项的系数之和为1

5.已知2,n,8成等差数列，则在-的展开式中，下列说法正确的是()

A.二项式系数之和为32B.各项系数之和为1

C.常数项为40D.展开式中系数最大的项为80x

6.下列关于|^-2尤)6的展开式的说法中正确的是()

A.常数项为一160

B.第4项的系数最大

C.第4项的二项式系数最大

D.所有项的系数和为1

7.若［近-的展开式的二项式系数之和为16,则［加+gj"的展开式中J的系数为.

8.已知常数。＞0,在石-巴的二项展开式中的常数项为15,设

52345

(1—2ox)=%+a1x+a2x+«3x+a4x+a5x,贝!J4+%=

9.在］近的二项式中，所有的二项式系数之和为64,则各项的系数的绝对值之和为

10.二项式(zf+jj的展开式中常数项为(用数字作答).

11.已知(l+2W?(〃eN*)的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，贝1］鼠=.

12.12--2x)4的展开式中含v项的系数为.

13.若展开式的二项式系数和为64,则展开式中第三项的二项式系数为.

14.若3尤—一上的展开式中二项式系数之和为64,则展开式中的常数项是.

n

15.已知(3%-2)"-1)+%(冗一1)2+an(x-I),若(3%-2)〃展开式各项的二项式系数的和为1024,

则知的值为.

16.已知（«+2］的展开式中二项式系数和是64,则展开式中x的系数为.

17.已知二项式（2x-l）”的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则”=.

18.已知（1+2元）”的展开式中第7项和第8项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数最

大的项.

易错点四：混淆虚部定义致错（求复数虚部）

I：复数的概念

①复数的概念：形如。+历（〃，6GR）的数叫做复数，。，6分别是它的实部和虚部，i叫虚数单位，满足/=_1

（1）当且仅当人=0时，。+历为实数；

（2）当厚0时，a+历为虚数；

（3）当a=0且厚0时，历为纯虚数.其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共钝复数.

②两个复数+成(a，6，c，deR)相等:(两复数对应同一点)

[b=d

③复数的模：复数。+436eR)的模，其计算公式|z|=|a+bi|="TF

II：复数的加、减、乘、除的运算法则

1、复数运算

(1)(a+Z?i)±(c+di)=(〃±。)+3土d)i

(2)(々+bi)•(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i

(a+bi)(a-bi)=zz=a2+b1=|z|2

〈(注意Z2=|Z『)

z+z=2Q

其中|z|=+万，叫Z的模；1=a-次是Z=。+沅的共朝复数(a,6eR).

a+bi(a+bi)•(c-di)(ac+bd)+(be-ad)i八、

(3'c+di(c+di)•(c-di)c2+d222

实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幕运算法则）都适用于复数.

2、复数的几何意义

(1)复数z=a+〃(a/eR)对应平面内的点z(a,6)；

(2)复数z=a+〃(a,Z?eH)对应平面向量oz;

(3)复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.

(4)复数z=a+bi(a,6wR)的模Iz|表示复平面内的点z(a,b)到原点的距离.

易错提醒：1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z=a+历(a,56R),

则该复数的实部为。，虚部为尻2、复数是实数的条件：①z=a+biWR=b=O(a,》GR)；②z

©R=z=z；③Z©R=Z2NO3、复数是纯虚数的条件：①z=a十。i是纯虚数oa=0且厚0(a,

Z?GR)；②Z是纯虚数=z+Z=O(Z女))；③Z是纯虚数=22Vo

例、复数二工虚部是()

1-31

1.133.

A.------1B.------C.—D.—I

10101010

1-i_

变式1：已知复数Z=「(i为虚数单位)，贝匹的虚部为()

2+1

3333

A.--B.——iC.-D.-i

5555

i-2i

变式2：已知i是虚数单位，则复数一的虚部是()

1-1

A.--B.JC.--D.-

2222

变式3：已知复数z=(2-D(l+i),则复数z的虚部为,|z|=.

三9

1.(2-i)(l+2i)+°的虚部为()

1

A.4B.-2C.-4D.2

.2

2.复数空L(i为虚数单位)的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为()

1

A.-2B.-1C.1D.2

3.已知z=2+i,贝ljz(2+i)的虚部是()

A.2B.-2

C.2iD.-2i

4.泞的虚部为（）

2-1

A.-B.--iC.--D.-

5555

5.若i是虚数单位，则复数学的虚部为

()

1+1

A.-B.-ic-D.-i

22J22

6.已知复数z=2-i,则z（Z+i）的虚部为（)

A.-2B.-1C.6D.2

7.已知复数z满足］=z+2i，则复数z的虚部为（）

A.iB.1C.-iD.-1

则+工的虚部为（）

8.已知复数z在复平面内的对应点为（1,1）,z

z

A.-iB.-c-D.-i

22J22

9.若复数z满足N-3i=z（i是虚数单位），则复数Z的虚部为（)

A3-33

A.—B.——C.-iD.——i

2222

10.已知i为虚数单位，复数z满足（l-i）z=|l+i|,则2的虚部是（)

A.TBYc.旦D.正

22

11.已知复数z满足z+4N=5+6i,其中2是z的共相复数，则复数Z的虚部是（)

A.1B.iC.-2D.-2i

12.已知复数z满足z（2+i）+i=2（i为虚数单位），则z的虚部为（)

444.4.

A.-B.—C.—1D.——1

5555

2-5i

13.已知z=7一,贝Ijz的虚部为（）

1-1

3333

A.——iB.-C.——D.-i

2222

易错点五：复数的几何意义应用错误（复数有关模长的求算）

复数的模：复数。+庆(a/eR)的模，其计算公式|z|=|a+〃

易错提醒：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距

离.

三9

例、若zeC,且|z+2-2<=1,则|z—2—2i|最小值为()

A.2B.3C.4D.5

变式1：已知复数z满足|z-l+i卜20,5为z的共轨复数，贝!JzN的最大值为.

变式2：已知i为虚数单位，且|z-2i|=l,则忖的最大值是.

变式3：已知复数z满足|z-2|=2|z-2i|,贝U|z|的最大值为.

1.设复数z满足|z-2i|=G，z在复平面内对应的点为(x,y),贝1]()

A.(x-2)2+/B.x2+(y-2)2=y/3

C.x2+(y-2)2=3D.Y+(y+2)2=3

2.已知复数z满足|z+2i|=l(i为虚数单位)，则|z-3-2i|的最小值为()