陕西省宝鸡市2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

陕西省宝鸡市新建路中学2023-2024学年九年级下学期月考

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如果同=打，那么a、b两个有理数一定是（）

A.都等于0B.一正一负

C.相等D.相等或互为相反数

2.如图，将/A为30。的直角三角板A3C的直角顶点C放在直尺的一边上，则N1+N2

的度数为（）•

A.60°B.45°C.30°D.不确定

3.下列命题中，是真命题的是（）

A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.两条对角线相等的四边形是矩形

C.两条对角线互相垂直的四边形是菱形

D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

4.计算（-2疗/3丫的结果是（）

A.—2m4zz6B.4m4n6C.4m4»5D.-4〃/1,

5.如图所示的仪器中，OD=OE,CQ=CE,小州把这个仪器往直线/上一放，使点，

E落在直线/上，作直线OC,则他这样判断的理由是（）

A.到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上

B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C.到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

D.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

6.在同一平面直角坐标系中，直线，=-刀+4与y=2x+根相交于点尸(3,〃)，则关于无,

fx+y-4=0

y的方程组.八的解为（）

\2x-y+m=\）

[x=-\[x=\fx=3fx=9

A.\B・qcC.<D.<

[y=51y=3[y=l[y=~5

7.如图，。是..ABC的外接圆，已知/ABO=40。，则,ACB的大小为（）

8.二次函数y=ax?+bx-1（a/））的图象经过点（1,1）,则a+b+1的值是（）

A.-3B.-1C.2D.3

二、填空题

%计算：［『+(兀_3)。=一,

10.数轴上表示点A的数是最大的负整数，则与点A相距4个单位长度的点表示的数

是.

11.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美.如图，

点尸为42的黄金分割点(AP>PB).如果BP的长度为2cm,那么AP的长度为

cm.

12.已知点A(-2,m)在一个反比例函数的图象上，点4与点A关于y轴对称.若点4

试卷第2页，共6页

在正比例函数y=gx的图象上，则这个反比例函数的表达式为.

13.如图1,在菱形ABC。中，动点P从点C出发，沿着C—/一。运动至终点。，设

点P运动的路程为x,Z8CP的面积为y,若y与x的函数图像如图2所示，则图中。的

值为—.

三、解答题

14.已知。，6互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值是4,求W^-（a+6-cd）x-5cd

的值.

3（x+2）>4（x+l）

15.解不等式组：x-i,并写出此不等式组的整数解.

X-------->1

I3

16.解分式方程：X=-]+3==1.

17.如图，已知△ABC,ZC=90°,AC<BC,。为2C上一点，且到A,8两点距离相

等.

（1）用直尺和圆规，作出点。的位置（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连接AD若NB=40。，求NCA。的度数.

18.己知：如图，AD//BC,DE平分/M>C,CE平分NDCB,求证：DC=AD+BC.

19.春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要排队很长时间等候购票.经

调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅

排队等候购票，售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售票数

3张.某一天售票厅开始用四个窗口售票，过了a分钟售票厅大约还有320人排队等候

(规定每人只购一张票).

⑴求。的值；

(2)若要在开始售票后半小时内让所有排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到

随购，则。分钟后至少还需要增加几个售票窗口？

20.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其中杭州主赛区设有

四个竞赛场馆，分别为：A.杭州“大莲花”体育场、B.杭州奥体中心体育馆、C.杭州

奥体中心游泳馆、D.杭州奥体中心同球中心.小云和小月都是志愿者，他们被随机分

配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同.

(1)小云被分配到B.杭州奥体中心体育馆做志愿者的概率为；

(2)利用画树状图或列表的方法，求小云和小月被分配到同一场馆做志愿者的概率.

21.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30。，看这栋

高楼底部C的俯角为60°,热气球A与高楼的水平距离为120m,求这栋高楼BC的高

22.我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的

同学给予奖励.现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40

元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元.

(1)求甲、乙两种奖品的单价；

(2)根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种

奖品数量的应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用.

23.如图，在ABC中，AB=AC,以为直径作。交8C于点。，过点。作跖1AC,

垂足为E,且交的延长线于点

试卷第4页，共6页

A

E

C

⑴求证：即是，：o的切线.

⑵若A3=8,ZA=60°,求8。的长.

24.某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的

劳动时间r(单位：h)作为样本，将收集的数据整理后分为A民CD,E五个组别，其

中A组的数据分别为：0.5,0,4,0,4,0.4,0.3,绘制成如下不完整的统计图表.

各组劳动时间的频数分布表

组别时间"h频数

A0<^<0.55

B0.5<r<1a

C20

D1.5<r<215

Et>28

各组劳动时间的扇形统计图

请根据以上信息解答下列问题.

(1)A组数据的众数是；

(2)本次调查的样本容量是,8组所在扇形的圆心角的大小是；

(3)若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过lh的人数.

25.一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当

球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高08为2.44m,

现以O为原点建立如图所示直角坐标系.

[Mm)

~o卜6羊立m)

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).

(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球

向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点。正上方2.25m处？

26.综合与实践

【思考尝试】

(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在矩形4BCD中，E是边上一

点，DFLCE于点、F,GDLDF,AG1DG,AG=CF.试猜想四边形ABC。的形状，

并说明理由；

【实践探究】

(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2,在正方形ABCD中，E是

边A3上一点，DFLCE于点F,AH_LCE于点X,GD_LD尸交A/7于点G,可以用等

式表示线段由，AH,的数量关系，请你思考并解答这个问题；

【拓展迁移】

(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在正方形

ABCD中，E是边上一点，于点点M在上，且=连接AAf,

BH,可以用等式表示线段CM,8"的数量关系，请你思考并解答这个问题.

图1

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.D

【详解】试题分析：如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数.故选

D.

考点：绝对值.

2.A

【分析】

过点B作〃砂交AC于点。，可证利用平行线的性质可得=

Z2=ZCBD,进而可得Z1+Z2=ZABD+ZCBD=ZABC=60°.

【详解】解：如图，过点2作3。〃砂交AC于点D

及△ABC中，ZA=30°,

ZABC=90°-ZA=60。.

BD//EF,

Z1=ZABD.

BD//EF,MN//EF,

MN//BD,

：.N2=NCBD,

Z1+Z2=ZABD+ZCBD=ZABC=60°,

故选A.

【点睛】本题主要考查平行线性质，平行公理的推论，三角板中的角度计算等知识点，解题

的关键是正确作出辅助线.

3.A

【分析】根据特殊四边形的判定方法进行判断.

【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A符合题意；

对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；

答案第1页，共16页

对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D不符合题意.

故选：A.

4.B

【分析】

根据积的乘方计算法则计算即可.

【详解】解：（~2m2n3）2=4m4n6,

故选：B.

【点睛】此题考查了积的乘方计算法则，熟记计算法则是解题的关键.

5.C

【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求解.

【详解】-：OD=OE,

：.0点在线段DE的垂直平分线上，

CD=CE,

C点在线段DE的垂直平分线上，

，CO是线段DE的垂直平分线上，

，OC1.1.

故选C.

6.C

【分析】先把点尸代入直线y=-x+4求出"，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求

解即可.

【详解】解：：直线y=-尤+4与直线y=2x+机交于点尸（3,〃），

••n=13+4,

••〃=1,

・•・P（3,l）,

I=3x2+m,

:.m=-5,

fx+y-4=0=3

.♦•关于X,y的方程组c-uc的解.

[2尤-y-5=0[y=l

故选：C.

答案第2页，共16页

【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解

题的关键.

7.D

【分析】

首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理解得NA03=100°,然后根

据圆周角定理求解即可.

【详解】解：A03中，OA=OB,ZAB6>=40°,

ZABO=ZBAO=40°,

：.ZAOB=180°-ZABO-NBAO=100°,

ZACB=-ZAOB=ixl00°=50°.

22

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及圆周角定理等知识，理

解并掌握圆周角定理是解题关键.

8.D

【详解】试题分析：把（1,1）代入y=ax2+bx-1可得到a+b-l=l,即可得a+b=3,故答案

选D..

考点：二次函数图象上点的坐标特征.

9.10

【分析】

本题考查负整数指数事和零指数幕.根据负整数指数塞和零指数幕的法则计算，是解题的关

键.

【详解】解：^y+（7t-3）°=9+1=10；

故答案为：10.

10.-5或3/3或-5

【分析】先求出点A表示的数，再利用数轴的定义即可得.

【详解】解：由题意得：点A表示的数为-1,

①当与点A相距4个单位长度的点在点A的右侧时，

则这个点表示的数是-1+4=3；

答案第3页，共16页

②当与点A相距4个单位长度的点在点A的左侧时，

则这个点表示的数是-1-4=-5；

综上，这个点表示的数是-5或3,

故答案为：-5或3.

【点睛】本题考查了数轴、有理数加减法的应用，熟练掌握数轴的定义是解题关键.

11.(6+1)/(1+右)

【分析】

本题考查了黄金分割.根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.

【详解】

解：点尸为4B的黄金分割点(">阳，5P=2cm,

.BP75-1

,,—,

AP2

AP=(遂+1卜m,

故答案为：(6+1).

12.尸二

X

【分析】根据点A与点4关于y轴对称，得到4(2,m),由点4在正比例函数y=gx的图

象上，求得加的值，再利用待定系数法求解即可.

【详解】解：：点A与点4关于y轴对称，且&(-2,m)，

.".Ar(2,m),

•点4在正比例函数>=：尤的图象上，

/.m=—x2,

2

解得：m=l,

AA(-2,1),

设这个反比例函数的表达式为y=-,

X

VA(-2,1)在这个反比例函数的图象上，

:.仁-2x1=2,

2

•••这个反比例函数的表达式为尸--,

X

答案第4页，共16页

故答案为：y=--.

x

【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于尤轴、y轴对称的点的坐标特征，

解答本题的关键是明确题意，求出机的值.

13.11

【分析】由图象上点（6,12）知CA=6,且点尸在点A时，ABCP的面积为12,连接8。

交AC于点则可求出和8。，利用勾股定理求出A。，得到以

图1

连接8D交AC于点M，

由图2知，AC=6,且CP=6时，ABCP的面积为12,

:四边形A8CO是菱形，

：.BD±AC,且AM=CM=3,BM=MD,

,：-AC«BM=-x6xBM=12,

22

；.£>M=4,

.,.A£）=732+42=5-

：.a=CA+AD=6+5=U.

故答案为：11.

【点睛】本题考查了三角形的面积公式、菱形的对角线互相垂直平分的性质、勾股定理和函

数图象，要求学生学会由函数图象找出对应的信息，理解（6,12）的几何意义是关键.

14.-1或一9

【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可得到结果.

【详解】解：由题意得：

〃+b=0,cd=1,%=4或x=-4,

答案第5页，共16页

当尤=4时，Ig^=0-（0-l）x4-5xl=4-5=-l；

当x=-4时，原式=0—（0-l）*（T）—5xl=T—5=-9.

15.1<X<2;整数解为x=2

【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小

小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解.

3（x+2）>4（x+l）@

【详解】解：x-1三

I3

解不等式①得，x<2,

解不等式②得，x>l,

所以不等式组的解集为1<%W2,则不等式组的整数解为x=2.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键.

16.x=17

【解析】按照分式方程的解法一般步骤，先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为

1即可，注意不要忘记检验.

【详解】解：去分母得：炉-3无+2+3x+9=N+x-6,

移项，合并同类项得：-x=-17,

解得：x=17,

经检验x=17是分式方程的解.

【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟悉分式方程的解法步骤是解题的关键.

17.（1）作图见解析；（2）10°

【分析】（1）作A2的垂直平分线交与，则ZM=£>2；

（2）先利用互余的性质计算出NBAC=50。，然后利用得到NB=N5W=40。，然后

计算NBAC-NBA。即可.

【详解】解：（1）如图，点。为所作；

答案第6页，共16页

A.

(2)△ABC中,VZC=90°,ZB=40°,

ZBAC=50°,

"：AD=BD,

：.ZB=ZBAD=40°,

：.ZCAD=ZBAC-ZBAZ)=10°.

考点：作图——复杂作图；线段垂直平分线的性质.

【点睛】本题考查了作图一复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一

般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性

质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

18.证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义和三角

形内角和定理，延长DE交CB延长线于利用平行线的性质和角平分线的定义证明

ZEDC+ZECD=90°,贝l|NCED=90。，进而证明—ECO/..EC"(ASA),得到CD=C",

DE=HE,再证明得至！=即可证明

CD=BC+BH=BC+AD.

【详解】证明：如图所示，延长DE交CB延长线于"，

•/AD/7BC,

：.ZADC+ZBCD=180°,

OE平分工ADC,CE平分Z.DCB,

：./EDC=-ZADC,ZECD=Z.ECB=-ZBCD,

22

/.ZEDC+ZECD=-ZADC+-ZBCD=90°,

22

ZC£D=90°,

ZCED=ZCEH=90°,

答案第7页，共16页

又：CE=CE,

_ECD丝一ECW(ASA),

?.CD=CH,DE=HE,

AD//BH,

:.NA=NEBH,/ADE=NH,

：..ADE-BHE(AAS),

，AD=BH,

*.•CH=BC+BH,

：.CD=BC+BH=BC+AD.

cB

19.(l)a=10

(2)现在至少还需要增加3个售票窗口

【分析】(1)根据题意：原人数分钟增加的人数-4个窗口售票的人数，列方程，解方程

求解即可；

(2)可。分钟后设还需同时开放t个售票窗口.由题意可知：10分后，增加了t个窗口，

列方程，解方程求解即可.

【详解】(1)解：由题意，得400+4a-4x3a=320,

解得：(7=10;

(2)解：设还需要增加f个售票窗口.

由题意，^(30-10)x3(r+4)>320+(30-10)x4,

Q

解得：此|;

因为/为正整数，所以才的最小值为3；

故现在至少还需要增加3个售票窗口.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关

系，正确列出一元一次不等式(一元一次方程)是解题的关键.

答案第8页，共16页

20.(1)-

4

【分析】

本题考查列表法与树状图法求解概率、简单的概率计算：

(1)直接利用概率公式可得答案.

(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及小云和小月被分配到同一场馆做志愿者的结果

数，再利用概率公式可得出答案.

【详解】(1)解：•••一共有4个竞赛场馆，且每个场馆被分配的概率相同，

...小云被分配到B.杭州奥体中心体育馆做志愿者的概率为:，

故答案为：—;

4

(2)解：画树状图如下：

开始

ABCD

八

ABCDABCDABCDABCD

由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小云和小月被分配到同一场馆做志愿者的结

果有4种，

小云和小月被分配到同一场馆做志愿者的概率=747=41

164

21.这栋高楼的高度是160/

【分析】过A作ADLBC,垂足为D,在直角AABD与直角AACD中，根据三角函数的定

义求得BD和CD,再根据BC=BD+CD即可求解.

【详解】过点A作ADXBC于点D,

答案第9页，共16页

依题意得，ZBAD=30,NCA£)=60,AD=120,

BD

在RtAABD中tan/RW=—,

AD

：.B£)=120x^=40^,

DC

在RtAADC中tan/CA。=—,

AD

：.DC=120XV3=120A/3,

/.BC=BD+DC=160y/3

答：这栋高楼的高度是160』.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，难度适中.对于一般三角形

的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算.

22.（1）甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；（2）购买甲种奖品20件，乙

种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元.

【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据题意列方程组求出X、

y的值即可得答案；

（2）设总费用为w元，购买甲种奖品为机件，根据甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的

g可得相的取值范围，根据需甲、乙两种奖品共60件可得购买乙种奖品为（60-m）件，根

据（1）中所求单价可得w与机的关系式，根据一次函数的性质即可得答案.

【详解】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，

VI件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元，

.（x+2y=40

•・12x+3y=70'

x=2Q

解得:

7=10

答案第10页，共16页

答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元.

（2）设总费用为卬元，购买甲种奖品为机件，

•••需甲、乙两种奖品共60件，

.•・购买乙种奖品为（60册）件，

•••甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元，

w=20m+10（60-m）=10m+600,

•..甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的3,

（60-m）,

20<m<60,

V10>0,

随机的增大而增大，

.•.当”2=20时，w有最小值，最小值为10x20+600=800（元），

购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元.

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，正确

得出等量关系及不等关系列出方程组及不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.

23.⑴见解析

⑵4

【分析】本题主要考查的是切线的判定和性质，等腰三角形的性质，30。的直角三角形的性

质，掌握本题的辅助线作法是解题的关键.

（1）作辅助线,根据等腰三角形三线合一得班>=CD,根据三角形的中位线可得OD//AC,

所以得EFLOD,从而得结论；

（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得/BAD==30。，由30。的直角三角形的

性质即可求得50.

【详解】（1）证明：如图，连接0。，AD,

答案第11页，共16页

A5是Q的直径，

AD1BC,

AB=AC,

,BD=CD,

OA=OB,

OD//AC,

EF1AC,

/.EF±OD,

OD是O的半径，

，EF是。的切线.

(2)AB=AC,ADIBC,

：.ZBAD=-ZCAB=30°,

2

AB=8,

BD=-AB=-x8=4.

22

24.(1)0.4

(2)60,72°

(3)860人

【分析】

(1)根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行求解即可；

(2)利用。组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量，利用样本容量减去4。、D、

E组的频数得到5组的频数，再用360。乘以5组占样本的百分比即可得到3组所在扇形的

圆心角的大小；

(3)用该校所有学生数乘以样本中劳动时间超过lh的人数的占比即可估计该校学生劳动时

答案第12页，共16页

间超过Ih的人数.

【详解】(1)解：组的数据为：0.5,0,4,0,4,0.4,0.3,共有5个数据，出现次数最多

的是0.4,共出现了3次，

A组数据的众数是0.4；

故答案为：04

(2)由题意可得，本次调查的样本容量是15+25%=60,

由题意得。=60-5-20-15-8=12,

12

・・・8组所在扇形的圆心角的大小是360。、刀=72。，

60

故答案为：60,72°

(3)解：1200x20+15+8=860(人).

60

答：该校学生劳动时间超过lh的大约有860人.

【点睛】此题考查了扇形统计图和频数分布表的信息关联，还考查了众数、样本容量、用样

本估计总体等知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，准确计算是解题的关

键.

1,

25.(l)y=-—(X-2)+3,球不能射进球门

(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门

【分析】

(1)根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出。的值

即可得到函数表达式，再把x=0代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到

结论；

(2)根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点(0,2.25)代入即可求解.

【详解】(1)解：由题意得：抛物线的顶点坐标为(2,3),

设抛物线解析式为y=a(x-2y+3,

把点A(8,0)代入，得360+3=0,

解得。=-2，

答案第13页，共16页

.••抛物线的函数表达式为>=-[(尤-2)2+3,

Q

当x=0时，y=->2.44,

-3

；•球不能射进球门；

I,

(2)设小明带球向正后方移动加米，则移动后的抛物线为丁=-五(》-2-机)一+3,

把点(0,2.25)代入得2.25=~(-2-m)2+3,

解得/=-5(舍去)，，%=1,

...当时他应该带球向正后