人教版高中数学选修一1.2 空间向量基本定理-基础练（解析版）

1.2空间向量基本定理-基础练一、选择题1.有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是

A. B.

C.

D.

【答案】C【解析】如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正确．反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C．2.设向量a,b,c不共面,则下列可作为空间的一个基底的是()A.{a+b,b-a,a} B.{a+b,b-a,b}C.{a+b,b-a,c} D.{a+b+c,a+b,c}【答案】C【解析】由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底.3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与C1A.-12a+12b+c B.12a+12b+cC.-12a-12b-c D.-1【答案】C【解析】C1M=AM-AC1=12(AB+4.已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=OA+OB+OC,向量b=OA+OB-A.OA B.OB C.OC D.OA【答案】C【解析】∵a=OA+OB+OC,b=OA+OB-OC,∴OC=12(∴OC,a,b不能构成空间的一个基底.5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（

）A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底C．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么共面D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底【答案】ABCD【解析】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；选项中，根据空间基底的概念，可得正确；选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．故选：ABCD.6．（多选题）设，，是空间一个基底A．若，，则 B．则，，两两共面，但，，不可能共面 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，，，使 D．则，，一定能构成空间的一个基底【分析】利用，，是空间一个基底的性质直接求解．【解答】解：由，，是空间一个基底，知：在中，若，，则与相交或平行，故错误；在中，，，两两共面，但，，不可能共面，故正确；在中，对空间任一向量，总存在有序实数组，，，使，故正确；在中，，，一定能构成空间的一个基底，故正确．故选：．二、填空题7.在空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在线段AC上,且AM=2MC,点N是OB的中点,则MN=______.【答案】-13a+12b-【解析】MA=23CA23(a-c)-a+12b=-13a+12b8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB=a,AD=b,AA1=c,A1C1与B1D1的交点为E,则BE=【答案】-12a+12b+【解析】如图,BE=BB1+B1E=AA1+9.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d=αa+βb+γc时,α+β+γ=.

【答案】3【解析】由已知d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3,所以α+γ=1,10．（2020山东菏泽四中高二期末）在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______，异面直线与所成角的余弦值为______.【答案】..【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则(1).(2)由(1),又.又.设异面直线与所成角为则.三、解答题11.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{}能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量=2e1-e2+3e3;若不能,请说明理由.【答案】能，=17-5-30．【解析】能作为空间的一组基底．假设共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y使=x+y成立又因为是空间的一个基底,所以不共面.因此此方程组无解,即不存在实数x,y使=x+y,所以不共面.故{}能作为空间的一个基底.设=p+q+z,则有因为为空间的一个基底,所以解得故=17-5-30.12.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E是上底面A'B'C'D'的中心,取向量AB,AD,AA'为基底的基向量,在下列条件下,分别求x,(1)BD'=xAD+yAB+zAA(