2024年中考数学模拟考试试卷-含答案(北师大版)

2024年中考数学模拟考试试卷-含答案（北师大版）

（满分：150分；考试时间：120分钟）

学校:班级：姓名：考号：

一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.

1.2023年长沙国际马拉松在芙蓉中路起跑，来自国内外的26000名跑友汇成一片红色的海洋

驰骋在长马赛道上，他们用脚步丈量星城，感受一江两岸，山水洲城的魅力，图1是此次全

程马拉松男子颁奖现场模拟图，图2是领奖台的示意图，则此领奖台从正面看到的平面图是

2.2023年10月18日，第三届"一带一路"国际合作高峰论坛在北京开幕.自2013年以来，中

国已同152个国家和30多个国际组织签署共建"一带一路"合作文件.2013~2022年，中国与

"一带一路"国家进出口贸易总额累计19.1万亿美元，年均增长6.4%.数据19.1万亿用科学

记数法表示为（）

A.1.91X1012B.19.1X1012C.191X1011D.1.91X1013

3.如图，AD_LCE于点A,CD//AB,Zl=30°,则ND的度数为（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

4.如果有理数a,b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（）

II____________III

a-10b1

A.a+b>0B.|a|<|-b\C.(b-l)(a+l)<0D.£!>0

5.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形,

又是中心对称图形的是（）

6.下列运算结果正确的是（）

A.x3•x3=x9B.2x3+3x3=5x6C.（3x2y4）2=6x4y6D.（2+3x）（2-3x）=4-9x2

7.从1,2,3这三个数中任取两个不同的数，分别记为m,n,那么点（m,n）在反比例函

数y=g的图象上的概率为（）

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8.在反比例函数y=q的图象上有三个点A(xi,y“，B(x2,y2)»C(x3,y3),若丫2<0<山<丫3,则下

列结论正确的是()

A.X2<O<X1<X3B.XI<X3<0<X2C.X3<X1<O<X2D.X2<O<X3<X1

9.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=8,ZABC=120°.按以下步骤作图：①以点B

为圆心，以适当长为半径作弧，交AB、BC于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，以大于共F

的长为半径作弧，两弧相交于点H,作射线BH交AC于点0,交边AD于点P,则0C的长度

为()

A8V7_2V7_4V5_4V3

A.D.C.D・

3333

10.抛物线y=-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C,过点C作直线I垂直于y轴，将抛物线在y轴右

侧的部分沿直线I翻折，其余部分保持不变，组成图形G,点⑷，N(m+1,y?)为图

形G上两点，若yi<y2,则m的取值范围是()

A.m<-1或m>0B.--<m<-C.0^m<V2D.-l<m<l

二.填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.因式分解：a2-4ab=.

12.小林给弟弟买了一些糖果，放到一个不透明的袋子里，这些糖果除了口味和外包装的颜色

外其余都相同，袋子里各种口味糖果的数量统计如图所示.他让弟弟从袋子里随机摸出一颗

糖果，则弟弟恰好摸到橘子味糖果的概率为.

14.如图，已知圆O的内接正六边形的边长为4,H是AF的中点，则图中阴影部分的面积

为o

小

AH

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15.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上

升10s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x

（单位：s）之间的关系如图所示.10s时，两架无人机的高度差为m.

16.如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=6.折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处,

折痕分别与边AB,AD交于点E,F.当点M的位置变化时，DF长的最大值为。

三.解答题：本题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(6分)计算：|值一1|+(j)-1-(n-3.14)°+V9

3x+6>5（x-2）①

18.（6分）解不等式组辞-冷〃②'并求出最小整数解与最大整数解的和•

19.（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形,线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F,OA=OC.求

证：BF=DE.

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20.(8分)某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了

一个简易测角仪，如图1所示.

(1)如图2,在点P观察所测物体最高点C,当量角器零刻度线上A,B两点均在视线PC上时，

测得视线与铅垂线所夹的锐角为a,设仰角为B,请直接用含a的代数式表示B;

(2)如图3,为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B,C

处分别测得气球A的仰角NABD为37。，NACD为45。，地面上点B,C,D在同一水平直

线上，BC=26米，求气球A离地面的高度AD.(参考数据：sin37°=0.60,cos37°七0.80,

tan37°七0.75)

21.(8分)为了解学生手机使用情况，某学校开展了"手机伴我健康行"主题活动，他们随机抽

取部分学生进行"使用手机的目的"和"每周使用手机的时间"的问卷调查，并绘制成如图所示

的统计图，已知"查资料"的人数为40.

使用手机的目的扇形统计图每周使用手机的时间条形统计图

(0~1表示大于0同时小于1,以此类推)

请你根据以上信息解答下列问题：

(1)本次随机抽取的学生共有人；

(2)在扇形统计图中，"玩游戏"对应的百分比为，圆心角度数为度；

⑶补全条形统计图；

(4)该校一共约有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上(不含2小时)的人数.

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22.(8分)如图，©0的直径AB与其弦CD相交于点E,过点A的切线交CD的延长线于点F,

且NAED=NEAD.

(1)求证：AD=FD;

(2)若cosNAEF=|,AE=6,求。0半径的长。

23.(10分)信阳毛尖又称豫毛峰，属绿茶类，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一，

其主要产地在信阳市源河区、平桥区和罗山县，由汉族茶农创制.某茶叶店经营信阳毛尖，

据了解，市场上A种茶的价格比B种茶贵50元，用600元在市场上购进的A种茶比购进的

B种茶少2盒.

(1)求购进的A、B两种茶每盒的价格；

(2)该茶叶店决定在茶叶厂家购买A、B两种茶共100盒，且A种茶的盒数不低于B种茶盒数

的去茶叶厂家为开拓市场，对A、B两种茶的进价均提供九折优惠.求茶叶店本次购进茶

叶的最少花费.

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24.(10分)如图，已知一次函数y=x+b分别与x轴和反比例函数y=3x>0)交于点B(2,0),A(a,

2).

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

⑵反比例函数图象上是否存在点P,使得4PBA的面积与AOBA的面积相等，若存在，请求

出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

⑶把一次函数y=x+b的图象绕点A旋转一定角度交反比例函数y=3x>0)的图象于另一点N,

交y轴于点M,当煞=3时，求直线MN的函数表达式.

备用图

25.(12分)如图1,抛物线y=ax2+bx-3(a20)与x轴交于点A(-l,0),B(3,0),与y轴交于点

C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图2,点P,Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1,过

点P作PM〃y轴交BC于点M,过点Q作QN〃y轴交BC于点N,求PM+QN的最大值及此

时点Q的坐标；

⑶如图3,将抛物线先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y',

在y'的对称轴上有一点D,坐标平面内有一点E,使得以点B,C,D,E为顶点的四边形是矩

形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标.

图1图2图3

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26.(12分)数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规

律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔

的数学天地.

(1)发现问题：如图1,在aABC和4AEF中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=30°,连接BE,

CF,延长BE交CF于点D,则BE与CF的数量关系：,ZBDC=.

⑵类比探究：如图2,在^ABC和4AEF中，AB=AC米，AE=AF,ZBAC=ZEAF=120°,连接

BE、CF,延长BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及aBDC的度数，并说明理由；

⑶拓展延伸：如图3,AABC和4AEF均是等腰直角三角形，ZBAC=ZEAF=90°；连接BE、

CF,且点B,E,F在一条直线上，过点A作AM_LBF,垂足为M,则BF,CF,AM之间的数

量关系为O

(4)实践应用：如图4,在正方形ABCD中，AB=2,若平面内存在点P满足NBPD=90°,PD=1,

则SAABP=,

图3图4

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答案

一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.

1.2023年长沙国际马拉松在芙蓉中路起跑，来自国内外的26000名跑友汇成一片红色的海洋

驰骋在长马赛道上，他们用脚步丈量星城，感受一江两岸，山水洲城的魅力，图1是此次全

程马拉松男子颁奖现场模拟图，图2是领奖台的示意图，则此领奖台从正面看到的平面图是

（A）

2.2023年10月18日，第三届"一带一路"国际合作高峰论坛在北京开幕.自2013年以来，中

国已同152个国家和30多个国际组织签署共建"一带一路"合作文件.2013~2022年，中国与

"一带一路"国家进出口贸易总额累计19.1万亿美元，年均增长6.4%.数据19.1万亿用科学

记数法表示为（D）

A.1.91X1012B.19.1X1012C.191X1011D.1.91X1013

3.如图，AD_LCE于点A,CD/7AB,Zl=30°,则ND的度数为(A)

A.60°B.50°C.40°D.30°

4.如果有理数a,b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（D）

II________________III

a-10b1

A.a+b>0B.|a|<|-b\C.(b-l)(a+l)<0D.^>0

5.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形,

又是中心对称图形的是（C）

6.下列运算结果正确的是（D）

A.x3•x3=x9B.2x3+3x3=5x6C.（3x2y4）2=6x4y6D.（2+3x）（2-3x）=4-9x2

7.从1,2,3这三个数中任取两个不同的数，分别记为m,n,那么点（m,n）在反比例函

数y=：的图象上的概率为（B）

8.在反比例函数y=T的图象上有三个点A(xi,y“,B(x2,y2)>C(x3,ys),若y2<0<yi<y3,则下

列结论正确的是(B)

A.X2<O<X1<X3B.X1<X3<O<X2C.X3<XI<0<X2D.X2<O<X3<X1

第8页共18页

9.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=8,ZABC=120°.按以下步骤作图：①以点B

为圆心，以适当长为半径作弧，交AB、BC于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，以大于共F

的长为半径作弧，两弧相交于点H,作射线BH交AC于点0,交边AD于点P,则0C的长度

为(A)

10.抛物线y=-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C,过点C作直线I垂直于y轴，将抛物线在y轴右

侧的部分沿直线I翻折，其余部分保持不变，组成图形G,点yi),N(m+1,y?)为图

形G上两点，若y«y2,则m的取值范围是(D)

A.m<-1或m>0B.--<m<-C.0^m<V2D.-l<m<l

二.填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.因式分解：a2-4ab=a(a—4b)

12.小林给弟弟买了一些糖果，放到一个不透明的袋子里,这些糖果除了口味和外包装的颜色

外其余都相同，袋子里各种口味糖果的数量统计如图所示.他让弟弟从袋子里随机摸出一颗

糖果，则弟弟恰好摸到橘子味糖果的概率为3.

颗数

5

4

订

萄萄味草莓味橘子味苹果味类型

13.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根，则m2-2(1012+2n)=-2024.

14.如图，已知圆O的内接正六边形的边长为4,H是AF的中点，则图中阴影部分的面积为

37+4'\/^o

15.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上

升10s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x

第9页共18页

（单位：s）之间的关系如图所示.10s时，两架无人机的高度差为20m.

16.如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=6.折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处,

折痕分别与边AB.AD交于点E,F.当点M的位置变化时,DF长的最大值为6-36。

三.解答题：本题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（6分）计算：|值一1|+（j）-1-（n-3.14）°+V9

=73-1+2-1+3

=V3+3

3x+6>5（x-2）①

18.（6分）解不等式组x-54x-3…，并求出最小整数解与最大整数解的和・

（V_宁VI②

解不等式①，得X<8.''

解不等式②，得x>-3.

...不等式组的解集为-3<x/8.

...不等式组的最小整数解为-2,最大整数解为8.

•••最小整数解与最大整数解的和为6.

19.（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形,线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F,OA=OC.求

证：BF=DE.

BC

第10页共18页

证明：四边形ABCD是平行四边形

AAD/ZBC,AD=BC

:.ZEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO

.\ZAEO=ZCFO

在AAOE和△COF中

(ZAEO=ZCFO

JZEAO=ZFCO

(OA=OC

.•.AAOE^ACOF(AAS)

.\AE=CF

又TAD=BC

:.BC-CF=AD—AE

BF=DE

20.（8分）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了

一个简易测角仪，如图1所示.

⑴如图2,在点P观察所测物体最高点C,当量角器零刻度线上A,B两点均在视线PC上时，

测得视线与铅垂线所夹的锐角为a,设仰角为B,请直接用含a的代数式表示B;

（2）如图3,为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B,C

处分别测得气球A的仰角NABD为37。，NACD为45。，地面上点B,C,D在同一水平直

线上，BC=26米，求气球A离地面的高度AD.（参考数据:sin37°~0.60,cos37°~0.80,

tan37°七0.75）

解：⑴根据题意,得B=90°-a.

(2)设AD=x米

VZACD=45°,ZADB=90°

.\CD=AD=xX

VBC=26米

:.BD=(26+x)米

在RtZ\ABD中，tanNABD=^^,HR0.75=^—

26+%26+%

解得x=78.

经检验，x=78是分式方程的根，且符合题意

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21.（8分）为了解学生手机使用情况，某学校开展了"手机伴我健康行"主题活动，他们随机抽

取部分学生进行"使用手机的目的"和"每周使用手机的时间"的问卷调查，并绘制成如图所示

的统计图，已知"查资料"的人数为40.

使用手机的目的扇形统计图每周使用手机的时间条形统计图

（0~1表示大于。同时小于1,以此类推）

请你根据以上信息解答下列问题：

⑴本次随机抽取的学生共有人；

⑵在扇形统计图中，"玩游戏"对应的百分比为，圆心角度数为度；

⑶补全条形统计图；

（4）该校一共约有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数.

解：（1）404-40%=100（人）

即本次随机抽取的学生共有100人.故答案为100.

（2）在扇形统计图中，"玩游戏"所对应的百分比为

1-40%-18%-7%=35%,360x35%=126°

故答案为35%,126.

（3）"3小时以上,'的人数为100-2-16-18-32=32.

补全条形统计图如下：

每周使用手机的时间条形统计图

(4)2100x^-=1344(人).

答：估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数为1344.

22.（8分）如图，。0的直径AB与其弦CD相交于点E,过点A的切线交CD的延长线于点F,

且NAED=NEAD.

（1）求证：AD=FD;

第12页共18页

(2)若cosNAEF=|,AE=6,求。O半径的长。

A

JX

CQDF

(1)证明：AF与圆相切于点A

,直径AB±AF

ZFAD+ZEAD=ZF+ZAED=Z90°

VZAED=ZEAD

.\ZF=ZFAD

.,.AD=FD

VZEAF=90°

/.cosZAEF=—=|

EF5

VAE=6

:.EF=1O

VZAED=ZEAD

.\AD=ED

AAD=-EF=5

2

「AB是(DO的直径

ZADB=90°

VZAED=ZEAD

.,.cosZEAD=cosZAEF=-

AD3

•••-一一

AB5

工。0半径的长为台

o

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23.(10分)信阳毛尖又称豫毛峰，属绿茶类，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一，

其主要产地在信阳市源河区、平桥区和罗山县，由汉族茶农创制.某茶叶店经营信阳毛尖，

据了解，市场上A种茶的价格比B种茶贵50元，用600元在市场上购进的A种茶比购进的

B种茶少2盒.

(1)求购进的A、B两种茶每盒的价格；

(2)该茶叶店决定在茶叶厂家购买A、B两种茶共100盒，且A种茶的盒数不低于B种茶盒数

的去茶叶厂家为开拓市场，对A、B两种茶的进价均提供九折优惠.求茶叶店本次购进茶

叶的最少花费.

解：⑴设购进的A种茶每盒的价格为x元，则B种茶每盒的价格为(x-50)元.

根据题意，得好=飞一2

解得x=150.

经检验，x=150是原方程的解，且符合题意.

.,.x-50=150-50=100.

答：购进的A种茶每盒的价格为150元，B种茶每盒的价格为100元.

⑵设购买A种茶叶m盒，则购买B种茶叶(100-m)盒

根据题意，得m2：(100—m)

设本次购买花费w元.

根据题意，得w=150x0.9m+100x0.9(100-m)=45m+9000.

V45>0

，w随m的增大而增大.

Am的最小值为34

.,.当m=34时，w取得最小值，最小值=45x34+9000=10530.

答：茶叶店本次购买茶叶的最少花费为10530元

24.(10分)如图，已知一次函数y=x+b分别与x轴和反比例函数丫=矢>0)交于点B(2,0),A(a,

2).

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)反比例函数图象上是否存在点P,使得4PBA的面积与AOBA的面积相等，若存在，请求

出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

⑶把一次函数y=x+b的图象绕点A旋转一定角度交反比例函数y=：(x>0)的图象于另一点N,

交y轴于点M,当皆=3时，求直线MN的函数表达式.

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y八

备用图

解：⑴将点B(2,0)代入一次函数y=x+b

得0=2+b,解得b=-2

，一次函数的表达式为y=x-2

将点A(a,2)代人y=x-2,得2=a-2,解得a=4

.,.A(4,2)

将点A(4,2)代入反比例函数y=^(x>0)

得k=4x2=8

...反比例函数的表达式为y=；(x>0)

⑵存在点P

如图1所示，过点O作OP〃AB交反比例函数于点P

则SAPRA=SAOBA

•.•直线AB的函数表达式为y=x-2

直线OP的函数表达式为y=x

令X、，解得XI=2M,XZ=-2V2(舍去)

X

：.P(2V2,2V2)

•..直线AB交y轴于点D

/.D(0,-2)

把直线AB向下平移2个单位长度

则直线P'E的函数表达式为y=x-4

第15页共18页

令X-4=A解得X3=2+2g,X4=2-26(舍去)

X

：.P'(2+2V3,2V3-2).

，存在点P,坐标为(2V2,2V2)或(2+2V3,2V3-2).

(3)y=-3+5或y=_

40L

25.(12分)如图1,抛物线y=ax2+bx-3(a00)与x轴交于点A(-l,0),B(3,0),与y轴交于点

C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图2,点P,Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1,过

点P作PM〃y轴交BC于点M,过点Q作QN〃y轴交BC于点N,求PM+QN的最大值及此

时点Q的坐标；

⑶如图3,将抛物线先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y',

在丁的对称轴上有一点D,坐标平面内有一点E,使得以点B,C,D,E为顶点的四边形是矩

形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标.

图1图2图3

(1)把A(-l,0)和B(3,0)代入y=ax2+bx-3(a^0)

a—b—3=0

9a+3b—3=0

，抛物线的表达式为y=x2-2x-3

⑵抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C

令x=0,则y=-3.

...点C的坐标为(0,-3)

设直线BC的表达式为y=kx+b'.

把B(3,0),C(0,-3)代入

回直线BC的表达式为y=x-3.

第16页共18页

点P,Q为直线BC下方抛物线上的两点

设P(t,t2-2t-3),则Q(t+1,12-4)

回M(t,t-3)、N(t+1,t-2)

回PM=-t2+3t>QN=-t2+t+2

回P