2024年高考数学基本不等式压轴题专项训练

2024年高考数学基本不等式压轴题专项训练

1.已知二次函数“X)满足〃x+l)-/(x)=2x+l,且/(X)的图象经过点4(-2,4).

⑴求f(x)的解析式;

⑵若函数g(x)=4(x)+(2a-l)x+l,试判断是否存在整数。，使得函数g(x)在区间

[0』上的最大值为3.若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由;

1mA

⑶设函数〃(x)=〃x)H---——-mxH-----1-2若不等式/7(%)>0对任意的xe(1,可恒成立

/W尤

求实数加的取值范围.

2.已知正整数集合5=佃,%,.,MjmNZ,eNbOvqv/v•<4”,对任意卬,%eS,

定义“火吗)=――5.若存在正整数左，使得对任意即%eS(a产％),都有

d(q,«,)>/，则称集合S具有性质Fk.记d⑸是集合中的｛d(%％)W,%eS｝最大值.

⑴判断集合A=｛1,2,3｝和集合B=｛4,6｝是否具有性质工，直接写出结论；

⑵若集合S具有性质工，求证：或5)2某；

(3)若集合S具有性质果，求"的最大值.

3.已知函数〃x)=9"—

⑴当机=1时，求不等式/(“<27的解集；

(2)若电>%,>0且％9=7"。，试比较/(石)与/(%)的大小关系；

(3)令g(x)=/(x)+/(-x)，若y=g(x)在R上的最小值为T1,求机的值.

4.己知数列也｝是等差数列，数列低｝满足仇=4+4+2-

⑴求证：数列出｝是等差数列；

16

(2)设数列｛%｝、也｝的公差均为/0),且存在正整数型，使得q+为一3=-可询

求%的最大值；

⑶在⑵的条件下，当％取得最大值时，设％=3%+g,记数列占,勺前〃项和为4,

问：是否存在自然数。，%,使得%工>2成立？说明理由.

Tk~c

试卷第2页，共8页

5.已知函数，(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，且/(x)+g(x)=2x+1记

尸(x)=log2/(X).

⑴求尸(无)的最小值；

⑵解关于加的不等式P(%+2)>尸(3利-1)；

⑶设H(x)=-logos-2工+24(0>0),若F(x)的图象与H(x)的图象有2个交点，求。的

取值范围.

6.已知函数〃力=》+三，aeR.

⑴4>0时，求/(回，/(7(&))的值；

⑵若0=1,用定义证明函数/(X)在区间［1,+向上单调递增；

⑶若不等式“X)2。在［2,3)上恒成立,求实数a的取值范围.

7.某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品,

一--,0<x<m

12-x

其次品率P与日产量x（万件）之间满足关系:P=]（其中m为小于

3

—,x>m

A

12的正整数）.已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利3万元，但每生产1万件次品

将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如P=01

表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）.

⑴试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；

⑵当日产量为多少时，可获得最大利润？

8.已知函数〃元）=log9（9，+l）+2E/eR）为偶函数.

⑴求r的值；

⑵求“X）的最小值；

（3）若/（42'+4一2，）27（W（4'-4-'））对也€1＜恒成立，求实数加的取值范围.

试卷第4页，共8页

9.在ABC中，角A,8,C所对的边分别是a,b,c,acosC+s/3asinC-b-c=0.

⑴求角A；

(2)若a=7L求ABC周长的最大值；

、r.be—ab—CLC,,T-//rxn

(3)求-----——的取值范围.

er

10.若存在实数私〃使得h(x)=ntf{x}+ng(x),则称函数人⑺为/(x),g(尤)的“7(加,n)

函数

(1)若/i(x)=e*为/(x),g(x)的“7(2,1)函数”,其中〃x)为奇函数，g(x)为偶函数,

求〃尤),g⑴的解析式；

⑵设函数〃尤)=皿(1+1),g(x)=x,是否存在实数私"使得/?(%)为“X),g(x)的

"(/%")函数”，且同时满足：(i)/z(x)是偶函数；(ii)7?(x)的值域为［ln2,+oo)?

若存在，请求出私”的值；若不存在，请说明理由.

11.已知二次函数丁=g2+法+。，其中a,〃,c£R.

⑴若〃>方>c且a+b+c=O,

①证明：函数y=以2+Z?x+c必有两个不同的零点;

②设函数尸加+法+c在x轴上截得的弦长为/,求/的取值范围;

〃3b

(2)若a<b且不等式y<0的解集为0,求2++竺4c的最小值.

b-a

12.观察数列：①-1,；②正整数依次被4除所得余数构成的数列

1,2,3,0,1,2,3,0,;③弭=tan拳”=1,2,3,.

(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周

期数列的定义：对于数列｛%｝,如果,对于一切正整数｛4｝都满足

成立，则称数列m｝是以T为周期的周期数列；

⑵若数列｛4｝满足-a,,”eN*,S“为｛/｝的前｛%｝项和,且

邑=2028,$3=2030,求数列｛%｝的周期，并求邑觌；

(3)若数列｛%｝的首项，%=p,pe0,1,且4%)/eN*,判断数列｛%｝是

否为周期数列，并证明你的结论.

试卷第6页，共8页

13.如图，在正二棱柱ABC-A^iG中，4台=2,。为A3的中点，点“在人。上,

AC=3AE,点尸在直线4A上，对于线段BG上异于两端点的任一点D，恒有尸D〃平

(1)求证：平面P8G〃平面AOE；

(2)当AAPB的面积取得最大值时，求二面角G-5P-A的余弦值.

14.蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽

清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之

首.1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊

比例的手巾呈如图所示的三角形状，点。为边BC上靠近B点、的三等分点，ZADC=60°，

AD=2.

A

BC

D

(1)若/4CD=45。，求三角形手巾的面积;

⑵当限取最小值时，请帮设计师计算3。的长.

试卷第8页，共8页

参考答案:

1.Wf(x)=x2

⑵存在，a=l

⑶(f4]

【分析】(I)设/(%)=办2+及+。，根据已知条件求得。,仇。，从而求得了(%).

(2)先求得g(x),对a进行分类讨论，结合二次函数的性质求得符合题意的。的值.

(3)先求得力(力，然后利用换元法，结合基本不等式求得，"的取值范围.

【详解】(1)设/(%)=依2+及+。(awO),则—/(x)=2dx+a+〃=2x+l,

2a=2a=1

/(x)=x2+c

\a+b=l'|Z?=0?

又图象过点4(—2,4),2)=4+c=4,••.c=0.，/(x)=x2.

(2)由(1)可知g(x)=av：2+(2〃-1)1+1,xe[0,l]

当a=0时，g(x)=-x+l在［0,1］上单调递减，8(力皿=8(0)=1不成立；

当a<0时，函数g(x)的对称轴为尤=与四=上-1<0,图象开口向下,

2a2a

函数g(x)在［0』上单调递减,8(引0=8(0)=1,不成立;

当a>0时，函数g(x)的图象开口向上，对称轴为x=(-1,g(元)的最大值在x=0或尤=1

处取得,

••,g(O)=lw3,.•.当g(x)1rax=g6=3a=3，。=1成立.

综上所述，存在整数a=l,使得函数g(x)在区间［0』上的最大值为3.

(3)由(1)可矢口函数〃(元)=/+二一〃a+'+2=

+4,

XXXX

令t=x—,Vxe(l,3],te

不等式>0对任意的X€(1,当恒成立,

等价于产-根r+4z0对任意的优|恒成立.

转化为：m<t+^,fe/,|恒成立，只需m+即可，

Vr+y>2Jrx1=4,当且仅当即1=2时等号成立，，机W4,

即实数机的取值范围是（-8,4].

【点睛】含有参数的一元二次函数的最值问题，需要利用分类讨论的数学思想方法，分类讨

论的标准的制定，可以考虑二次项系数、对称轴、判别式等等，分类讨论要做到不重不漏.

利用基本不等式求最值，要注意等号成立的条件.

2.⑴集合人={1,2,3}具有性质4；集合8={4,6}不具有性质用；

（2）证明见解析

⑶2%-1

【分析】（1）根据定义直接判断得到答案.

(2)确定”(S)=,变换d(S)=*^----—=-----—+—-----—+

--------,计算得

aa

q册q册q\a2a3n-ln

到证明.

（3）确定d（G，a,）zg,得到：>皆，确定:〉等,再根据均值不等式计算最值得到

答案.

【详解】（1）A={1,2,3},则"（4,42）=〃（“2,。1）=j-万=彳2§;

e/（a3,a2）=^（a2,a3）==d（a,,a3）==-|>-,

故集合A={1,2,3}具有性质用；

3={4,6},故d（仿也）=4色,々）==\<g，

故集合3={4,6}不具有性质小

(2)S={%,%，M〃}("N2,"£N),0<4<%<<an,

故上>L>>—>^,故"(％吗)max=^---~9即d(S)=^----,

%%an%an%册

集合S具有性质F4,故,

答案第2页，共20页

111n-1

+-J---+---LH--=---

4an%an-lan16161616

（3）集合S具有性质理,则d(q,%)N—,a>l,a>i,ZGN%

Kxt

1n-i

故上》n-i

ai

又g,故即;>*，ieN*,

当，为偶数时当且仅当i=即〃=2i时等号成立，

当w为奇数时等号不成立，,故％2>止二1,即川<43+1,

L\，」max44

故〃V2左一1,

综上所述：〃W2Z-1,故〃的最大值为兼-1.

【点睛】关键点睛：本题考查了集合综合应用，意在考查学生的计算能力，转换能力和综合

111c

应用能力，其中根据集合中元素的大小关系，确定一>一>>—>0,再利用绝对值的性

Cl?^'n

质计算是解题的关键.

3.(l)(-oo,2];

(2)〃石)</(9)；

(3)1.

【分析】（1）把相=1代入，结合一元二次不等式及指数函数单调性求解不等式即得.

（2）利用差值比较法，结合基本不等式判断出两者的大小关系.

（3）利用换元法化简g（x）的解析式，对3”进行分类讨论，结合二次函数的性质求得用的

值.

【详解】（1）当机=1时，函数〃x）=9-2・3用=（3）_6守,

不等式〃x）W27化为（3）一63-27W0,即⑶+3）（3：-9）V0,解得3y9,则xS2,

所以不等式（27的解集为（-92].

(2)依题意，/⑷寸⑸=9"-2A_9」+2.3i

=(33+3事)(33—3项)—2.3'"(3*-3也)=(3为-3次)(34+3H-2.3'"),

由%>占>0,得3、"一3*<0,又玉％=〃/,

则3%+3巧>2,3为♦3==2,3'计也>2yl寸扁'=2^^"=2・3"'，因止匕/(玉)一/(xOv。，

所以/(西)</(%).

(3)令r=3"t>Q,则〃同=』一2.3",〃-月=9-，一2.3"=/一2.〉

于是g(x)=/(x)+〃f)=/-2.3"r+，-2.：

=(t-+4)-2-3m-(r+-)=(r+-)2-2-3m-(r+-)-2=(r+--3m)2-2-32m,

ttttt

而t+*2旧=2,当且仅当r=J,即r=l,x=O时取等号，

当3"Y2,即〃zVlog?2时，贝I］当f+；=2时，y=g(x)取得最小值，

13

w

4-4-3-2=-ll,m=log3—,矛盾；

当3"'>2,即〃z>log32时，则当f+；=3"'时，y=g(x)取得最小值-2-32"，=-11,

解得m=1,则〃z=1,

所以加的值是L

【点睛】思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间

的关系分类求解，再综合比较即可.

4.(1)证明见解析；

⑵|；

(3)不存在，理由见解析.

【分析】(1)利用等差数列的定义证明即可；

(2)利用一次函数的性质及基本不等式计算即可；

(3)利用等比数列求和公式先计算T“，再结合指数函数的单调性分类讨论解不等式即可.

【详解】(1)设｛q｝的公差为X,则由题意可知：4=3尤4+2尤2,

b”+「b”=%+2%+3-q；+i-(4+1q+2-

答案第4页，共20页

=(凡+1+%)(。〃+1+2#一屋1

故{么}是以3XQ+2Y为首项，3d为公差的等差数列;

x=d]

(2)由上可得3f=d'且丘°,解得、="=屋

所以4+已-3=q+耳(s-1)+%+-+-(2r-l)-3

93V7

c1/M3116

=2qH—($+2。---=-(------r

i3、'93(s+"，

-------、714

<

311Zc、16<31_16---Z--

化简得2%=了——(5+2Z)+--------7十/939

3v7(,s+才)~~9~s+t)?

2

当且仅当s+，=4/=l时取得最大值，此时s=3/=l,q=§；

11

(3)由(2)得=4-l)d=—n——

39n

=—,显然［5］是:为首项，j为公比的等比数歹！J,

2C"2"{2{2l2c-J22

由指数函数的单调性可知：g］Ng］>007；e：/］，

所以当ceN*时，不等式与匚^>2成立等价于

Tk-c

"c<2(『c)n2Wc=2-2~-(l-2»>c

=1-32&T—c>0①,

显然cNl,32i>0,此时①式不成立;

当c=0时，不等式与二〉？等价于

T「c

Tk+l>2£n2£-心=1-3.2+】<0②,

即21<3=>左=0,此时②式成立，

又上=0时，(无意义;

综上所述，不存在c,M使得不等式卢2成立.

，-c

【分析】(1)先求得F(x)的解析式，然后利用基本不等式求得尸(X)的最小值.

(2)利用导数判断出尸(X)的单调性，由此求得不等式尸(〃7+2)>尸(3加-1)的解集.

(3)由砥x)="(x)进行转化，利用换元法，结合一元二次方程根的情况列不等式来求得。

的取值范围.

【详解】(1)由题意知，f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),

由/(x)+g(x)=2R得1(-x)+g(-x)=2T+i,即/(x)-g(x)=2—。

两式相加，得了(xX^QN+ZT+ibZ'+ZT,所以"x)=log2(2'+2T).

因为2*+2T2292、-2一工=2，当且仅当2*=2-工，即x=0时等号成立，

所以尸(无篇=1%2=1.

(2)因为P(-x)=log2(2f+2，)=尸(无)，所以尸Q)为偶函数，

x

A-1

因为尸(%)=21n2—2—1n2=F^ln2,

所以当%>。时，>0,当xvO时，/r(x)<0,

所以/(幻在(0,+8)上单调递增，在(—,0)上单调递减，

所以F(x)在(0,+8)上单调递增,在(-8,0)上单调递减.

由/(根+2)>尸(3相—1),得|加+2|>|3相—1|,

,13

两边平方并整理得8相之—10相—3v0,解得-<m<—,

42

故不等式尸(加+2)>网3根-1)的解集为，:,£).

(3)由题意知，方程1。82(2工+27)=1。82(G2'+20)(0>0)有2个不同的实数解，

答案第6页，共20页

即方程2"+2-”=〃♦2、+2a（a>0）有2个不同的实数解.

设，=>0),贝股+1=成+2。，即(1-a)t2-2at+1=0W2个不同的正根.

t

1一〃w0

A=4a2-4(l-a)>0

la_

----->0,解得--<a<1,故。的取值范围为

1—a2

-^―>0

、1-a

【点睛】复合函数的单调性可以根据同增异减来进行判断.解含有函数符号的不等式，关键

是判断出函数的单调性，由此去掉函数符号，从而求得不等式的解.一元二次方程根的分布

问题，可以考虑的有判别式、根与系数关系等等.

6.巫

2

（2）证明见解析

(3)a<4

【分析】（1）代入计算可得答案;

（2）用定义直接证明即可;

（3）aWO时，利用“X）在［2,+co）上单调性可得aW0；当a>0时结合在尤>0的图

象可得答案.

【详解】（1）。>0时，/（6）=夜+^==26；

/(/画)=26+众=平

(2)若Q=l,/(x)=x+—,设玉>/21,

所以/㈤"㈤"+工

%工2

因为西〉工2之1，所以玉一工2>°，石工2>1，/（石）一/（%）=（石一1>。,

%42

所以/（%）>/（%），可得函数/（X）在区间［1，+8）上单调递增；

（3）当a«0时，因为y=%,y=—在［2,+oo）上单调递增,

x

所以/（同7+£在［2,+8）上单调递增，

若不等式。在［2,.）上恒成立，可得〃尤）1mli=2+^2。，可得aWO；

当。>0时，由x>0可得/（无）=》+922&,当且仅当尤=@即x=G时等号成立,

XX

而在工6（。,6）单调递减，在无e（6,+oo）单调递增,

/（X）在X>0时的图象如下,

当2w（ChG）即a>4时，若不等式/'（无）2。在［2,+8）上恒成立，贝112Gz0,

解得0<。<4,与。>4矛盾，故不成立;

当«V2即0<aV4时，若不等式/⑺加在［2,+8）上恒成立,

则〃尤：L=/（2）=2+^N“,

解得aW4,可得0<。44时成立;

综上所述，a<4.

—3d+32%

--------------,0<x<m

7.⑴y=12-x

0,x>m

（2）答案见详解.

【分析】（1）由题意y=3・（l一。）x-Lpx=（3-40）x,再结合次品率p与日产量无（万件）

之间的关系即可求解.

（2）利用换元法并对俄进行分类讨论即可求解.

一--,0<x<m

12-x

【详解】（1）由题意可知y=3•。一0）x-l-px=（3—4Mx,又因为p=<

3

—,x>m

14

132x-3x2

因此当OWxW加时，y=（3-4/7）x=3-4-x=------------

12—x12-x

答案第8页，共20页

3

当光〉加时，y=（3-47）x=3-4x—|-x=0,

4

—3炉+32x

-------------,0<x<m

所以盈利额y（万元）与日产量工（万件）之间的函数关系式为：y=\12-x

0,x>m

（2）当%>机时，每天的盈利额为0；

因止匕当OWxWm时，设沆=12—%,0«%«相，贝!]]=12—〃，且〃c[12—m,12],

则尸-3（12-"）一+32（12-"）=+40“-48-7（a+3］+40,分以下两种情形讨论：

uuvu）

情形一：当12—租<4,即8W〃z<12时，y=-3\«+—|+40<-3x2.Lx—+40=16,

<u）Vu

当且仅当"=?,即〃=4e［12-祖,12］时，,取最大值16,此时x=8.

情形二：当12—机>4,即04机<8时，y=—3^wH1+40在［12—相,12］上单调递减，

所以当必=12—加，即x="z时，y取最大值.

综上所述，当。时，日产量x=〃7（万件）时，可获最大利润；当8VHi<12时，日产

量x=8（万件）时，可获最大利润.

8.（1）-1

（2）log92

(3)-2&V："W20

【分析】（1）运用偶函数的定义和对数的运算性质，结合恒等式的性质可得所求值;

（2）运用对数运算性质及均值不等式即可得到结果；

（3）先证明函数的单调性，化抽象不等式为具体不等式，转求函数的最值即可.

【详解】（1）因为〃尤）=上9（9工+1）+2立心2为偶函数，

Y

所以/（一力="力，则logg（尸+l）-2/.r=log9（9+1）+2及，

所以4比=log91裁-log9（9*+1）=log99T=_》，即（4f+l）x=。恒成立，

因为x不恒为0,所以由+1=0,故/

4

X

AJ

（2）由⑴得，/（x）=log9（9+1）-^=log9（9+1）-log992

,9r+l,以1)

=log9^^=log9^3+—j,

因为3，>0,则3*+*2^^=2,当且仅当3'=，，即x=0时，等号成立,

所以log9卜+(J2log92,故/(x)最小值为log92.

(3)因为/(x)=log9[3，+g),

任取不，%e（0,+co）且占，

所叩一中+丹（3­）+/；（3为-3也）.（3'收-1）

3西+巧

1

因为4赴e(0,+co)<x2,所以3*—3*<0,3*'+也-1>0,

<0,即3—<3*+&，

所以现广+"＜log9（3*+（1,则〃x）在（。,+8）上为增函数,

又因为为偶函数，f（42x+4^）＞f（m（4^-4^））,

所以产+4%闫加（4-4-1,

当x=0时，2N0恒成立，则meR；

,2%+4-2尢

当"0时，"-41＞0,所以同

—+4-2],4-『+2

二心4斗|2

设w(x)=>2y/2,

心仃一心仃11|4x-4-x|

当且仅当|4'-41=k匕

即[4―4-[=忘时,等号成立,

由复合函数的单调性易得y=4'-4T在R上单调递增，

且当x=0时，＞=0＜0,当x=l时，＞=4-；＞夜，

所以4,-4T=拒有解，即p-4T卜友有解，所以等号能成立,

所以“（%）„*=2逝，故|叫42夜，贝1]一204加42后；

综上，-2啦MmW2H

答案第10页，共20页

【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是利用函数单调性的定义证得了（x）在（0,+/）

上为增函数，结合〃x）的奇偶性将问题转化为广+4口卜,（4―4力，从而得解.

9.⑴A=

(2)3A/3

13,

⑶FT

【分析】（1）根据正弦定理与sin3=sinAcosC+cosAsinC得到百sinA-cosA=l,从而求

出A=5；

（2）由余弦定理和基本不等式求出8+cV2代，从而得到周长的最大值；

（3）利用正弦定理，结合三角恒等变换得到小"一比=会而（C+牙2sin（C+舁4,

a3v6Jv6J3

换元后，配方求出最值，得到取值范围.

【详解】（1）6ZCOSC+耳sinC—人一c=0,由正弦定理得，

sinAcosC+^3sinAsinC-sinB-sinC=0,

因为sin=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC+^3sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC一sinC=0,

即V3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0,

因为（0,兀），所以sinCw。，故百sinA-cosA=1,

所以sin,-

因为Ae（。,兀），所以人-弓©］一/g）

故人_?=5,解得A=g；

663

（2）由（1）知A=5，

又a=6，由余弦定理得=优+'）―2反-「，

2bc2bc

即1(b+c)—2bc—3

22bc

所以(Z?+c)2一3=3A,

2

由基本不等式可知beVb+c

所以3+C)2-3<；(HC)2,解得HcV2g,

当且仅当6=c=6时，等号成立,

故,ABC的周长最大值为3档;

7T

(3)由(1)知人二三，

jjnADA/-sinBsinC(sinB+sinC)

bc-ab-acsinBsmC-smAsmB-sinAsinCov)

Il--------------------------=------------------------------------------------------------------------------=-------------------------------幺--------------------------

'Ja2si•n2AAQ3

4

)>

=-sinBsinC-^(sinB+sinC=-sinf-+C|sinC-^sin[+Cj+sinC

33v731.3)3

1(JicosC+—sinCsinC-cosC+—sinC+sinC

3(2

=~~~~sinCcosC+^sin2C-cosC-^3sinC

A/3.l-cos2cfr.

=——sin2CH----------------cosC-v3sinC

33

=--cosf2C+P]+!—2sin[c+巴]

3I3；3I6；

+j-2sin^C+^

=—sin2fC+—-2sinfC+—,

3I6)I6)3

令%=sin[c+e),

因为T。仔),所以C+短值，｝‘=sin(c+L，l

be—ab—ac4-14f3Y13

--------z------=-t2-2t一一=-t-------------，

"33314)12

答案第12页，共20页

t，、r,3rtbe—ab—etc/口口313

故当t=:时，----------取得取小t值，取小值为一二，

4a212

...ybe—cib—CIC曰/+曰」/+、r

当，=1时，-----2----取得zt=t取大值，取大值为T，

a

故”坐竺的取值范围是.

【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关

的范围问题，或与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形,

或其他的限制，通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

10.(1)〃尤)=如-b),g(x)=g(e")

(2)存在，m=l,n=~

【分析】(1)利用〃尤)为奇函数，g(x)为偶函数，可得答案；

(2)假设存在实数私〃使得Mx)为“X),g(x)的”(机㈤函数”，可得

Zz(无)=〃?ln(e，+l)+2依，根据/?(“是偶函数，可得〃?=-2〃，再利用基本不等式可得答案.

【详解】⑴因为解x)=e，为/⑺,g(x)的“7(2,1)函数”，

所以2f(x)+g(x)=e，①,所以2/(—x)+g(—x)=ef,

因为/(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以/(-x)=-/(x),g(f)=g(x),

所以-2/(%)+8@)=小"^,

联立①②，解得/(x)=：(e—e-)g(x)=g(「+ef；

(2)存在，且加=1,〃=-；，理由如下，

假设存在实数使得九(x)为〃力,g(x)的”(",")函数”,

则〃(无)=〃叭尤)+〃g(x)=〃zln(e*+l)+nx,

⑴因为人(x)是偶函数，所以/2(-x)=/z(x)，

即mln^e-x+1)-nr二根1口(e“+1)+nr,即mln~T~~+2nx=0,

又历之壮二山也也

=Inex=x,可得(2〃+M)X=。，

e-x+lex+l

因为（2〃+根）％=。需对任意xwR成立，所以m=-2〃；

(ii)/z(x)=mln(ex+l)+nx=-2〃In(eX+l)+nx

:"In—J•\nln------\——

(e'+l)ze-+2

当且仅当e'=5即x=°时取等号,

由于/z（x）的值域为［ln2,~Hx））,所以—2〃ln2=ln2,所以〃=-：,

又因为m=—2n，所以机=1.

综上所述，存在…满足要求.

【点睛】关键点点睛：第二问解题关键点为根据〃（X）是偶函数，可得〃?=-2〃，再利用基本

不等式可得答案.

11.（1）①证明见解析，②（。3）

(2)5+2#

【分析】（1）①由题意可得。>0,。<0,进而根据判别式为正判断即可；

②由一a-c>c及a>0可得一2<£<一1,再根据弦长/=1-£求解范围即可.

a2a

2

h22a+3〃+4「2+3--+（—）

（2）根据开口方向与判别式可得b>>>。且4c2生，进而可得「之一不0

ab-a2_1

a

h

令±_l="0,结合基本不等式求解即可.

a

【详解】（1）若且Q+b+c=O,则。>0,c<0,

①:A=〃—4改＞0,

函数y=以2+bx+c必有两个不同的零点.

答案第14页，共20页

②由4>_C>C及Q>0,得1>—1-->—,

aa

...-2c<-。<——1,

a2

不妨设函数y=a=2+bx+c的零点为1,再，则］石=£<o,

a

-c3

函数y=ax+bx+c^x轴上截得的弦长1=1一一G(-,3)

a2

(2)根据题意〃〉0且△=/—4々。<0,

/bb

b2.2a+3H4cJa+3麻72/+3"+/2+32+(1)2

Z?>a>04c>—，

ab—ab—aa(b-a)

a

h

令一一l=t>0,

a

r-t,i2^z+3b+4c2+3(/+1)+(1+1)?/+5。+6_6

贝U--------->-----——^―;———=--------=1+5+—

b-attt

>5+2JT1=5+2A/6,

当且仅当/=£,即，="，也即2=1+6时取等号.

ta

2。+3b+4c

的最小值为5+2指

b-a

12.⑴存在正整数T,使%+r=a.

(2)以6为周期的周期数列；52038=1017

(3)不是周期数列，证明见解析

【分析】(1)类比周期函数的定义即可得出答案；

(2)先求出数列｛%｝是以T=6为周期的周期数列，再由周期性即可求出％B8；

(3)当时，｛%｝是递增数列，不是周期数列，再由数学归纳法证明即可.

【详解】(1)存在正整数T,使。“+r=4;

(2)由an+2=an+l-an,所以an+3=an+2-an+1=anA-an-an+l=-an,

所以an+6=-an+3=a„,所以数列｛%｝是以7=6为周期的周期数列；

由S2=2028,S3=2030=>%=2,%+〃2=2。28,由题意：a3=a2-a1=2f

所以％=1013,电—1015,

又以+W+1++%+6=°，左£N*,因为q=-%,

以S2Q38=339(%+出+/+包+%+。6)+4+%+/+。4=6+%+/+。4

——%+〃2+03+04=1017；

(3)当°=。时，｛4｝是周期数列，因为此时4=0(〃©N*)为常数列，

所以对任意给定的正整数T及任意正整数“，都有%+7=%,符合周期数列的定义。

当pe［o,g］时，｛%｝是递增数列，不是周期数列.

下面用数学归纳法进行证明：

①当〃=1时，因为q=p,pe(0,gj

所以%=2q(1—q)—q=2p(l-p)<2-1」+；——,

且生一4=2勾(1一%)-4=4(1-24)=p(l-2p)>0,

所以％<%且%Jo,；］

②假设当〃=左时，结论成立，即％<的<<4，且见w(0,；］

则一—4=2%(1-%-ak=怎。一24)>0,即ak<ak+1,

所以当〃=左+1时，结论也成立.

根据①、②可知，｛4｝是递增数列，不是周期数列.

【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据递推关系得数列｛2｝是周期为6的数

列，再结合(2)中的条件，可求出前六项之和为0,求解即可.

13.(1)证明见解析

⑵孚,

【分析】(1)由面面平行的判定定理证明即可；

(2)依题意可知，A为4尸的中点，S^PB=25必助，即当a4最大时,SA^PB最大，设AA=〃，

由基本不等式可求得当A2=夜，5小网最大，取的中点A/,/NM4为二面角G-8P-A

的平面角，求解即可.

答案第16页，共20页

【详解】（1）在线段上取异于两端点的两点EG,

因为对于线段BG上异于两端点的任一点D，恒有BD//平面AOE.

所以尸尸〃平面AOE,PG//平面AOE,

又PFcPG=P，尸/u平面PBG，PGU平面尸BG，

所以平面PBQ//平面AOE.

P

（2）由（1）知平面PBC]//平面AOE,又平面PBGc平面=平面AOEc平面

AXPB=OA,所以8尸〃。4,

因为。为AB的中点，所以A为A7的中点.

所以,所以当5人4»4最大时，S”/B最大.

设AA=〃，则A5=，4_/J2,所以%BA=gAj4_/?wg-+（；一右）二1，

当且仅当〃=