27.4 相似与反比例函数

第页一、选择题1．（2018·连云港，8，3分）如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y＝EQ\F(k,x)的图像上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A(1，1)，∠ABC＝60°，则k的值是（）A．－5 B．－4 C．－3 D．－2答案：C，解析：设B(m，n)，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′、B′，则∠AA′O＝∠BB′O＝90°，又∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∴tan∠BAC＝EQ\F(OB,OA)＝EQ\R(,3)；∴∠AOA′＋∠BOB′＝90°；又∵∠OAA′＋∠AOA′＝90°，∴∠OAA′＝∠BOB′，∴Rt△OAA′∽Rt△BOB′，∴EQ\F(OA,BO)＝EQ\F(OA′,BB′)＝EQ\F(AA′,OB′)，∴EQ\F(1,EQ\R(,3))＝EQ\F(1,n)＝EQ\F(－m,1)，∴m＝－EQ\R(,3)，n＝EQ\R(,3)，∴k＝mn＝－3．故选C．二、填空题1.(2018·攀枝花，16，4分)如图6，已知点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，作Rt△ABC，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连结DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为4，则k＝______．16．答案，解析：∵BD是Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴DB＝DC．∴∠ACB＝∠DBC＝∠OBE．又∠ABC＝∠EOB，∴△ABC∽△EOB．∴＝，即AB·OB＝OE·BC．∵S△BCE＝4，∴BC·OE＝8．∴k＝AB·OB＝8．xxyOCBAED图62（2018眉山市，18，3分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（－10，0），对角线AC和OB相交于点D且AC·OB＝160．若反比例函数(x＜0）的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E,则S△OCE∶S△OAB＝．答案：，解析：过C作CM⊥x轴，过D作DN⊥x轴，垂足分别为M、N，∴△AND∽△AMC，∵D为AC中点，∴AN＝MN＝AM．由于S菱形＝OA·CM＝AC·OB，OA＝10，∴CM＝8，根据勾股定理可得OM＝6，∴C（－6，8），MN＝2，∴D（－8，4）所以反比例函数解析式为，将y＝8代入得，x＝－4，∴点E（－4，8），CE＝2，S△OCE∶S△OAB＝CE∶OA＝2∶8＝三、解答题1.2018·达州市，23，9分）矩形中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，F是BC边上一个动点（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E.第23题图（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；（2）连接EF，求∠EFC的正切值；（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在OB边上的点G处，求此时反比例函数的解析.思路分析：（1）先根据题意求出点F的坐标，然后求得反比例函数解析式，最后求出点E的坐标；（2）根据正切的定义，得tan∠EFC＝＝；（3）过点E作ED⊥OB于D，利用相似三角形的性质构建关于m的方程，由m的值，求得点F的坐标，进而求得k值，反比例函数解析式可求．解答过程：解：（1）∵矩形中，OB＝4，OA＝3，当点F是BC的中点时，F的坐标为（4，1.5），此时，反比例函数的解析式为y＝．当y＝3，x＝2，∴点E的坐标（2，3）；（2）在Rt△EFC中，tan∠EFC＝＝；（3）过点E作ED⊥OB于D，则∠EGD＋∠DEG＝90°．∵∠EGF＝90°，∴∠EGD＋∠BGF＝90°，∴∠DEG＝∠BGF．∵∠GBF＝90°，∴△DEG∽△BGF．∴＝．∴＝．∵＝，∴＝．设EG＝4m，GF＝3m，则BF＝3－3m．∴＝．∴m＝．3－3m＝∴点E的坐标（4，）；设反比例函数的解析式为y＝，即＝，∴k＝．∴反比例函数的解析式为y＝．2.．(2018·泸州，23，8分)一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－2，12)，B(8，－3)．（1）求该一次函数的解析式；（2）如图9，该一次函数的图象与反比例函数y＝(m＞0)的图象相交于点C(x1，y1)，D(x2，y2)，与y轴交于点E，且CD＝CE，求m的值．思路分析：（1）利用待定系数法求解；（2）过点C作CF⊥y轴于点G，过点C作DG⊥y轴于点H，从而将CD＝CE转化为相似三角形的相似比．由△ECG∽△EDH可得，从而得到m＝6x1①；由△EGC∽△EOF可得，从而得到②，综合①②即可求得m的值．解答过程：（1）将A(－2，12)，B(8，－3)代入y＝kx＋b，得，解得，∴该一次函数的解析式为y＝－1．5x＋9．（2）如图，设一次函数的图像与x轴交于点F，过点C作CF⊥y轴于点G，过点C作DG⊥y轴于点H．对于一次函数y＝－1．5x＋9，当x＝0时，y＝9；当y＝0时，x＝6，∴点E(0，9)，点F(6，0)．∵点C(x1，y1)，D(x2，y2)，∴GC＝x1，HD＝x2，GO＝y1，HO＝y2．易证△ECG∽△EDH，∴．∵CD＝CE，∴，∴2y1－y2＝9，x2＝2x1，∴m＝6x1．易证△EGC∽△EOF，∴，即，∴3x1－2y1＝18，∴将m＝6x1代入，得x1＝2，∴m＝12．3．（2018·长沙市，25，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B.（1）求∠OCD的度数；（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由.思路分析：（1）先证明OC=OD即可判断△DOC为等腰直角三角形，从而得出∠OCD的度数为45°；（2）设M（a，），由△OPM∽△OCP，推出，由此构建方程求出a，再分类求解即可解决问题；（3）不存在，分三种情形分别判断即可得出答案：①当1＜x＜5时；②当x≤1时；③当x≥5时．解答过程：解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有，解得QUOTE&k=-1&b+m+1，∴y=﹣x+m+1，令x=0，得到y=m+1，∴D（0，m+1），令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0），∴OC=OD，∵∠COD=90°，∴∠OCD=45°．（2）设M（a，），∵△OPM∽△OCP，∴，∴OP2=OC•OM，当m=3时，P（3，1），C（4，0），OP2=32+12=10，OC=4，OM=QUOTEa2+9a2∴，∴10=4QUOTEa2+9a2∴4a4﹣25a2+36=0，（4a2﹣9）（a2﹣4）=0，∴a=±，a=±2，∵1＜a＜3，∴a=QUOTE32或2，当a=QUOTE32时，M（QUOTE32，2），PM==QUOTE132，CP==，QUOTEPMCP=1322（舍去当a=2时，M（2，QUOTE32），PM==，CP=，∴，成立，∴M（2，QUOTE32）．（3）不存在．理由如下：当m=5时，P（5，1），Q（1，5），设M（x，），OP的解析式为：y=QUOTE15x，OQ的解析式为y=5x，①当1＜x＜5时，如图1中，∴E（QUOTE1x，QUOTE5x），F（x，QUOTE15x），S=S矩形