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文档简介

上海师大附中2024年高考数学模拟试卷(3月份)一、单选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合{A=x|x>−2},B={x|xA.A⊆B B.A∩B=⌀C.A−⊆B2.现有一球形气球,在吹气球时,气球的体积V(单位:L)与直径d(单位:dm)的关系式为V=πd3A.2π B.π C.π2 D.3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,且c−2b+2A.1 B.3 C.2 D.24.在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=2,若CP=λ①λ+μ的最小值为−4②PA⋅PB③λ+μ的最大值为34④PA⋅PB其中,正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题:本题共12小题,共54分。5.复数3+4i3−4i的虚部是6.双曲线x2−y7.若抛物线x2=my的焦点到它的准线距离为1,则实数m=8.(x+3x)n的二项展开式的各项系数之和为9.已知两个单位向量a,b满足|4a+b|=13,则向量a10.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x(1−x),则f(11.设圆锥的底面中心为O,PB、PC是它的两条母线,且|BC|=2,若棱锥O−PBC是正三棱锥,则该圆锥的体积为.12.已知函数f(x)=2f'(3)⋅x−213.已知数列{an},{bn}是公差相等的等差数列,且an+bn14.如图ABCDEF−A'B'C'D15.已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F116.已知n∈N∗,集合A={sinkπn|k∈N,0≤k≤n},若集合A恰有三、解答题:本题共5小题,共76分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(1)已知tan(3π4(2)已知△ABC中,tanA+tanB+3=3tanAtanB,且18.如图,在圆柱中,底面直径AB等于母线AD,点E在底面的圆周上,且AF⊥DE,F是垂足.(1)求证:AF⊥DB;(2)若圆柱与三棱锥D−ABE的体积的比等于3π,求直线DE与平面ABD所成角的大小.19.某校举行“强基计划”数学核心素养测评,要求以班级为单位参赛,最终高三一班(45人)和高三二班(30人)进入决赛.决赛规则如下:现有甲、乙两个纸箱,甲箱中有4个选择题和2个填空题,乙箱中有3个选择题和3个填空题,决赛由两个环节组成,环节一:要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答,作答后放回原箱,并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据;环节二:由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛,并分别统计两人的测评成绩的相关数据,两个环节按照相关比赛规则分别累计得分,以累计得分的高低决定班级的名次.(1)环节一结束后,按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学,并统计每位同学答对题目的数量,统计数据为:一班抽取同学答对题目的平均数为1,方差为1;二班抽取同学答对题目的平均数为1.5,方差为0.25,求这20人答对题目的均值与方差;(2)环节二,王刚先从甲箱中依次抽出两道题目,答题结束后将所答题目放入乙箱,然后李明在乙箱中再依次抽取两道题目,求李明抽取的两题均为选择题的概率.20.已知点F1,F2分别为双曲线Γ:x22−y2=1的左、右焦点,直线l:(1)当F1∈l时,求F2(2)若O为原点,直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C,D,证明;当△COD的面积最小时,直线CD平行于x轴;(3)设P为x轴上一点,是否存在实数k(k>0),使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出k的值及点P的坐标;若不存在,说明理由.21.已知函数g(x)=ax2−(a+2)x,ℎ(x)=lnx(1)当a=1时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程;(2)当a为正数且1≤x≤e时,f(x)min=−2(3)若f(x1)−f(x2

答案解析部分1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】A5.【答案】246.【答案】27.【答案】±28.【答案】549.【答案】120°10.【答案】111.【答案】212.【答案】1613.【答案】5+n14.【答案】615.【答案】316.【答案】{17.【答案】(1)tan(原式=sin(2)因为tan(A+B)=所以tan(π−C)=−sin2B=2sinBcosB=32,且所以2B=π3或2π3,即B=当B=π6,则A=π当B=π3,则A=π18.【答案】(1)根据圆柱性质,DA⊥平面ABE.∵EB⊂平面ABE,∴DA⊥EB.∵AB是圆柱底面的直径,点E在圆周上,∴AE⊥EB,又AE∩AD=A,故得EB⊥平面DAE.∵AF⊂平面DAE,∴EB⊥AF.又AF⊥DE,且EB∩DE=E,故得AF⊥平面DEB.∵DB⊂平面DEB,∴AF⊥DB.(2)过点E作EH⊥AB,H是垂足,连接DH如图所示:

根据圆柱性质,平面ABD⊥平面ABE,AB是交线.且EH⊂平面ABE,所以EH⊥平面ABD.又DH⊂平面ABD,所以DH是ED在平面ABD上的射影,从而∠EDH是DE与平面ABD所成的角.设圆柱的底面半径为R,则DA=AB=2R,于是V圆柱=2πR3,由V圆柱:VD−ABE=3π,得EH=R,可知HDH=∴∠EDH=arctan19.【答案】(1)一班抽取4575×20=12人,二班抽取一班样本平均数为1,样本方差为1,二班样本的平均数为1.5,样本方差为0.25,总样本的平均数为12×1+8×1.512+8记总样本的样本方差为12×[1+(1−1.2)所以,这20人答对题目的样本均值为1.2,样本方差为0.76.(2)设事件A为“李明同学从乙箱中抽出的第1个题是选择题”,事件B1为“王刚同学从甲箱中取出2事件B2为“王刚同学从甲箱中取出1个选择题1事件B3为“王刚同学从甲箱中取出2则B1、B2、B3P(B1)=C4P(A|B1)=58P(A)=P(B所求概率即是A发生的条件下B1发生的概率:P(20.【答案】(1)由双曲线Γ:x22−y2∵F1∈l时,∴0=−∴直线l:y=33x+1,F2到(2)由双曲线Γ:x22−∵直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C,D,∴−2由y=22xy=kx+1得交点由y=−22xy=kx+1得交点∴S△CDO=所以当△COD的面积最小时,直线CD平行于x轴;(3)假设存在实数k(k>0),使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,设P(m,0),A(x1,由y=kx+1x2−2y2∴Δ=16k2−4(1−2k2)(−4)>0且x1+xAB的中点M(2k所以AB的垂直平分线方程为y−11−2k2=−PA⋅PB=0∴(k∴(k∴−4−4km+(1+m∴−4−4k×∴4k4+k2−3=0,解得k=±3存在实数k=32,使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,此时21.【答案】(1)a=1时,g(x)=x2−3x故g(1)=−2,g'所以y=g(x)在x=1处的切线方程为y+2=−(x−1),即x+y+1=0;(2)f(x)=g(x)+ℎ(x)=ax2−(a+2)x+lnx则f'因为a>0,当a≥1时,易得f(x)在[1,e]上单调递增,f(x)当1e<a<1时,f(x)在[1,1故f(x)当0<a≤1e时,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)在[1,e

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