广东省广东实验2023-2024学年高三上学期1月第二次调研数学试卷

广东省广东实验2023-2024学年高三上学期1月第二次调研数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={1}，A．1 B．2 C．3 D．42．已知数列{an}的前n项和为SA．{an}为等差数列 C．{Sn}为等差数列 3．已知sinα>0，cosα<0，则A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限4．如图，在△ABC中，满足条件AD=DB，AE=A．8 B．4 C．2 D．15．若a∈R，z为纯虚数，且2+(a−1)i=(2a+z)i，则|a+z|（）A．373 B．5 C．5 6．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v与时间t（月）近似地满足关系v=a⋅bt（其中a，b，为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10A．20 B．28 C．32 D．407．已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（）A．463 B．26 C．78．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，经过FA．55 B．23 C．34二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．亚洲奥林匹克理事会宣布，原定于2022年9月10日至25日举行的杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会．为了加大宣传力度，杭州某社区进行了以“中国特色、浙江风采、杭州韵味”为主题的知识竞赛，现随机抽取30名选手，其得分如图所示．设得分的中位数为m，众数为n，平均数为x，则（）

A．m=5 B．n=5 C．m>x D．10．下列说法不正确的是（）A．存在x∈R，使得1−B．函数y=sin2xC．函数y=cos2(x+D．若角α的终边经过点(cos(−3)，sin11．如图，抛物线C：y2=8x的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作A．若|AB|=10，则直线AB的方程为x−2y−2=0或x+2y−2=0B．PF⊥QFC．以线段AF为直径的圆与y轴相切D．|PQ|12．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域为R，若f'(2)=8，函数A．函数f'B．函数f'(x)的图象关于点C．i=1D．函数f(x)的图象关于直线x=3对称三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知二项式(1−ax)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正数a14．已知数列{an}的首项为1，an15．在空间直角坐标系中，定义点A(x1，y1，z1)和点B(x2，y2，16．已知函数f(x)=sinx+ex−2(x<0)与四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知数列{an}（1）证明数列{an2（2）求数列{an}的前n18．在①(2−sinA)cosB−1=cosAsinB−2cosBsinC；②(2a−c)cosB=bcosC两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且____．（1）求角B的大小；（2）若点D满足BD=2BC，且线段AD=3，求19．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB//CD，AB⊥AD，PA=AB=2，AD=DC=1，E为（1）若E为PB中点，求证：CE//平面PAD（2）若点E不与P和B重合，且二面角E−AC−P的余弦值为63，求AE与平面ABCD20．已知椭圆C的中心为坐标原点，记C的左、右焦点分别为F1，F2，上下顶点为B1，B（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点Q(0，2)的直线与椭圆C交于M，N两点，且OM⋅21．已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者a，b，c，d将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求a，（2）记甲，乙两队的最终人数分别为n1，n2，设随机变量X=|n22．已知函数f(x)=e（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x1

答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】B,D12．【答案】B,C,D13．【答案】314．【答案】8115．【答案】[16．【答案】(−117．【答案】（1）解：因为an+1=2a所以an+1所以{an2所以an2（2）解：由（1）知，an所以Sn所以2S所以−=4+3×4−所以S18．【答案】（1）解：选①，2cosB−1=sinAcosB+cosAsinB−2cosBsinC=sin(A+B)−2cosBsinC=(1−2cosB)sinC，所以(1+sinC)(2cosB−1)=0．因为1+sinC≠0，所以2cosB−1=0，即cosB=1所以B=π选②．由(2a−c)cosB=bcosC及正弦定理得sinBcosC=(2sinA−sinC)cosB，所以2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA．因为A，B∈(0，π)，所以所以cosB=1所以B=（2）解：如图，点D满足BD=2BC，则BC=CD，故BD=2a，又故AD即c2+4a2−9=2ac≥4ac−9故S△ABC=12acsinB≤19．【答案】（1）解：取PA的中点F，连结DF，EF又∵E为PB中点，所以EF//AB，且又∵DC//AB，且∴EF//DC，∴四边形CDFE为平行四边形，∴CE//DF，又∵CE⊄平面PAD，DF⊂平面∴CE//平面PAD（2）解：由题意，PA，AB，AD则P(0，0，则AP=(0，0设平面PAC的法向量为n1=(x，令x=1得，n1设平面EAC的法向量为n2=(x令x=1得，n2故|cosn1，解得a=1或a=4（舍），故E(记AE与平面ABCD所成的角为α，平面ABCD的法向量为AP=则sinα=|cosAE⋅AP|=|故tanα=1，即AE与平面ABCD所成角的正切值为1．20．【答案】（1）解：由题意知|B1B2|=2，则故椭圆C的标准方程为x2（2）解：由题意知如图所示：

直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为y=kx+2，联立y=kx+2x24由Δ=(16k)2−4×(1+4设M(x1，y1)，则y1因为OM⋅ON>0，所以x∴34<k2<4综上，斜率范围为(−221．【答案】（1）解：a，记事件A=“a被分至甲队”，事件B=“b被分至甲队”，事件C=“c被分至甲队”，当a即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a被分至甲队即a摸出红球的概率为P(当a被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b被分至甲队即b摸出红球的概率为P(当a，b均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c被分至甲队即c摸出红球的概率为所以P(AB)同理知：新增登山爱好者a，b，所以a，b，（2）解：由题设，X可能取值为4，X=4为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则P(X=2为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第k(P1=P(P3=P(所以P(X=0为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则P(所以E(22．【答案】（1）解：由题意，得f'由f'(x)=0，得x=0所以ex−ax−2a=0有2个不相等的实数根，且这2个根均不为0和令g(x)=ex−ax−2a当a≤0时，g'(x当a>0时，由g'(x)>0，得x>所以g(x)在(所以g(x)min=g又g(由零点存在定理可知，g(x)令m(x)=x2e令m'(x)<0得x>2，所以m所以m(x)所以g(由零点存在定理可知，g(x)因为g(0)综上，a的取值范围是(1（2）证明：由（1）知，0是函数f(x)的一个极值点．不妨设x由g(x1)=0，g(x2令x1−x所以x2=t所以要