江西省南昌市2024年高考数学二模试卷

……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………保密★启用前……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………试卷第试卷第=PAGE1页共=SECTIONPAGES10页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………保密★启用前……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………试卷第试卷第=PAGE2页共=SECTIONPAGES10页江西省南昌市2024年高考数学二模试卷副标题考试时间：**分钟满分：**分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前xx分钟收取答题卡一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。（共8题）1．已知向量，，则(

)A． B． C． D．2．设复数满足，则（）A． B． C．1 D．3．已知集合，，则“”是“”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知，则不等式的解集是(

)A． B． C． D．5．在三棱锥中，平面分别为AC，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．AF，BE是异面直线， B．AF，BE是相交直线；C．AF，BE是异面直线，AF与BE不垂直 D．AF，BE是相交直线，AF与BE不垂直6．已知，则（）A． B． C． D．7．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为的正三棱锥的三个侧面沿，，展开得到面，，，使得平面，，均与平面垂直，再将球放到上面使得，，三个点在球的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球的表面积为(

)A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（共3题）9．为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格：甲校样本喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性15520女性81220合计231740乙校样本喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性7030100女性4555100合计11585200则下列判断中正确的是（）(参考公式及数据：).0.10.010.0012.7066.63510.828A．样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例B．样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例C．根据甲校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关D．根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关10．已知，则下列说法中正确的是（）A．在上可能单调递减B．若在上单调递增，则C．是的一个对称中心D．所有的对称中心在同一条直线上11．已知，为上一点，且满足动点满足，为线段上一点，满足，则下列说法中正确的是(

)A．若，则为线段的中点B．当时，的面积为C．点到，距离之和的最大值为D．的正切值的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。（共3题）12．在中，角A，B，C所对的边分别为若，则.13．一次知识竞赛中，共有个题，参赛人每次从中抽出一个题回答(抽后不放回).已知参赛人甲题答对的概率为题答对的概率为题答对的概率均为，则甲前3个题全答对的概率为.14．如图，有一张较大的矩形纸片，，分别为，的中点，点在上，将矩形按图示方式折叠，使直线被折起的部分经过点，记上与点重合的点为，折痕为过点再折一条与平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线曲线在点处的切线与交于点，则的面积的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（共5题）15．已知数列的前项和为，且满足.（1）当时，求；（2）若，设，求的通项公式.16．一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值单位：服从正态分布参考数据：若则，，（1）生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取只，求这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率；精确到（2）根据统计学的知识，从服从正态分布的总体中抽取容量为的样本，则这个样本的平均数服从正态分布某时刻，质检员从生产线上抽取只电阻，测得阻值分别为：，，，，单位：你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．17．已知椭圆经过点为椭圆的右顶点，为坐标原点，的面积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆交于A，B，A关于原点的对称点为，若，求直线AB的斜率.18．已知且．（1）当时，求证：在上单调递增；（2）设，已知，有不等式恒成立，求实数的取值范围．19．如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成二面角为，图一中，点是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点，图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为，且均在直径的同一侧．（1）当时，求的长度；（2）当时，若图二中，点，，，将半圆均分成等份，求；证明：．答案第答案第=PAGE1页共=SECTIONPAGES1页答案第答案第=PAGE2页共=SECTIONPAGES10页【答案区】1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得.

故答案为：B.

【分析】根据数量积的坐标表示运算求解.2．【答案】B【解析】【解答】解：由，可得，故．故答案为：B.【分析】根据复数的四则运算结合复数的模长公式求解即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得：，，

因为集合A是集合B的真子集，可知“”是“”的充分不必要条件.

故答案为：A.

【分析】求集合A，B，根据包含关系分析充分、必要条件.4．【答案】B【解析】【解答】解：因为，则有当，则，解得；

当，则，解得；

综上所述：不等式的解集是.

故答案为：B.

【分析】分和，结合一元二次不等式以及对数函数单调性分析求解.5．【答案】A【解析】【解答】解：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过点的直线是异面直线；证明与垂直，证明如下：证明：因为平面，平面，所以，因为，分别为的中点，连接，所以，因为，平面，所以平面，取的中点，连接，，如图所示：

因为平面，所以，又因为，所以，因为，所以，又因为为的中点，所以，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以.故答案为：A．【分析】根据异面直线的定义判断直线，是异面直线，再证明与垂直，连接，即可得到平面，取的中点，连接，，从而得到、，即可证明平面，从而证明．6．【答案】D【解析】【解答】解：由，

可得，，令，则，即，所以.故答案为：D.【分析】根据已知条件，利用余弦的两角和公式化简得，再根据正弦的二倍角公式及诱导公式计算即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：因为线段的中点为，且满足，所以，

故为等腰三角形，又因为，所以为正三角形，根据双曲线定义知：，设，则，解得，在中，由余弦定理可得：，解得.故答案为：D.【分析】由题意，利用等腰三角形的性质、双曲线的定义结合余弦定理求解即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：连接、、，取、、中点、、，连接、、如图所示：由题意可知：，且，则，因为平面，，均与平面垂直，设，，三点所在的圆为圆，底面的中心为，则，又因为奖杯总高度为，设球半径为，球心到圆面的距离为，则，即，因为≌，，所以是边长为的等边三角形，设的外接圆半径为，则，在直角中，，即，解得，所以球的表面积为．故答案为：C．【分析】作辅助线，设球半径为，球心到圆面的距离为，可知，的外接圆半径为，结合球的性质可得，即可得球的表面积.9．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、甲校男学生喜爱足球运动的比例，乙校男学生喜爱足球运动的比例，

即甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例，故A正确；B、甲校女学生喜爱足球运动的比例，乙校女学生喜爱足球运动的比例，即甲校女学生喜爱足球运动的比例低于乙校女学生喜爱足球运动的比例，故B错误；C、甲校中，故没有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故C错误；D、乙校中，故乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故D正确.故答案为：AD.【分析】根据甲乙两校男女学生喜爱足球运动的比例大小即可判断AB；根据独立性检验的性质即可判断CD.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：函数定义域为，求导可得，A、当时，恒成立，则函数在上单调递增，当或时，不恒成立，则函数不可能单调递减，综上所述，函数在上不可能单调递减，故A错误；B、若函数在上单调递增，则恒成立，所以，故B正确；C、因为，所以关于对称，故C正确；D、因为，，所以关于对称，所以所有的对称中心在直线上，故D正确．故答案为：BCD．【分析】求函数的定义域，和导函数，可得当或时，不恒成立判断A；计算导数，令计算即可判断B；验证是否成立即可判断C；求得关于，对称，即可判断D.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A，若，则，

可知.

再由知.可得，

则.所以，即为线段BC的中点，故A正确；对于B，当时，，则，

且，则，

所以，故B错误；对于C，设，由可得，设如图所示：因为，则，可得，即C的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆.又因为，可得，可知D的轨迹是以M，B为焦点，长轴长为2的椭圆，所以，所以点D到A，B的距离之和的最大值为5，故C正确；对于D：作交CM于N，则，当且仅当M，N重合时取等号，且，可得，所以，故D正确.故答案为：ACD.【分析】对于A：根据题意结合几何性质分析判断；对于B：由余弦定理可得，进而可得，代入面积公式运算求解；对于C：设，可得，设，分析可知C的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆.且D的轨迹是以M，B为焦点，长轴长为2的椭圆，结合椭圆性质分析求解；对于D：根据题意结合圆的性质分析求解.12．【答案】【第1空】2；【解析】【解答】解：由，因为，所以存在，

再根据正弦定理可得：，因为中，，所以，

即.故答案为：.【分析】先由条件求得，由于，说明存在，再利用正弦定理结合同角三角函数基本关系求的值即可.13．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：5个题，甲抽中前三题按题型概率不同有四种组合：抽中，中任取一题，且全部答对，则概率为：；抽中，且全部答对，则概率为：；抽中A，中任取两题，且全部答对，则概率为：；抽中B，中任取两题，且全部答对，则概率为：，所以甲前3个题全答对的概率为.故答案为：.【分析】由题意，将甲抽中的前三题按题型概率不同分成四种组合，根据每种组合中每题是否答对为独立事件，计算每种组合下全部答对的概率，最后相加即可得甲前3个题全答对的概率.14．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：连接PQ，由题PQ与MQ关于对称，，可知Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上，如图，以PO中点G为原点，过G与AB平行的直线为轴，与AB垂直的直线为轴建立平面直角坐标系如图所示：则，直线AB：，可知抛物线方程为：，即，则，设，则，即切点坐标为，切线斜率为，所以抛物线在Q点处切线方程为，令，解得，即，因为，则，构建，则，构建，则对恒成立，可知在内单调递减，且，当时，；当时，；即当时，；当时，；可知在内单调递增，在内单调递减，则，可得，所以的面积的最小值为.故答案为：.【分析】Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上，建系，可得抛物线方程为：，设，利用导数可得，进而得，构建，利用导数，即可得结果.15．【答案】（1）解：当时，，即，则数列为等差数列，因为，所以，所以.（2）解：由已知，，所以，即，且，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以.【解析】【分析】（1）将代入，由已知条件推出数列为等差数列，由等差数列的性质结合等差数列求和公式求解即可；（2）由已知条件推的数列为等比数列，根据等比数列的概念求解即可.16．【答案】（1），，生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取只，则这只电阻阻值在和在的概率分别为：，，因此所求概率为：；（2）生产正常时，这个样本的平均数服从正态分布，记，计算可得，这时，即，小概率事件发生了，因此认为这时生产线生产不正常．【解析】【分析】(1)由题意可知：，，根据原则结合正态分布的对称性运算求解；

(2)由题意可得：，，根据原则分析判断.17．【答案】（1）解：因为的面积为，则，解得，又因为在椭圆上，则，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）解：因为为AC的中点，所以，设，设直线的方程，并与椭圆的方程进行联立，可得，消去得，则有，因为，则，即，即，，即，解得，所以直线AB的斜率为.【解析】【分析】（1）由的面积求得，再根据点在椭圆上，代入求得，从而可得椭圆的方程；（2）由题意，推得，设直线的方程，联立直线和椭圆，消元整理利用韦达定理求解即可.18．【答案】（1）证明：当时，，则，令，则，两边取对数得，设，则，所以在单调递增，所以时，，即时，，所以时，，即，所以在上单调递增；（2）解：，两边取对数得：，即，设，则，令，得，当时，，单调递减，又因