辽宁省沈阳市实验中学高三上学期期末数学试题

2021届辽宁省沈阳市实验中学高三上学期期末数学试题一、单选题1．设集合，，则（）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】首先解不等式表示集合，然后根据集合交集的概念即可求出结果.【详解】∵，或∴或故选：D.2．复数满足：，则的虚部等于（）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】首先化简复数，根据定义求虚部.【详解】，所以的虚部是.故选：B3．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2，则下面正确的是（）A．m1＞m2，s1＞s2 B．m1＞m2，s1＜s2C．m1＜m2，s1＜s2 D．m1＜m2，s1＞s2【答案】C【分析】利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果．【详解】由频率分布直方图得：甲地区[40，60）的频率为：（0.015+0.020）×10＝0.35，[60，70）的频率为0.025×10＝0.25，∴甲地区用户满意度评分的中位数m1＝6066，甲地区的平均数s1＝45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10＝67．乙地区[50，70）的频率为：（0.005+0.020）×10＝0.25，[70，80）的频率为：0.035×10＝0.35，∴乙地区用户满意度评分的中位数m2＝7010≈77.1，乙地区的平均数s2＝55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10＝77.5．∴m1＜m2，s1＜s2．故答案为C.【点睛】本题考查平均数、中位数的求法与比较，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.4．设，，，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数的性质与对数函数的性质分别判断与0和1的大小，即可得结果．【详解】∵，，，

∴，故选B．【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5．已知是第二象限角，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据二倍角的正弦公式即可求解．【详解】解：因为α是第二象限角，sinα，所以cosα，则sin2α＝2sinαcosα＝2．故选：A．6．四个人排一个五天的值班表，每天一人值班，并且每个人至少值班一次，则有（）种不同的排班方式．A．240 B．480 C．420 D．360【答案】A【分析】首先分步：天任选天安排一个人值班，然后余下的人全排即可求解.【详解】根据题意，分步进行分析，①在人中选出人，天中任选天安排该人值班，有种；②将剩下人，安排到其余天值班，有种，则有种不同的排班方式.故选：A7．已知抛物线：（），过焦点的直线交抛物线于、两点，交轴于点，若点为线段的中点，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别过点作抛物线的准线的垂线，设与轴交于点，根据抛物线的焦点弦性质即可求解.【详解】如图所示，分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，设与轴交于点，因为点为线段的中点，则，，则，根据抛物线的焦点弦性质：，所以，解得.故选：B8．在底面边长为1的正四棱柱中，侧棱长等于2，则（）A．在正四棱柱的棱上到异面直线和距离相等的点有且只有一个B．在正四棱柱的棱上到异面直线和距离相等的点有且只有两个C．在正四棱柱的棱上到异面直线和距离相等的点有且只有三个D．在正四棱柱的棱上到异面直线和距离相等的点有且只有四个【答案】D【分析】分类逐个讨论，计算距离及其变化趋势，进而判断即可【详解】如图，为、的公垂线，故公垂线的中点到异面直线和距离相等的点，明显地，点到异面直线和距离也相等；设为棱上某点到的距离，为该点到的距离，在，，，上，有，，无交集，排除；在上，，即，有交集，故有一个交点，在上，，，有交集，存在一点，与的交点，故有4个点，有且只有4个点满足.故答案选：D.【点睛】关键点睛：设为棱上某点到的距离，为该点到的距离，对棱柱内每条棱进行判断即可，属于中档题二、多选题9．已知等比数列的前项和为，公比，，则（）A．一定是递增数列 B．可能是递增数列也可能是递减数列C．、、仍成等比 D．，【答案】BCD【分析】根据等比数列的性质依次判断即可.【详解】对于A，当，时，为递减数列，故A错误；对B，当，时，为递减数列，当，时，为递增数列，故B正确；对C，等比数列，则、、仍成等比，故C正确；对D，等比数列中，，则必不为0，故D正确.故选：BCD.10．定义在实数集上的函数满足，且时函数单调递增，则（）A． B．是周期函数C．方程有唯一实数解 D．函数在内单调递减【答案】AC【分析】对A，令即可得出；对B，由已知可得的图象关于对称，再根据单调性可判断；对C，根据函数的单调性可得；对D，根据对称结合当时函数单调递增可得.【详解】对A，，令，则，则，故A正确；对B，，即，的图象关于对称，且时函数单调递增，所以在上单调递增，故不是周期函数，故B错误；对C，在上单调递增，且，所以方程有唯一实数解，故C正确；对D，当时,函数单调递增，且的图象关于对称，则函数在内单调递增，故D错误.故选：AC.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是得出的图象关于对称.11．为了得到的图象只需把函数的图象（）A．向右平移 B．向左平移C．关于直线轴对称 D．关于直线轴对称【答案】ABD【分析】利用三角函数的平移变换以及三角函数的性质即可求解.【详解】向右平移，可得，故A正确；向左平移，可得，故B正确；设，若关于直线轴对称，则，故C错误；若关于直线轴对称，故D正确.故选：ABD12．方程的根为，的根为，则（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】观察两个函数的解析式易发现与和函数的交点，即为函数和的零点，作出函数图象即可判断选项A；通过构造函数，再利用其单调性来构造相关的不等式，可以判断选项B；利用基本不等式的相关性质可判断选项C；构造函数，利用其单调性和的取值范围进行分析求解，即可判断选项D.【详解】令，，则函数与和函数的交点，即为函数和的零点，作出函数、、、的图象如下所示，选项A，因为点关于点对称，且，又因为，所以，且，故A错误；选项B，因为，由零点存在性定理可知，记，则，故当时，，所以在上单调递增，因为，所以，即，即，又，故，故B正确；选项C，因为点关于点对称，且，又因为，所以，由基本不等式可得，而，所以，故C错误；选项D，记，则，，则，由，易知在单调递增，故，故D正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了对数函数、指数函数图象和性质的应用，解题的关键是转化为、、函数的交点，利用导数研究函数，综合性比较强，对于学生的化归与转化能力、构造函数的能力以及计算能力都有很高的要求.三、填空题13．已知，为双曲线的左、右焦点，则______．【答案】10【分析】由双曲线方程可知，，从而可得，进而求出焦距.【详解】由，则，，所以，所以.故答案为：1014．已知正实数、满足，则的最小值为______．【答案】8【分析】利用“1”的代换，将转化为，然后化简整理，利用均值不等式即可求出结果.【详解】∵∴当且仅当，即时，等号成立.故答案为：8.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意三个必须满足的条件：1.一正：各项必须均为正数；2.二定：求和的最小值时必须把构成的二项之积转化成定值；求积的最大值时，必须把构成积的因式的和转化为定值；3.三相等：利用均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值.15．某校为了丰富学生的课余生活，组建了足球、篮球、排球、羽毛球四个兴趣小组，要求每一名学生选择其中的两个小组参加．现有，，，四位同学，已知与没有选择相同的兴趣小组，与没有选择相同的兴趣小组，与选择的兴趣小组恰有一个相同，且选择了足球兴趣小组．给出如下四个判断：①可能没有选择足球兴趣小组；②、选择的两个兴趣小组可能都相同；③可能没有选择篮球兴趣小组；④这四人中恰有两人选择足球兴趣小组；其中正确判断是______．【答案】①③④【分析】利用图示法说明①③正确；由反证法思维说明②错误；直接推理证明④正确．【详解】对于①，若没有选择足球兴趣小组，则与相同的为其它三项中的一项，可以是如下选法：故①正确；对于②，、选择的两个兴趣小组都相同，因为与不同，所以与不同，而与有一个相同，故必有一个与相同，与题意不符，故②错误；由分析①的图示可知，可能没有选择篮球兴趣小组，故③正确；对于④，已选了足球，则不选足球，若选足球，则不选足球，若选足球，则不选足球，且与中必有一人选足球，故这四人中恰有两人选择足球兴趣小组，故④正确．故答案为：①③④．16．已知，，是平面向量，，是单位向量，且，若，则最大值是______．【答案】【分析】以的正方向为x轴的正方向，以的起点为坐标原点O，建立直角坐标系，设，，根据原等式可知的终点B在圆上，作出图象，利用的几何意义即可得解．【详解】以的正方向为x轴的正方向，以的起点为坐标原点O，建立直角坐标系，则由已知得，设，，则由得，即，所以的终点B在圆上，圆心，半径，又单位向量与的夹角为，所以的终点A在射线上，所以，设，则，又，所以的最大值等于圆心C到点M的距离加上圆的半径，如下图，所以，故答案为．四、解答题17．在①②③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角，，所对的边分别为，，，且，的面积是，______？【答案】答案见解析.【分析】利用正弦定理的边角互化以及三角形的面积公式求出，选①：解方程组可得，，再利用余弦定理即可求解；选②：利用正弦定理的边角互化求出，，再利用余弦定理即可求解；选③：利用正弦定理的边角互化可得，进而求出，再利用余弦定理即可求解；【详解】解：由知，，则，即．由得，．选①：，又，则，，代入，则，整理得，，则或（舍），即，由知．选②：，则，则，．由余弦定理知，．所以，．选③：，由正弦定理得，，所以．由，知．由余弦定理知，．所以，．18．某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏．（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率；（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为，求的分布列和数学期望；（3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）在有放回的摸球方式下，该员工中奖可能性更大，理由见解析.【分析】（1）如果是有放回的摸球，则每此摸到红球的概率都是，再按照中奖规则求概率；（2）如果是不放回的摸球，则按照超几何分布列出分布列，并求数学期望；（3）根据（1）（2）的结果，分别求中奖的概率的大小.【详解】解：（1）在有放回方式下，记“他能中奖”为事件，则．（2）由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3；，，，；所以的分布列为0123的数学期望．（3）由（2），在不放回方式下，该员工能中奖的概率为；由，所以，在有放回的摸球方式下，该员工中奖可能性更大．19．在四棱锥中，底面，底面是菱形，，，点在棱上．（1）若，在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；（2）若直线与平面所成的角的正弦值是，求二面角的余弦值．【答案】（1）存在，点为中点，理由见解析；（2）.【分析】（1）取，中点，，连接，，得出可证；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量关系可求.【详解】解：（1）存在，点为中点．取，中点，，连接，，，，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面．（2）取中点，连，又，底面是菱形，则，由题，，，两两垂直．以为坐标原点，以，，的方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．则，，，设，（），，，设平面的法向量为，，，取，又，记直线与平面所成的角是，，整理得，，即，则或（舍）．则平面的法向量为，,设平面法向量，则，即，令，则，即．，由图可得二面角为钝角，则二面角的余弦值是．【点睛】思路点睛：利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20．已知数列前项和为，且，，数列为等差数列，，且，（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）若，求的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）首先利用数列和的关系式，求数列的通项公式，再利用等差数列基本量法求数列的通项公式；（Ⅱ），利用裂项相消法求和.【详解】解：（Ⅰ）当时，．因为，所以，当时，，，两式相减得（），又因为，数列是从第二项起，是公比为3的等比数列，所以．又因为，且，解得，，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，，时，得，当时，成立所以.【点睛】关键点点睛：本题考查数列求通项和数列求和，属于中档题型，本题的关键是确定的通项公式是分段形式，所以求时，需分和两种情况讨论数列的和，最后再合为一个形式.21．已知椭圆中心在坐标原点，焦点、在轴上，离心率，经过点（为椭圆的半焦距）．（1）求椭圆的标准方程；（2）的平分线与椭圆的另一个交点为，为坐标原点，求直线与直线斜率的比值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设