2024届北京市某中学等校中考三模数学试题含解析

2024学年北京市高级中学等校中考三模数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.下列4个点，不在反比例函数图象上的是（）

A.(2,-3)B.(-3,2)C.(3,-2)D.(3,2)

2.某校九年级（1）班全体学生实验考试的成绩统计如下表:

成绩（分）24252627282930

人数（人）2566876

根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）

A.该班一共有40名同学

B.该班考试成绩的众数是28分

C.该班考试成绩的中位数是28分

D.该班考试成绩的平均数是28分

3.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

节

A.B.----------------C.日D.一

x>l

4.不等式组L/八的解集在数轴上可表示为（）

[2%-4<0

5.如图，在AA3C中，NB=46。，NC=54。，AO平分NBAC,交5c于O,DE//AB,交AC于E,则NCDE的大

小是（）

A

C.46°D.54°

6.如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B

向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）

B.线段EF的长逐渐减小

C.线段EF的长始终不变D.线段EF的长与点P的位置有关

7.八边形的内角和为（）

A.180°B.360°C.1080°D.1440°

〃+

8.二次函数丁=0?+以+。的图象如图所示，则一次函数y="+与反比例函数y=-------------在同一坐标

X

系内的图象大致为（)

9.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）

A.10B.9C.8D.7

10.如图，要使口ABCD成为矩形，需添加的条件是()

A.AB=BCB.ZABC=90°C.AC±BDD.Z1=Z2

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.已知二次函数y=ax2+bx+c(aw0)的图象如图所示，有下列结论：①abc<0,②2a+b=0,③a-b+c=O；

(4)4ac-b2>0,⑤4a+2b+c>0,其中正确的结论序号是

12.如图，菱形ABCD的边ADLy轴，垂足为点E,顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y

k

=—(k#0,x>0)的图象经过顶点C、D,若点C的横坐标为5,BE=3DE,则k的值为

13.函数y=-x+2的图象不经过第象限.

14.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x?+2x在对称轴的左侧部分是的(填“上升”或“下降”)

x=a[x-2y=3

15.已知,是方程组"二的解，则3a-b的算术平方根是_____.

y-b[2x+y=5

16.计算的结果等于.

17.实数Ji石，-3,y,狗，0中的无理数是.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)已知：如图，在正方形A3C。中，点E、尸分另lj是A3、3c边的中点，A尸与CE交点G,求证：AG=

CG.

AED

BC

19.（5分）为了了解某校学生对以下四个电视节目：A《最强大脑》，B《中国诗词大会》，C《朗读者》，D《出彩中国

人》的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目，根据调查

结果，绘制了如下两幅不完整的统计图.

请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：

;在扇形统计图中，A部分

所占圆心角的度数为;请将条形统计图补充完整：若该校共有3000名学生，估计该校最喜爱《中国诗词大会》

的学生有多少名？

20.（8分）我们来定义一种新运算：对于任意实数x、y,“※”为“※2（a+1）（Hl）-1.

（1）计算（-3）※乡

（2）嘉琪研究运算“※”之后认为它满足交换律，你认为她的判断J正确、错误）

（3）请你帮助嘉琪完成她对运算“※”是否满足结合律的证明.

Q轶律和划合律Q

家算很熟.3：交换

律是拓改变参与运

算用个量的成序而

不改变其最终均

果；结合徒是护送

算的点序并不会影

21.（10分）如图，AB是。。的直径，点C是鼎的中点，连接AC并延长至点D,使CD=AC,点E是OB上一点,

且算=1,CE的延长线交DB的延长线于点F,AF交。O于点H,连接BH.

求证：BD是。O的切线；（2）当OB=2时，求BH的长.

22.（10分）小丽和哥哥小明分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小丽开始跑步，遇到哥哥后改为步

行，到达图书馆恰好用35分钟，小明匀速骑自行车直接回家，骑行10分钟后遇到了妹妹，再继续骑行5分钟，到家

两人距离家的路程y（m）与各自离开出发的时间x（机加）之间的函数图象如图所示:

（1）求两人相遇时小明离家的距离;

（2）求小丽离距离图书馆500机时所用的时间.

23.（12分）如图，在四边形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，EA±AB,EC1BC,且EA=EC.求证：AD=CD.

24.（14分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索

子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折

后再去量竿，就比竿短5尺.求绳索长和竿长.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解题分析】

分析：根据y=-0得女=*丫=-6,所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于-6,就在函数图象上.

1x

解答：解：原式可化为：xy=-6,

A、2x(-3)=-6,符合条件；

B、(-3)x2=-6,符合条件；

C、3x(-2)=-6,符合条件；

D、3x2=6,不符合条件.

故选D.

2、D

【解题分析】

直接利用众数、中位数、平均数的求法分别分析得出答案.

【题目详解】

解：A、该班一共有2+5+6+6+8+7+6=40名同学，故此选项正确，不合题意；

B、该班考试成绩的众数是28分，此选项正确，不合题意；

C、该班考试成绩的中位数是：第20和21个数据的平均数，为28分，此选项正确，不合题

意；

D、该班考试成绩的平均数是：(24x2+25x5+26x6+27x6+28x8+29x7+30x6)4-40=27.45(分)，

故选项D错误，符合题意.

故选D.

【题目点拨】

此题主要考查了众数、中位数、平均数的求法，正确把握相关定义是解题关键.

3、D

【解题分析】

从正面看，有2层，3歹!],左侧一列有1层，中间一列有2层，右侧一列有一层，据此解答即可.

【题目详解】

•从正面看，有2层，3列，左侧一列有1层，中间一列有2层，右侧一列有一层，

；.D是该几何体的主视图.

故选D.

【题目点拨】

本题考查三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看

到的线画实线，被遮挡的线画虚线.

4、A

【解题分析】

先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

【题目详解】

5fX>1①

：［2X-4<0(D

•••不等式①得：x>l,

解不等式②得：x<2,

...不等式组的解集为1<XW2,

在数轴上表示为：0

故选A.

【题目点拨】

本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题

的关键.

5、C

【解题分析】

根据DE//AB可求得解答即可.

【题目详解】

解：'JDE//AB,

：.ZCDE=ZB=46°,

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等.快速解题的关键是牢记平行线的性质.

6、C

【解题分析】

试题分析：连接AR,根据勾股定理得出AR=+DR?的长不变,根据三角形的中位线定理得出EF=；AR,即

可得出线段EF的长始终不变，

故选C.

考点：1、矩形性质，2、勾股定理，3、三角形的中位线

7、C

【解题分析】

试题分析：根据n边形的内角和公式（n-2）xl80。可得八边形的内角和为（8-2）xl80°=1080°,故答案选C.

考点：n边形的内角和公式.

8、D

【解题分析】

根据二次函数图象开口向上得到a>0,再根据对称轴确定出b,根据二次函数图形与x轴的交点个数，判断/一4/的

符号，根据图象发现当x=l时y=a+b+c<O,然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解.

【题目详解】

•.•二次函数图象开口方向向上，

a>0,

b

•••对称轴为直线％=-二>0，

2a

：.b<0,

二次函数图形与X轴有两个交点，则Z?2-4ac>0，

":当x=l时y=a+b+c<Q,

：.y=bx+b--4ac的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，

a~I-h~|-「

反比例函数y=------------图象在第二、四象限，

x

只有。选项图象符合.

故选：D.

【题目点拨】

考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键.

9、D

【解题分析】

分析：先根据多边形的内角和公式（〃-2）・180。求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点,

并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360。求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减

去3即可得解.

详解：•••五边形的内角和为(5-2)・180。=540。，.•.正五边形的每一个内角为540。+5=18。，如图，延长正五边形的两

边相交于点O,则Nl=360。-18°x3=360°-324°=36°,360。+36。=1.T已经有3个五边形，：.1-3=7,即完成这一圆

环还需7个五边形.

故选D.

点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意

需要减去已有的3个正五边形.

10、B

【解题分析】

根据一个角是90度的平行四边形是矩形进行选择即可.

【题目详解】

解：A、是邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形；

B、是一内角等于90。，可判断平行四边形ABCD成为矩形；

C、是对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形；

D、是对角线平分对角，可判断平行四边形ABCD成为菱形；

故选：B.

【题目点拨】

本题主要应用的知识点为：矩形的判定.①对角线相等且相互平分的四边形为矩形.②一个角是90度的平行四边形

是矩形.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、①②③⑤

【解题分析】

由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况

进行推理，进而对所得结论进行判断.

【题目详解】

①由图象可知：抛物线开口方向向下，则a<0,

对称轴直线位于y轴右侧，则a、b异号，即b>0,

抛物线与y轴交于正半轴，则c>0,abc<0,故①正确；

②对称轴为x=—上=1,b=-2a,故②正确；

2a

③由抛物线的对称性知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),

所以当x=—1时，y=a—b+c=0,即a—b+c=0,故③正确；

④抛物线与x轴有两个不同的交点，贝！lb?-4ac>0,所以4ac-b2<0,故④错误；

⑤当x=2时，y=4a+2b+c>0,故⑤正确.

故答案为①②③⑤.

【题目点拨】

本题考查了考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数丫=2乂2+6*+(:系数符号由抛物线开口方向、对称轴和

抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.

,15

12、—

4

【解题分析】

过点D作DFLBC于点F,由菱形的性质可得BC=CD,AD〃BC,可证四边形DEBF是矩形，可得DF=BE,DE

=BF,在RtADFC中，由勾股定理可求DE=LDF=3,由反比例函数的性质可求k的值.

【题目详解】

如图，过点D作DFLBC于点F,

•••四边形ABCD是菱形，

；.BC=CD,AD/7BC,

VZDEB=90°,AD〃BC,

，NEBC=90。，且NDEB=90。，DF±BC,

四边形DEBF是矩形，

；.DF=BE,DE=BF,

•••点C的横坐标为5,BE=3DE,

/.BC=CD=5,DF=3DE,CF=5-DE,

■:CD2=DF2+CF2,

/.25=9DE2+(5-DE)2,

；.DE=1,

/.DF=BE=3,

设点C(5,m),点D(Lm+3),

•反比例函数y=人图象过点C,D,

X

:.5m=lx(m+3),

._3

•・m=—，

4

-3

点C(5,-),

4

.315

.・k=5x-=—,

44

故答案为：—

4

【题目点拨】

本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键.

13、三.

【解题分析】

先根据一次函数y=-x+2中左=-1,匕=2判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论.

【题目详解】

解：•.•一次函数y=-x+2中左二-KO,Q2X),

,此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，

故答案为：三.

【题目点拨】

本题考查的是一次函数的性质，即一次函数+M左wO)中，当上V0,6)0时，函数图象经过一、二、四象限.

14、下降

【解题分析】

根据抛物线y=3x2+2x图像性质可得，在对称轴的左侧部分是下降的.

【题目详解】

解：，.,在y=3f+2x中，a=3X),

二抛物线开口向上，

，在对称轴左侧部分y随x的增大而减小，即图象是下降的，

故答案为下降.

【题目点拨】

本题考查二次函数的图像及性质.根据抛物线开口方向和对称轴的位置即可得出结论.

15、20.

【解题分析】

灵活运用方程的性质求解即可。

【题目详解】

x=a[x-2y=3?CD[x=a

解：由，是方程组c-UK的解，可得，满足方程组，

y=b[2x+y=5诊[y=b

由①+②的，3x-y=8,即可3a-b=8,

故3a-b的算术平方根是2起，

故答案：2后

【题目点拨】

本题主要考查二元一次方程组的性质及其解法。

16、a1

【解题分析】

根据同底数塞的除法法则和同底数幕乘法法则进行计算即可.

【题目详解】

解：原式=。3-1+1=/.

故答案为苏.

【题目点拨】

本题考查了同底数塞的乘除法，关键是掌握计算法则.

17、狗

【解题分析】

无理数包括三方面的数：①含力的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上内容判断即可.

【题目详解】

解：716=4,是有理数，-3、口、0都是有理数，

7

乖是无理数.

故答案为：狗.

【题目点拨】

本题考查了对无理数的定义的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含兀的，②一些

开方开不尽的根式，③一些有规律的数.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、详见解析.

【解题分析】

先证明△AO尸之△CZ>E,由此可得NZMF=NOCE,ZAFD=ZCED,再根据NEAG=N/Y?G,AE=CF,ZAEG=

NQFG可得AAEG之△CPG,所以AG=CG.

【题目详解】

证明：•.•四边形ABC。是正方形，

：.AD=DC,

，：E、F分别是A3、3c边的中点，

：.AE=ED=CF=DF.

又NO=NO,

：.AADF^ACDE(SAS).

:.ZDAF^ZDCE,NAFD=NCED.

：.ZAEG=ZCFG.

在^AEG和4CFG中

ZEAG=ZFCG

<AE=CF,

ZAEG=ZCFG

.,.△AEGg△CFG(ASA).

：.AG^CG.

【题目点拨】

本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，关键是要灵活运用全等三角形的判定方法.

19、(1)120；(2)54;(3)答案见解析；(4)1650.

【解题分析】

⑴依据节目B的数据，即可得到调查的学生人数；

⑵依据A部分的百分比，即可得到A部分所占圆心角的度数；

(3)求得C部分的人数，即可将条形统计图补充完整；

(4)依据喜爱《中国诗词大会》的学生所占的百分比，即可得到该校最喜爱《中国诗词大会》的学生数量.

【题目详解】

(1)66-55%=120,

故答案为120；

1Q

(2)—x360=54,

v7120

故答案为54;

(3)C：120x25%=30,

答：该校最喜爱《中国诗词大会》的学生有1650名.

【题目点拨】

本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利

用数形结合思想解答.

20、(1)-21；(2)正确；(3)运算“※”满足结合律

【解题分析】

(1)根据新定义运算法则即可求出答案.

(2)只需根据整式的运算证明法则aXb=bXa即可判断.

(3)只需根据整式的运算法则证明(aXb)Xc=aX(bXc)即可判断.

【题目详解】

(1)(-3)※9=(-3+1)(9+1)-1=-21

(2)a>^b=(a+1)(b+1)-1

b>^a=(b+1)(a+1)-1,

，aXb=bXa,

故满足交换律，故她判断正确；

(3)由已知把原式化简得aXb=(a+1)(b+1)-l=ab+a+b

,:(aXb)※。=(ab+a+b)

=(ab+a+b+1)(c+1)-1

=abc+ac+ab+bc+a+b+c

曾※(b^cc)=a(bcv+b+c)+(bc+b+c)+a=abc+ac+ab+bc+a+b+c

:.(aXb)Xc=aX(bXc)

・•・运算“※”满足结合律

【题目点拨】

本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义运算的法则，本题属于中等题型.

21、(1)证明见解析；(2)BH=*

【解题分析】

(1)先判断出NAOC=90。，再判断出OC〃BD,即可得出结论；

(2)先利用相似三角形求出BF,进而利用勾股定理求出AF,最后利用面积即可得出结论.

【题目详解】

(1)连接OC,

；AB是。。的直径，点C是星的中点,

.\ZAOC=90°,

VOA=OB,CD=AC,

AOC是4ABD是中位线，

/.OC/7BD,

，NABD=NAOC=90°,

AABIBD,

•点B在。O上,

；.BD是。O的切线；

(2)由(1)知，OC〃BD,

/.△OCE^ABFE,

.OCOE

••茄=茄'

VOB=2,

.OE2

/.OC=OB=2,AB=4,-

・

••BF—3,

ABF=3,

在RtAABF中，ZABF=90°,根据勾股定理得，AF=5,

VSAABF=|AB»BF=^AF*BH,

AAB«BF=AF*BH,

.\4x3=5BH,

ABH=y.

【题目点拨】

此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求