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文档简介
2024届高三下学期3月适应性考试数学试题(新高考金卷)
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.设i为虚数单位,则()
A.-1B.1C.iD.-i
2.已知集合A={x—-3尤-4<。},B=„-at=o},若AcB中有且仅有两个元素,
则实数。的范围为()
A.(-1,4)B.(-1,0)C.(0,4)D.(-l,O)J(O,4)
3.某生产线正常生产状态下生产的产品A的一项质量指标X近似服从正态分布
N(10,〃),若P(XWa)=P(X21—2a),则实数。的值为()
A.-10B.-19C.10D.19
4.设。为双曲线的中心,以双曲线的实轴为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A,8两
点,若,AO3为等边三角形,则双曲线的离心率为()
A.友B.9或2C.-D.士或2
3333
5.已知平面向量a,b满足a-6=W=W=2,设c=o+仍«eR),则卜|的最小值为()
A.百B.3C.1D.2
6.已知三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=2AB=2BC=4,/ABC=120。,则三棱锥
P-ABC外接球的表面积为()
〃64D.』
C.—兀
2727
;in(£Z-/5)=|,若满足条件的。与夕存在且唯
一,贝|tanatanp=()
A.1B.1C.2D.4
8.已知函数〃x)=aeX—(a-l)x+l-a(a>0),g(x)=x+/>,点尸与。分另(]在函数
y=/(x)与y=g(x)的图象上,若|尸。的最小值为血,贝8=()
A.-1B.3C.一1或3D.1或3
二、多选题
9.如图所示,圆台的母线与下底面的夹角为60。,上底面与下底面的直径之比为1:2,
转为一条母线,且AP=2,。为下底面圆周上的一点,ZAfiD=30°,则()
A.三棱锥尸-ABD的体积为2B.圆台的表面积为11兀
C.△P3D的面积为36D,直线针与夹角的余弦值为手
10.设正实数x>0,y>o,且满足x+y+3=个,则()
A.4x+y>13B.xy<9
2211
C.x2+y2<18D.一+一2彳
xy3
222
11.已知圆月:(x+l)+y=l,圆F?:(%-1)+/=9,动圆P与圆片外切于点M,
与圆尸?内切于点N圆心P的轨迹记为曲线C,则()
22
A.C的方程为土+匕=1
43
B./MPN的最小值为120。
C.MPPFX+NPPF2<^
D.曲线C在点尸处的切线与线段朋N垂直
三、填空题
12.为弘扬志愿者精神,某校举行“乐于助人”服务活动,现安排甲,乙等4人到三个不
同地方参加活动,每个地方至少1人,若甲和乙不能去同一个地方,则不同的安排方式
有种.
9
13.已矢口(1-2%+尤2)=%o%l°+a/'H--卜旬,贝I]卒外=.
14.已知〃x)=sin,x+T的图象关于直线对称,且“X)在(0,无)上恰有两条对
称轴.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为。,b,c,且/(|A]=0,
则ABC面积的最大值为.
四、解答题
试卷第2页,共4页
15.设数列{%}的前"项和为S,,为等比数列,且4=1,%,出,%-3成等差
数列.
(1)求数列{%}的通项公式:
b,2
⑵设么=意,数歹心,的前〃项和为证明:T<~.
电+1)(%+1)Jn
16.如图所示,在长方体ABCQ-A耳中,A4[=")=&B,M在棱AA上,且
ACIBM.
(1)若AB=2,求平面BDW截长方体所得截面的面积
⑵若点N满足CN=NC、,求平面BB.M与MWE>所成夹角的余弦值.
17.垃圾分类是普惠民生的一项重要国策.垃圾分类不仅能够减少有害垃圾对环境的破
坏,减少污染,同时也能够提高资源循环利用的效率.垃圾分类共分四类,即有害垃圾,
厨余垃圾,可回收垃圾与其他垃圾.某校为了解学生对垃圾分类的了解程度,按照了解
程度分为A等级和3等级,随机抽取了100名学生作为样本进行调查.已知样本中A等
级的男生人数占总人数的(,两个等级的女生人数一样多,在样本中随机抽取1名学生,
该生是3等级男生的概率为g.
(1)根据题意,完成下面的二维列联表.并根据小概率值0.05独立性检验,判断学生
对垃圾分类的了解程度是否与性别有关?
2n^ad-bc^"
”(a+6)(c+1)(a+c)(b+d)'其中n=a+b+c+d.
(2)为了进一步加强垃圾分类工作的宣传力度,学校特举办垃圾分类知识问答比赛活
动.每局比赛由二人参加,主持人A和8轮流提问,先赢3局者获得第一名并结束比赛.甲,
■71
乙两人参加比赛,已知主持人A提问甲赢的概率为:,主持人8提问甲赢的概率为(,
每局比赛互相独立,且每局都分输赢.抽签决定第一局由主持人A提问.
(i)求比赛只进行3局就结束的概率;
(ii)设X为结束比赛时甲赢的局数,求X的分布列和数学期望E(X).
18.已知实数aeR,函数f(x)=21nx-o?有两个不同的零点和三.
(1)求实数。的取值范围,
⑵设豌是方程lnx+依一2=0的实根,证明:x<xx<—.
0t2a
19.已知直线y=bf+l(左片0)与抛物线G:f=4y交于M,N两点.T是线段MN的
中点,点A在直线y=-l上,且AT垂直于X轴.
(1)求证:A7的中点在C1上;
⑵设点8在抛物线C?:>=一尤2一1上,BP,BQ是G的两条切线,尸,。是切点.若
AB//MN,且A3位于了轴两侧,求证:\7M\\TN\=\TP\\T^.
试卷第4页,共4页
参考答案:
1.B
【分析】利用复数的除法和乘方运算来计算.
l-i_(l-i)(l-i)_-2i_.
【详解】l+i-(l+i)(l-i)-2一,
故选:B.
2.D
【分析】求出集合8中元素,代入集合A即可.
【详解】因为AcB中有且仅有两个元素,
则3=-ax=o}={0,a},30,
0-0-4<0
所以,解得一1<。<4,且awO.
矿一3a—4<0
故选:D.
3.B
【分析】根据题意,由正态曲线的性质,代入计算,即可得到结果.
【详解】由题可知,正态曲线关于X=10对称,
且P(XWa)=P(XNl—2a),
Lf。+1-2。TCATt
则一--=10,解得a=-19.
故选:B
4.B
【分析】分两种情况,ZBOx=60和N8Qx=30分别求解即可.
【详解】焦点在x上和焦点在y上结果一样,故不妨取双曲线的焦点在x轴上,
若为图1:则ZB。尤=60,
贝[]tanNBOx=tan60=>/3=—,
答案第1页,共19页
若为图2:贝UN3QX=30,
贝ijtanZBOx=tan30==—,
3a
5.A
【分析】根据结合数量积的运算律及二次函数的性质即可得解.
3
【详解】2+t2b-^-2ta-b=飞4t2+44+4=2一,
4
则当时,卜L=百.
故选:A.
6.B
【分析】由题意画出图形,结合已知求出底面三角形外接圆的圆心,进一步找出三棱锥外接
球的球心,由三角形相似求得外接球的半径,则答案可求.
【详解】由B4=P3=PC=4,过尸作PG,面ABC,垂足为G,则G为的外心,
答案第2页,共19页
AC2=AB2+BC2-2ABBC-cos/ABC=22+22-2x2x2xf-1^=12,
在,ABC中,
故AC=25
设,ABC的外接圆半径为r,
Ar1
贝|J2〃=——=4,即r=2,即5G=2
sin120°
所以PG=(PB2-BG?=24,
取PB的中点〃,过H作HO_LPB交PG于0,则。为三棱锥外接球的球心,
由.POHPGB可得需=笥,
即外接球半径为
7.B
3
【分析】先由tana=Mtan〃,可得5皿。以)5/7=根85。5111/?,再根据sin(a-;0)=y,结合
两角差的正弦公式求出sinacos尸,cosasin/?,进而可求出sin(a+0,再根据唯一性可求出
m,再求出tan(a-6),结合两角差的正切公式求出tan/?,tan。,即可得解.
.…、八,sinamsinB.八.八
【详角车】由tana=/ntan夕,得----=------,gpsinacosp=mcosasmp,
cosacosp
3
所以sin(a-=sinacos13-cosasinj3=(m-l)coscrsin/3=—,
答案第3页,共19页
33m
所以cosasin/=—-------,所以sinacosP=mcosasin/3=
(、3(m+l)
所以sin(a+/)=sinacos/+cosasin尸=—^----,
因为,所以a+尸e(O,兀),
因为满足条件的a与夕存在且唯一,所以。+〃唯一,
所以sin(c+.=1,
所以根=4,经检验符合题意,
所以tana=4tan尸,
因为。/《。弓),所以口>4,所以cos(a_0=Jl—sin2(a_0=q,
则tan(f)30…4tan-tan(3,解得tan/7=;,
'741+tancrtan/3l+4tan2^
所以tanatan/?=4tan?/?=1.
故选:B.
8.C
【分析】平移直线使其经过点尸,则切线斜率为1,利用导数求出切点坐标,再根据点到直
线距离公式即可得到方程,解出即可.
【详解】因为/0)=。/-("一1),令/'(尤)=1,解得彳=因
而/(O)=a+l-a=l,
则函数>=/(尤)的图象在点(o,D处的切线方程为y=x+i,
则IPQ1111ta=0,即点(o,1)到直线X-y+>=。的距离为近,
所以I,"=及'解得"=3或。=-1,
故选:C.
9.ABD
【分析】由三棱锥的体积公式即可判断A,由圆台的表面积公式即可判断B,由三角形的面
积公式即可判断C,由异面直线夹角的概念以及余弦定理即可判断D
答案第4页,共19页
E
根据题意,圆台的轴截面如图所示,
分别过点£E作尸",AB,EG,于点H,G,
贝!|NfAB=60。,AF=BE=2,所以AH=BG=1,FH=EG=6
由上底面与下底面的直径之比为1:2可得M=《,则防=2,AB=4,
AD2
所以圆台的高为石,AB=4,AD=2,BD=2y/3,
则Vp-ABD=gx[gx2x26]x6=2,故A正确;
设圆台的上下底面圆的半径分别为4,4,则4=1,4=2,
则圆台的表面积为S=TI邛+兀4+兀(可+幻•AP=1E,故B正确;
过点尸作A3的垂线交A3于T,则可得PTJL平面
且BDu平面AB£>,则
过点T作3。的垂线交8。于Q,连接尸。,即
又PTTQ=T,27,7。<=平面27。,所以即人平面尸TQ,
又P0u平面PTQ,所以
又AT=1,则BT=3,由,BQTsBD4可得更=四,即』=些,
BAAD42
所以刀。=:,且PT=6,所以尸。=叵,
22
答案第5页,共19页
则sPBD=;B£>•尸。=gx2道义殍=呼,故C错误;
过点A作8。的平行线交底面圆周于点连接R0,
则NPAM即为直线AP与BO所成角(或补角),
在AR4M中,AM=BD=273,AP=2,PM=M,
由余弦定理可得cos2PAM=A产+一尸=2H2..而『=1,
2APAM2x2x2石4
则直线AP与夹角的余弦值为由,故D正确;
4
故选:ABD
10.AD
【分析】对于A项,通过题设求出入代入所求式消元,凑项运用基本不等式即得;对于B
项,直接运用基本不等式将其转化成关于历的不等式求解即得;对于c项,运用完全平
方式将其转化成关于孙的二次函数,通过其图象单调性即得;对于D项,通分后将其化成
关于孙的分式函数,求其值域即得.
【详解】对于A项,由彳+丫+3=孙可得:(x-l)y=x+3,
因x>l,故丁=一x+3,将其代入4x+y可得:
x-1
%+344I4~
4x+——=4x+1+——=4(1)+——+522/4dA二一+5=13,
x-1x-1x-lvx-1
当且仅当%=2时等号成立,故A项正确;
对于B项,由孙=%+丁+322^^+3可得(^^一3)(^/^+1)20,
因J^>0,故得:y[xy>3,则孙之9,
当且仅当%=y=3时等号成立,故B项错误;
22
对于C项,由S=f+>2=(冗+,)2-2孙_(xy-3)-2xy=(xy)-8xy+9,
设”孙,由上分析知,t>9,
则S=(-4/—7在[9,+8)上单调递增,故S218,即C项错误;
1T工人11%+yxy-33
对于D项,由—+-=----=-----=1------,
xyxyxyxy
由上分析知孙29,则0<[<<,
xy9
答案第6页,共19页
23211
故工41-----<1,即工工一+一<1,故D项正确.
3xy3xy
故选:AD.
11.BCD
【分析】A.直接根据椭圆的定义可得答案;B./MPN与/可尸工互补,求出/的尸月的最大
角即可;对于C:直接利用向量的坐标运算求解;对于D:求出点P处的切线斜率,再利用
PN=~^NF2,PM=rMR求出点的坐标,再判断切线斜率和kMN的关系即可.
【详解】对于A:设动圆P的半径为厂,由条件得IP币=r+1,\PF2\=3-r,
则|PfJ+|Pg|=4>|£&],且尸,M,N不重合,
故点尸的轨迹为以耳,%为焦点的椭圆(去掉p,M,N重合的点),
则曲线C的方程为!+:=l(xw-2),A错误;
对于B:由图可知/MPN与/耳P5互补,
当尸点为椭圆短轴端点时,/耳尸巴最大,
c1
此时sin/月尸。,所以/月尸。=30,则/与PK的最大值为60,
a2
所以的最小值为120,B正确;
对于C:MP-PF\+NP-PF2^-r(r+V)+r(3-r)=2r(l-r)<2x卢]>=1,
当且仅当r=。时等号成立,C正确;
对于D:设点P(%,%卜”(%,%)可(%2,%),々(一1,°),鸟(1,°),
则过点尸(无。,%)的椭圆的切线方程为芋+岑=1,切线斜率为一普,
434%
\PN\r\PM\r
又^-T=-J——\=R<所以PN=--NF”PM=rMF\,
NF,3\MF\31
答案第7页,共19页
则(%一%,%一%)=-:(1-9,-%),(占一尤o,M-%)=r(T-再,-M),
3^7~l+73y0(l+r)-y0(3-r)2y0
3x0-rx0-r(3x0-r)(1+r)-(x0-r)(3-r)1+2%-r'
3-r1+r
又一附|-1=而1用/-1=。+2/+1+31寸-1
Jgxo+2j_1=;玉)+2—1,
因为-2<x0<2,所以5%O+2>O,所以厂=5%+2—1=5%+1,
2%二4%
所以女M"
3%
1+2%2^°+1
所以一为x誓=-1,即曲线C在点尸处的切线与线段MN垂直,D正确;
4yo"o
22
证明:过椭圆:+]=1上一点尸优,为)的椭圆的切线方程为午+¥=1,
口尤।%y「1
3
t2,消去y得(3+尤+当-12=0,
联立
%y1I
——+—=1、%
[43
答案第8页,共19页
又手+?=1,得3x;+4y;=12,
所以苧+弩=1是过椭圆:+y=l上一点P(x。,%)的椭圆的切线方程.
22
【点睛】方法点睛:过椭圆—+齐=1,>6>0)上一点的尸(%,%)的切线方程为
22
苔+*=1(。>。>0),过双曲线3一.=>0/>0)上一点的网飞,%)的切线方程为
岑-誓=1(。>0,6>0),通过结论可快速找到解题思路.
ab
12.30
【分析】将4人按2,1,1分组,先不考虑限制条件,先分组再分配求出不同的安排方式的种
数,再排除甲和乙去同一个地方的种数即可.
【详解】安排甲,乙等4人到三个不同地方参加活动,每个地方至少1人,
则将4人按2,1,1分组,
若不考虑限制条件,
则此时不同的安排方式有总尸=36种,
当甲和乙去同一个地方时,有A;=6种不同的安排方式,
所以若甲和乙不能去同一个地方,则不同的安排方式有36-6=30种.
故答案为:30
13.-10
【分析】先化简(1-2尤+f『,再利用二项式定理求得阳,再将等式两边同时求导,从而得
解.
答案第9页,共19页
【详解】因为(1一2工+-)5=(》一1),
而(x—l片的展开通项公式为TM=,
所以展开式中胪的系数%=(-l)°Vo=l,
由(1—2«X+%2)=(%—1)=4()M°+为/+,,•+Q。,
两边同时求导可得10(%-1)9=10%0X9+9佝X8■1---,
令x=]可得lOq。+9%H---Fq=10(1-1)9=0,
9
所以Zk=-lO%o=TO.
*=i
故答案为:-10.
14.£1/。百
44
兀1
【分析】根据函数关于直线元=々对称,推得①MBZ+J.ZEZ,对。的取值分正、负进行讨
论,求得。=-}得到函数解析式,利用了《,|=。求出角A,利用正弦定理表示出边。,
继而求得三角形面积表达式,运用三角恒等变换化成正弦型函数,利用其值域求得面积最大
值.
【详解】由〃x)=sin]ox+3的图象关于直线xj对称可得:&呜。+至=±1,
71717rI
则一切+—=—+,解得:①=3k+—,ksZ.
3322
①当G>0时,由%£(0,兀)可得:+
....3K7i,5兀.7,13
依题需使工-〈5+;<不-,解得:-<CD<—,
23266
195
代入口=3Z+—,%£Z可得士〈左《士,故。不存在;
299
②当67<0时,由工£(0,兀)可得:G71+m+§<§,
依题需使一?《公兀+?<一当,解得:~~7~~0)<~~79
232o6
因。=3左+',左EZ,故人二—1时,0)=——,即/(x)=sin]—+.
22123J
由/^―A)=sin(—A+4)=0可得:—A+三=kn,keZ,
,JT
因0<A<TI,贝I]A=3,
答案第10页,共19页
(1hc
由正弦定理,—-=2=——=——njff:b=2sinB.
smAsmBsinC
于是,ABC面积为:S=;besinA=;x2sin8xsin(3+A)=x2sinBx^sinB+\/3cosB)
_3・R"指•2R_3•IA/3o0石.OR
=—sinBcosBH---sinB=-sin2B-----cos2BH----=—sin(25)H----,
22444264
因。v3〈W,则一£<25-5<?,故sin(2B—与)41,即SW,
366664
故.ABC面积的最大值为±8.
4
故答案为:巫.
4
【点睛】关键点点睛:解题关键在于在求得0=3上+1火eZ之后,往往容易先入为主,默认
。为正,结果求不出。而放弃;第二个关键在于对于较复杂的面积表达式,要善于角的消元
和三角函数的降次以及辅助角公式的应用,最后在角的范围内考查三角函数的值域.
15.⑴4“=(〃+1)•2"-2
(2)证明见解析
【分析】(1)根据题意,由等差数列以及等比数列的定义,列出方程,代入计算,即可得到
结果;
n2
bn2-
(2)根据题意,由(1)可得色+1危一+1)=(2,"+:(21+1),结合裂项相消法代入计
算,即可证明.
【详解】(1)因为%,«2>色-3成等差数列,即2%=。3-2,
又户]为等比数列,贝也,於,当也成等比数列,
贝U上受]=,+5+"3),联立解得%=3,%=8,
则数列的公比为2,即鼠=2-所以S“=n-2力,
[nJn
当心2时,%=S「SM=5+1)-2T,
且4=1也满足上式,
所以数列{%}的通项公式为卬=5+1)•2心.
答案第11页,共19页
2
(2)由(1)知,an=[n+\)-T-,且〃=江,
b,2"2
则色,+1)电+1+1)一(2"+1收+1)
则T=---------1---------FH-----------=-------
"2-1+12°+12°+12'+12"-2+12,,-1+132,,-1+1
1212
因为人>°,所以4/一而节<了
16.⑴空1
2
(2)庠
【分析】(1)建系,利用坐标运算计算AC2M=0,求出点/的位置,然后画出截面,求
截面面积即可;
(2)利用向量法求平面与平面的夹角即可.
【详解】(1)如图建立空间直角坐标系:
因为胡=AD=>/2AB=2-/2,
所以A(0,0,0),C(2,2后,0),B(2,0,0),设拒),
则AC=倒,2&,0),=卜2,租,2旬,
由AC工得AC-BM=(-2,m,2亚)・(2,2后,0)=-4+2肥m=0,
解得〃“夜,即知为线段4乌中点,取4月的中点E,连接ME,£5,
明显有ME//BD,则平面BDM截长方体所得截面为梯形BDME,
则ME=71T2=6,BD=«20+22=26,M(0,虚,20),D(0,272,0),
所以DM=(0,-也2q,02=(2,-2也0)
贝U点M至IJBD的距离为DM2-D^B=J2+8一品]=粤,
1|III7*
则截面的面积为gx(退+2百)=3y/26
2
答案第12页,共19页
则M(0,缶,2。),0(0,2缶,0)仆(2〃,2缶,缶),5(2〃,0,0),男(2名0,2缶),
MD=倒,缶,一20),DN=(2«,0,缶),BM=卜2。,缶,2缶),B1M=卜2a,伍,0b
设面54M的法向量为〃=(%,%,zj,面MWD的法向量为根=(X2,%,Z2)
BM•n=-2町++2y[2az=0
1取y=0得力=(1,啦,0),
B]M•n=-2axx+41ayx=0
MD.m=yflay2—2>/2az2=0
取z2=\/2得加=卜1,2^/5\>/5),
DN•m=2ax2+屈az?=0
”…n-m—1+4y/33
所以cos〃,加二1—
y/3xJl+8+211
则平面BB,M与MW。所成夹角的余弦值为叵.
17.(1)列联表见解析,学生对垃圾分类的了解程度与性别无关,理由见解析
(2)(i)(ii)分布列见解析,期望值为盥
lo10o
【分析】(1)数据分析,得到列联表,计算出卡方,与3.841比较后得到结论;
(2)(i)分甲赢得比赛和乙赢得比赛两种情况,计算出概率相加后得到答案;
(ii)得到X的可能取值和对应的概率,得到分布列,计算出数学期望.
答案第13页,共19页
2I
【详解】(1)由题意得,A等级的男生人数为100x1=40,3等级男生的人数为100x3=20,
100-40-20
A3等级的女生人数相同,均为=20人,
2
故列联表如下:
男生女生总计
A等级402060
8等级202040
总计6040100
2
2_n(ad-bc^_100x(40x20-20x20)_25
,(〃+b)(c+d)(Q+c)(b+d)60x40x60x409
故根据小概率值a=0.05独立性检验,学生对垃圾分类的了解程度与性别无关;
2122
(2)(i)比赛只进行3局就结束,甲赢得比赛的概率为口=耳>5乂§=§,
比赛只进行3局就结束,乙赢得比赛的概率为P2=(l-1)x(1-)x[1,
故比赛只进行3局就结束的概率为P]+P2=2+91=51;
91olo
(ii)X的可能取值为0,1,2,3,
X=0,即进行了3场比赛,且乙赢得比赛,故尸(X=0)=:x;x〈=4,
32318
X=l,即进行了4场比赛,且乙赢得比赛,前3场中,甲赢得1场比赛,乙第4场赢,
7111111111215
^P(X=l)=-x-x-X--F—X—X—X—+—X—X—X—
23232323236
X=2,即进行了5场比赛,且乙赢得比赛,前4场中,甲赢得2场比赛,乙第5场赢,
711112121121111
故尸(X=2)=]X]X—X—X—H——X—X—X—X-+—X—X—X—X—
3233232332323
11211111111121113
H--X—X—X—X—+—X—X—X—X—+—X—X—X—X—=--------,
323233232332323108
X=3,即最后甲赢得比赛,由概率性质得
513_37
P(X=3)=1-P(X=O)-P(X=1)-P(X=2)=1-—
36-108-54
所以分布列为
X0123
答案第14页,共19页
151337
P
183610854
151337263
故数学期望为破=0踪+峰+2X=3X才
108
18.⑴〃£
(2)证明见解析
【分析】(1)分和。〉0两种情况讨论,求出函数的单调区间及最值,再结合题意即可
得解;
(2)由(1)知小三是函数/*)的两个不同零点,不妨设0<玉〈逅〈尤2,根据于5)=/(%)=0,
1/2
作差可得2(111%2-1口再)=4(%22-%12),则要证再马<—,即证为—1—1,即证
a2(lnx2—Inxj
1<^^,设”三>1,则只需证1/一7,即证r」>21nf,设gQ)=f」-21ntJ>l,
21n强占心而tt
不
利用导数求证即可;再证X。〈玉斗,由题意可得lnxo+ax°-2=o,再根据/(%)=/(尤?)=。,
可得21na%)=+々2)=〃(再+Z)2-2办1々,则+%)2=2山(菁工2)+2axi9,设
~f(%),%£[。,
h(x)=,利用导数判断函数的单调性即可得证.
【详解】(1)尸(尤)=彳_26=2(1:2)(尤>0),
当时,r(x)>0,则/(X)在(0,+8)上单调递增,
所以函数/(X)最多一个零点,不符题意;
当a>0时,令/贝<x<—j=,令/'(元)<0,贝
所以函数“X)在(0,之]
上单调递增,在,+8上单调递减,
所以〃尤)M=d5]=TnaT
答案第15页,共19页
又当XfO时,/(%)->-00,当X-+co时,/(%)->-<»,
要使函数y(x)=21nx-加有两个不同的零点%,三,
贝U-In<7-1>0,解得0<a<L
e
综上所述,ae1,:;
(2)由(1)知占,三是函数/(无)的两个不同零点,不妨设o<尤]<正<%,
a
则有/(%J=/(%2)=。,即21n玉一QXJ=0,2Inx2-ax^=0,
22
作差得2(ln%2Tn再)=«(x2-^),
x2x}
先证不马<工,即证占尤2<“二一,、,即证1<五』,
a2(lnx2-In^)21n强
一玉
设公%>1,则只需证“'一i,即证t」>21nr,
X1<----t
121nr
设g(/)=/一1一21n/J>l,则g'Ohl+l-"(:D>0,
trtr
则gO)在(1,+e)上单调递增,则g⑺>g(D=o,
贝卜―l>21n%成立,也即再马〈工成立;
ta
再证/<$%2,因为%是方程ln%+6zr—2=0的根,贝Uln%o+QXo—2=。,
又有21nxi_Q%J=o,21nx2~^2=。,
则21n(±%2)=+%2)=〃(玉+%2)2-2办1%2'贝U。(玉+%2)2=21n(西元2)+2〃%1%2,
因为函数y=Inx+ox单调递增,贝U2ln(x1x2)+2axxx2>2Inx0+2axQ,
2
故要证/<石%2,只需证〃(再+%)>4,即证%+%>~尸9
7a
2
只需证入2>r~-玉,因为超
7a
且了(九)在上单调递减,则只需证/(々)<
答案第16页,共19页
又因为/&)=/(9),即证/a)<
贝Uh'(x)=-/(^-xL/'(x)=4少T『<。,
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