2024届高三年级下册3月适应性考试数学试题（新高考金卷）（含答案解析）

2024届高三下学期3月适应性考试数学试题（新高考金卷）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设i为虚数单位，则（）

A.-1B.1C.iD.-i

2.已知集合A={x—-3尤-4＜。},B=„-at=o},若AcB中有且仅有两个元素，

则实数。的范围为（）

A.（-1,4）B.（-1,0）C.（0,4）D.（-l,O）J（O,4）

3.某生产线正常生产状态下生产的产品A的一项质量指标X近似服从正态分布

N（10,〃），若P（XWa）=P（X21—2a）,则实数。的值为（）

A.-10B.-19C.10D.19

4.设。为双曲线的中心，以双曲线的实轴为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A,8两

点，若,AO3为等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A.友B.9或2C.-D.士或2

3333

5.已知平面向量a,b满足a-6=W=W=2,设c=o+仍«eR）,则卜|的最小值为（）

A.百B.3C.1D.2

6.已知三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2AB=2BC=4,/ABC=120。，则三棱锥

P-ABC外接球的表面积为（）

〃64D.』

C.—兀

2727

;in(£Z-/5)=|,若满足条件的。与夕存在且唯

一,贝|tanatanp=()

A.1B.1C.2D.4

8.已知函数〃x)=aeX—(a-l)x+l-a(a>0),g(x)=x+/>,点尸与。分另(］在函数

y=/（x）与y=g（x）的图象上，若|尸。的最小值为血,贝8=（）

A.-1B.3C.一1或3D.1或3

二、多选题

9.如图所示，圆台的母线与下底面的夹角为60。，上底面与下底面的直径之比为1:2,

转为一条母线，且AP=2,。为下底面圆周上的一点，ZAfiD=30°,则（）

A.三棱锥尸-ABD的体积为2B.圆台的表面积为11兀

C.△P3D的面积为36D,直线针与夹角的余弦值为手

10.设正实数x>0,y>o,且满足x+y+3=个，则（）

A.4x+y>13B.xy<9

2211

C.x2+y2<18D.一+一2彳

xy3

222

11.已知圆月：（x+l）+y=l,圆F?：（%-1）+/=9,动圆P与圆片外切于点M,

与圆尸?内切于点N圆心P的轨迹记为曲线C,则（）

22

A.C的方程为土+匕=1

43

B./MPN的最小值为120。

C.MPPFX+NPPF2<^

D.曲线C在点尸处的切线与线段朋N垂直

三、填空题

12.为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等4人到三个不

同地方参加活动，每个地方至少1人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式

有种.

9

13.已矢口（1-2%+尤2）=%o%l°+a/'H--卜旬,贝I]卒外=.

14.已知〃x）=sin,x+T的图象关于直线对称，且“X）在（0,无）上恰有两条对

称轴.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且/（|A]=0,

则ABC面积的最大值为.

四、解答题

试卷第2页，共4页

15.设数列｛%｝的前"项和为S,,为等比数列，且4=1,%,出，%-3成等差

数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式:

b,2

⑵设么=意,数歹心，的前〃项和为证明：T<~.

电+1)(%+1)Jn

16.如图所示，在长方体ABCQ-A耳中，A4[=")=&B,M在棱AA上，且

ACIBM.

(1)若AB=2,求平面BDW截长方体所得截面的面积

⑵若点N满足CN=NC、,求平面BB.M与MWE>所成夹角的余弦值.

17.垃圾分类是普惠民生的一项重要国策.垃圾分类不仅能够减少有害垃圾对环境的破

坏，减少污染，同时也能够提高资源循环利用的效率.垃圾分类共分四类，即有害垃圾，

厨余垃圾，可回收垃圾与其他垃圾.某校为了解学生对垃圾分类的了解程度，按照了解

程度分为A等级和3等级，随机抽取了100名学生作为样本进行调查.已知样本中A等

级的男生人数占总人数的(，两个等级的女生人数一样多，在样本中随机抽取1名学生,

该生是3等级男生的概率为g.

(1)根据题意，完成下面的二维列联表.并根据小概率值0.05独立性检验，判断学生

对垃圾分类的了解程度是否与性别有关？

2n^ad-bc^"

”(a+6)(c+1)(a+c)(b+d)'其中n=a+b+c+d.

(2)为了进一步加强垃圾分类工作的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛活

动.每局比赛由二人参加，主持人A和8轮流提问，先赢3局者获得第一名并结束比赛.甲,

■71

乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为:，主持人8提问甲赢的概率为(，

每局比赛互相独立，且每局都分输赢.抽签决定第一局由主持人A提问.

(i)求比赛只进行3局就结束的概率;

(ii)设X为结束比赛时甲赢的局数，求X的分布列和数学期望E(X).

18.已知实数aeR,函数f(x)=21nx-o?有两个不同的零点和三.

(1)求实数。的取值范围，

⑵设豌是方程lnx+依一2=0的实根，证明：x<xx<—.

0t2a

19.已知直线y=bf+l(左片0)与抛物线G：f=4y交于M,N两点.T是线段MN的

中点，点A在直线y=-l上，且AT垂直于X轴.

(1)求证：A7的中点在C1上；

⑵设点8在抛物线C?：>=一尤2一1上，BP,BQ是G的两条切线，尸，。是切点.若

AB//MN,且A3位于了轴两侧，求证：\7M\\TN\=\TP\\T^.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】利用复数的除法和乘方运算来计算.

l-i_(l-i)(l-i)_-2i_.

【详解】l+i-(l+i)(l-i)-2一,

故选：B.

2.D

【分析】求出集合8中元素，代入集合A即可.

【详解】因为AcB中有且仅有两个元素，

则3=-ax=o}={0,a},30,

0-0-4<0

所以，解得一1＜。＜4,且awO.

矿一3a—4<0

故选：D.

3.B

【分析】根据题意，由正态曲线的性质，代入计算，即可得到结果.

【详解】由题可知，正态曲线关于X=10对称，

且P（XWa）=P（XNl—2a）,

Lf。+1-2。TCATt

则一--=10,解得a=-19.

故选：B

4.B

【分析】分两种情况，ZBOx=60和N8Qx=30分别求解即可.

【详解】焦点在x上和焦点在y上结果一样，故不妨取双曲线的焦点在x轴上,

若为图1：则ZB。尤=60,

贝[]tanNBOx=tan60=>/3=—,

答案第1页，共19页

若为图2：贝UN3QX=30，

贝ijtanZBOx=tan30==—，

3a

5.A

【分析】根据结合数量积的运算律及二次函数的性质即可得解.

3

【详解】2+t2b-^-2ta-b=飞4t2+44+4=2一,

4

则当时，卜L=百.

故选：A.

6.B

【分析】由题意画出图形，结合已知求出底面三角形外接圆的圆心，进一步找出三棱锥外接

球的球心，由三角形相似求得外接球的半径，则答案可求.

【详解】由B4=P3=PC=4,过尸作PG,面ABC,垂足为G,则G为的外心，

答案第2页，共19页

AC2=AB2+BC2-2ABBC-cos/ABC=22+22-2x2x2xf-1^=12,

在，ABC中,

故AC=25

设,ABC的外接圆半径为r,

Ar1

贝|J2〃=——=4,即r=2,即5G=2

sin120°

所以PG=(PB2-BG?=24，

取PB的中点〃，过H作HO_LPB交PG于0,则。为三棱锥外接球的球心,

由.POHPGB可得需=笥,

即外接球半径为

7.B

3

【分析】先由tana=Mtan〃，可得5皿。以）5/7=根85。5111/?,再根据sin（a-；0）=y，结合

两角差的正弦公式求出sinacos尸,cosasin/?,进而可求出sin（a+0,再根据唯一性可求出

m,再求出tan(a-6)，结合两角差的正切公式求出tan/?,tan。，即可得解.

.…、八，sinamsinB.八.八

【详角车】由tana=/ntan夕，得----=------,gpsinacosp=mcosasmp,

cosacosp

3

所以sin(a-=sinacos13-cosasinj3=(m-l)coscrsin/3=—,

答案第3页，共19页

33m

所以cosasin/=—-------,所以sinacosP=mcosasin/3=

(、3(m+l)

所以sin(a+/)=sinacos/+cosasin尸=—^----,

因为，所以a+尸e（O,兀）,

因为满足条件的a与夕存在且唯一，所以。+〃唯一,

所以sin(c+.=1,

所以根=4,经检验符合题意,

所以tana=4tan尸，

因为。/《。弓），所以口＞4,所以cos(a_0=Jl—sin2(a_0=q,

则tan(f)30…4tan-tan(3,解得tan/7=；,

'741+tancrtan/3l+4tan2^

所以tanatan/?=4tan?/?=1.

故选：B.

8.C

【分析】平移直线使其经过点尸，则切线斜率为1,利用导数求出切点坐标，再根据点到直

线距离公式即可得到方程，解出即可.

【详解】因为/0）=。/-（"一1）,令/'（尤）=1,解得彳=因

而/（O）=a+l-a=l,

则函数＞=/（尤）的图象在点（o,D处的切线方程为y=x+i,

则IPQ1111ta=0,即点（o,1）到直线X-y+＞=。的距离为近，

所以I，"=及'解得"=3或。=-1，

故选：C.

9.ABD

【分析】由三棱锥的体积公式即可判断A,由圆台的表面积公式即可判断B,由三角形的面

积公式即可判断C,由异面直线夹角的概念以及余弦定理即可判断D

答案第4页，共19页

E

根据题意，圆台的轴截面如图所示，

分别过点£E作尸"，AB,EG，于点H,G,

贝!|NfAB=60。，AF=BE=2,所以AH=BG=1,FH=EG=6

由上底面与下底面的直径之比为1:2可得M=《，则防=2,AB=4,

AD2

所以圆台的高为石，AB=4,AD=2,BD=2y/3,

则Vp-ABD=gx[gx2x26]x6=2,故A正确；

设圆台的上下底面圆的半径分别为4,4,则4=1,4=2,

则圆台的表面积为S=TI邛+兀4+兀（可+幻•AP=1E,故B正确；

过点尸作A3的垂线交A3于T,则可得PTJL平面

且BDu平面AB£>,则

过点T作3。的垂线交8。于Q,连接尸。，即

又PTTQ=T,27,7。<=平面27。，所以即人平面尸TQ,

又P0u平面PTQ,所以

又AT=1,则BT=3,由,BQTsBD4可得更=四，即』=些,

BAAD42

所以刀。=：,且PT=6,所以尸。=叵，

22

答案第5页，共19页

则sPBD=；B£>•尸。=gx2道义殍=呼，故C错误；

过点A作8。的平行线交底面圆周于点连接R0,

则NPAM即为直线AP与BO所成角(或补角)，

在AR4M中，AM=BD=273,AP=2,PM=M,

由余弦定理可得cos2PAM=A产+一尸=2H2..而『=1,

2APAM2x2x2石4

则直线AP与夹角的余弦值为由，故D正确；

4

故选：ABD

10.AD

【分析】对于A项，通过题设求出入代入所求式消元，凑项运用基本不等式即得；对于B

项，直接运用基本不等式将其转化成关于历的不等式求解即得；对于c项，运用完全平

方式将其转化成关于孙的二次函数，通过其图象单调性即得；对于D项，通分后将其化成

关于孙的分式函数，求其值域即得.

【详解】对于A项，由彳+丫+3=孙可得：(x-l)y=x+3,

因x>l,故丁=一x+3，将其代入4x+y可得：

x-1

%+344I4~

4x+——=4x+1+——=4(1)+——+522/4dA二一+5=13,

x-1x-1x-lvx-1

当且仅当％=2时等号成立，故A项正确；

对于B项，由孙=%+丁+322^^+3可得(^^一3)(^/^+1)20,

因J^>0，故得：y[xy>3,则孙之9,

当且仅当%=y=3时等号成立，故B项错误；

22

对于C项，由S=f+>2=(冗+,)2-2孙_(xy-3)-2xy=(xy)-8xy+9,

设”孙，由上分析知，t>9,

则S=(-4/—7在[9,+8)上单调递增，故S218,即C项错误；

1T工人11%+yxy-33

对于D项，由—+-=----=-----=1------,

xyxyxyxy

由上分析知孙29,则0<[<<，

xy9

答案第6页，共19页

23211

故工41-----<1,即工工一+一<1,故D项正确.

3xy3xy

故选：AD.

11.BCD

【分析】A.直接根据椭圆的定义可得答案；B./MPN与/可尸工互补，求出/的尸月的最大

角即可；对于C：直接利用向量的坐标运算求解；对于D：求出点P处的切线斜率，再利用

PN=~^NF2,PM=rMR求出点的坐标，再判断切线斜率和kMN的关系即可.

【详解】对于A：设动圆P的半径为厂，由条件得IP币=r+1,\PF2\=3-r,

则|PfJ+|Pg|=4>|£&],且尸，M,N不重合，

故点尸的轨迹为以耳，％为焦点的椭圆(去掉p,M,N重合的点)，

则曲线C的方程为!+：=l(xw-2),A错误；

对于B：由图可知/MPN与/耳P5互补，

当尸点为椭圆短轴端点时，/耳尸巴最大，

c1

此时sin/月尸。,所以/月尸。=30,则/与PK的最大值为60,

a2

所以的最小值为120,B正确；

对于C：MP-PF\+NP-PF2^-r(r+V)+r(3-r)=2r(l-r)<2x卢]>=1,

当且仅当r=。时等号成立，C正确；

对于D：设点P(%,%卜”(%,%)可(%2，%)，々(一1,°)，鸟(1，°)，

则过点尸(无。,%)的椭圆的切线方程为芋+岑=1,切线斜率为一普,

434%

\PN\r\PM\r

又^-T=-J——\=R<所以PN=--NF”PM=rMF\,

NF,3\MF\31

答案第7页，共19页

则（%一%,%一%）=-：（1-9，-%），（占一尤o，M-%）=r（T-再，-M），

3^7~l+73y0（l+r）-y0（3-r）2y0

3x0-rx0-r（3x0-r）（1+r）-（x0-r）（3-r）1+2%-r'

3-r1+r

又一附|-1=而1用/-1=。+2/+1+31寸-1

Jgxo+2j_1=；玉）+2—1,

因为-2<x0<2,所以5%O+2>O,所以厂=5%+2—1=5%+1,

2%二4%

所以女M"

3%

1+2%2^°+1

所以一为x誓=-1,即曲线C在点尸处的切线与线段MN垂直，D正确;

4yo"o

22

证明：过椭圆:+]=1上一点尸优,为）的椭圆的切线方程为午+¥=1,

口尤।%y「1

3

t2，消去y得（3+尤+当-12=0,

联立

%y1I

——+—=1、%

[43

答案第8页，共19页

又手+?=1,得3x；+4y；=12,

所以苧+弩=1是过椭圆:+y=l上一点P（x。，%）的椭圆的切线方程.

22

【点睛】方法点睛：过椭圆—+齐=1,>6>0）上一点的尸（%,%）的切线方程为

22

苔+*=1（。>。>0）,过双曲线3一.=>0/>0）上一点的网飞,%）的切线方程为

岑-誓=1（。>0,6>0）,通过结论可快速找到解题思路.

ab

12.30

【分析】将4人按2,1,1分组，先不考虑限制条件，先分组再分配求出不同的安排方式的种

数，再排除甲和乙去同一个地方的种数即可.

【详解】安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人,

则将4人按2,1,1分组,

若不考虑限制条件,

则此时不同的安排方式有总尸=36种，

当甲和乙去同一个地方时，有A；=6种不同的安排方式，

所以若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有36-6=30种.

故答案为：30

13.-10

【分析】先化简（1-2尤+f『，再利用二项式定理求得阳，再将等式两边同时求导，从而得

解.

答案第9页，共19页

【详解】因为(1一2工+-)5=(》一1),

而(x—l片的展开通项公式为TM=,

所以展开式中胪的系数%=(-l)°Vo=l,

由(1—2«X+%2)=(%—1)=4()M°+为/+,,•+Q。，

两边同时求导可得10(%-1)9=10%0X9+9佝X8■1---,

令x=]可得lOq。+9%H---Fq=10(1-1)9=0,

9

所以Zk=-lO%o=TO.

*=i

故答案为：-10.

14.£1/。百

44

兀1

【分析】根据函数关于直线元=々对称，推得①MBZ+J.ZEZ,对。的取值分正、负进行讨

论，求得。=-｝得到函数解析式，利用了《，|=。求出角A,利用正弦定理表示出边。,

继而求得三角形面积表达式，运用三角恒等变换化成正弦型函数，利用其值域求得面积最大

值.

【详解】由〃x)=sin]ox+3的图象关于直线xj对称可得：&呜。+至=±1,

71717rI

则一切+—=—+,解得：①=3k+—,ksZ.

3322

①当G>0时，由%£(0,兀)可得：+

....3K7i,5兀.7,13

依题需使工-〈5+；<不-,解得：-<CD<—,

23266

195

代入口=3Z+—,%£Z可得士〈左《士，故。不存在；

299

②当67<0时，由工£(0,兀)可得：G71+m+§<§,

依题需使一?《公兀+?<一当，解得：~~7~~0)<~~79

232o6

因。=3左+',左EZ,故人二—1时，0)=——,即/(x)=sin]—+.

22123J

由/^―A)=sin(—A+4)=0可得：—A+三=kn,keZ,

,JT

因0<A<TI,贝I]A=3，

答案第10页，共19页

(1hc

由正弦定理，—-=2=——=——njff：b=2sinB.

smAsmBsinC

于是，ABC面积为：S=；besinA=；x2sin8xsin(3+A)=x2sinBx^sinB+\/3cosB)

_3・R"指•2R_3•IA/3o0石.OR

=—sinBcosBH---sinB=-sin2B-----cos2BH----=—sin(25)H----,

22444264

因。v3〈W，则一£<25-5<?,故sin(2B—与)41,即SW,

366664

故.ABC面积的最大值为±8.

4

故答案为：巫.

4

【点睛】关键点点睛：解题关键在于在求得0=3上+1火eZ之后，往往容易先入为主，默认

。为正，结果求不出。而放弃；第二个关键在于对于较复杂的面积表达式，要善于角的消元

和三角函数的降次以及辅助角公式的应用，最后在角的范围内考查三角函数的值域.

15.⑴4“=(〃+1)•2"-2

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意，由等差数列以及等比数列的定义，列出方程，代入计算，即可得到

结果；

n2

bn2-

(2)根据题意，由(1)可得色+1危一+1)=(2,"+:(21+1)，结合裂项相消法代入计

算，即可证明.

【详解】(1)因为％,«2>色-3成等差数列，即2%=。3-2,

又户］为等比数列，贝也，於,当也成等比数列，

贝U上受］=,+5+"3),联立解得％=3,%=8,

则数列的公比为2,即鼠=2-所以S“=n-2力，

［nJn

当心2时，%=S「SM=5+1)-2T,

且4=1也满足上式,

所以数列｛%｝的通项公式为卬=5+1)•2心.

答案第11页，共19页

2

（2）由（1）知，an=[n+\）-T-,且〃=江,

b,2"2

则色,+1）电+1+1）一（2"+1收+1）

则T=---------1---------FH-----------=-------

"2-1+12°+12°+12'+12"-2+12,,-1+132,,-1+1

1212

因为人＞°,所以4/一而节＜了

16.⑴空1

2

（2）庠

【分析】（1）建系，利用坐标运算计算AC2M=0,求出点/的位置，然后画出截面，求

截面面积即可；

（2）利用向量法求平面与平面的夹角即可.

【详解】（1）如图建立空间直角坐标系：

因为胡=AD=＞/2AB=2-/2,

所以A（0,0,0）,C（2,2后,0）,B（2,0,0）,设拒），

则AC=倒,2&,0）,=卜2,租,2旬，

由AC工得AC-BM=（-2,m,2亚）・（2,2后,0）=-4+2肥m=0,

解得〃“夜，即知为线段4乌中点，取4月的中点E,连接ME,£5,

明显有ME//BD,则平面BDM截长方体所得截面为梯形BDME,

则ME=71T2=6,BD=«20+22=26，M（0,虚,20）,D（0,272,0）,

所以DM=（0,-也2q,02=（2,-2也0）

贝U点M至IJBD的距离为DM2-D^B=J2+8一品］=粤,

1|III7*

则截面的面积为gx（退+2百）=3y/26

2

答案第12页，共19页

则M（0,缶,2。）,0（0,2缶,0）仆（2〃,2缶,缶）,5（2〃,0,0）,男（2名0,2缶），

MD=倒,缶,一20），DN=（2«,0,缶），BM=卜2。,缶,2缶），B1M=卜2a,伍,0b

设面54M的法向量为〃=（%,%,zj,面MWD的法向量为根=（X2，%，Z2）

BM•n=-2町++2y[2az=0

1取y=0得力=（1,啦,0）,

B]M•n=-2axx+41ayx=0

MD.m=yflay2—2>/2az2=0

取z2=\/2得加=卜1,2^/5\>/5),

DN•m=2ax2+屈az?=0

”…n-m—1+4y/33

所以cos〃，加二1—

y/3xJl+8+211

则平面BB,M与MW。所成夹角的余弦值为叵.

17.（1）列联表见解析，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，理由见解析

（2）（i）（ii）分布列见解析，期望值为盥

lo10o

【分析】（1）数据分析，得到列联表，计算出卡方，与3.841比较后得到结论;

（2）（i）分甲赢得比赛和乙赢得比赛两种情况，计算出概率相加后得到答案;

（ii）得到X的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算出数学期望.

答案第13页，共19页

2I

【详解】(1)由题意得，A等级的男生人数为100x1=40,3等级男生的人数为100x3=20,

100-40-20

A3等级的女生人数相同，均为=20人,

2

故列联表如下:

男生女生总计

A等级402060

8等级202040

总计6040100

2

2_n（ad-bc^_100x（40x20-20x20）_25

,（〃+b）（c+d）（Q+c）（b+d）60x40x60x409

故根据小概率值a=0.05独立性检验，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关；

2122

(2)(i)比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为口=耳＞5乂§=§,

比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为P2=(l-1)x(1-)x[1,

故比赛只进行3局就结束的概率为P]+P2=2+91=51；

91olo

(ii)X的可能取值为0,1,2,3,

X=0,即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故尸(X=0)=：x;x〈=4,

32318

X=l,即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢,

7111111111215

^P（X=l）=-x-x-X--F—X—X—X—+—X—X—X—

23232323236

X=2,即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢,

711112121121111

故尸（X=2）=]X]X—X—X—H——X—X—X—X-+—X—X—X—X—

3233232332323

11211111111121113

H--X—X—X—X—+—X—X—X—X—+—X—X—X—X—=--------,

323233232332323108

X=3,即最后甲赢得比赛，由概率性质得

513_37

P（X=3）=1-P（X=O）-P（X=1）-P（X=2）=1-—

36-108-54

所以分布列为

X0123

答案第14页，共19页

151337

P

183610854

151337263

故数学期望为破=0踪+峰+2X=3X才

108

18.⑴〃£

（2）证明见解析

【分析】（1）分和。〉0两种情况讨论，求出函数的单调区间及最值，再结合题意即可

得解；

（2）由（1）知小三是函数/*）的两个不同零点，不妨设0＜玉〈逅〈尤2，根据于5）=/（%）=0,

1/2

作差可得2（111%2-1口再）=4（%22-％12）,则要证再马＜—，即证为—1—1，即证

a2（lnx2—Inxj

1＜^^,设”三＞1,则只需证1/一7，即证r」＞21nf,设gQ）=f」-21ntJ＞l,

21n强占心而tt

不

利用导数求证即可；再证X。〈玉斗，由题意可得lnxo+ax°-2=o,再根据/（%）=/（尤?）=。,

可得21na%）=+々2）=〃（再+Z）2-2办1々，则+%）2=2山（菁工2）+2axi9，设

~f(%),%£[。,

h(x)=,利用导数判断函数的单调性即可得证.

【详解】（1）尸（尤）=彳_26=2（1:2）（尤＞0）,

当时，r（x）＞0,则/（X）在（0,+8）上单调递增,

所以函数/（X）最多一个零点，不符题意；

当a＞0时，令/贝＜x＜—j=,令/'（元）＜0,贝

所以函数“X）在（0，之］

上单调递增，在,+8上单调递减,

所以〃尤)M=d5]=TnaT

答案第15页，共19页

又当XfO时，/(%)->-00,当X-+co时，/(%)->-<»,

要使函数y(x)=21nx-加有两个不同的零点%,三,

贝U-In<7-1>0,解得0<a<L

e

综上所述，ae1,：；

(2)由(1)知占,三是函数/(无)的两个不同零点，不妨设o<尤］<正<%,

a

则有/(%J=/(%2)=。，即21n玉一QXJ=0,2Inx2-ax^=0,

22

作差得2(ln%2Tn再)=«(x2-^),

x2x}

先证不马<工，即证占尤2<“二一，、，即证1<五』，

a2(lnx2-In^)21n强

一玉

设公%>1,则只需证“'一i，即证t」>21nr,

X1<----t

121nr

设g(/)=/一1一21n/J>l,则g'Ohl+l-"(:D>0,

trtr

则gO)在(1,+e)上单调递增，则g⑺>g(D=o,

贝卜―l>21n%成立，也即再马〈工成立；

ta

再证/<$%2，因为%是方程ln%+6zr—2=0的根，贝Uln%o+QXo—2=。，

又有21nxi_Q%J=o,21nx2~^2=。，

则21n（±%2）=+%2）=〃（玉+%2）2-2办1%2'贝U。（玉+%2）2=21n（西元2）+2〃%1%2，

因为函数y=Inx+ox单调递增，贝U2ln（x1x2）+2axxx2>2Inx0+2axQ,

2

故要证/<石%2，只需证〃(再+%)>4,即证%+%>~尸9

7a

2

只需证入2>r~-玉，因为超

7a

且了(九)在上单调递减,则只需证/(々)<

答案第16页，共19页

又因为/&)=/(9),即证/a)<

贝Uh'(x)=-/(^-xL/'(x)=4少T『＜。，