浙江省金华十校2024届高三年级下册4月模拟考试数学试题+答案解析

【新结构】浙江省金华十校2024届高三下学期4月模拟考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合.［二{(LL2一：什，//(rJ-•⑺，则、1!-()

A.{0}B{1}C.{1.2}D.{1.2.3)

2.」()

12121219

A.B.C.>-fD.

55553333

条件尸5…条件,

3.设〕门1：，j,,，厂二及，则P是夕的()

A.充分不要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.设直线L,:,则/与圆C()

A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能

5.等差数列"，：的首项为正数，公差为d,S为｛”：的前〃项和，若J,且、，、+S,成等比

数列，则〃()

A.1B.2C.D.2或

V21「

6.在,中，--，(BC-2,贝IJ"〃的面积为()

A.B.lx.!c.JD.2，.：

7.金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校

安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有()

A.72种B.48种C.36种D.24种

8.已知।,-in,।1―—上，贝!J一、()

312

1111

A.B.C.D.

236s

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在：仃&11/,之间，进行适

当分组后I每组为左闭右开区间画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右

第1页，共18页

依次为、，1一小，则（）

A.x的值为0.0044

B,这100户居民该月用电量的中位数为175

C.用电量落在区间r.i内的户数为75

D.这100户居民该月的平均用电量为▽

10.已知I）.”.八［，….”1,贝！1（）

u

A./,>/B.rn">n"'C.D.n>kifctti

11.在矩形45CD中，.1〃_!」」〕，£为线段N8的中点，将"〃「沿直线DE翻折成I.若M为线

段的中点，则在〃从起始到结束的翻折过程中，（）

A.存在某位置，使得B,存在某位置，使得（7\/）

C.MB的长为定值D.M3与CO所成角的正切值的最小值为‘

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若单位向量万，7；,满足不2Tv3，则向量7「，厂的夹角为.

13.已知函数"若/，」）在点11/1“处的切线与点处的切线互相垂直，则

Ilnx»JF>。.

.

9999

T*fl*广

14.设椭圆「："-I'<,■一与双曲线（一',,-I'II,有相同的焦距，它们的离

心率分别为…，，一椭圆仁的焦点为B,B，（在第一象限的交点为尸，若点尸在直线广,上，

且，儿/7•一！卜，则<）的值为__________.

Cj4,2

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.।本小题13分j

为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可抛掷骰子两次，若两次点数之和等于7,则

获得5个积分;若点数之和不等于7,则获得2个积分.

I记两次点数之和等于7为事件第一次点数是奇数为事件2,证明：事件8是独立事件；

壮I现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望.

16.1本小题15分）

I，若,，1，求L，的值域；

⑵若/，，存在极值点，求实数a的取值范围.

17.（本小题15分）

如图，在三棱柱SBC-ABQ中,ABC是边长为2的正三角形,侧面E8QC是矩形，＜儿=

I求证：三棱锥II/*•是正三棱锥；

⑵若三棱柱」的体积为2、？，求直线A3与平面儿［/口：所成角的正弦值.

18.本小题17分J

设抛物线/•山，直线/1是抛物线C的准线，且与x轴交于点3,过点2的直线/与抛

物线C交于不同的两点M,N,AL"I是不在直线/上的一点，直线/N分别与准线交于尸，0两点.

I।求抛物线C的方程；

，证明：1〃/'.

.□记△UQ的面积分别为s：,、］，若$=求直线/的方程.

19.।本小题17分J

设p为素数，对任意的非负整数小记”.+“.，，11,”=.........…；，其

中,，।IJ.，.；­'，:，如果非负整数“满足能被p整除，则称“对p"协调”.

”分别判断194,195,196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；

第3页，共18页

。判断并证明在/「，，一1,厂,，，？，，“，.，「11这//个数中，有多少个数对P“协调”；

计算前/个对P“协调”的非负整数之和.

第4页，共18页

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查交集运算，属于基础题.

化简3,由交集运算即可求解.

【解答】

解：H-{J'J210}={J|0V4<2},

则」

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查复数的除法运算，属于基础题.

根据复数的除法运算法则求解即可.

【解答】

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查充分必要条件的判断，属于基础题.

根据正余弦的函数值可得角，结合充分必要条件的定义即可求解.

【解答】

解：，一II.7H条件卜…山，'可得〃-：或.，此时……'，或、”，充分性不成立;

2o622

反过来，若,)»："一-|,可得“，此时、lll/i，必要性成立，

262

故选所

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

通过判断圆心到直线的距离与半径大小即可得位置关系.

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【解答】

解：圆(,一I--V2-1的圆心为I121,半径为1,

圆心到直线「一为u-。的距离为3'''：!'1，

故直线与圆相离

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查等差数列的通项公式、性质及求和公式，考查等比数列的性质，属于1般题.

由等差数列的通项公式、性质及求和公式可得、“S+0—“根据等比

数列的性质列方程求出“，从而可求公差.

【解答】

解：s-u*ii=,i-R，

+.S।—H1+〃]+〃_,一〃.—H।十，31—"一“，

_5(ui♦./A、*

Q*»•.'।；•二、」，，•，•(・।,i、b"।I，

因为成等比数列，

所以Io1+9)°-；H,43)・5(6〃)，

即—”，解得।或舍匚

故〃-a；I：।3-I-.)

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查正弦定理与三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式，属于一般题.

由同角三角函数的平方关系求出「心3，根据-川」「「求出zuA，由正弦定理求出再根据

三角形面积公式即可求解.

【解答】

解：因为。12，，所以3为锐角，

所以1---J/''<'-III-rn-/i--Hil,

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V21V21

~TT

由正弦定理可得Al!

7114-IIII

所以、「，，1/；/；<-mb'.•入7.，・'二3

22i

7.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查分组分配问题，考查排列组合的综合应用，属于一般题.

先求出所有的分配方案，再求2名管理型教师安排在同一所学校的分配方案，从而可求解.

【解答】

解：将6名老师平均分成3组，再安排到3所学校，

共有‘丁丁、I".<,①种不同的分配方案.

2名管理型教师安排在同一所学校的分配方案有...31、种，

为

则管理型教师不安排在同一所学校的分配方案有，川-川”种.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查两角和差的余弦公式，考查同角三角函数的基本关系，属于较难题.

根据两角差的余弦公式可求-।…j,从而可求，根据

12

tg/♦：••(•••Ji«IU-'I»即可求解.

【解答】

解：因为<心"»,i，-in-।-'.it>，

312

所以「心一।--，解得I1

12312

所以♦»|—>,-1-111<b?-ilil

12\12/i

所以—Ze,>r><iII

=(COHO•COR小—sinc•sin；i)•(cnso•cns3+sino•sinJ)

=cos*a-C<M23-sin2a•sin2B

第7页，共18页

=coera-(1—siu2J)—(1—coN2a)•sin23

,..111

=cots*c-sin2J=~x==—.

326

9【答案】AD

【解析】【分析】

本题考查频率分布直方图以及平均数、中位数的应用，考查了逻辑推理和运算能力，属于一般题.

由题意，根据频率之和为1,列出等式求出x的值，进而可判断选项4结合中位数和平均数的定义以及计

算方法即可判断选项B和选项D；求出用电量落在区间［1”内的频率，即可判断选项(二

【解答】

解：对于Z,因为50x(Q.002J+(HKKJ6+(UI060+J+-O.(K>24+0.0012)=1,

解得j0.0044>故/正确；

对于8,前2组的频率之和为00x(0.OO24+0.3,

前3组的频率之和为Q.3«-0.0(160x50«Q.6,

故中位数位于［150.200)内,设为",

则(n—」50)xDH"川4-0.30.5,解得“-二：、L33,故8错误;

对于C,1^1:*“I的频率为1-_(L7,

故用电量落在区间丁,u：；"内的户数为1川―II：=7”,故C错误；

对于D,这100户居民该月的平均用电量为

(50+25MT100+25)-2T300+25即-V50i+25)用,故。正确.

，,1

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查幕、指、对函数的性质，考查换底公式，属于一般题.

根据八，，,，即可判断4取…I，n•」可判断2；根据对数函数的性质，以“1”为中间值即可判

断c；根据换底公式可得卜《:"：”•：，，，，:再根据不等式的性质即可判断“

IgoIgo

【解答】

解：对于4,因为“*»I,

所以h」J即八故/正确；

对于5,取…I,r<J9满足“)•”•1,

但…1lbM2lHi,不满足…I'',故5错误；

第8页，共18页

对于C,1<-41<<.6=1,。1(小m

所以hy,”-M,,故以正确;

“工八I收〃！收，〃

IgaIgo

因为Il"，'L'；.II.IL,1-|j*-II,

所以I'Jri'kfl>(I.1gaIgfc>0,

所以一收〃it>—IgbIgn,即］>Iga1gtn.

因为III:「II,所以上〃收匕>。,

mi、/*〃植〃坟"及，"I.Kn12〃.田c-r咨

所以—r9即Rn丁，即Rni101fB>1<U“，故。正确.

igaIgoIgalgoIgaIgo

11.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查直线与直线垂直，考查向量法求异面直线所成的角，考查同角三角函数的基本关系及余弦定理,

属于难题.

对于4利用反证法可得/〃/，与。1I之矛盾，从而可判断;对于3若存在某个位置使得"I：EC,

可得即，L「，设.1〃2.1/）2,可得、（，在折叠过程中，-11\」川，从而可判断；对

于C,取CD中点尸，连接“凡BF,可证明平面平面.lj〃，故.1/〃.U/B{!）!

定值，—定值，riiOE一定值，利用余弦定理即可判断；对于。，记。£中点为。，不妨

设.32。，以i〃。\分别为X，歹轴的正方向建立空间直角坐标系，设.L川，ATH"II..1优I,

MB与CD所成角为-,可得COBw=J号巴-金黑岬W-4，根据Un/=里=y/l-co^^

DC]<|0Af2/5V5a»,CUB/

即可判断.

【解答】

解:对于/,若存在某个位置，使〃/\（，

由已知可得一一一8£（'-』5'，则/〃（/

又（了；76=「，CE、%（'，一平面I,/C,

「/〃:」面』/<「，

得"/，-1|尸，这与/）4,八]八矛盾，故/错误；

对于3,由题可知：

若存在某个位置使得1（,

第9页，共18页

由于人IECEC：E,AI,ECU平面hEC,

可得\I)平面斗/•：「，

且ICu平面UEC,所以ltDI(

设.lb.2」。—」，可得、:《，

由于在折叠过程中，所以存在某个位置，使得\3,

故存在某个位置，使得L",故8正确；

取CD中点尸，连接上不，BF,

4

根据中位线定理可得DAi，而面E理A,DA面据。人,

/面/•1)$.

JLBF//DE,"//面//，I,DEC面1|，

:力,面/•")①.

又ZFcFBF.MF.FB中间V"/，

・平面.“/〃・平面.*/%,

由.11”=W8=.」/)/.=定值，

Mf-'-定值，m-—定值，

由余弦定理可得：MU-=Ml--FB:2MF-FB-cx»£MFB>

由于〃F,5歹及「\〃/，为定值，

所以九0是定值，故C正确；

对于。，记。£中点为O,

不妨设.1/「2、金，以<〃一"\’分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，

设4曲<0«，.破ne)(，4QF=。)，fl(2.1.()).('(1,2.0),A/('I-0(-1,0,0),

则/)「2L山，"V(>,一)，

第10页，共18页

设"3与CD所成角为.，

g、l"mryI-Cm/

所以Lui,'

所以〃与所成角的正切值的最小值为,

3CO,故。正确.

*J

12.【答案】

【解析】【分析】

本题考查平面向量的夹角，属于基础题.

将M?，；=、：i两边平方求出，「二再利用夹角公式求解.

【解答】

解：由题意可得，「I,

因为|汀-=v3,

所以|，「『一.1，

即；lu•.W=3,解得"3•,丁・；.

/.,b1

所以"

/I叩I-

因为，:7.门,I,所以6'

\/\/

13.【答案】-:

【解析】【分析】

第H页，共18页

本题考查导数的几何意义，考查垂直与斜率的关系，属于中档题.

'2r,xC0

八，1，可得I,I,分段求解，即可.

一♦*>0

、JT

【解答】

(2x,rC0

解：由题易知，，「，，I,

I—>0

故而|I-1u处的切线斜率人/'U：'1.

又/I/川处的切线与之垂直,则八41-

当Jl，11时，”，1,得.八—-;，成立；

当.一时，-I无解.

工0

综上所述，/，

2

14.【答案】2

【解析】【分析】

本题考查椭圆与双曲线的定义及离心率，考查同角三角函数的基本关系，属于一般题.

设双曲线的两个交点为片'与/[',则(>/)-片1=|O6'|=c,ZPOFi；,则

11--111,111--1-HI，根据同角二角函数的基本关系即可求解.

tI2c、st>2r"、

【解答】

解：设双曲线的两个交点为U与/•1,

则I。四=\or\二二（）f:\=<■.

由一”.”，所以'11:1.

因为点尸在直线U，上，所以",

则2oi/'/,♦/'/2（CT»g+.n；）,

2.，-/•/*/।-"1、），

第12页，共18页

21r

cc+sin2

15.【答案】解：11)因为两次点数之和等于7有以下基本事件：｛1.6)(2.5)事,4)(4.：川5.2),(6,1)共6个,

所以，1.1「，又八，

36(i2

而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是11,共3个,

所以C.W

3612

故P(AB)P„,

所以事件a3是独立事件.

j设每位参与这个活动的顾客获得的积分为X,则X可取6,9,12,15,

X691215

12575151

P

2162162162KJ

15…1..

所以/।\।+ZTZX12♦TTTX15

216216216

【解析】本题考查相互独立事件，考查离散型随机变量的分布列及期望，属于中档题.

；1，两次点数之和等于7有以下基本事件：」.，，"I」7,，ih.li共6个，求出口.1)、fiH),

/*i即可八.1/八一/1、"小，从而事件/,2是独立事件;

第13页，共18页

2设每位参与这个活动的顾客获得的积分为X,则X可取6,9,12,15,求得相关概率，即可得离散型随

机变量的分布列及期望.

16.【答案】解：1।若"I,/1,11i,<(•-；*<11-./,,

/*(*)=cx»2J-sin2J-sinj=-2san2J—sinj+1=~(sinx+l)(2siux-1)

当」i*1-.।时，J；「，。「单调递增；

b

当1，.，时，「一0,r.j,单调递减：

D1

又/Lih-l,/,ihi，卜，ii,

1GI2

所以，一，即」的值域为「2,；

141'I1

(2)/'(1)=cos*jr-sin*j*—asin1=1—2疝厂x-asin].

J，存在极值点，则,「，二”在，“，上有解，

即「hiur有解.

Kinf

令f-、in」，则aJ木在，。,1)上有解.

因为函数”，；+在区间MLh上单调递减，

所以“'I1.rXI.

【解析】本题主要考查了导数的性质及其应用，考查了转化思想，属于中档题.

1由题意求导可得八二=.­-II'J-iiuI「，可得/，，，在单调递增，，，，在I1।单调递减,

662

进而可得结论；

•!1根据己知可得/'Jj=I)在，-1”>I上有解，进而可得“-I-/'Ilir有解，即可求解。的范围；

iM11X

17.【答案】解：1，证明：分别取/£8C中点。，E,连接CD,AE交于点、O,

则点。为正三角形/8C的中心，

因为44i(\]〃得「/>.」〃，\\DLAB.

又CD,I〃二平面1，)，(l>10/>,

所以平面当]〃，

又AQ，二平面I(/),

则八〃一”)，①

取"，中点连接.1/,I!,则四边形4,/"：是平行四边形，

第14页，共18页

因为侧面B5厂「是矩形，

所以"广II,

又"CUE，EEi，AEC平面AAIEI£,EEtAEE,

所以BC平面44|EiE,

又A］。j平面L""：

则"…li",②,

由①②，且/瓦8("二平面/8C,/*'B，

可得，V(＞平面48C,

所以三棱锥I-,是正三棱锥；

I-।因为二棱柱\H('I,H('的体积为2、2，底面积为、,

所以高.1,“

v33

以£为坐标原点，切为x轴正方向，£3为y轴正方向，过点E且与。儿平行的方向为z轴的正方向建立空

间直角坐标系，

设平面1的法向量”:1.1.7,.1,

第15页，共18页

直线I，与平面11"门所成角为，，，

/_</•IE■V2

所以yiii“—一…"，•“；...

而W|3*

【解析】本题重点考查线面垂直的判定和线面角，属于一般题.

1，通过求证八。1.平面/8C，即可求证三棱锥II”「是正三棱锥;

⑵求出高XC,建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.

18.【答案】解：I由题：/，2,故抛物线C的方程为广

I，设1./11/1,A/1।,\:r；.I；.«,

联立Ir,消去X得-十I0,

U\+=4f•

{yith-4.

又A."：U-“=令工=-1得尸(-1,“一

11-1JTf-I

同理可得3-1

故11()

11r------/------In/-21/-7-----

S,=-\MN\d=-xV/12+1-40s-11-=2v-l|*|nf-2|,

22+I

由、2、,得：J1解得，i\L

所以直线/的方程为一、1“

【解析】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，属于较难题.

1，根据准线求出p,从而可得抛物线的方程；

第16页，共18页

I证明Ih•5"即可；

：由J可得、./।9,Si=\A/.V|d=202-1|-\nt-2\,根据、八.求出f即可.

“2—12

19.【答案】解：：11因为1912.3,-1-3-II-3-11.3-2.31>所以

U；I'tl2-1-H-1-2f1,

195li..r-2■,11-II-3-1.1-：!••2.31，所以IL,l'“：0+2+0+1+25,

196s1x3^.?•/・Ht，I.：「一.：」所以”|(196)=1+2+0+14-2=6,

所以194,196对3“协调”，195对3不“协调”；

，先证引理：对于任意的非负整数K在必，4,1,/」，，/-1，中有且仅有一个数对p“协

调“

证明如下：设>'>,(''A'AH,由于必是p的倍数，所以L,-I，，

所以.’'-।1

即对于r'这一项的系数为」"/,I1>

所以II/•'•।'A,।11।■1।,

根据整除原理可知，在［X，JJU，,